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  • 无穷范数
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    2019-04-03 15:28:16
    其这里实就是规定的范数函数的p值。
    
    
    
    这里的无穷和1,就是取的不同p值。
    
    
    
    
    0范数——向量中非0的元素的个数
     1范数,为绝对值之和。
    2范数,就是通常意义上的模。即距离。
    无穷范数——向量中最大元素的绝对值。
    对于无穷范数的说明:当p取无穷大时,
    
    
    
    最终只与元素中绝对值最大的元素有关了,即
    
    
    
    
    
    范数(norm)是数学中的一种基本概念,在泛函分析中,范数是一种定义在赋范线性空间中函数,满足相应条件后的函数都可以被称为范数。
    
    范数,是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域,范函是一个函数,其为矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。半范数反而可以为非零的矢量赋予零长度。
    举一个简单的例子,在二维的欧氏几何空间 R就可定义欧氏范数。在这个矢量空间中的元素常常在笛卡儿坐标系统中被画成一个从原点出发的带有箭头的有向线段。每一个矢量的欧氏范数就是有向线段的长度。
    其中定义范数的矢量空间就是赋范矢量空间。同样,其中定义半范数的矢量空间就是赋半范矢量空间。
    有限维空间上的范数具有良好的性质,主要体现在以下几个定理:
    性质1:对于有限维赋范线性空间的任何一组基,范数是元素(在这组基下)的坐标的连续函数。
    性质2(Minkowski定理):有限维线性空间的所有范数都等价。
    性质3(Cauchy收敛原理):实数域(或复数域)上的有限维线性空间(按任何范数)必定完备。
    性质4:有限维赋范线性空间中的序列按坐标收敛的充要条件是它按任何范数都收敛。
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    一、向量的范数

    首先定义一个向量为:a=[-5,6,8, -10]

    1.1 向量的1范数

    向量的各个元素的绝对值之和,上述向量a的1范数结果就是:29
    MATLAB代码实现为:norm(a,1)

    1.2 向量的2范数

    向量的每个元素的平方的和再开平方根,上述a的2范数结果就是:15
    MATLAB代码实现为:norm(a,2)

    1.3 向量的无穷范数

    1.向量的负无穷范数即:向量的所有元素的绝对值中最小的
    上述向量a的负无穷范数结果就是:5
    MATLAB代码实现为:norm(a,-inf)
    2…向量的正无穷范数即:向量的所有元素的绝对值中最大的
    上述向量a的负无穷范数结果就是:10
    MATLAB代码实现为:norm(a,inf)

    2.欧几里得范数 ==欧式长度 =L2 范数 ==L2距离

    Euclidean norm == Euclidean length == L2 norm == L2 distance == norm

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    注:范数的本质是距离,存在的意义是为了实现比较。
    比如,在一维实数集合中,我们随便取两个点4和9,我们知道9比4大,
    但是到了二维实数空间中,取两个点(1,1)和(0,3),这个时候我们就没办法比较它们之间的大小,因为它们不是可以比较的实数,于是我们引入范数这个概念,把我们的(1,1)和(0,3)通过范数分别映射到实数 和 3 ,这样我们就比较这两个点了。
    所以范数它其实是一个函数,它把不能比较的向量转换成可以比较的实数。】

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    若 x=\left [ x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n} \right ]^{T}

    则p范数 \left \| x \right \|_{p}=(\left | x_{1} \right |^{p}+\left | x_{2} \right |^{p}+\cdots +\left | x_{n} \right |^{p})^{1/p}

    p取0时对应0范数,p取1时对应1范数,p取无穷大时对应无穷范数

    \left \| x \right \|_{1}=\left | x_{1} \right |+\left | x_{2} \right |+\cdots +\left | x_{n} \right |

    \left \| x \right \|_{2}=(\left | x_{1} \right |^{2}+\left | x_{2} \right |^{2}+\cdots+\left | x_{n} \right |^{2})^{1/2}

    \left \| x \right \|_{\infty }=max(\left | x \right |_{1},\left | x \right |_{2},\cdots,\left | x \right |_{n})

    //LaTeX真的好用

    【注意理解】当p取无穷大时,最终只与元素中绝对值最大的元素有关,证明如下:

    展开全文
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