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  • 数据拟合
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    2018-10-06 10:07:56

    机器学习中避免不了的会接触到数据拟合的概念,那么什么是数据拟合呢?

    数据拟合又称曲线拟合,俗称拉曲线,是一种把现有数据透过数学方法来代入一条数式的表示方式。科学和工程问题可以通过诸如采样、实验等方法获得若干离散的数据,根据这些数据,我们往往希望得到一个连续的函数(也就是曲线)或者更加密集的离散方程与已知数据相吻合,这过程就叫做拟合(fitting)。

    下面是我做的一个数据拟合的操作,且不论我用的是什么数据,这里只是谈论用fit对数据拟合产生的结果,并针对结果中的参数进行必要的解析。

    regr.fit(data[:,0].reshape(-1,1),data[:,1])
    
    
    
    #运行结果如下:
    LogisticRegression(C=1.0, class_weight=None, dual=False, fit_intercept=True,
              intercept_scaling=1, max_iter=100, multi_class='ovr', n_jobs=1,
              penalty='l2', random_state=None, solver='liblinear', tol=0.0001,
              verbose=0, warm_start=False)

    首先,运行结果表示,数据符合逻辑回归曲线。,那什么是逻辑回归,可以参考逻辑回归

    参数说明如下:

    • penalty:惩罚项,str类型,可选参数为l1和l2,默认为l2。用于指定惩罚项中使用的规范。newton-cg、sag和lbfgs求解算法只支持L2规范。L1规范假设的是模型的参数满足拉普拉斯分布((L1范数)指的是权重参数W的各项元素绝对值之和),L2假设的模型参数满足高斯分布(权重参数W的各项元素的平方和的开方),所谓的范式就是加上对参数的约束,使得模型更不会过拟合(overfit),但是如果要说是不是加了约束就会好,这个没有人能回答,只能说,加约束的情况下,理论上应该可以获得泛化能力更强的结果。
    • dual:对偶或原始方法,bool类型,默认为False。对偶方法只用在求解线性多核(liblinear)的L2惩罚项上。当样本数量>样本特征的时候,dual通常设置为False。
    • tol:停止求解的标准,float类型,默认为1e-4。就是求解到多少的时候,停止,认为已经求出最优解。
    • c:正则化系数λ的倒数,float类型,默认为1.0。必须是正浮点型数。像SVM一样,越小的数值表示越强的正则化。
    • fit_intercept:是否存在截距或偏差,bool类型,默认为True。
    • intercept_scaling:仅在正则化项为”liblinear”,且fit_intercept设置为True时有用。float类型,默认为1。
    • class_weight:用于标示分类模型中各种类型的权重,可以是一个字典或者’balanced’字符串,默认为不输入,也就是不考虑权重,即为None。如果选择输入的话,可以选择balanced让类库自己计算类型权重,或者自己输入各个类型的权重。举个例子,比如对于0,1的二元模型,我们可以定义class_weight={0:0.9,1:0.1},这样类型0的权重为90%,而类型1的权重为10%。如果class_weight选择balanced,那么类库会根据训练样本量来计算权重。某种类型样本量越多,则权重越低,样本量越少,则权重越高。当class_weight为balanced时,类权重计算方法如下:n_samples / (n_classes * np.bincount(y))。n_samples为样本数,n_classes为类别数量,np.bincount(y)会输出每个类的样本数,例如y=[1,0,0,1,1],则np.bincount(y)=[2,3]。
      • 那么class_weight有什么作用呢?
        • 在分类模型中,我们经常会遇到两类问题:
        • 第一种是误分类的代价很高。比如对合法用户和非法用户进行分类,将非法用户分类为合法用户的代价很高,我们宁愿将合法用户分类为非法用户,这时可以人工再甄别,但是却不愿将非法用户分类为合法用户。这时,我们可以适当提高非法用户的权重。
        • 第二种是样本是高度失衡的,比如我们有合法用户和非法用户的二元样本数据10000条,里面合法用户有9995条,非法用户只有5条,如果我们不考虑权重,则我们可以将所有的测试集都预测为合法用户,这样预测准确率理论上有99.95%,但是却没有任何意义。这时,我们可以选择balanced,让类库自动提高非法用户样本的权重。提高了某种分类的权重,相比不考虑权重,会有更多的样本分类划分到高权重的类别,从而可以解决上面两类问题。
    • random_state:随机数种子,int类型,可选参数,默认为无,仅在正则化优化算法为sag,liblinear时有用。
    • solver:优化算法选择参数,只有五个可选参数,即newton-cg,lbfgs,liblinear,sag,saga。默认为liblinear。solver参数决定了我们对逻辑回归损失函数的优化方法,有四种算法可以选择,分别是:
      • liblinear:使用了开源的liblinear库实现,内部使用了坐标轴下降法来迭代优化损失函数。
      • lbfgs:拟牛顿法的一种,利用损失函数二阶导数矩阵即海森矩阵来迭代优化损失函数。
      • newton-cg:也是牛顿法家族的一种,利用损失函数二阶导数矩阵即海森矩阵来迭代优化损失函数。
      • sag:即随机平均梯度下降,是梯度下降法的变种,和普通梯度下降法的区别是每次迭代仅仅用一部分的样本来计算梯度,适合于样本数据多的时候。
      • saga:线性收敛的随机优化算法的的变重。
      • 总结
        • liblinear适用于小数据集,而sag和saga适用于大数据集因为速度更快。
        • 对于多分类问题,只有newton-cg,sag,saga和lbfgs能够处理多项损失,而liblinear受限于一对剩余(OvR)。啥意思,就是用liblinear的时候,如果是多分类问题,得先把一种类别作为一个类别,剩余的所有类别作为另外一个类别。一次类推,遍历所有类别,进行分类。
        • newton-cg,sag和lbfgs这三种优化算法时都需要损失函数的一阶或者二阶连续导数,因此不能用于没有连续导数的L1正则化,只能用于L2正则化。而liblinear和saga通吃L1正则化和L2正则化。
        • 同时,sag每次仅仅使用了部分样本进行梯度迭代,所以当样本量少的时候不要选择它,而如果样本量非常大,比如大于10万,sag是第一选择。但是sag不能用于L1正则化,所以当你有大量的样本,又需要L1正则化的话就要自己做取舍了。要么通过对样本采样来降低样本量,要么回到L2正则化。
        • 从上面的描述,大家可能觉得,既然newton-cg, lbfgs和sag这么多限制,如果不是大样本,我们选择liblinear不就行了嘛!错,因为liblinear也有自己的弱点!我们知道,逻辑回归有二元逻辑回归和多元逻辑回归。对于多元逻辑回归常见的有one-vs-rest(OvR)和many-vs-many(MvM)两种。而MvM一般比OvR分类相对准确一些。郁闷的是liblinear只支持OvR,不支持MvM,这样如果我们需要相对精确的多元逻辑回归时,就不能选择liblinear了。也意味着如果我们需要相对精确的多元逻辑回归不能使用L1正则化了。
    • max_iter:算法收敛最大迭代次数,int类型,默认为10。仅在正则化优化算法为newton-cg, sag和lbfgs才有用,算法收敛的最大迭代次数。
    • multi_class:分类方式选择参数,str类型,可选参数为ovr和multinomial,默认为ovr。ovr即前面提到的one-vs-rest(OvR),而multinomial即前面提到的many-vs-many(MvM)。如果是二元逻辑回归,ovr和multinomial并没有任何区别,区别主要在多元逻辑回归上。
      • OvR和MvM有什么不同*?*
        • OvR的思想很简单,无论你是多少元逻辑回归,我们都可以看做二元逻辑回归。具体做法是,对于第K类的分类决策,我们把所有第K类的样本作为正例,除了第K类样本以外的所有样本都作为负例,然后在上面做二元逻辑回归,得到第K类的分类模型。其他类的分类模型获得以此类推。
        • MvM则相对复杂,这里举MvM的特例one-vs-one(OvO)作讲解。如果模型有T类,我们每次在所有的T类样本里面选择两类样本出来,不妨记为T1类和T2类,把所有的输出为T1和T2的样本放在一起,把T1作为正例,T2作为负例,进行二元逻辑回归,得到模型参数。我们一共需要T(T-1)/2次分类。
        • 可以看出OvR相对简单,但分类效果相对略差(这里指大多数样本分布情况,某些样本分布下OvR可能更好)。而MvM分类相对精确,但是分类速度没有OvR快。如果选择了ovr,则4种损失函数的优化方法liblinear,newton-cg,lbfgs和sag都可以选择。但是如果选择了multinomial,则只能选择newton-cg, lbfgs和sag了。
    • verbose:日志冗长度,int类型。默认为0。就是不输出训练过程,1的时候偶尔输出结果,大于1,对于每个子模型都输出。
    • warm_start:热启动参数,bool类型。默认为False。如果为True,则下一次训练是以追加树的形式进行(重新使用上一次的调用作为初始化)。
    • n_jobs:并行数。int类型,默认为1。1的时候,用CPU的一个内核运行程序,2的时候,用CPU的2个内核运行程序。为-1的时候,用所有CPU的内核运行程序。

    总结:

    • 优点:实现简单,易于理解和实现;计算代价不高,速度很快,存储资源低。
    • 缺点:容易欠拟合,分类精度可能不高。
    • 其他
      • Logistic回归的目的是寻找一个非线性函数Sigmoid的最佳拟合参数,求解过程可以由最优化算法完成。
      • 改进的一些最优化算法,比如sag。它可以在新数据到来时就完成参数更新,而不需要重新读取整个数据集来进行批量处理。
      • 机器学习的一个重要问题就是如何处理缺失数据。这个问题没有标准答案,取决于实际应用中的需求。现有一些解决方案,每种方案都各有优缺点。
      • 我们需要根据数据的情况,这是Sklearn的参数,以期达到更好的分类效果。

    关于参数的说明参考了名为燕山之边的博客,这里表示感谢!

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    数据插值

    在图像处理领域,图像的放缩、去畸变、旋转会用到插值;在机器学习、深度学习等领域,面对样本较少的情况时同样会用到插值。当我们进行数据分析时,遇到数据量小、样本点不足的情况,这时就需要利用插值。从定义的角度出发,在给定离散点的基础上,通过插值算法得到一条经过所有n个离散点的曲线,根据曲线信息以及插值点信息来获取插值点的坐标,而插值的作用在于根据现有数据样本点增加样本数据量,其本质是获取新的数据点坐标信息。

    数据拟合

    根据测试数据建立数学模型,是工程中最为常见的拟合问题。数据拟合的意义在于:可实现针对测试数据的精确或最佳逼近、量化总体趋势并支持预测分析,通过拟合模型可以滤除噪声数据,同时支持数据点估值以及极值或最值寻优。

    在MWORKS.Syslab中,数据插值的使用步骤为:数据插值预处理→创建插值模型函数→提取插值数据→图形可视化。具体操作如下:

    ◎  数据插值预处理

    首先准备原始数据,生成9个数据以及内插xt1和外插xte的点位。

    xs = 1:9
    ys = [19.21 , 18.15 , 15.36 , 18.10 , 16.89 , 11.32 , 7.45 , 5.24 , 7.01]
    
    xt1 = 1:0.01:9 #插值点
    xte = 0:0.01:10 #外插点
     
    

    ◎  创建插值模型函数

    根据已有数据和选取方法创建插值模型函数。在Syslab中利用interpolate等函数和已知样本数据,创建插值模型函数,其代码如下所示:

    # 最邻近样条插值
    itp1_Ntp = ConstantInterpolation(xs,ys)
    # 线性样条插值
    itp1_linear = LinearInterpolation(xs,ys)
    # 调用interpolate插值函数并设置插值模式inerpmode
    itp1_spl2 = interpolate(ys,BSpline(Quadratic(Natural(OnGrid())))) 
    # 调用CubicSplineInterpolation样条插值函数并设置插值类型为外插
    itp1_spl3 = CubicSplineInterpolation(xs,ys,extrapolation_bc=Line())
     
    

    对于更高的插值度数(特别是二次样条插值及以上),样条插值无法计算出数据集边缘附近的值,并且需要求解方程组以获得插值系数,为此必须指定用于闭合系统的边界条件,即Flat、Line、Natual、Free、Periodic和Reflect。在指定边界条件时必须明确其适用对象,即作用在边界网格(OnGrid())还是应用在下一个(虚构的)网格点 (OnCell()) 中间的边缘点。

    边界条件

    Flat()

    将外推斜率设置为零。

    Line()

    使用恒定斜率进行外推。

    Periodic()

    应用于周期性边界条件。

    Reflect()

    应用于反射边界条件。

    Quadratic

    (bc::BoundaryCondition)

    表示对应的轴应该使用二次插值。

    边界条件适用对象

    OnGrid()

    表示边界条件适用于第一个和最后一个节点。

    OnCell()

    表示边界条件在第一个和最后一个节点之外应用半网格间距。

    (表1 边界条件与边界条件适用对象)

    所有上述概念各自在类型层次结构中都有一个表示,从根本上影响插值函数的行为。

    ◎  提取插值数据

    利用创建插值模型函数作用于目标点的x轴坐标,获取目标点的坐标点信息,提取数据。

    y_Ntp = itp1_Ntp(xt1)# 获取最邻近插值数据点
    y_linear = itp1_linear(xt1)# 获取线性样条插值数据点
    y_spl2 = itp1_spl2(xt1) # 获取二次样条插值数据点
    y_spl3 = itp1_spl3(xte) # 获取三次样条插值数据点
     
    

    ◎  图形可视化

    最后绘制结果图像,其代码如下:​​​​​​​

    #绘制插值结果图
    figure("样条插值")
    grid("on")
    hold("on")
    p1 = plot(xt1, y_Ntp, "k-") # 最邻近插值
    p2 = plot(xt1, y_linear, "r") # 线性插值
    p3 = plot(xt1, y_spl2, "b") # 二次插值
    p4 = plot(xte, y_spl3, "#00FF00") # 三次样条 S(3,2)
    p0 = plot(xs, ys, "o", markersize = 10, markeredgecolor = "b", markerfacecolor = "#FFFF00")
    legend(["最邻近样条插值", "线性样条插值", "二次样条插值", "三次样条插值(外插)", "原始数据"], fontsize = 10)
    xlabel("Xdata", fontsize = 10)
    ylabel("Value", fontsize = 10)
    title("一维样条插值", fontsize = 10)
    hold("off")

    插值方法的实现是根据原有数据进行插值后得到插值函数,输入自变量得到对应插值结果。Syslab为用户提供多项式插值、最邻近插值、线性插值、B样条插值、散点插值等多种方法。

    MWORKS.Syslab插值方法

    LinearInterpolation

    线性插值

    CubicSplineInterpolation

    三次样条插值

    Sinc_interpolate

    一维插值(FFT方法)

    ConstantInterpolation

    最邻近插值

    NewtonInterp

    牛顿插值

    LagrangeInterp

    拉格朗日插值

    interpolate

    可根据参数调整算法的插值函数

    Extrapolate

    可根据参数调整算法的外插函数

    在MWORKS.Syslab中,数据拟合的基本步骤为:数据预处理→模型定义→数据拟合→结果分析→图形可视化。以曲线拟合为例:

    ◎ 数据预处理

    对数据异常点进行清洗、消除,得到如下散点图:

    ◎ 模型定义

    定义目标曲线模型。

    fitting(a,b,x) = a*b*x^(b-1)*exp(-a*x^b)

    ◎  数据拟合

    调用WeibullFit函数对数据进行韦布尔拟合,得到目标模型的关键参数a,b。​​​​​​​

    # 韦布尔拟合
    a,b = WeibullFit(xdata,ydata)

    ◎  结果分析

    在曲线拟合中,计算误差平方和SSE,判断数据拟合效果。​​​​​​​

    # 计算误差平方和
    SSE1 = SSE(ydata,fitting.(a,b,xdata))

    ◎  图形可视化

        1.设置绘图点​​​​​​​

    xplot = LinRange(0.1,6,100)
    yplot = fitting.(a,b,xplot) # 获取拟合数据点以便绘图

        2.拟合结果绘图

    a = @sprintf("%0.4f",a)
    b = @sprintf("%0.4f",b)
    SSE1 = @sprintf("%0.4f",SSE1)
    figure("Weibull拟合")
    hold("on")
    plot(xdata,ydata,"o",markersize = 8,markerfacecolor = "#FFFF00",markeredgecolor = "k")
    title("Weibull拟合\n SSE:$SSE1  a = $a b = $b",fontsize = 10)
    xlabel("xdata",fontsize = 10)
    ylabel("value",fontsize = 10)
    plot(xplot,yplot,"r")
    legend(["原始数据","拟合曲线 y = a*b*x^(b-1)*exp(-a*x^b)"],fontsize = 10)
    grid("on")

    此外,Syslab还提供了二维拟合的算法和函数,示例如下:

    ◎ 数据预处理

    对数据异常点进行清洗、消除,得到如下散点图:

    ◎  模型定义

    根据模型关键参数,定义目标模型。

    fitting(x,y,a,b,c,d) = a*sin(x+b) + c*cos(y+d)

    ◎  数据拟合

    可选择自定义函数,使用自定义方法LM算法进行曲面拟合,得到模型的关键参数。​​​​​​​

    @variables x y z a b c d
    func = a*sin(x+b) + c*cos(y+d) # 自定义目标函数
    vars = getvariables2(func) # 获取变量
    p = LM2(func,X,Y,Z,[1,2,1,3]) # 调用LM2算法获取参数
    a,b,c,d = p # 参数赋值

    ◎ 结果分析

    计算曲面拟合误差平方和SSE,结果为142.6952954371209。​​​​​​​

    # 计算误差平方和
    SSE1 = SSE(xdata,fitting.(xdata,ydata,a,b,c,d))

    ◎  图形可视化

    拟合结果绘图。

    a = @sprintf("%0.2f",a)
    b = @sprintf("%0.2f",b)
    c = @sprintf("%0.2f",c)
    d = @sprintf("%0.2f",d)
    figure("自定义方程曲面拟合")
    surf(Xplot,Yplot,Zplot)
    hold("on")
    scatter3(X,Y,Z,filled = true,facecolors = "r",s = 20)
    title("自定义方程曲面拟合\n a = $a b = $b c = $c d = $d")
    xlabel("xdata")
    ylabel("ydata")
    zlabel("value")
    legend(["拟合曲面 z =  a*sin(x+b) + c*cos(y+d)" , "原始数据"])
    hold("off")

    数据拟合的实现是对数据集x,y进行指数拟合,从而获得固定表达式形式的曲线或自定义方程的关键参数。Syslab针对曲线拟合提供了线性拟合、指数拟合、对数拟合、幂拟合、多项式拟合、正弦拟合、韦布尔拟合、以及自定义方程曲线拟合。针对曲面拟合提供了二元多项式拟合以及自定义方程曲面拟合。

    MWORKS.Syslab数据拟合

    LinearFit

    线性拟合:得到的直线数学表达式为

    ExpFit

    指数拟合:获得的拟合曲线为

    LogFit

    对数拟合:获得的拟合曲线为

    PowerFit

    幂拟合:获得的拟合曲线为

     或 

    PolyFit

    多项式拟合:获得的拟合曲线为 

    RationalFit

    有理分式拟合:获得的拟合曲线为 

    SumofSineFit

    正弦拟合:获得的拟合曲线如下,其中正弦函数个数为n

    WeibollFit

    韦布尔拟合:获得的拟合曲线为

    LM

       自定义方程曲线拟合

    LM2

       自定义方程曲面拟合

    本文利用Syslab的基础数学库实现了对工程中几类典型的基于数据的插值与拟合,详细插值与拟合函数用法可参见Syslab基础数学库帮助文档。

    MWORKS.Syslab作为新一代高级科学计算环境,可以高效解决科学与工程中遇到的矩阵运算、数值求解、数据分析、信号处理、控制算法设计优化、机器学习与并行计算等问题,实现基于模型对现代信息物理融合系统(CPS)开发的全流程支撑。

    同元软控为用户提供免费版本的MWORKS.Syslab,欢迎大家前往同元软控官网自行下载。

    下载地址:www.tongyuan.cc/download

    点击查看原文:Syslab使用攻略 | 数据插值与数据拟合Syslab基础数学库实现了工程中基于数据的插值与拟合https://mp.weixin.qq.com/s/KPhPqGrl3x5WjFzsXy4rUg

    展开全文
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