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  • 辗转相除法原理

    千次阅读 2018-10-14 01:49:37
    辗转相除法原理: 假设有两个数x和y,存在一个最大公约数z=(x,y),即x和y都有公因数z, 那么x一定能被z整除,y也一定能被z整除,所以x和y的线性组合mx±ny也一定能被z整除。(m和n可取任意整数) 对于辗转相除法...

    辗转相除法原理:
    假设有两个数x和y,存在一个最大公约数z=(x,y),即x和y都有公因数z,
    那么x一定能被z整除,y也一定能被z整除,所以x和y的线性组合mx±ny也一定能被z整除。(m和n可取任意整数)
    对于辗转相除法来说,思路就是:若x>y,设x/y=n余c,则x能表示成x=ny+c的形式,将ny移到左边就是x-ny=c,由于一般形式的mx±ny能被z整除,所以等号左边的x-ny(作为mx±ny的一个特例)就能被z整除,即x除y的余数c也能被z整除。
    (以上为复制)

    若不能整除,则将min{x,y}作为被除数,余数c作为除数,继续循环这个过程,直到余数c=0为止。为什么这样做可以得到结果?因为在这个过程中,被除数和除数最大公约数始终没有变。分析如下:

    设商为f,假设第十一步得到了结果,循环过程:
    x/y=f1…c1
    y/c1=f2…c2
    c1/c2=f3…c3
    ……
    c8/c9=f10…c10
    c9/c10=f11…0
    如此,c10即为最大公约数。
    那么据第一段所述,可得:c9%c10=0,c8%c10=0,c7%c10=0……c1%c10=0,据此可说明被除数和除数最大公约数始终没有变。于是这样就得到了最大公约数了。


    备注:
    两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数
    最小公倍数等于两个数的乘积除以最小公约数
    b能被a整除<=>b/a=c…0 (c为整数);
    b能整除a<=>a/b=c’…0(c为整数).

    //求两数的最大公约数
    #include<stdio.h>
    int main()
    {
    		int x,y,c;   
    		scanf("%d %d,&x,&y");
    		do
    		{
    				c=x%y;
    				x=y;
    				y=c;
            }while(c!=0);
    		printf("%d",x)
    		return 0;
    }
    
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  • 辗转相除法原理记录 “假设有两个数x和y,存在一个最大公约数z=(x,y),即x和y都有公因数z。 那么x一定能被z整除,y也一定能被z整除,所以x和y的线性组合mx±ny也一定能被z整除。(m和n可取任意整数)。 对于辗转相除...

    辗转相除法原理记录

    “假设有两个数x和y,存在一个最大公约数z=(x,y),即x和y都有公因数z。
    那么x一定能被z整除,y也一定能被z整除,所以x和y的线性组合mx±ny也一定能被z整除。(m和n可取任意整数)。
    对于辗转相除法来说,思路就是:若x>y,设x/y=n余c,则x能表示成x=ny+c的形式,将ny移到左边就是x-ny=c,由于一般形式的mx±ny能被z整除,所以等号左边的x-ny(作为mx±ny的一个特例)就能被z整除,即x除y的余数c也能被z整除。”

    所以求两数最大公约数的问题,也就转化为了求余数和较小数字的最大公约数的问题。

    以具体数字展示就是,以(200,30)为例
    200 = 306 + 20,
    30 = 20
    1 + 10,
    20 = 10*2 + 0,
    所以(200,30)= 10。

    具体实现形式(C):

       int u = 32;
        int v = 26;
        while(v != 0){
            int temp = u % v;
            u = v;
            v = temp;
        }
        printf("%d",u);
        getchar();
        return 0;
    
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  • 辗转相除法原理讲解

    千次阅读 多人点赞 2021-03-11 22:27:11
    首先介绍一下辗转相除法: 即m 和 n求最大公因数(假设m大于n),先用 m 除以 n ,如果余数 r 为 0 ,则 n 就是最大公因数,否则,将 n 给了 m ,将 r 给了 n ,再用 m 除以 n ,如果余数 r 为 0 ,则n为最大公因数...

    首先介绍一下辗转相除法:
    即m 和 n求最大公因数(假设m大于n),先用 m 除以 n ,如果余数 r 为 0 ,则 n 就是最大公因数,否则,将 n 给了 m ,将 r 给了 n ,再用 m 除以 n ,如果余数 r 为 0 ,则n为最大公因数,否则重复执行上述操作,直至 r 为 0 ,此时的 n 就是 m 和 n 的最大公因数。
    相信很多人包括我在内都对这个算法不理解,我今天突然有了些想法,分享给大家。
    我觉的辗转相除法就是一个分块的思想,为什么这么说呢,我们通过一个例子来说明:
    假设 m = 72 ,n = 48
    先用 m 除以 n ,如果直接余数 r 为0,那最大公因数自然就是 n 了,这个大家都能理解,问题是72/48余数为24,这时候,我们自然可以将72分块,写成:
    72 = 48+24
    这个时候,72 和 48 的最大公因数就可以写成:
    48+24 和 48
    的最大公因数
    这下是不是看起来有感觉了?
    求最大公因数的中心思想就是找出两个数公有的最大的最大的那一块,那么我们就要对这两个数进行分块,分成一块一块的,其方法就是用大的数除以小的数。
    48+24 和 48的最大公因数就是48+24 和 48 的最大公有的那一块,因为左边的 48 和右边的 48 相等,所以再看看从48中能否分出余数 24 那么大的“块”,于是用 48 除以24 分块,此时余数正好为0,分块结束,此时的“块”即是最大的公有“块”,那么次“块”就是最大的公因数。如果余数不为0,说明分块还没完成,需要继续往小了分。
    24+24+24 和24+24
    上式即是最终的分块结果。
    有点啰嗦了,希望能帮到大家!

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  • 辗转相除法原理解析

    千次阅读 2018-07-13 20:00:18
    辗转相除法 基本原理: 若A、B有最大公约数K(A &amp;amp;amp;gt; B), 则,A、B、(A - B)、A mod B(A / B的余数),都是K的倍数。 即余数(A - B)和 B 的最大公公约数也是 K 。 由此递归,可知当 A ...

    辗转相除法

    **基本原理:**两个整数的最大公约数等于,其中较小的数和两数的差的最大公约数。

    **个人解析:**若A、B有最大公约数K(A > B),则,A、B、(A - B)、A mod B(A / B的余数),都是K的倍数。即余数(A - B)和 B 的最大公公约数也是 K 。

    由此递归,可知当 A mod B = 0,即 A 是 B 的倍数时,此时,B 即为 K 。

    Java实现代码:

    //递归求解
    public static int gcd(int m, int n) {
    	while (true) {
    		if ((m = m % n) == 0)
    			return n;
    
    		if ((n = n % m) == 0)
    			return m;
    	}
    }
    

    扩展应用—求最小公倍数

    //查找最小公倍数
    public static int gcd(int m, int n){
    	int mn, r ;
    	
    	if(m<n){
    		mn = m ; 
    		m = n ; 
    		n = mn;
    	}
    	
    	mn = m * n ;//俩个数的乘积
    	r = m Mod n ;
    	while(r!=0){
    		m = n ;
    		n = r ;
    		r = m Mod n ;
    	}
    	return mn/n; //n为最大公约数
    }
    

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  • 辗转相除法原理+实现

    2019-03-14 11:44:18
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  • 辗转相除法原理分析

    2017-08-21 20:40:00
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    2021-09-13 07:50:45
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  • 辗转相除法 原理 Java实现

    千次阅读 2013-11-29 08:40:54
    辗转相除法」又叫做「欧几里得算法」,是公元前 300 年左右的希腊数学家欧几里得在他的著作《几何原本》提出的.利用这个方法,可以较快地求出两个自然数的最大公因数,即 HCF 或叫做 gcd. 最大公约数(greatest ...
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  • 辗转相除法原理及Java实现

    千次阅读 2016-07-17 14:46:24
    辗转相除法辗转相除法」又叫做「欧几里得算法」,是公元前 300 年左右的希腊数学家欧几里得在他的著作《几何原本》提出的.利用这个方法,可以较快地求出两个自然数的最大公因数,即 HCF 或叫做 gcd. 最大公约数...
  • 假设gcd(a,b)是自然数a,b的最大公约数,a除b所得到的商和余数分别为p和q,所以a=b✖p+q,右边的式子可以提出一个gcd(b,q),也就是说gcd(b,q)也能整除a,而它又能整除b,所以gcd(b,q)<=gcd(a,b)。...
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  • while(n != 0) { r = m % n; m = n; n = r; } printf("Their greatest common ...都知道在求最大公因子(最大公约数)的时候,使用欧几里得算法(辗转相除法)。下面来研究这个算法怎么推论出来的。 首先看
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空空如也

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