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  • 条件概率密度传播——粒子滤波的一种特例.该算法成功的应用于视觉跟踪领域
  • 1. 条件概率密度 2. 条件概率密度求解示例1 3. 条件概率密度求解示例2 4. 条件概率密度求解示例3

     

    1. 条件概率密度

     

    2. 条件概率密度求解示例1

     

    3. 条件概率密度求解示例2

     

    4. 条件概率密度求解示例3

     

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  • 条件概率密度与条件均值

    万次阅读 2016-08-16 13:20:11
    笔者在研究室内定位算法的过程中,有一些论文出现了条件均值。比如x∼f(x)x\sim f(x),那么该变量的均值为 EX=∫+∞−∞xf(x)dx\begin{equation*} EX=\int_{-\infty }^{+\infty }{xf(x)dx} \end{equation*} 现在...

    笔者在研究室内定位算法的过程中,有一些论文出现了条件均值。比如 x ∼ f ( x ) x\sim f(x) xf(x),那么该变量的均值为
    E [ X ] = ∫ − ∞ + ∞ x f ( x ) d x \mathbb{E}[X]=\int_{-\infty }^{+\infty }{xf(x)dx} E[X]=+xf(x)dx
    现在需要求解 E [ X ∣ x > a ] \mathbb{E}\left[ X|x>a \right] E[Xx>a]。我们将条件均值进行展开
    E [ X ∣ x > a ] = ∫ − ∞ + ∞ x f ( x ∣ x > a ) d x \mathbb{E}\left[ X|x>a \right]=\int_{-\infty }^{+\infty }{xf(x|x>a)dx} E[Xx>a]=+xf(xx>a)dx
    从公式中可以看出,欲求条件均值,需要先得到条件概率密度。笔者翻阅本科概率论的书,发现没有条件概率的求法。那么如何求条件均值呢?如何求条件概率密度呢?条件概率密度 f ( x ∣ x > a ) f(x|x>a) f(xx>a)表示,在 x > a x>a x>a的条件下, x x x的概率密度。下面通过一个例子进行详细推导。

    假设随机变量 X ∼ E ( λ ) X\sim E(\lambda ) XE(λ),即
    f ( x ) = { λ e − λ x x ≥ 0 0     x < 0 f(x)=\left\{ \begin{matrix} \lambda {{e}^{-\lambda x}} &x\ge 0 \\ 0\text{ }& \ x<0 \\ \end{matrix} \right. f(x)={λeλx0 x0 x<0
    概率密度的图像如下
    在这里插入图片描述

    求条件概率密度 f ( x ∣ x > a ) f(x|x>a) f(xx>a)

    【思路】
    通过求CDF(Cumulative distribution function) F ( x ∣ x > a ) F(x|x>a) F(xx>a)然后对CDF函数求导得到 f ( x ∣ x > a ) f(x|x>a) f(xx>a)。具体步骤如下:
    讨论:
       当 x < a x<a x<a时, F ( x , a ) = F ( x < a , x > a ) = 0 F(x,a)=F(x<a,x>a)=0 F(x,a)=F(x<a,x>a)=0
       当 x > a x>a x>a时, F ( x > a , a ) = F ( x > a , x > a ) = F ( x ) F(x>a,a)=F(x>a,x>a)=F(x) F(x>a,a)=F(x>a,x>a)=F(x)
      
    因此
    F ( x , x > a ) = { 1 − e − λ x x > a 0 x < a F(x,x>a)=\left\{ \begin{matrix} 1-{{e}^{-\lambda x}} & x>a \\ 0 & x<a \\ \end{matrix} \right. F(x,x>a)={1eλx0x>ax<a
    由贝叶斯公式
    F ( x ∣ x > a ) = F ( x , x > a ) F ( x > a ) F(x|x>a)=\frac{F(x,x>a)}{F(x>a)} F(xx>a)=F(x>a)F(x,x>a)
    得到 F ( x ∣ x > a ) F(x|x>a) F(xx>a)
    F ( x ∣ x > a ) = { 1 − e − λ x e − λ a x > a 0   x < a F(x|x>a)=\left\{ \begin{matrix} \frac{1-{{e}^{-\lambda x}}}{{{e}^{-\lambda a}}} & x>a \\ 0\text{ } & x<a \\ \end{matrix} \right. F(xx>a)={eλa1eλx0 x>ax<a
    求导得
    f ( x ∣ x > a ) = { λ e − λ x e − λ a x > a 0   x < a f(x|x>a)=\left\{ \begin{matrix} \frac{\lambda {{e}^{-\lambda x}}}{{{e}^{-\lambda a}}} & x>a \\ 0\text{ } &x<a \\ \end{matrix} \right. f(xx>a)={eλaλeλx0 x>ax<a
    【验证】
    ∫ a + ∞ λ e − λ x e − λ a d x = 1 e − λ a [ − 1 λ e − λ x ] ∣ + ∞ a = 1 \int_{a}^{+\infty }{\frac{\lambda {{e}^{-\lambda x}}}{{{e}^{-\lambda a}}}\text{d}x}=\frac{1}{{{e}^{-\lambda a}}}\left[ -\frac{1}{\lambda }{{e}^{-\lambda x}} \right]\left| \begin{matrix} +\infty \\ a \\ \end{matrix} \right.=1 a+eλaλeλxdx=eλa1[λ1eλx]+a=1

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  • 关于多元正态分布的条件概率密度

    万次阅读 2017-01-10 21:16:23
    原文来自师兄的博客:...多元正态分布的条件密度 多元正态分布多元正态分布的密度函数如下 : fx(x1,...xn)=1(2π)k√|Σ|1/2exp(−12(x−μ)TΣ−1(x−μ))f_{x}(x_{1},...x_{n})=\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{

    原文来师兄的博客:http://blog.csdn.net/wjj5881005/article/details/53320403

    多元正态分布

    多元正态分布的密度函数如下 :

    fx(x1,...xn)=1(2π)k|Σ|1/2exp(12(xμ)TΣ1(xμ)) (1)

    其对应的矩母函数(也有称动差函数)为 exp(μTt+12tTΣt) 。事实上,如果随机向量 [X1,...Xn] 满足上面的动差函数,那么我们就称随机向量 [X1,...Xn] 服从多元高斯分布。具体地证明可以看 这里

    多元正态分布的条件密度

    令随机向量 [X1,...Xn] 服从多元高斯分布。我们可以推导 Xn 在给定 X1,...Xn1 的情况下的条件密度分布:

    f(xn|x1,...,xn1)=f(x1,...,xn1,xn)f(x1,...,xn1) (2),

    其中
    f(x1,...,xn)=(2π)n/2(|Σ|1/2)exp[12ni,j=1yiqijyj] (3)

    其中 Q=Σ1=[qij],yi=xiμi 。同样地,
    f(x1,...,xn1)=f(x1,...,xn1,xn)dxn=B(y1,...,yn1) (4).

    现在我们将公式(3)中的求和项进行分解,有:
    ni,j=1yiqijyj=n1i,j=1yiqijyj+ynn1j=1qnjyj+ynn1i=1qinyj+qnny2n (5)

    因此,最终地条件分布具有如下的形式:
    A(y1,...,yn1)B(y1,...,yn1)exp[(Cy2n+D(y1,...,yn1)yn)] (6)

    其中 C=(1/2)qnn ,因为 Q=Σ1 是对称矩阵,所以 D=n1j=1qnjyj=n1i=1qinyi .(6)式又可以进一步表示称如下的式子:
    [ABexp(DD24C)]exp[(yn+D2C)2]1C (7)

    从公式(7)很容看出 xn 的条件密度函数是服从正态分布的。
    所以条件分布的方差为: 2Var(Xn|X1,...,Xn1)=1/C ,进一步有: Var(Xn|X1,...,Xn1)=12C=1qnn
    均值为:
    E(Xn|X1,...,Xn1)=μnD2C=μn1qnnn1j=1qnj(Xjμj)

    这就说明了再抽样多元正态分布时,如果已知了其它维度的随机变量值, 剩下的那个维度的随机变量也是服从正态分布

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  • >> x=0:6.5:650;y=0:27:2700;[x,y]=meshgrid(x,y);F=(669126134152931648175758856558983806728427764752864631.*35184372088832.^(1819./5000).*3695207012694701.^(3181./5000).*gamma(3181./5000))./642775...

    >> x=0:6.5:650;

    y=0:27:2700;

    [x,y]=meshgrid(x,y);

    F=(669126134152931648175758856558983806728427764752864631.*35184372088832.^(1819./5000).*3695207012694701.^(3181./5000).*gamma(3181./5000))./642775217703596110216784836936465041008881197513117134120550400000000 - (6958236045425711425937142107971.*x.^(8181./5000).*exp(-(35184372088832.*x)./3695207012694701))./20769187434139310514121985316880384 - (669126134152931648175758856558983806728427764752864631.*35184372088832.^(1819./5000).*3695207012694701.^(3181./5000).*igamma(3181./5000, (35184372088832.*x)./3695207012694701))./642775217703596110216784836936465041008881197513117134120550400000000 - (210350875244555689461099923470287270269860976030451.*x.^(3181/5000).*exp(-(35184372088832.*x)./3695207012694701))./3653754093327257295509212081790707549139831357440000;

    F2=(3926477034605225449330639167562343.*2.^(7551./10000).*5915813241695293.^(4243./10000).*gamma(4243./10000))/68056473384187692692674921486353642291200 - (23135028485772009482268672917525.*y.^(4243./10000).*exp(-(8796093022208.*y)./5915813241695293))./324518553658426726783156020576256 - (3926477034605225449330639167562343.*2.^(7551./10000).*5915813241695293.^(4243./10000).*igamma(4243./10000, (8796093022208.*y)./5915813241695293))./68056473384187692692674921486353642291200;

    Z=exp(-((-log(F)).^2.459821+(-log(F2)).^2.459821).^0.406534);

    surfl(x,y,Z)

    错误使用 surf (line 74)

    X、Y、Z 和 C 不能是复数。

    出错 surfl (line 133)

    h = surf(cax,x,y,z);

    1575703989(1).jpg

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    2019-12-7 15:37 上传

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  • 联合概率密度函数

    千次阅读 2020-09-25 15:24:46
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    2016-10-31 10:30:39
    在分类器设计过程中(尤其是贝叶斯分类器),需要在类的先验概率和类条件概率密度均已知的情况下,按照一定的决策规则确定判别函数和决策面。但是,在实际应用中,类条件概率密度通常是未知的。那么,当先验概率和类...
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    千次阅读 2018-10-09 20:33:20
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  • 概率密度函数估计简介

    千次阅读 2014-07-24 21:39:51
    在贝叶斯分类(这里有个简介:...但是,在实际应用中,类条件概率密度通常是未知的。那么,当先验概率和类条件概率密度都未知或者其中之一未知的情况下,该如何来进行类别判断呢?其实,只要我们能收集
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  • 如何简单理解概率分布函数和概率密度函数?

    万次阅读 多人点赞 2018-09-11 16:56:19
    本篇文章是在《应该如何理解概率分布函数和概率密度函数?》的基础上整理来的。非常感谢原作者。 目录 1先从离散型随机变量和连续性随机变量说起 2离散型随机变量的概率函数,概率分布和分布函数 2.1概率函数和...
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  • 在分类器设计过程中(尤其是贝叶斯分类器),需要在类的先验概率和类条件概率密度均已知的情况下,按照一定的决策规则确定判别函数和决策面。但是,在实际应用中,类条件概率密度通常是未知的。那么,当先验概率和类...
  • 理解概率密度函数

    万次阅读 多人点赞 2018-10-31 16:37:41
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  • 1.概率密度函数的估计方法参数估计:已知概率密度函数形式,用样本估计参数->最大似然估计+贝叶斯估计 在指定的一类函数中选择一个函数作为对位置函数的估计非参数估计:未知密度函数形式或不符合分布模型,用...
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  • 联合概率密度 P(A^B) 条件概率 从面积比例看出,P(A|B)等于B中A的面积(P(A^B))除以B的面积(P(B))。 乘法公式(乘积法则) 假如事件A与B相互独立,那么: 相互独立:表示两个事件互不影响。 互斥:...

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