1、线性插值是指插值函数为一次多项式的插值方式，其在插值节点上的插值误差为零。

2、几何意义

线性插值的几何意义如右图所示，即为利用过点 和  的直线来近似原函数。



3、应用

1）线性插值在一定允许误差下，可以近似代替原来函数；

2）在查询各种数值表时，可通过线性插值来得到表中没有的数值。

 

参考：https://baike.baidu.com/item/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%8F%92%E5%80%BC/19113392?fr=aladdin#3

线性插值法(linear interpolation)
什么是线性插值法
线性插值法是指使用连接两个已知量的直线来确定在这两个已知量之间的一个未知量的值的方法。
如何进行线性插值
假设我们已知坐标(x0,y0)与(x1,y1),要得到[x0,x1]区间内某一位置x在直线上的值。根据图中所示，我们得到两点式直线方程：
假设方程两边的值为α，那么这个值就是插值系数—从x0到x的距离与从x0到x1距离的比值。由于x值已知，所以可以从公式得到α的值
同样，
这样，在代数上就可以表示成为：
y = (1 − α)y0 + αy1
或者，
y = y0 + α(y1 − y0)
这样通过α就可以直接得到 y。实际上，即使x不在x0到x1之间并且α也不是介于0到1之间，这个公式也是成立的。在这种情况下，这种方法叫作线性外插—参见 外插值。
已知y求x的过程与以上过程相同，只是x与y要进行交换。
线性插值近似法
线性插值经常用于已知函数f在两点的值要近似获得其它点数值的方法，这种近似方法的误线定义为
RT = f(x) − ρ(x)
其中ρ表示上面定义的线性插值多项式
根据罗尔定理，我们可以证明：如果f有两个连续导数，那么误差范围是
正如所看到的，函数上两点之间的近似随着所近似的函数的二阶导数的增大而逐渐变差。从直观上来看也是这样：函数的曲率越大，简单线性插值近似的误差也越大。
线性插值法的计算实例
线性插值法是认为现象的变化发展是线性的、均匀的，所以可利用两点式的直线方程式进行线性插值。
两点式的直线方程式为：
　　即　　
式中　　X0,Y0,X1,Y1——已知的统计数据；
X——X0,X1之间的任何数据；
Y——与X对应的插值数据。
例 某地区居民货币收入和消费支出情况如表1所示。试推算该地区居民收入为19．5亿元时，其相应的消费支出是多少?
表1 居民货币收入和消费支出资料(单位：亿元)
顺序
消费支出(y)
0
18．2
15．8
1
19．8
17．2
解
= 16.9
所以，当该地区居民收入是19．5亿元时，其消费支出是16．9亿元。
由于线性插值法只利用两点的对应值宋推算两点之间的对应值，而两点对应值本身往往受到各种偶然因素的影响，所以线性插值结果可能误差较大。
说了那么多，我真正用到的就是用了一个公式
就这样。。。。这个鬼东西，说真的早TM忘了！写程序是离不开数学知识的！

python线性插值解析
在缺失值填补上如果用前后的均值填补中间的均值，比如，0，空，1，我们希望中间填充0.5；或者0，空，空，1，我们希望中间填充0.33，0.67这样。
可以用pandas的函数进行填充，因为这个就是线性插值法
df..interpolate()
dd=pd.DataFrame(data=[0,np.nan,np.nan,1])
dd.interpolate()
补充知识：线性插值公式简单推导
以上这篇python线性插值解析就是小编分享给大家的全部内容了，希望能给大家一个参考，也希望大家多多支持我们。
时间： 2020-07-04
一维插值 插值不同于拟合.插值函数经过样本点,拟合函数一般基于最小二乘法尽量靠近所有样本点穿过.常见插值方法有拉格朗日插值法.分段插值法.样条插值法. 拉格朗日插值多项式:当节点数n较大时,拉格朗日插值多项式的次数较高,可能出现不一致的收敛情况,而且计算复杂.随着样点增加,高次插值会带来误差的震动现象称为龙格现象. 分段插值:虽然收敛,但光滑性较差. 样条插值:样条插值是使用一种名为样条的特殊分段多项式进行插值的形式.由于样条插值可以使用低阶多项式样条实现较小的插值误差,这样就避免了使用高阶多项
(1).函数 y = sin(x) (2).数据准备 #数据准备 X=np.arange(-np.pi,np.pi,1) #定义样本点X,从-pi到pi每次间隔1 Y= np.sin(X)#定义样本点Y,形成sin函数 new_x=np.arange(-np.pi,np.pi,0.1) #定义差值点 (3).样条插值 #进行样条差值 import scipy.interpolate as spi #进行一阶样条插值 ipo1=spi.splrep(X,Y,k=1) #样本点导入,生成参数 iy1
一.背景 在野外布设700米的测线,点距为10米,用GPS每隔50米测量一个坐标,再把测线的头和为测量一个坐标.现在需使用线性插值的方法求取每两个坐标之间的其他4个点的值. 二.插值原理 使用等比插值的方法 起始值为 a 终止值为 b 步长值为 (a-b)/5 后面的数分别为 a+n, a+2n, a+3n, a+4n 三.代码实习对 x 插值 interx.py import numpy as np f = np.loadtxt('datax.txt') a = f[:, 0] b = f[:
本文实例为大家分享了Python实现分段线性插值的具体代码,供大家参考,具体内容如下 函数: 算法 这个算法不算难.甚至可以说是非常简陋.但是在代码实现上却比之前的稍微麻烦点.主要体现在分段上. 图像效果 代码 import numpy as np from sympy import * import matplotlib.pyplot as plt def f(x): return 1 / (1 + x ** 2) def cal(begin, end): by = f(begin) ey =
简单类型 内置到 Python 编程语言中的简单数据类型包括: bool     int     float     complex 支持简单数据类型不是 Python 独有的功能,因为多数现代编程语言都具有完整类型补充.例如 Java? 语言甚至有一组更丰富的原始数据类型: byte     short     int     long     float     double     char     boolean 但是,在 Python 中,简单数据类型并不是原始数据类型,而是完善的对象
直接列出函数: numpy.interp(x, xp, fp, left=None, right=None, period=None) x - 表示将要计算的插值点x坐标 xp - 表示已有的xp数组 fp - 表示对应于已有的xp数组的值 left - 表示当x值在xp中最小值左边时,x对应y的值为left right - 表示当x值在xp中最大值右边时,x对应y的值为right (left和right表示x在xp的域外时,y的取值) example: 1. import numpy as n
如下所示: list=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,11,0,13,14,15,16,17,18,19,20] #把list分为长度为5的4段 for j in range(0,len(list),5): matrix.append(list[j:j+5]) matrix=np.array(matrix)#转array型 print matrix[0]#输出第一段 结果: [[ 1 2 3 4 0] [ 6 7 8 0 0] [11 0 13 14 15] [16 0 18 19 2
本文实例为大家分享了python使用Matplotlib绘制分段函数的具体代码,供大家参考,具体内容如下 环境 Python3 Mac OS 代码 # coding:utf-8 """ Author: roguesir Date: 2017/8/30 GitHub: https://roguesir.github.com Blog: http://blog.csdn.net/roguesir """ import numpy as np impo
我就废话不多说了,直接上代码吧! #方法一 def list_cut(mylist,count): length=len(mylist) merchant=length//count re_merchant=merchant+1*(0 if length%count==0 else 1) begin=0 result_list = [] while (count>0): result_list.append(mylist[begin:begin+re_merchant]) begin=begin
一维插值 插值不同于拟合.插值函数经过样本点,拟合函数一般基于最小二乘法尽量靠近所有样本点穿过.常见插值方法有拉格朗日插值法.分段插值法.样条插值法. 拉格朗日插值多项式:当节点数n较大时,拉格朗日插值多项式的次数较高,可能出现不一致的收敛情况,而且计算复杂.随着样点增加,高次插值会带来误差的震动现象称为龙格现象. 分段插值:虽然收敛,但光滑性较差. 样条插值:样条插值是使用一种名为样条的特殊分段多项式进行插值的形式.由于样条插值可以使用低阶多项式样条实现较小的插值误差,这样就避免了使用高阶多项

    线性插值，也就是给定初始点集合和终止点集合，然后给定一个映射关系。对一一对应的点的位置，即对x,y坐标进行线性插值。
 
x = x0*t + x1*(1-t);
y = y0*t + y1*(1-t);
 
    而矢量线性插值，是在给定初始点和终止点集合后，将n个点转换为n-1个按顺序首尾相连的向量。然后，再将向量转化为极坐标，并对长度和角度进行线性插值。相当于将其转换到另外一个空间，维护了其角度和长度上的连续性。
 
a = a*t + a*(1-t);
p = p*t + p*(1-t);

        线性插值

void interpolation::setLinearPoint()
{
    interPoint = new point*[num+1];//num为中间插值的个数
    for(int t=0;t<=num;t++){
        interPoint[t] = new point[size];
        for(int i=0;i<size;i++){//size为图形的点个数，需要对每个点都进行插值
            interPoint[t][i].x = (1-1.0f*t/num)*startPoint[i].x
                    + 1.0f*t/num*endPoint[i].x;
            interPoint[t][i].y = (1-1.0f*t/num)*startPoint[i].y
                    + 1.0f*t/num*endPoint[i].y;

        }
    }
}


        而对于矢量线性插值，要考虑的问题则相对复杂。
        （1）矢量是没有位置的，它只有大小和方向信息。所以在对极坐标两个参数插值后，还需要确定它的位置。要获取位置信息，我们采用的方法是对第一个点的坐标进行线性插值。
//对第一个点的位置线性插值
    interPoint = new point*[num+1];
    for(int t=0;t<=num;t++){
        interPoint[t] = new point[size];
        interPoint[t][0].x = (1-1.0f*t/num)*startPoint[0].x
                + 1.0f*t/num*endPoint[0].x;
        interPoint[t][0].y = (1-1.0f*t/num)*startPoint[0].y
                + 1.0f*t/num*endPoint[0].y;
}
   //根据矢量定义，依次求出其余点坐标
    for(int t=0;t<=num;t++){
        for(int i=1;i<size;i++){
            interPoint[t][i].x = interPoint[t][i-1].x
                    + interVec[t][i-1].p*cos(interVec[t][i-1].a);
            interPoint[t][i].y = interPoint[t][i-1].y
                    + interVec[t][i-1].p*sin(interVec[t][i-1].a);
        }
    }

        （2）矢量线性插值会出现二义性
       

 
         如图，从一个矢量到另外一个矢量，有两种可能的旋转方式。如果直接对角度进行插值，而不做任何处理，会出现错误（与预期不符合）的旋转方向。具体表现并不是按相反方向旋转，而是一种参差不齐的现象:有的边按预期方向旋转，但有的边却不按预期方向旋转。
         一种解决方法：强制保证旋转角度小于180度，这样能在极大多数情况下避免旋转方向不统一的现象（虽然不一定保证按预期方向）。例外在于旋转角度在180度附近时，依然会出现问题。
    //矢量线性插值
    for(int t=0;t<=num;t++){
        interVec[t] = new vec[size];
        for(int i=0;i<size-1;i++){
            //case 1：
            if(endVec[i].a-startVec[i].a<-pi){
                interVec[t][i].a = (1-1.0f*t/num)*startVec[i].a
                        + 1.0f*t/num*(endVec[i].a+2*pi);
            }
            //case 2：
            else if(endVec[i].a-startVec[i].a>pi){
                interVec[t][i].a = (1-1.0f*t/num)*(startVec[i].a+2*pi)
                        + 1.0f*t/num*endVec[i].a;
            }
            //case 3：
            else{
                interVec[t][i].a = (1-1.0f*t/num)*startVec[i].a
                        + 1.0f*t/num*endVec[i].a;
            }
            interVec[t][i].p = (1-1.0f*t/num)*startVec[i].p
                    + 1.0f*t/num*endVec[i].p;
        }
    }
        首先需要说明的一点，计算角度时，是通过反正切得到的，获得角度的范围在[-pi,pi]。为了保证旋转角小于180度，需要在大于180度时对某一角度强制加上2*pi,相当于多旋转一个周期，这样就改变了它们的相对位置，也就保证了角度的差值将小于180度。
 
        另外一种解决方法：既然程序无法判断我们理想中的旋转方向，可以让用户告诉程序是需要顺时针还是逆时针旋转。
        指定顺时针旋转（保证末角度始终大于初角度）
    //矢量线性插值
    for(int t=0;t<=num;t++){
        interVec[t] = new vec[size];
        for(int i=0;i<size-1;i++){

            if(endVec[i].a-startVec[i].a<0){
                interVec[t][i].a = (1-1.0f*t/num)*startVec[i].a
                        + 1.0f*t/num*(endVec[i].a+2*pi);
            }
            else{
                interVec[t][i].a = (1-1.0f*t/num)*startVec[i].a
                        + 1.0f*t/num*endVec[i].a;
            }
            interVec[t][i].p = (1-1.0f*t/num)*startVec[i].p
                    + 1.0f*t/num*endVec[i].p;
        }
    }



        指定逆时针旋转（保证末角度小于初角度）

    for(int t=0;t<=num;t++){
        interVec[t] = new vec[size];
        for(int i=0;i<size-1;i++){

            if(endVec[i].a-startVec[i].a>0){
                interVec[t][i].a = (1-1.0f*t/num)*(startVec[i].a+2*pi)
                        + 1.0f*t/num*(endVec[i].a);
            }
            else{
                interVec[t][i].a = (1-1.0f*t/num)*startVec[i].a
                        + 1.0f*t/num*endVec[i].a;
            }
            interVec[t][i].p = (1-1.0f*t/num)*startVec[i].p
                    + 1.0f*t/num*endVec[i].p;
        }
    }