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  • 普通正态分布如何转换到标准正态分布

    万次阅读 多人点赞 2019-01-13 22:32:16
    1.普通正态分布转换标准正态分布公式 我们知道正态分布是由两个参数μ\muμ与σ\sigmaσ确定的。对于任意一个服从N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)N(μ,σ2)分布的随机变量XXX,经过下面的变换以后都可以转化为μ=0,σ=1\...

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    1.普通正态分布转换标准正态分布公式

    我们知道正态分布是由两个参数μ\muσ\sigma确定的。对于任意一个服从N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)分布的随机变量XX,经过下面的变换以后都可以转化为μ=0,σ=1\mu=0, \sigma=1的标准正态分布(standard normal distribution)。转换公式为:
    z=Xμσz = \frac{X-\mu}{\sigma}

    2.证明

    概率统计的教科书上一般直接给出这个结论,并没有给出相应的证明。下面我们来看看这个结论的推理过程。由于犯懒懒得编辑公式,直接贴截图,证明过程来自参考文献1。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    3.几个应用的例子

    3.1 假设公共汽车门的高度按成年男性碰头机会小于1%来设计。又假设成年男性的身高服从正态分布XN(170,62)X \sim N(170, 6^2),求问车门的高度hh为多少?

    假设身高这一随机变量为XX,那么要求的问题为:
    P(x>h)=0.01P(x > h) = 0.01

    1P(xh)=0.011 - P(x \le h) = 0.01
    P(xh)=0.99P(x \le h) = 0.99

    因为XN(170,62)X \sim N(170, 6^2), 所以h1706N(0,1)\frac{h - 170}{6} \sim N(0, 1)
    通过查标准正态分布表可知,P(z2.33)=0.99P(z \le 2.33) = 0.99
    因此h = 170 + 6 * 2.33 = 183.98cm

    3.2 现在有一个μ=10\mu = 10σ=2\sigma = 2的正态随机变量,求x在10与14之间的概率是多少?
    当x=10时,z = 0。当x=14时,z = (14-10)/2 = 2。于是,x在10与14之间的概率等价于标准正态分布中0与2之间的概率。
    P(0z2)=P(z2)P(z0)=0.4772P(0 \le z \le 2) = P(z \le 2) - P(z \le 0) = 0.4772

    参考文献:
    1.https://www.zhihu.com/question/30121927

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  • 正态分布(Normal distribution),又名高斯分布(Gaussian distribution)若随机...当μ = 0, σ = 1时的正态分布是标准正态分布。一维正态分布的概率密度函数为 正太分布 变换 标准正太分布(均值为0,标准差为1...

    正态分布(Normal distribution),又名高斯分布(Gaussian distribution)

    若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布,记为N(μ,σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置,其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0, σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

    一维正态分布的概率密度函数为

    50260fac395e8c77aa7a9362b2af204f.png

    正太分布 变换 标准正太分布(均值为0,标准差为1)

    其中

    为正太分布分均值,
    为正太分布的标准差,z为变化后的值。X为随意变量。
    例如:2,3,4的均值为3,方差为
    ,标准差为

    进行标准正太分布后,随机变量变为
    ,0,
    ,然后求均值为0,方差为1。

    正态分布的一些性质:

    (1)如果

    69ecc5041bd6ae543075cdc367e101f6.png

    且a与b是实数,那么

    114ddd705c2a6b62799700065a2a610c.png

    (2)如果

    4ab6af2af875c0b39999f475315914be.png

    9925283ab2d50dd854999f1e92acfdef.png

    统计独立的正态随机变量,那么:

    它们的和也满足正态分布

    78c6bfbee47566be64adfbbb00807c43.png

    它们的差也满足正态分布

    5889459b2c6ffe31d60b566122bf35a4.png

    U与V两者是相互独立的。(要求X与Y的方差相等)。

    期望和方差的性质:

    双木止月Tong:【“数”你好看】期望E(X)与方差Var(X)zhuanlan.zhihu.com
    410836550c435be19f1b2fdfc2463cf2.png
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  • 标准正态分布

    千次阅读 2019-11-06 10:56:57
    标准正态分布(英语:standard normal distribution, 德语Standardnormalverteilung),是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。期望值μ=0,即曲线图象对称轴...

    标准正态分布(英语:standard normal distribution, 德语Standardnormalverteilung),是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。期望值μ=0,即曲线图象对称轴为Y轴,标准差σ=1条件下的正态分布,记为N(0,1)。

    目录

    1. 定义
    2. 特点
    3. 标准偏差

    定义

    编辑

    正态分布正态分布

    标准正态分布又称为u分布,是以0为均数、以1为标准差的正态分布,记为N(0,1)。

    标准正态分布曲线下面积分布规律是:在-1.96~+1.96范围内曲线下的面积等于0.9500,在-2.58~+2.58范围内曲线下面积为0.9900。统计学家还制定了一张统计用表(自由度为∞时),借助该表就可以估计出某些特殊u1和u2值范围内的曲线下面积。

    附表 标准正态分布表附表 标准正态分布表

    正态分布的概率密度函数曲线呈钟形,因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是位置参数均数为0, 尺度参数:标准差为1的正态分布(见下图中绿色曲线)。

    特点

    编辑

    密度函数关于平均值对称

    平均值与它的众数(statistical mode)以及中位数(median)同一数值。

    函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。

    95.449974%的面积在平均数左右两个标准差的范围内。

    99.730020%的面积在平均数左右三个标准差的范围内。

    99.993666%的面积在平均数左右四个标准差的范围内。

    函数曲线的反曲点(inflection point)为离平均数一个标准差距离的位置。

    标准偏差

    编辑

    深蓝色区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。在正态分布中,此范围所占比率为全部数值之68%,根据正态分布,两个标准差之内的比率合起来为95%;三个标准差之内的比率合起来为99%

    在实际应用上,常考虑一组数据具有近似于正态分布的概率分布。若其假设正确,则约68.3%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围,约95.4%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围,以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。称为“68-95-99.7法则”或“经验法则” [1]  。

    来源:https://baike.baidu.com/item/%E6%A0%87%E5%87%86%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83/552653?fr=aladdin

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  • 正态分布这个概念在统计学中很常见,在做与正态分布有关计算的时候经常会用到标准正态分布表。如果知道一个数值的标准分数即z-score,就可以非常便捷地在标准正态分布表中查到该标准分数对应的概率值。任何数值,...

    正态分布这个概念在统计学中很常见,在做与正态分布有关计算的时候经常会用到标准正态分布表。如果知道一个数值的标准分数即z-score,就可以非常便捷地在标准正态分布表中查到该标准分数对应的概率值。任何数值,只要符合正态分布的规律,均可使用标准正态分布表查询其发生的概率。

    下表就是标准正态分布表,在使用的时候,第一步是先计算数值的标准分数,然后将标准分数四舍五入到小数点后第二位;第二步是在标准正态分布表中的左侧查到直到标准分数的小数点后第一位,然后用顶部的数值查到所对应的标准分数的小数点后第二位。

    比如标准分数为1.16,在表左侧可以查到1.1所在的行,然后再找到0.06所在的列,最后对应的概率值为0.877。这就意味着在正态分布的情况下,如果一个数值的标准分数为1.16,那么该数值所代表的情况出现的概率为87.7%。

    以下通过案例来看标准正态分布表的应用。假设某地成年男性的身高数据呈正态分布,平均身高为1.70米,标准差为4厘米。

    问题:

    1.  男性身高超过1.75米的占比为多少?

    2.  男性身高在1.74-1.75米之间的占比为多少?

    3.  如果有20%的男性身高高于某个数值,该数值所对应的身高数据是多少?

    4.  如果有20%的男性身高低于某个数值,该数值所对应的身高数据是多少?

    解题:

    1、先用标准分数即z-score计算公式将1.75米的身高数据转换成标准分数,结果为(1.75– 1.70) / 0.04 =1.25,这样问题就成了:在标准正态分布曲线中标准分数大于1.25的概率是多少?查询标准正态分布表,可以看到1.25的标准分数对应的概率值为0.894= 89.4%,也就是有89.4%的男性身高数据的标准分数不超过1.25,因此有100%-89.4%=10.6%的男性身高超过1.75米。

    2、在问题1中已知身高为1.75米的标准分数为1.25,那么身高为1.74米的标准分数= (1.74 –1.70) / 4 = 1.00,因此只需找到1.00

    3、如果说有20%的男性身高高于某个数值,那就意味着80%的男性身高不超过该数值,因此在标准正态分布表看到概率值为0.800所对应的标准分数为0.84,现在将这个标准分数转换成身高数据,带入z-score的计算公式为0.84=(x-1.70)/0.04,结果为1.7336米,即在全部成年男性中有20%的男性身高高于1.7336米。

    4、这个问题的计算思路与前面的问题基本相同,区别只是在于标准分数需要使用负值,因此带入z-score的计算公式后为-0.84=(x-1.70)/0.04,结果为1.6664米,即在全部成年男性中有20%的男性身高低于1.6664米。

    在各类金融市场中,外汇市场的回报率总体上符合正态分布的规律,因此第二个案例是如何借助标准正态分布表估算外汇汇率。

    圣路易斯联邦储备银行主页上下载2018-7-2至2019-6-28这一年间的欧元/美元汇率,经计算,汇率均值为1.1409,标准差为0.0166

    标准分数分布如下图所示:

    问题:

    1.  欧元/美元的汇率在1.17以上的交易日占比为多少?

    2.  欧元/美元的汇率在1.1650-1.17之间的交易日占比为多少?

    3.  如果在5%的交易日中欧元/美元的汇率高于某个水平,该汇率是多少?

    4.  如果在10%的交易日中欧元/美元的汇率低于某个水平,该汇率是多少?

    解题:

    1、先用标准分数即z-score计算公式将1.1700的汇率数据转换成标准分数,结果为(1.17-1.1409) / 0.0166 = 1.7560,这样问题就变成:在欧元/美元汇率的标准正态分布曲线中标准分数大于1.7560的概率是多少?查询标准正态分布表,可以看到1.7560约等于1.176,所对应的概率值为0.961=96.1%,也就是在过去一年中96.1%的交易天数里欧元/美元的汇率在1.1700以上。

    2、欧元/美元汇率1.1700的标准分数已知,1.1650汇率的标准分数= (1.1650-1.1409) / 0.0166 = 1.4547,因此只需找到1.45

    3、解题思路与前面身高的案例相同,欧元/美元的汇率在5%的交易日中高于某个水平,反过来讲也就是说在95%的情况下欧元/美元的汇率没有高于某个水平。在标准正态分布表中0.95的概率值对应的标准分数为1.64,将这个标准分数转换成汇率,带入z-score计算公式为1.64= (x-1.1409)/0.0166,结果为1.1681。也就是说,在2018-7-2至2019-6-28的一年间,当欧元/美元的汇率处于1.1681的时候,在全部交易日中欧元/美元的汇率有5%的概率将高于1.1681。

    4、同理,在标准正态分布表查到0.90的概率值所对应的标准分数1.28,带入z-score计算公式后为-1.28=(x-1.1409)/0.0166,结果为1.1196。也就是说,在2018-7-2至2019-6-28的一年间,当欧元/美元的汇率处于1.1196的时候,在全部交易日中有10%的交易日的欧元/美元汇率低于1.1196。

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  • 标准正态分布公式

    千次阅读 2020-06-22 16:48:51
    标准正态分布公式
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标准正态分布