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线性插值
 
线性插值 linear interpolation
 
无需多言，公式：
 

  
  
 
 


 
P(t) = A + (B -A)t
 
P(t) = A(1-t) + Bt
 
这个函数一般我们叫做lerp.
 

  
template<typename T>
inline T lerp(const T &lo, const T &hi, float t)
{ return lo * (1 - t) + hi * t; }

 
 
如果门把t变成某个函数g(t)，那么线性可以变得平滑，可以变成多项式等等...
 
双线性插值 bilinear interpolation
 

  
  
 
 


 
思路是类似的，我们首先用插值算出 nx0 和 nx1，然后再用插值算出P处的值：
 
nx0 = lerp(c00,c10,tx)
 
nx1 = lerp(c01,c11,tx)
 
p = lerp(nx0,nx1,ty)
 
如果我们展开的话长这样：
 
 
 
三线性插值 Trilinear interpolation
 
同样的思路，只是我们推到3d空间：
 

  
  
 
 


 
a = lerp(c000,c100,tx)
 
b = lerp(c010,c110,tx)
 
c = lerp(c001,c101,tx)
 
d = lerp(c011,c111,tx)
 


 
得到了这四个点，再把它代入回双线性插值既可：
 

  
  
 
 


 
e = lerp(a, b, ty)
 
f = lerp(c, d, ty)
 


 
最终e, f之间构成了线性插值：
 

  
  
 
 


 
p = lerp(e,f,tz)
 
展开看各项的系数：
 
c000: (1-tx)(1-ty)(1-tz)
c100: tx(1-ty)(1-tz)
c010: (1-tx)ty(1-tz)
c110: txty(1-tz)
c001: (1-tx)(1-ty)tz
c101: tx(1-ty)tz
c011: (1-tx)tytz
c111: txtytz
 
如果写代码的话可以简单一点：
 

  
float accum = 0;
for (size_t i = 0; i < 2; i++)
    for (size_t j = 0; j < 2; j++)
        for (size_t k = 0; k < 2; k++)
            accum += (i*tx+(1-i)*(1-tx))*
                   (j*ty+(1-j)*(1-ty))*
                   (k*tz+(1-k)*(1-tz))*c[i][j][k];

 
 
例子
 
双线性插值的一个直观例子见题图：
 
生成图片代码
 
参考：
 
Scratchapixel - Interpolation