极大似然估计
        以前多次接触过极大似然估计，但一直都不太明白到底什么原理，最近在看贝叶斯分类，对极大似然估计有了新的认识，总结如下：

贝叶斯决策
        首先来看贝叶斯分类，我们都知道经典的贝叶斯公式：

        其中：p(w)：为先验概率，表示每种类别分布的概率；：类条件概率，表示在某种类别前提下，某事发生的概率；而为后验概率，表示某事发生了，并且它属于某一类别的概率，有了这个后验概率，我们就可以对样本进行分类。后验概率越大，说明某事物属于这个类别的可能性越大，我们越有理由把它归到这个类别下。
        我们来看一个直观的例子：已知：在夏季，某公园男性穿凉鞋的概率为1/2，女性穿凉鞋的概率为2/3，并且该公园中男女比例通常为2:1，问题：若你在公园中随机遇到一个穿凉鞋的人，请问他的性别为男性或女性的概率分别为多少？
        从问题看，就是上面讲的，某事发生了，它属于某一类别的概率是多少？即后验概率。
        设：
        由已知可得：
        男性和女性穿凉鞋相互独立，所以
（若只考虑分类问题，只需要比较后验概率的大小，的取值并不重要）。
        由贝叶斯公式算出：

问题引出
        但是在实际问题中并不都是这样幸运的，我们能获得的数据可能只有有限数目的样本数据，而先验概率和类条件概率(各类的总体分布)都是未知的。根据仅有的样本数据进行分类时，一种可行的办法是我们需要先对先验概率和类条件概率进行估计，然后再套用贝叶斯分类器。
        先验概率的估计较简单，1、每个样本所属的自然状态都是已知的（有监督学习）；2、依靠经验；3、用训练样本中各类出现的频率估计。
        类条件概率的估计（非常难），原因包括：概率密度函数包含了一个随机变量的全部信息；样本数据可能不多；特征向量x的维度可能很大等等。总之要直接估计类条件概率的密度函数很难。解决的办法就是，把估计完全未知的概率密度转化为估计参数。这里就将概率密度估计问题转化为参数估计问题，极大似然估计就是一种参数估计方法。当然了，概率密度函数的选取很重要，模型正确，在样本区域无穷时，我们会得到较准确的估计值，如果模型都错了，那估计半天的参数，肯定也没啥意义了。

重要前提
        上面说到，参数估计问题只是实际问题求解过程中的一种简化方法（由于直接估计类条件概率密度函数很困难）。所以能够使用极大似然估计方法的样本必须需要满足一些前提假设。
        重要前提：训练样本的分布能代表样本的真实分布。每个样本集中的样本都是所谓独立同分布的随机变量 (iid条件)，且有充分的训练样本。

极大似然估计
        极大似然估计的原理，用一张图片来说明，如下图所示：

        总结起来，最大似然估计的目的就是：利用已知的样本结果，反推最有可能（最大概率）导致这样结果的参数值。
        原理：极大似然估计是建立在极大似然原理的基础上的一个统计方法，是概率论在统计学中的应用。极大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即：“模型已定，参数未知”。通过若干次试验，观察其结果，利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大，则称为极大似然估计。
        由于样本集中的样本都是独立同分布，可以只考虑一类样本集D，来估计参数向量θ。记已知的样本集为：

        似然函数（linkehood function）：联合概率密度函数称为相对于的θ的似然函数。

        如果是参数空间中能使似然函数最大的θ值，则应该是“最可能”的参数值，那么就是θ的极大似然估计量。它是样本集的函数，记作：


求解极大似然函数
        ML估计：求使得出现该组样本的概率最大的θ值。

         实际中为了便于分析，定义了对数似然函数：

        1. 未知参数只有一个（θ为标量）
        在似然函数满足连续、可微的正则条件下，极大似然估计量是下面微分方程的解：

        2.未知参数有多个（θ为向量）
        则θ可表示为具有S个分量的未知向量：

         记梯度算子：

         若似然函数满足连续可导的条件，则最大似然估计量就是如下方程的解。

         方程的解只是一个估计值，只有在样本数趋于无限多的时候，它才会接近于真实值。

极大似然估计的例子
        例1：设样本服从正态分布，则似然函数为：

        它的对数：

        求导，得方程组：

        联合解得：

        似然方程有唯一解：，而且它一定是最大值点，这是因为当或时，非负函数。于是U和的极大似然估计为。

        例2：设样本服从均匀分布[a, b]。则X的概率密度函数：

        对样本：

        很显然，L(a,b)作为a和b的二元函数是不连续的，这时不能用导数来求解。而必须从极大似然估计的定义出发，求L(a,b)的最大值，为使L(a,b)达到最大，b-a应该尽可能地小，但b又不能小于，否则，L(a,b)=0。类似地a不能大过，因此，a和b的极大似然估计：


总结
        求最大似然估计量的一般步骤：
        （1）写出似然函数；
        （2）对似然函数取对数，并整理；
        （3）求导数；
        （4）解似然方程。
        最大似然估计的特点：
        1.比其他估计方法更加简单；
        2.收敛性：无偏或者渐近无偏，当样本数目增加时，收敛性质会更好；
        3.如果假设的类条件概率模型正确，则通常能获得较好的结果。但如果假设模型出现偏差，将导致非常差的估计结果。

正态分布ML估计的Matlab实例：点击打开链接

导语

统计学中，我们经常能听到极大似然估计，或者最大似然估计，它是一种参数估计方法。在机器学习中，逻辑回归就是基于极大似然估计来计算的损失函数。那么，如何直观理解极大似然估计？

极大似然估计

极大似然估计（maximum likelihood estimation，MLE），顾名思义，“极大”意为“最有可能的”，“似然”意为“看起来像的”，“估计”的意思则可以理解为“就是这样的”。

所以，极大似然估计的直译就是：最有可能看起来像的，就是这样的。就是说，以最大概率为标准来判断结果，即叫做极大似然估计。 

比如，在你面前出现一个白人，你来判断这个人来自哪个大洲。不出意外，你会说来自欧洲。这便是用了极大似然估计的思想。

了解了极大似然估计的思想，下面通过一个具体的例子来说明极大似然估计的求解步骤。

一个黑色箱子里有黑白两种颜色的小球若干，每次有放回的拿球，已知拿到白球的概率范围是[0.2，0.8]，拿三次结果两黑一白，问取出白球概率的极大似然估计是多少。

假设取球事件为y，取到白球时y=1，概率为p，取到黑球时y=0，概率为1-p。由于是独立事件，三次拿球两黑一白的概率可以表示为：P(y = 0 | p)P(y = 0 | p)P(y = 1 | p) = (1 - p)(1 - p)p = p^3 - 2p^2 + p。白球的极大似然估计就是求使得这个概率表达式最大的p值。 

既然是求最大值，而上式可导，我们便可对上式进行求导并令其等于0，3p^2 - 4p + 1 = 0。求此一元二次方程的根得p=1/3或p=1，可知原式在[0, 1/3]区间单调递增，在[1/3, 1]区间单调递减。因此，在白球概率范围[0.2，0.8]内，当p=1/3时表达式取得最大值，取得白球的概率的极大似然估计为1/3。

至此，便可总结出极大似然估计的求解步骤：

1> 写出概率表达式，也可以叫似然表达式，似然表达式值的大小意味着这组样本值出现的可能性的大小。 

2> 对似然表达式求导，必要时进行预处理，比如取对数（逻辑回归需要），令其导数为0，得到似然方程。 

3> 求解似然方程，得到的参数解即为极大似然估计的解。 



这里多说一句，由于逻辑回归的ω向量可能很大，参数个数很多，导致方程组很难求解。在这种情况下，一般通过梯度上升法逼近真实的ω，这也符合机器学习的训练过程。

以上便是极大似然估计的讲解，敬请期待下节内容。

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原文：https://blog.csdn.net/cherrylvlei/article/details/81608236