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  • 对于秩为n的mXn阶Loewne矩阵,通过构造分块矩阵并研究其三角分解,进而得到了求线性方程组的极小范数最小二乘解的快速算法,所需运算量为O(mn)+O(m2),而通常构造法方程组的方法所需运算量为0(m2n)+O(ms),...
  • 介绍了一种迭代法求不相容线性方程组Ax=b的最小二乘解。该方法描述了在某些条件下,存在一个实数ρ,只要复数γ满足0
  • 超定方程组的最小二乘解,采用列主高斯消元求解线性方程组进行求解。全C++编写,供各位参考!
  • 最小二乘解

    首先说明相容/不相容非齐次线性方程组的概念:

    (1)线性方程组Ax=b有解的充要条件是rank(A,b)=rank(A),此时称Ax=b是相容非齐次线性方程组;

    (2)对Ax=b,若rank(A,b)≠rank(A),即b∉R(A)时,方程组Ax=b无解,此时称Ax=b是不相容非齐次线性方程组。

    下面正式开始。


    问题:假设x1,x2,…,xn和y满足线性关系,其中x1,x2,…,xn是n个自变量,y是因变量,有y=a1x1+…+anxn,现在总共有s组观测值如下:
    在这里插入图片描述
    求a1,a2,…,an

    求解过程如下

    首先,可构建方程组如下:
    在这里插入图片描述
    上图是一个线性方程组,如果能求出解自然万事OK,但是极有可能是无解的。

    在无解的情况下只能求近似解,要求近似解的误差最小,可以构建函数:
    在这里插入图片描述
    求图中函数的最小值即可。

    常规做法是这样的:分别求偏导数并令其为0,即∂f/∂ai=0,其中i=1,2,…,n。最后便可以得到α12,…,αn

    下面使用内积空间的投影理论解决不相容方程组Ax=b的解。

    令s×n阶矩阵A为:
    在这里插入图片描述
    令A=[α12,…,αn],其中αi是A的第i个列向量,其中i=1,2,…,n,令向量b=[y1,y2,…,ys]T,x=[a1,a2,…,an]T,则有:Ax=b,即:
    在这里插入图片描述
    令W=span{α12,…,αn},αi∈Rs,其中i=1,2,…,n。则W是s维向量空间的一个线性子空间,b∈Rs。若向量b在子空间W内,则方程组有解,否则无解,即为如下情况:
    在这里插入图片描述
    设向量y=Ax,现在问题转换为求x使向量Ax与向量b之间的距离d(b,Ax)最小,易知在子空间W上的所有向量中,b在W上的投影与b之间的距离最小,于是,当y=Ax为b在W上的投影时的那个x,就是Ax=b的近似解。

    由于y现在是b在W上的投影,因此有b-y⊥W,即b-y⊥span{α12,…,αn},于是有b-y⊥αi,其中i=1,2,…,n。

    根据内积运算有:<αi,b-Ax>=0,于是<αi,b>=<αi,Ax>=<αi,a1α1+…+anαn>,因此<αi,b>=a1i1>+…+anin>,其中i=1,2,…,n。写成矩阵方程为:
    在这里插入图片描述
    即G(α12,…,αn)·x=G(α12,…,αn;b),其中G(α12,…,αn)为α12,…,αn的Gram矩阵,G(α12,…,αn;b)为α12,…,αn和b的协Gram矩阵。

    需要注意的是G(α12,…,αn)不一定可逆,因为A的列向量组α12,…,αn不一定是线性无关向量组,当是线性无关向量组时,直接令x=G(α12,…,αn)-1·G(α12,…,αn;b)即可得到解x=[a1,a2,…,an]T。但是无论是否为线性无关向量组,都有以下结论。

    首先对于方程组G(α12,…,αn)·x=G(α12,…,αn;b),即AHAx=AHb,这依然是一个非齐次的线性方程组,下面讨论该方程组的系数矩阵即AHA的秩与增广矩阵[AHA,AHb]的秩之间的关系。

    首先有rank(AHA)≤rank(AHA,AHb),毕竟增加列数可能使矩阵秩增加,对吧。

    而rank(AHA,AHb)=rank[AH(A,b)]≤rank(AH),毕竟两个矩阵乘积的秩小于等于任意其中一个矩阵的秩,对吧。

    在实数域上有rank(A)=rank(AH)=rank(AT)。

    下面的内容全部建立在实数域上,但是使用AH表示AT

    将方程组Ax=0的解x代入AHAx=0一定成立,即Ax=0的解一定是AHAx=0的解。若x是方程组AHAx=0的解,对AHAx=0左右两边同左乘向量x的共轭转置xH得到xHAHAx=0,则<Ax,Ax>=0,则有Ax=0,即AHAx=0的解一定是Ax=0的解。综上所述AHAx=0与Ax=0是同解方程组,则二者的系数矩阵的秩相同,即rank(AHA)=rank(A)。

    而rank(A)=rank(AH),则rank(AHA)=rank(A)=rank(AH)。又因为rank(AHA,AHb)=rank[AH(A,b)]≤rank(AH)=rank(A)=rank(AHA),即rank(AHA,AHb)≤rank(AHA),且有rank(AHA)≤rank(AHA,AHb),最后有rank(AHA)=rank(AHA,AHb)。

    即对于方程组AHAx=AHb来说,系数矩阵即AHA的秩与增广矩阵[AHA,AHb]的秩相等,因此方程组AHAx=AHb总有解,即方程组G(α12,…,αn)·x=G(α12,…,αn;b)总有解,这个方程组的任意一个解α都是方程组Ax=b的近似解,这样便解决了博文开头的问题。

    如果能求得比较好的解就更好了,那什么样的解是比较好的呢?

    (1)对于相容的方程,称相容方程组Ax=b的所有解x中模(2-范数)最小的解是Ax=b的最小模解,其中x的2-范数是||x||=sqrt(xHx)。

    (2)对于不相容的方程,也希望有方程的“解”,并要求所得到的“解”是方程组的最小二乘解最佳最小二乘解。下面对最小二乘解与最佳最小二乘解进行解释。

    设A∈Cm×n,b∈Cm,n维列向量x0满足对于任何一个n维列向量x,都有||Ax0-b||2 ≤||Ax-b||2,则称x0是方程组Ax=b的一个最小二乘解。若μ是最小二乘解,如果对于任一个最小二乘解x0,都有不等式||μ||≤||x0||,则称μ是最佳最小二乘解或者最小范数最小二乘解

    定理:设A∈Cm×n,B∈Cn×m,则下列两个命题是等价的:

    (1) 对于任给b∈Cm,则x=Bb一定是Ax=b的最小二乘解;

    (2) (AB)H=AB,ABA=A。

    上述定理说明方程组Ax=b的最小二乘解是x=Bb,其中B是A的广义逆矩阵A-,且B需满足(AB)H=AB。

    最后需要指出,x=A+b是方程组Ax=b的最佳最小二乘解,其中A+是矩阵A的加号逆。


    总结:

    (1)对于相容非齐次线性方程组Ax=b,最好的解是最小模解。

    (2)对不相容非齐次线性方程组Ax=b,最好的解是最佳最小二乘解x=A+b。

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  • 根据解的存在情况,线性方程可以分为:有唯一解的恰定方程组,解不存在的超定方程组,有无穷多...对于超定方程,在MATLAB中,利用左除命令(x=A\b)来寻求它的最小二乘解;还可以用广义逆来求,即x=pinv(A),所得的解 不...

    根据解的存在情况,线性方程可以分为:

    有唯一解的恰定方程组, 解不存在的超定方程组, 有无穷多解的欠定方程组。

    对于方程组Ax=b,A为n×m矩阵,如果A列满秩,且n>m。则方程组没有精确解,此时称方程组为超定方程组。

    线性超定方程组经常遇到的问题是数

    据的曲线拟合。对于超定方程,在MATLAB中,利用左除命令(x=A\b)来寻求它的最小二乘解;

    还可以用广义逆来求,即x=pinv(A),所得的解 不一定满足Ax=b,x只是最小二乘意义上的解。

    左除的方法是建立在奇异值分解基础之上,由此获得的解最可靠;

    广义逆法是建立在对原超定方程直接进行

    householder变换的基础上,其算法可靠性稍逊与奇异值求解,但速度较快;

    独立方程个数大于独立的未知参数的个数的方程,称为超定方程,在matlab里面有三种方法求解,

    一是用伪逆法求解,x=pinv(A)*b,二是用左除法求解,x=A\b,三是用最小二乘法求解,

    x=lsqnonneg(A,b)

    (3)矩阵求逆

    行数和列数相等的矩阵称为方阵,只有方阵有逆矩阵。方阵的求逆函数为:

    B=inv(A)

    该函数返回方阵A的逆阵。如果A不是方阵或接近奇异的,则会给出警告信息。

    在实际应用中,很少显式的使用矩阵的逆。在MATLAB中不是使用逆阵x=inv(A)*B来求线性方程组Ax=B的解,

    而是使用矩阵除法运算x=A\B来求解。因为MATLAB设计求逆函数inv时,采用的是高斯消去法,而设计除法解线性方程组时,

    并不求逆,而是直接采用高斯消去法求解,有效的减小了残差,并提高了求解的速度。

    因此,MATLAB推荐尽量使用除法运算,少用求逆运算。

    (4)除法运算

    在线性代数中,只有矩阵的逆的定义,而没有矩阵除法的运算。而在MATLAB中,定义了矩阵的除法运算。

    矩阵除法的运算在MATLAB中是一个十分有用的运算。根据实际问题的需要,定义了两种除法命令:左除和右除。

    矩阵左除:

    C=A\B或C=mldivide(A,B)

    矩阵右除;

    C=A/B或C=mrdivide(A,B)

    通常矩阵左除不等于右除,

    如果A是方阵,A\B等效于A的逆阵左乘矩阵B。也就是inv(A)*B。

    如果A是一个n*n矩阵,B是一个n维列向量,或是有若干这样的列的矩阵,则A\B就是采用高斯消去法求得的方程AX=B的解。

    如果A接近奇异的,MATLAB将会给出警告信息。

    如果A是一个m*n矩阵,其中m不等于n,B是一个m维列向量,或是由若干这样的列的矩阵,

    则X=A\B是不定或超定方程组AX=B的最小二乘解。通过QR分解确定矩阵A的秩k,方程组的解X每一列最多只有k个非零元素。

    如果k

    matlab中关于左除的定义:

    mldivide(A,B) and the

    equivalent A\B perform

    matrix left division (back

    slash). A and B must

    be matrices that have the same number of rows,

    unless A is a scalar, in

    which case A\B performs

    element-wise division — that

    is, A\B = A.\B.

    If A is a square

    matrix, A\B is roughly

    the same as inv(A)*B, except it

    is computed in a different way. IfA is

    an n-by-n matrix

    and B is a column vector

    with n elements, or a

    matrix with several such columns, then X =

    A\B is the solution to the

    equation AX = B.

    A warning message is displayed

    if A is badly scaled or

    nearly singular.

    If A is

    an m-by-n matrix

    with m ~=

    n and B is

    a column vector

    with m components, or a

    matrix with several such columns, then X =

    A\B is the solution in the least squares

    sense to the under- or overdetermined system of

    equations AX = B.

    In other

    words, X minimizes norm(A*X

    - B), the length of the

    vector AX -B. The

    rank k of A is

    determined from the QR decomposition with column pivoting. The

    computed solution X has

    at most k nonzero

    elements per column. If k < n, this is

    usually not the same solution asx = pinv(A)*B, which

    returns a least squares solution.

    注:在不理解矩阵分解的条件下,使用左除求解超定方程的解。

    A*X=B, A:M*N, M>N, B-N*1;

    X=A\B;

    B/A大体等效于B*inv(A) (B右乘A的逆阵),但在计算方法上存在差异,更精确的,B/A=(AT\BT)T。

    输入:A=[1 2 3;4 5 7;4 7 9];B=[1 3 7;3 5 7;8 5 1];

    矩阵左除。输入:A\B

    显示:ans =

    -0.7500 -0.5000 -2.0000

    5.7500 -3.5000 -18.0000

    -3.2500 3.5000 15.0000

    矩阵右除。输入:A/B

    显示:ans =

    -0.0217 0.4565 -0.0435

    0.6522 0.3043 0.3043

    -0.5652 1.8696 -0.1304

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