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  • 标准正交基

    千次阅读 2020-01-10 12:01:06
    首先,介绍内积运算,然后通过内积定义正交关系; 其次,解释了什么是基以及什么是标准正交基; 接着,阐明了标准正交基的一些便利性; 最后,给出如何由一组基得到一组标准正交基

    一、由内积到正交

      为了说明正交,需要先解释一种运算——内积. 内积的概念源自内积空间,下文摘自我的另一篇博客 内积空间(传送门)
      设 V \small V V 是实线性空间,在其上定义了内积运算 (   ⋅   , ⋅   ) : V × V → R \small (\,\cdot\,,\cdot\,): V \times V \to R (,):V×VR,即 ∀    x , y ∈ V \small \forall \;x,y \in V x,yV,在 R \small R R 中都有唯一的一个元素 δ \delta δ 与之对应,称为 x x x y y y内积,记为 ( x , y ) (x,y) (x,y),且满足以下性质:

    1.   ( x , x ) ≥ 0 1.\,(x,x)\geq0 1.(x,x)0    ( x , x ) = 0 ⇔ x = 0 \,\, (x,x)=0 \Leftrightarrow x=0 (x,x)=0x=0
    2.   ( x , y ) = ( y , x ) 2.\,(x,y)=(y,x) 2.(x,y)=(y,x)
    3.   ( a x , z ) = a ( x , z ) ,   a ∈ R 3.\,(ax,z)=a(x,z),\,a \in R 3.(ax,z)=a(x,z),aR
    4.   ( x + y , z ) = ( x , z ) + ( y , z ) 4.\,(x+y,z)=(x,z)+(y,z) 4.(x+y,z)=(x,z)+(y,z)

    则称 ( V , (   ⋅   , ⋅   ) ) \small (V,(\,\cdot\,,\cdot\,)) (V,(,))内积空间.

      可以通过内积来定义向量的长度: ∥ x ∥ = ( x , x ) \small \Vert x\Vert=\sqrt{(x,x)} x=(x,x) ∥ k x ∥ = ( k x , k x ) = k 2 ( x , x ) = k ∥ x ∥ \small \Vert kx\Vert=\sqrt{(kx,kx)}=\sqrt{k^2(x,x)}=k \Vert x\Vert kx=(kx,kx) =k2(x,x) =kx.

      长度为 1 的向量称为单位向量. 若 α ≠ 0 \small \alpha\neq0 α=0,则由上述性质,向量 α ∥ α ∥ \displaystyle\frac{\alpha}{\Vert \alpha \Vert} αα 就是一个单位向量,这一操作通常称为将 α \alpha α 单位化.

      在解析几何中,向量 α , β \small \alpha, \beta α,β 的夹角 ⟨ α , β ⟩ \small \langle \alpha,\beta \rangle α,β 的余弦可以通过内积来表示:
    c o s   ⟨ α , β ⟩ = ( α , β ) ∥ α ∥ ∥ β ∥ cos\,\langle \alpha,\beta \rangle=\frac{(\alpha,\beta)}{\Vert \alpha\Vert\Vert \beta\Vert} cosα,β=αβ(α,β)为了在一般的内积空间中利用上述公式引入夹角的概念,需要先证明一个重要的不等式:
    柯西-施瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式 (证明传送门) ( α , β ) 2 ≤ ( α , α ) ( β , β ) (\alpha,\beta) ^2\leq(\alpha,\alpha)(\beta,\beta) (α,β)2(α,α)(β,β) ( α , β ) ≤ ∥ α ∥ ∥ β ∥ \small (\alpha,\beta)\leq\Vert \alpha\Vert\Vert \beta\Vert (α,β)αβ. 若 α , β \small \alpha,\beta α,β 均不为零向量,则有 ∣ ( α , β ) ∣ ∥ α ∥ ∥ β ∥ ≤ 1 \displaystyle\frac{\vert(\alpha,\beta)\vert}{\Vert \alpha\Vert\Vert \beta\Vert}\leq1 αβ(α,β)1,由此可定义两者间的夹角 ⟨ α , β ⟩ = a r c c o s ( α , β ) ∥ α ∥ ∥ β ∥ , 0 ≤ ⟨ α , β ⟩ ≤ π . \langle \alpha,\beta \rangle=arccos\frac{(\alpha,\beta)}{\Vert \alpha\Vert\Vert \beta\Vert},0\leq \langle \alpha,\beta \rangle\leq\pi. α,β=arccosαβ(α,β),0α,βπ.则内积也可以表示为: ( α , β ) = ∥ α ∥ ∥ β ∥ c o s ⟨ α , β ⟩ (\alpha, \beta) = \Vert \alpha\Vert\Vert \beta\Vert cos\langle \alpha,\beta \rangle (α,β)=αβcosα,β.

      若两向量 α , β \small \alpha, \beta α,β 的内积 ( α , β ) \small (\alpha, \beta) (α,β) 为零,则称两向量相互正交.

      显然这里正交的定义与解析几何中向量垂直的说法是一致的,即两个非零向量相互正交的充要条件是它们的夹角为 π / 2 \small \pi/2 π/2.

    二、标准正交基

      基的概念源于线性空间. 若在线性空间 V \small V V 中有 n n n线性无关的向量 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_1, \alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,,αn,且 V \small V V 中任一向量都能由它们线性表出,则 V \small V V 的维数为 n n n,并称 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_1, \alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,,αn V \small V V 的一组.

      在内积空间 V \small V V 中的一组非零向量,若它们两两相互正交,则称为一正交向量组.
      正交向量组 α 1 , α 2 , ⋯   , α m \alpha_1, \alpha_2,\cdots,\alpha_m α1,α2,,αm 一定线性无关,简单证明一下:

       设 k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m = 0 k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m=0 k1α1+k2α2++kmαm=0
       两边同时对 α i \alpha_i αi 作内积,则由正交性,
       左边 = k i ( α i , α i ) =k_i(\alpha_i,\alpha_i) =ki(αi,αi),右边 = 0 =0 =0.
       又因为 ( α i , α i ) ≠ 0 (\alpha_i,\alpha_i)\neq 0 (αi,αi)=0,所以 k i = 0 , i = 1 , 2 , ⋯   , m k_i=0,i=1,2,\cdots,m ki=0,i=1,2,,m,故向量组线性无关.

      于是 n n n 维内积空间 V \small V V 中,含有 n n n 个向量的正交向量组线性无关,故形成一组基,称为正交基. 进一步,若每个向量的长度均为1,称为标准正交基.
      设 ϵ 1 , ϵ 2 , ⋯   , ϵ n \epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n ϵ1,ϵ2,,ϵn 为一组标准正交基,由定义,有
    ( ϵ i , ϵ j ) = δ i j = { 1 ,    i = j 0 ,    i ≠ j (\epsilon_i,\epsilon_j)=\delta_{ij}=\begin{cases} 1, \,\, i=j \\ 0, \,\, i\neq j \end{cases} (ϵi,ϵj)=δij={1,i=j0,i=j

    三、标准正交基,你有什么好?

    标准正交基下:

    1. 向量的坐标可以通过内积简单求出
      ϵ 1 , ϵ 2 , ⋯   , ϵ n \epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n ϵ1,ϵ2,,ϵn V \small V V 中的一组标准正交基, α \alpha α V \small V V 中任一向量,则 α \alpha α 可以表示成 ϵ 1 , ϵ 2 , ⋯   , ϵ n \epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n ϵ1,ϵ2,,ϵn 的线性组合,即 α = k 1 ϵ 1 + k 2 ϵ 2 + ⋯ + k n ϵ n \alpha=k_1\epsilon_1+k_2\epsilon_2+\cdots+k_n\epsilon_n α=k1ϵ1+k2ϵ2++knϵn所谓坐标,就是向量在基下的组合系数,即 ( k 1 , k 2 , ⋯   , k n ) (k_1,k_2,\cdots,k_n) (k1,k2,,kn)
      ϵ \epsilon ϵ 与等式两边作内积,由标准正交基的定义,有 ( α , ϵ i ) = k i ,   i = 1 , 2 , ⋯   , n (\alpha,\epsilon_i)=k_i,\,i=1,2,\cdots,n (α,ϵi)=ki,i=1,2,,n,于是 α = ( α , ϵ 1 ) ϵ 1 + ( α , ϵ 2 ) ϵ 2 + ⋯ + ( α , ϵ n ) ϵ n . \alpha=(\alpha,\epsilon_1)\epsilon_1+(\alpha,\epsilon_2)\epsilon_2+\cdots+(\alpha,\epsilon_n)\epsilon_n. α=(α,ϵ1)ϵ1+(α,ϵ2)ϵ2++(α,ϵn)ϵn.

    2. 向量之间的内积可以通过坐标简单表示
      α = x 1 ϵ 1 + x 2 ϵ 2 + ⋯ + x n ϵ n β = y 1 ϵ 1 + y 2 ϵ 2 + ⋯ + y n ϵ n \begin{aligned}&\alpha=x_1\epsilon_1+x_2\epsilon_2+\cdots+x_n\epsilon_n\\&\beta=y_1\epsilon_1+y_2\epsilon_2+\cdots+y_n\epsilon_n\end{aligned} α=x1ϵ1+x2ϵ2++xnϵnβ=y1ϵ1+y2ϵ2++ynϵn ( α , β ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n (\alpha,\beta)=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n (α,β)=x1y1+x2y2++xnyn X = ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) T ,    Y = ( y 1 , y 2 , ⋯   , y n ) T \small X=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T,\;Y=(y_1,y_2,\cdots,y_n)^T X=(x1,x2,,xn)T,Y=(y1,y2,,yn)T
      ( α , β ) = X T Y = Y T X . \small (\alpha,\beta)=X^TY=Y^TX. (α,β)=XTY=YTX.
      这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系下坐标表达式的推广.

    四、由基到标准正交基

      既然标准正交基这么好,那怎样才能得到一组标准正交基. 下面这个定理给出了答案:

      对于 n n n 维内积空间任意一组基 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_1, \alpha_2,\cdots,\alpha_n α1,α2,,αn,都可以找到一组标准正交基 ϵ 1 , ϵ 2 , ⋯   , ϵ n \epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n ϵ1,ϵ2,,ϵn,使得
    s p a n { ϵ 1 , ϵ 2 , ⋯   , ϵ i } = s p a n { α 1 , α 2 , ⋯   , α i } , i = 1 , 2 , ⋯   , n span\lbrace\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_i\rbrace=span\lbrace\alpha_1, \alpha_2,\cdots,\alpha_i\rbrace,i=1,2,\cdots,n span{ϵ1,ϵ2,,ϵi}=span{α1,α2,,αi},i=1,2,,n ϵ 1 , ϵ 2 , ⋯   , ϵ i \epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_i ϵ1,ϵ2,,ϵi α 1 , α 2 , ⋯   , α i \alpha_1, \alpha_2,\cdots,\alpha_i α1,α2,,αi 可以互相线性表出.

    证明:
    采用构造的方式,给出标准正交基的求法,利用数学归纳法:

    (1) 首先,取 ϵ 1 = α 1 ∥ α 1 ∥ \epsilon_1=\frac{\alpha_1}{\Vert \alpha_1\Vert} ϵ1=α1α1 ϵ 1 \epsilon_1 ϵ1 α 1 \alpha_1 α1 可以相互线性表出,且为单位向量.

    (2) 其次,假设已经求出 ϵ 1 , ϵ 2 , ⋯   , ϵ m \epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_m ϵ1,ϵ2,,ϵm,它们是单位正交的,具有性质 s p a n { ϵ 1 , ϵ 2 , ⋯   , ϵ m } = s p a n { α 1 , α 2 , ⋯   , α m } span\lbrace\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_m\rbrace=span\lbrace\alpha_1, \alpha_2,\cdots,\alpha_m\rbrace span{ϵ1,ϵ2,,ϵm}=span{α1,α2,,αm}下一步,求 ϵ m + 1 \epsilon_{m+1} ϵm+1.

    ϵ m + 1 \epsilon_{m+1} ϵm+1 应当与 ϵ 1 , ϵ 2 , ⋯   , ϵ m \epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_m ϵ1,ϵ2,,ϵm 正交,且为单位向量,且需满足 s p a n { ϵ 1 , ϵ 2 , ⋯   , ϵ m + 1 } = s p a n { α 1 , α 2 , ⋯   , α m + 1 } span\lbrace\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_{m+1}\rbrace=span\lbrace\alpha_1, \alpha_2,\cdots,\alpha_{m+1}\rbrace span{ϵ1,ϵ2,,ϵm+1}=span{α1,α2,,αm+1} α m + 1 \alpha_{m+1} αm+1 可以由 ϵ 1 , ϵ 2 , ⋯   , ϵ m + 1 \epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_{m+1} ϵ1,ϵ2,,ϵm+1 线性表出.

    这样选取 ϵ m + 1 \epsilon_{m+1} ϵm+1
    α m + 1 \alpha_{m+1} αm+1 在空间 s p a n { ϵ 1 , ϵ 2 , ⋯   , ϵ m } span\lbrace\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_m\rbrace span{ϵ1,ϵ2,,ϵm} 上的投影,记作
    β = k 1 ϵ 1 + k 2 ϵ 2 + ⋯ + k m ϵ m \beta=k_1\epsilon_1+k_2\epsilon_2+\cdots+k_m\epsilon_m β=k1ϵ1+k2ϵ2++kmϵm α m + 1 − β \alpha_{m+1}-\beta αm+1β s p a n { ϵ 1 , ϵ 2 , ⋯   , ϵ m } span\lbrace\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_m\rbrace span{ϵ1,ϵ2,,ϵm} 正交,
    α m + 1 − β \alpha_{m+1}-\beta αm+1β ϵ i , i = 1 , 2 , ⋯   , m \epsilon_i,i=1,2,\cdots,m ϵi,i=1,2,,m 正交,即 ( α m + 1 − β , ϵ i ) = 0 (\alpha_{m+1}-\beta,\epsilon_i)=0 (αm+1β,ϵi)=0
    β = k 1 ϵ 1 + k 2 ϵ 2 + ⋯ + k m ϵ m \beta=k_1\epsilon_1+k_2\epsilon_2+\cdots+k_m\epsilon_m β=k1ϵ1+k2ϵ2++kmϵm 代入,整理得
    ( α m + 1 − k i ϵ i , ϵ i ) = 0 (\alpha_{m+1}-k_i\epsilon_i,\epsilon_i)=0 (αm+1kiϵi,ϵi)=0于是 k i = ( α m + 1 , ϵ i ) , i = 1 , 2 , ⋯   , m k_i=(\alpha_{m+1},\epsilon_i),i=1,2,\cdots,m ki=(αm+1,ϵi),i=1,2,,m,取 ϵ m + 1 = α m + 1 − β ∥ α m + 1 − β ∥ \epsilon_{m+1}=\frac{\alpha_{m+1}-\beta}{\Vert \alpha_{m+1}-\beta\Vert} ϵm+1=αm+1βαm+1β ϵ 1 , ϵ 2 , ⋯   , ϵ m + 1 \epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_{m+1} ϵ1,ϵ2,,ϵm+1 是一正交向量组,且满足
    s p a n { ϵ 1 , ϵ 2 , ⋯   , ϵ m + 1 } = s p a n { α 1 , α 2 , ⋯   , α m + 1 } span\lbrace\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_{m+1}\rbrace=span\lbrace\alpha_1, \alpha_2,\cdots,\alpha_{m+1}\rbrace span{ϵ1,ϵ2,,ϵm+1}=span{α1,α2,,αm+1} (3) 由归纳法原理,定理得证.

    注:由 s p a n { ϵ 1 , ϵ 2 , ⋯   , ϵ i } = s p a n { α 1 , α 2 , ⋯   , α i } , i = 1 , 2 , ⋯   , n span\lbrace\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_i\rbrace=span\lbrace\alpha_1, \alpha_2,\cdots,\alpha_i\rbrace,i=1,2,\cdots,n span{ϵ1,ϵ2,,ϵi}=span{α1,α2,,αi},i=1,2,,n 可知,两组基之间的过渡矩阵是上三角形的.


    参考文献:北京大学数学系前代数小组. 高等代数[M]. 第四版. 北京:高等教育出版社,2013.


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  • 本文在完成了“用信息工具改造线性代数课程”的教学改革基础上,针对通信原理课程教学中存在的问题,以调制内容为例提出了将线性代数中的标准正交基概念引入和将MATIAB用于教学的解决方案。
  • 关于标准正交基

    2013-05-06 00:02:36
    主要介绍标准正交基的定义,性质,定理及定理的证明
  • 标准正交基概述.pdf

    2021-04-28 03:12:41
    标准正交基概述2011~2012 学年春季学期课程论文课程名称:线性代数与几何论文题目: 探索欧氏空间的标准正交基作者姓名: XXX 学 号:XXX成 绩:论文评语:评阅人:评阅日期:注:后附课程论文的正文探索欧氏空间的标准正交...

    标准正交基概述

    2011~2012 学年春季学期课程论文

    课程名称:线性代数与几何

    论文题目: 探索欧氏空间的标准正交基

    作者姓名: XXX 学 号:XXX

    成 绩:

    论文评语:

    评阅人:

    评阅日期:

    注:后附课程论文的正文

    探索欧氏空间的标准正交基

    XXX XXX XXX

    摘要:本文首先给出欧式空间标准正交基的定义以及性质,然后给出将欧氏空间

    任意一组线性无关的向量组进行正交化和单位化的过程,最后给出两组标准正交

    基之间的关系。

    关键词:标准正交基 正交化 正交矩阵

    正文:

    一.引言:标准正交基对欧氏空间有特别的重要性.在欧氏空间中研究线性变换和二次型时,

    都需要通过标准正交基之间的过渡来简化线性变换和二次型矩阵.因此研究欧氏空间的标准

    正交基很有意义.

    二.定义:

    V V

    定义1:设 是欧氏空间.如果, V 满足条件() 0 ,就称 正交,记为   .

    V

    中由两两正交的非零向量组成的向量组 ,  称为正交向量组.如果 的基M 是正交向量

    1 k

    组,就称M 为正交基.由两两正交的单位向量组成的基称为标准正交基.

     ,   V    1,i 1, n

    定义2:I= 是欧氏空间 的一个基,且  ,又 ,

    1 n  , 0, i  j i

    i j

    V

    称I 为 的一个标准正交基.

    三.性质:

    V

    性质1.  ,  (1)为 的一个基,则以下条件等价:

    1 n

    1 (1)是标准正交基

    1 i j

    2  ,  

    i j 

    0 i  j

          

    3  V,  ,    ,     , 

    1 1 2 2 n n

    n

        

    4 , V, x , x , y , y , 则, x y

    1 n 1 n i i

    i 1

    证明:   当 时, ,   1,

    1  2 i j i i i

    当i  j 时由正交向量的定义易知 ,  0 ,命题成立.

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  • 什么是标准正交基

    千次阅读 2020-04-26 21:48:38
    基本概念 正交基: 两两正交的基。 标准正交基: 正交基模长为1。(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)是两两正交的且模长都是1,所以它们是标准正交基。 ...

    基本概念

    正交基:
        两两正交的基。
    标准正交基:
        正交基模长为1。(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)是两两正交的且模长都是1,所以它们是标准正交基。

     

     

     

     

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  • 长此以往,我们的大脑习惯了标准正交基上建立的直观,因此我们自己分析问题时,有时尽管不涉及长度和角度概念,我们也往往自然而然的建立标准正交基下的坐标系,从而进一步固化加强我们对标准正交基的直观和依赖。...

           坐标系的作用是什么?简单的一句换就是,坐标系是拿来描述点的位置的。要对事物进行分析,无论是量化分析还是抽象分析,需要首先对事物有一个清晰的定义,这样我们才能知道我们在说什么。对事物进行定义时,特别在涉及到点的位置描述时,我们往往就需要借坐标系,这样我们可以简单方便的对点的位置有一个清晰的描述。

           对点的描述是通过坐标给出,但是单纯的一个坐标没有任何意义,因为坐标只是一个有序对,其中的数字代表什么含义呢?只有当我们明确了基,我们才知道这个坐标在表达什么。甚至如果我们想知道某个坐标对应的绝对位置时,我们还需要明确原点的位置。所以,一个坐标系统两个要素就是:基和原点。如果我们知道了基,我们就知道两个点的相对位置,如果我们还知道原点,我们就还知道点的绝对位置。

           当对现实世界中的事物进行分析建模时,并且需要进行现实应用时,我们往往需要同时明确一个坐标系统的基和原点,因为我们需要知道现实世界中事物的绝对位置。当对非现实世界的事物进行抽象分析,我们往往只在乎点的相对位置,因此这时候原点的位置便不再重要,此时我们只需要随意定义一个原点位置即可。

           上面说过,一个坐标系统的两大要素是基和原点,原点我们已经说过了,剩下的还有基。我们定义一个坐标系统时,除了原点,还需要定义一组基,基是线性无关的,即无法相互线性表达,基的个数表示该坐标系统可以表达的空间维度。比如我们要表达一个二维平面上的点,那么基就是两个,表达三维空间的点,基就是三个,以此类推。但是对于一个n维的空间,有无数组基可以表达,只要这组基满足有k个且互不线性相关即可。

           既然一个空间上的点,有无数组基可以表达,那么为什么我们经常看到的都是标准正交基呢?对应的就是标准直角坐标系。为什么不是别的基,比如对于一个二维平面,为什么不是用夹角60度的两个基,而是互相垂直的两个基?事实上,对于某个问题,我们可以用无数组基来进行表达,然后分析,我们选定某组基的理由是这样选取,会方便简化我们的分析。因此,我们对于基的选取,不是因为只有这样选才能分析出结论,而是这样选取会简化我们分析而已,不同的基本质等价的。因此,对于不同的问题,我们并不总是选取标准正交基,选取什么样的基,取决于什么样的基可以更见的简化和方便我们的分析。

           因此,我们要回答为什么总是标准正交基这个问题,实际上就是要回答,什么情况下,标准正交基可以更加的简化我们的分析。首先,为什么总是标准化的基,这个问题很简单,因为标准化后的单位基可以让不同维度的坐标表示相同的尺度。我们分析问题时,往往不会刻意的区分不同维度上坐标的尺度,即我们不区分不同维度的特征,这样,不同维度上相同的坐标代表相同的尺度。除非特殊问题,不然我们不会给不同维度的基赋予不同尺度,这是在自己增加额外信息,自找麻烦。所以,为了更加的简化分析,我们往往赋予不同维度的基相同的尺度,因此直接对基进行标准化就可以达到这个目的,这也是为什么我们总是选取标准基的原因。

           标准基的问题已经解答了,接下来的问题是,什么样的情况下,同时选取正交基是更有助于简化分析的。答案就是,当我们的分析涉及到向量的距离长度和角度时,这时选取正交基是可以简化距离长度和角度的表达的。

           要定义长度,首先要定义内积。这里要注意的是,不能想当然的认为某个坐标,即某个向量的长度就是坐标的平方和开根号,这种计算长度的方式是在标准正交基和点积定义的基础上的。内积是线性空间中的一种操作,只需要满足几个条件即可,所以内积也可以有无数种具体的定义。但是需要合理的定义长度和角度时,就需要引入点积。点积是内积的一种,点积可以对我们直观的距离长度和角度有一个准确的定义。这里合理的定义长度和距离中的“合理”的意思是,可以准确描述表达我们现实三维空间中的距离和角度,因此,定义了点积的线性空间,就是我们所说的欧式空间。两个向量点积的定义如下所示:

    a\cdot b=|a||b|cos\theta

    其中的|a|表示向量a的模,即长度,\theta为向量a和b的夹角。根据此定义,只要我们定义了基的长度和夹角,那么所有向量的点积都可以计算出来。例如,向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),基为e1,e2,其为标准基,即基的模为1,基的夹角为\beta,则向量a和b的点积如下:
    a\cdot b=(x_{1}e_{1}+y_{1}e_{2})(x_{2}e_{1}+y_{2}e_{2})=x_{1}x_{2}e_{1}e_{1}+y_{1}y_{2}e_{2}e_{2}+(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})e_{1}e_{2}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})cos\beta

    根据点积定义,我们就可以定义任何向量a的长度为:

    |a|=\sqrt{a\cdot a}

    向量a和b的夹角\theta为:

    \theta = cos^{-1}\frac{a\cdot b}{|a||b|}

    这样,在点积的定义下,我们就有了长度距离和角度的概念。

           在点积的定义下,我们知道向量a和b的点积如下:

    a\cdot b=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})cos\beta

    其中(x1,y1)和(x2,y2)分别为向量a和b的坐标,\beta为基的夹角。由此可见,当夹角为90度,即基相互正交时,基夹角的余弦值为0,那么向量a和b的点积就可以简化为x1x2+y1y2,这正是我们在标准正交基下的向量点积形式。

           至此,我们可以知道,当需要定义距离长度和角度时,取标准正交基可以大大简化长度和角度的定义,从而有助于简化我们的分析。而我们所学的数学,除非学到较深的抽象代数等更加专业数学学科,一般情况下,我们分析的对象往往都需要涉及到距离和角度的概念,如果时现实应用问题,那更是如此,所以我们选取的也往往都是标准正交基。长此以往,我们的大脑习惯了标准正交基上建立的直观,因此我们自己分析问题时,有时尽管不涉及长度和角度概念,我们也往往自然而然的建立标准正交基下的坐标系,从而进一步固化加强我们对标准正交基的直观和依赖。

           通过本文,我们需要知道,标准正交基并不总是最恰当的,具体问题需要选取不同的坐标系统,目的是为了简化问题的分析。但是当问题的分析涉及长度距离和角度时(这是很常见的),那么我们就应该选取标准正交基,基笛卡尔坐标系统,这样可以简化长度和角度的表达,从而简化分析。

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  • 第十章 正交基和标准正交基

    千次阅读 2020-02-11 14:59:59
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  • 标准正交基的一种直观解释

    千次阅读 2019-05-31 22:39:13
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  • 标准正交基_百度百科

    千次阅读 2020-08-29 14:02:41
    https://m.baidu.com/sf_bk/item/%E5%9F%BA/16246650?bk_fr=chain_summary&timestamp=1592576502534
  • 正交性、标准正交基和投影正交基与标准正交基一维投影高维投影和Gram-Schmidt过程三维空间四维及以上空间实现Gram-Schmidt过程相关话题标准正交基的性质 正交基与标准正交基 一个nnn维空间中任何一组线性无关的向量...
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  • 欧几里得空间——标准正交基

    千次阅读 2019-06-09 17:41:33
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  • 1.标准正交基2.正交矩阵3.正交变换4.正交矩阵 举例5.正交变换 举例(end)
  • 正交定义 正交例题 正交向量组 标准正交基 Schmidt正交化 例题
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  • 空间的基,自然基,标准正交基

    万次阅读 多人点赞 2018-12-17 10:43:31
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