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  • 贝尔曼方程

    2021-03-12 16:17:51
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    贝尔曼期望方程

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    贝尔曼最优方程

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  • 读书《Reinforcement Learning: An Introduction Second Edition》,读到第三章有限马尔科夫决策过程MDP中,提到了贝尔曼方程的理解。一开始我是有点懵逼的,现在看懂了其意思,在这里解释一下。

    前言: 读书《Reinforcement Learning: An Introduction Second Edition》,读到第三章有限马尔科夫决策过程MDP中,提到了贝尔曼方程的理解。一开始我是有点懵逼的,现在看懂了其意思,在这里解释一下。

    贝尔曼方程理解

    下面讲解

    vπ(s)=Eπ[GtSt=s]=Eπ[Rt+1+γGt+1St=s]=aπ(as)srp(s,rs,a)[r+γEπ[Gt+1St+1=s]]=aπ(as)s,rp(s,rs,a)[r+γvπ(s)]for  all  sS\begin{aligned} v_\pi (s) = & \mathbb{E}_\pi [G_t | S_t = s] \\ = & \mathbb{E}_{\pi} [R_{t+1} + \gamma G_{t+1} | S_t = s] \\ = & \sum_a \pi(a|s) \sum_{s'} \sum_{r} p(s', r| s,a) \left[ r + \gamma \mathbb{E}_\pi [G_{t+1} | S_{t+1} = s'] \right] \\ = &\sum_a \pi(a|s) \sum_{s',r} p(s',r|s,a)[r + \gamma v_\pi (s')] \quad for \; all \; s \in S \end{aligned}

    如何推导。


    首先,各符号意义:

    • 上图中,vπ(s)v_\pi(s)表示在状态s下的,使用策略集π\pi的价值;
    • GtG_t就是在当前时刻tt所产生的“回报”,在有限时刻中,通常引入折扣率γ\gamma的概念,将GtG_t定义为Gt=Rt+1+γGt+1G_t = R_{t+1} + \gamma G_{t+1},表示下一步对当前决策影响最大,时间越远,影响越小;
    • π(as)\pi(a|s)是策略,在我看来就是在状态ss下选择动作aa的概率;
    • p()p()是状态转移概率,rr是回报。

    vπ(s)=aπ(as)srp(s,rs,a)[r+γEπ[Gt+1St+1=s]]v_\pi(s) = \sum_a \pi(a|s) \sum_{s'} \sum_{r} p(s', r| s,a) \left[ r + \gamma \mathbb{E}_\pi [G_{t+1} | S_{t+1} = s'] \right]

    上面的公式我有些费解,经过书上的提示,我认为写成下面这样更合适:

    vπ(s)=a(π(as)sr(p(s,rs,a)[r+γEπ[Gt+1St+1=s]]))v_\pi(s) = \sum_a \left( \pi(a|s) \sum_{s'} \sum_{r} \left( p(s', r| s,a) \left[ r + \gamma \mathbb{E}_\pi [G_{t+1} | S_{t+1} = s'] \right] \right) \right)

    在这里插入图片描述

    可以通过上图进行理解,在时刻tt,其价值即各种选择的期望。而期望即是概率 ×\times 对应事件值,在这里,期望即 该状态ss下选择动作aa的概率 π(as)\pi(a|s) 乘上对应事件,即动作执行后,发生的一系列事件的期望。


    贝尔曼方程组

    v(s1)=f(v(s1),v(s2),...,v(sn))v(s2)=f(v(s1),v(s2),...,v(sn))...v(sn)=f(v(s1),v(s2),...,v(sn)) \begin{aligned} & v(s_1) = f(v(s_1), v(s_2), ..., v(s_n)) \\ & v(s_2) = f(v(s_1), v(s_2), ..., v(s_n)) \\ & ... \\ & v(s_n) = f(v(s_1), v(s_2), ..., v(s_n)) \\ \end{aligned}

    可见,这构造了一个关于v(si)v(s_i)的n元1次方程组,可以求解每个状态的价值。

    当然,这里vπ(s)v_\pi (s)简写成了v(s)v(s),我们知道每个状态的价值是由策略决定的,策略糟糕,价值低。


    贝尔曼最优方程

    最优方程说明:最优策略下各个状态的价值一定等于这个状态下最优动作的期望回报。

    假设只有2个状态(s1s_1s2s_2),对于状态s1s_1,其最优价值:

    v(s1)=max{p(s1s1,a1)[r(s1,a1,s1)+γv(s1)]+p(s2s1,a1)[r(s2,a1,s1)+γv(s2)]p(s1s1,a2)[r(s1,a2,s1)+γv(s1)]+p(s2s1,a2)[r(s2,a2,s1)+γv(s2)]...p(s1s1,an)[r(s1,an,s1)+γv(s1)]+p(s2s1,an)[r(s2,an,s1)+γv(s2)]}v_* (s_1) = \max \left\{ \begin{aligned} & p(s_1 | s_1, a_1) [r(s_1, a_1, s_1) + \gamma v_* (s_1)] + p(s_2 | s_1, a_1) [r(s_2, a_1, s_1) + \gamma v_* (s_2)] \\ & p(s_1 | s_1, a_2) [r(s_1, a_2, s_1) + \gamma v_* (s_1)] + p(s_2 | s_1, a_2) [r(s_2, a_2, s_1) + \gamma v_* (s_2)] \\ & ... \\ & p(s_1 | s_1, a_n) [r(s_1, a_n, s_1) + \gamma v_* (s_1)] + p(s_2 | s_1, a_n) [r(s_2, a_n, s_1) + \gamma v_* (s_2)] \\ \end{aligned} \right\}

    如上,是需要选择出一个/多个最优动作的。

    如果将两个状态的方程式联立,则计算量急剧增大。

    而对于状态多的更不用说,几乎不可计算。因此,要使用近似算。

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  • 贝尔曼方程推导

    2021-04-10 10:02:43
    马尔可夫的动态特性: 回报:(两种定义) 或 (折扣率大于等于0小于等于1,折扣率决定了未来收益的现值) 状态价值函数:从状态s开始,智能体...贝尔曼方程用等式表达了状态价值和后续状态价值之间的关系。 ...

    马尔可夫的动态特性
    ![马尔可夫的动态特性]
    回报:(两种定义)
    在这里插入图片描述

    在这过街老鼠里插入图片描述
    (折扣率大于等于0小于等于1,折扣率决定了未来收益的现值)

    状态价值函数:从状态s开始,智能体按照策略π进行决策所获得回报的概率期望值
    在这里插入图片描述
    动作价值函数在这里插入图片描述
    动作价值函数与状态价值函数的关系在这里插入图片描述
    动作价值函数与马尔可夫的动态特性的关系在这里插入图片描述
    因此贝尔曼方程推导为在这里插入图片描述
    或(原理一样,只不过我当时没看明白书上的推导,所以按照自己的理解根据回溯图手写了一下,其实手写和书上截图的推导是一样一样的)
    在这里插入图片描述
    贝尔曼方程用等式表达了状态价值和后续状态价值之间的关系。

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  • 贝尔曼方程资料

    2020-09-08 17:51:14
    维基百科 最优控制动态规划法 强化学习入门介绍–马尔可夫决策过程、最优化原理、贝尔曼方程 强化学习教材
    展开全文
  • 贝尔曼方程 Bellman Equation

    千次阅读 2018-11-06 01:48:14
    贝尔曼方程 Bellman Equation
  • 贝尔曼方程讲解

    2019-10-24 09:33:14
    贝尔曼方程 在这个网格世界示例中,一旦智能体选择一个动作, 它始终沿着所选方向移动(而一般 MDP 则不同,智能体并非始终能够完全控制下个状态将是什么) 可以确切地预测奖励(而一般 MDP 则不同,奖励是从概率...
  • 贝尔曼方程(Bellman Equation)

    万次阅读 2017-03-14 15:47:33
    贝尔曼方程(Bellman Equation)也被称作动态规划方程(Dynamic Programming Equation),由理查·贝尔曼(Richard Bellman)发现,由于其中运用了变分法思想,又被称之为现代变分法。贝尔曼方程(Bellman Equation...
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  • Bellman Equation 贝尔曼方程

    千次阅读 2019-02-21 18:15:03
    Bellman equation(贝尔曼方程),是以Richard E.Bellman命名,是数值最优化方法的一个必要条件,又称为动态规划。它以一些初始选择的收益以及根据这些初始选择的结果导致的之后的决策问题的“值”,来给出一个决策...
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    千次阅读 2020-07-11 21:04:47
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空空如也

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