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  • 线性子空间
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    线性子空间定义

    • 数域P上线性空间 V V V的一个非空子集合
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    1、线性子空间的定义 2、线性子空间的判定 1、设W为n维线性空间V的任一子空间, 2、(定理3) 4、(定理4)
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  • 1.线性空间 2.线性变换与矩阵 3.线性子空间


    1.线性空间

    1.1 线性空间的定义

    设非空集合 V V V,一个数域 K K K x , y , z ∈ V x,y,z \in V x,y,zV k , l ∈ K k,l\in K k,lK,如果 V V V满足加法封闭和数乘封闭,则称 V V V为线性空间。

    1. 加法封闭: 加法交换律、加法结合律、零向量、负向量。
    2. 数乘封闭: 数对元素的分配律、元素对数的分配律、数因子结合律、单位向量。

    1.2 线性空间的性质

    1. 零元素唯一
    2. 任一元素的负元素唯一
    3. 设 数 k , 0 , 1 ∈ K k,0,1\in K k,0,1K,向量 x , 0 , − x ∈ V x, 0, -x \in V x,0,xV,有:
      • 0 x = 0 0x=0 0x=0
      • ( − 1 ) x = − x (-1)x=-x (1)x=x
      • k 0 = 0 k0=0 k0=0
      • k x = 0 kx=0 kx=0, 则 k = 0 k=0 k=0 x = 0 x=0 x=0

    1.3 线性空间的维数

    线性空间 V V V线性无关向量组所含向量最大个数 n n n,称为 V V V的维数,记作 d i m V = n dimV = n dimV=n

    n n n 维线性空间记作 V n V^n Vn

    1.4 线性空间的基

    n n n维线性空间中,任意 n n n个线性无关的向量 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn,构成该空间的一组。这n个线性无关的向量称作基向量

    空间中任意一个向量 x x x 可由这组基唯一表示,即 x = a 1 x 1 + a 2 x 2 + . . . + a n x n x=a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n x=a1x1+a2x2+...+anxn
    此时,称 a 1 , a 2 , . . . , a n a_1, a_2, ..., a_n a1,a2,...,an x x x 在该基下的坐标,记为 [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] T [a_1, a_2, ..., a_n]^T [a1,a2,...,an]T

    向量 x x x在基 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn 下的矩阵表示为
    x = [ x 1 x 2 . . . x n ] ⋅ [ a 1 a 2 . . . a n ] x=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & ... & x_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n \end{bmatrix} x=[x1x2...xn]a1a2...an

    1.5 基变换与坐标变换

    1.5.1 基变换:

    x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn 是 空间 V n V^n Vn 的旧基, y 1 , y 2 , . . . , y n y_1,y_2,...,y_n y1,y2,...,yn 是新基。新基可以用旧基表示为
    [ y 1 y 2 . . . y n ] = [ x 1 x 2 . . . x n l i a n g g e ] ⋅ C n × n \begin{bmatrix} y_1 & y_2 & ... & y_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & ... & x_nliangge \end{bmatrix} \cdot C_{n×n} [y1y2...yn]=[x1x2...xnliangge]Cn×n
    其中,矩阵 C n × n C_{n×n} Cn×n为 (旧基到新基的) 过渡矩阵

    1.5.2 坐标变换:

    向量 x x x在旧基 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn下的矩阵表示:
    (1) x = [ x 1 x 2 . . . x n ] ⋅ [ a 1 a 2 . . . a n ] x=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & ... & x_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n \end{bmatrix} \tag{1} x=[x1x2...xn]a1a2...an(1)
    其中 , [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] T [a_1, a_2, ..., a_n]^T [a1,a2,...,an]T x x x 在基 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn下的坐标。

    向量 x x x在新基 y 1 , y 2 , . . . , y n y_1,y_2,...,y_n y1,y2,...,yn下的矩阵表示:
    (2) x = [ y 1 y 2 . . . y n ] ⋅ [ b 1 b 2 . . . b n ] x=\begin{bmatrix} y_1 & y_2 & ... & y_n \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ ...\\ b_n \end{bmatrix} \tag{2} x=[y1y2...yn]b1b2...bn(2)
    其中 , [ b 1 , b 2 , . . . , b n ] T [b_1, b_2, ..., b_n]^T [b1,b2,...,bn]T x x x 在基 y 1 , y 2 , . . . , y n y_1,y_2,...,y_n y1,y2,...,yn下的坐标。
    由式(1)=式(2),得
    [ b 1 b 2 . . . b n ] = C − 1 ⋅ [ a 1 a 2 . . . a n ] \begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ ...\\ b_n \end{bmatrix}=C^{-1} \cdot \begin{bmatrix} a_1\\ a_2\\ ...\\ a_n \end{bmatrix} b1b2...bn=C1a1a2...an
    称作 向量 x x x在基变换C下的坐标变换公式

    个人理解

    1. 对线性空间作变换,也就是对线性空间的基做变换。(这是因为,线性空间中的任一向量都能由该空间的一组基线性表示,即一组基可决定一个空间。但是,一个空间可对应不同的多组基)
    2. 线性空间中的一个向量本身是不变的,但对基作变换后,基改变,从而基下的坐标改变,称为坐标变换,即,同一向量在不同基下的表示是不同的。

    2. 线性子空间

    2.1 定义

    V 1 V_1 V1是线性空间 V V V的非空子集和, V 1 V_1 V1中满足数乘封闭和加法封闭,则称 V 1 V_1 V1 V V V线性子空间子空间

    个人理解:三维空间中的一个过原点的二维平面,或一条过原点的直线,都是该三维空间中的线性子空间。这两个子空间也满足数乘封闭和加法封闭。

    2.2 性质

    • 线性子空间也是线性空间。(定义中满足数乘、加法封闭,即线性子空间首先要是线性的
    • 非零线性空间的平凡子空间:线性空间自身以及零空间he。
    • 一个线性空间的子空间,其维数小于等于线性空间的维数(显然)。

    延伸:n元齐次线性方程组的解空间 W W W n n n维向量空间 V n V^n Vn 的一个子空间。方程组的基础解系就是解空间的基。

    2.3 子空间的运算

    2.3.1 和空间

    V 1 + V 2 = { x 1 + x 2   ∣   x 1 ∈ V 1 , x 2 ∈ V 2 } V_1 +V_2 = \left \{ x_1 + x_2 \ | \ x_1 \in V_1, x_2 \in V_2 \right \} V1+V2={x1+x2  x1V1,x2V2}

    2.3.2 交空间

    V 1 ∩ V 2 = { a   ∣   a ∈ V 1 且 a ∈ V 2 } V_1 \cap V_2 = \left \{ a \ | \ a \in V_1 且 a \in V_2 \right \} V1V2={a  aV1aV2}


    3. 矩阵的值域、核空间

    3.1 向量张成的空间

    x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn张成的空间,记为
    V 1 = L ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = { k 1 x 1 + k 2 x 2 + . . . + k n x n } V_1=L(x_1, x_2, ..., x_n)=\left \{ k_1x_1 + k_2x_2 + ... + k_nx_n \right \} V1=L(x1,x2,...,xn)={k1x1+k2x2+...+knxn}其中 k i k_i ki为常数。

    个人理解:类似以向量组为基所生成的空间。

    3.2 矩阵的值域

    矩阵 A ∈ C m × n A\in C^{m×n} ACm×n n n n 个列向量为 a 1 , a 2 , . . . , a n a_1, a_2, ..., a_n a1,a2,...,an,则矩阵A的值域为 R ( A ) = L ( a 1 , a 2 , . . . , a n ) = { y   ∣   y = A x } R(A)=L(a_1, a_2, ..., a_n)=\left \{ y\ | \ y=Ax\right \} R(A)=L(a1,a2,...,an)={y  y=Ax}

    个人理解:矩阵的值域是 矩阵中的所有列向量所张成的空间
    若把 A A A 看作一种线性变换,那么矩阵的值域 y = A x y=Ax y=Ax 为线性空间中的原向量 x x x 经线性变换后所得到的象。

    3.3 矩阵的核空间

    N ( A ) = { x   ∣   A x = 0 } N(A) = \left \{ x\ | \ Ax=0 \right \} N(A)={x  Ax=0}
    核空间也叫零空间,零空间的维数为零度,记作 n ( A ) n(A) n(A)

    个人理解:使 A x = 0 Ax=0 Ax=0 成立的 x x x
    若把 A A A 看作一种线性变换, 那么矩阵的核是经过线性变换后变为零向量的向量(原象)。

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    线性子空间(linear subspace)

            线性子空间(又称向量子空间,简称子空间)是线性空间中部分向量组成的线性空间。设W是域P上的线性空间V的一个非空子集合,若对于V中的加法及域P与V的纯量乘法构成域P上的一个线性空间,则称W为V的线性子空间.

            定义 设W是域P上的线性空间V的一个非空子集合,若对于V中的加法及域P与V的纯量乘法构成域P上的一个线性空间,则称W为V的线性子空间(或向量子空间),或简称子空间。 [2] 

    注:1.V的非空子集W是子空间的充分必要条件是:

                     (1)子集合W的任意两个向量α与β之和α+β仍是W中的向量;

                     (2)域P的任一数k与子集合W的任意一个向量α的积kα仍是W中的向量。

           2.在线性空间中,由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间,它叫做零子空间

           3.线性空间V自身与单独一个零向量都是V的线性子空间。这两个特殊的子空间称为V的平凡子空间;除平凡子空间外的线性子空间称为V的非平凡子空间

    1.子空间的交

           线性子空间的交一定是线性子空间。令W1与W2是两个线性子空间,那么子空间的交可定义为W= W1∩W2=(x|x belong to W1 且 x belong to W2) 。若这些子空间公共的唯一向量为零向量,i.e.W={0},则称子空间W1、W2无交连(disjoint)。

    2.子空间的并

           线性子空间的并不一定是线性子空间,直观的理解为两个集合的并,不满足加法的封闭性。只是单纯把每个元素累积起来。

    exp:L1=(3,1,0,0,0)(0,2,1,0,0)   L2=(1,1,2,0,0) (0,2,1,0,0)

          则L1∪L2={ (3,1,0,0,0),(0,2,1,0,0) ,(1,1,2,0,0) ,(0,2,1,0,0) }

    3.子空间的和

           线性子空间的和是由各个子空间的一组线性无关的基向量所构成一个空间,是一个线性子空间。其定义可为W=(x1+x2|x1 belong to W1 and x2 belong to W2)称之为W1与W2的和,记为W1+W2。

            在子空间的和运算中,满足交换律与结合律。

           交换律: W1+W2=W2+W1;

           结合律:  (W1+W2)+W3 = W1+(W2+W3);

           引理:同时可以推导出线性空间维数的关系有

                                                  dim W1+dim W2 = dim ( W1+W2 ) +dim(W1∩W2)

    exp:假设L1=(3,1,0,0,0)(0,2,1,0,0)   L2=(1,1,2,0,0) (0,2,1,0,0)

           则L1+L2为三维空间,其中子空间的交为一维空间.

           求解方法:把所有子空间的组合所构成的矩阵化为标准阶梯型即可求出线性无关的基向量.

    4.子空间的直和

            直和的定义:V的两个子空间W1与W2,如果对a属于W1+W2有 a=a1+a2(a1 belong to W1,a2 belong to W2)是唯一的,则称W1+W2为W1与W2的直和,记W1圈加W2.

            由此可以推出,当W1+W2为W1与W2的直和时,则有dim(W1∩W2) = 0;

            故:dim W1+dim W2 = dim ( W1+W2 )

    5.子空间的补空间

            设W是线性空间V的一个线性子空间,那么存在一个子空间U,使得

                                                                 V = W 圈加 U

    那么称U为W的补子空间。

    6.子空间的正交

            若U,W为欧式空间V的线性子空间,对于任意的x属于U与y属于W,都有

                                                                 (x,y)=0

    则称U与W正交,记U⊥W.

            如果一个向量x与W的任意一个向量正交,则称x与W正交,记x⊥W.

            正交空间的交集为0,且正交空间的和为直和。

     

    参考:张祥朝 线性子空间的交、和、直和[0]复旦大学光科学与工程系 2013.5.19

               百度百科

     

     

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    集合S = { u - v  |  u, v是S中的向量}, S是V的一个线性子空间。


    仿射空间的点是表示图形里点与点的距离,而向量空间的向量是表示点与点之间的位移和方向的。


    四维的仿射空间是采用这样表示:(a, b, c, d),其中d是表示常量1.

    三维的仿射空间是采用这样表示:(a, b, d),其中d是表示常量1.

    仿射空间的点与向量表示形式相似,但它们之间不能进行互换。


    对于水平面,我们采用x, y来表示,而垂直的轴采用h来表示,那么(x, y , h)就表示了一个仿射空间的平面,在此平面上所画的直线,都可以使用(x,y)所在的空间向量来表示,任何两个向量差都在这个平面里。如果把这个平面进行齐次化,就是把h等于1的点平面,化成齐次坐标(x/h, y/h, 1)。


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