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  • 组合数性质的证明Ⅰ

    千次阅读 2017-10-06 20:19:02
    若没有阅读上一章的内容请点这里 先列出来展开式 A(n,m)=n×(n-1)×…×(n-m+1)=n!/(n-m)! ① C(n,m)=A(n,m)/m!...组合数性质证明Ⅰ   ⑴对于0≤m≤n,有C(n,m)=C(n,n-m) 这是显而易见

    若没有阅读上一章的内容请点这里

    先列出来展开式

    A(n,m)=n×(n-1)×…×(n-m+1)=n!/(n-m)!           ①

    C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/[(n-m)!×m!]            ②

    由于时间原因 在这一篇不会全证明完

    <4>组合数性质证明Ⅰ


    ⑴对于0≤m≤n,有C(n,m)=C(n,n-m)

    这是显而易见的

    首先我们举个例子:现在一个队伍里面有n个队员,要先选择m个队长,求:有多少个方案数;  这里我们可以得出组合数方程方案数ans1=C(n,m)对吧。

    我们现在反过来看这道题 他是让我们选择m个队长 也就是说有(n-m)个队员 我们可以可以看成选择(n-m)个队员?所以又可以得出来组合数方程ans2=C(n,n-m)

    又因为答案的唯一性,所以ans1=ans2=>C(n,m)=C(n,n-m)因为不可能从n个队员里面选比n还多的队长 所以得出结论⑴对于0≤m≤n,有C(n,m)=C(n,n-m)。

    要是用算数方法证明也很简单将C(n,m),C(n,n-m)经过②展开也可以得出结论。在这就不解释了


    ⑵C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)

    呃,笔者文笔有限这个性质编不出故事而且还是蒟蒻级别只能硬拆所以呢可能有点证明枯燥

    这个性质很有用 可以用来递推求出组合数但是!我还是蒟蒻级别只能硬拆

    我们将左边拆开就是
    n!(nm)!×m!
    也就是
    n×(n1)×(n2)×.....×(nm+1)m!

     

    右边的拆开就是
    (n1)!(nm1)!×m!

           +

    (n1)!×m(nm)!×(m1)!×m
    (×m我自己加上去的)

    同样上下约分就可以得出来
    n!(nm)!×m!

              =左边

    得证


    ⑶C(n,0)+C(n+1,1)+C(n+2,2)+ …+C(n+r,r)=C(n+r+1,r)

    这个性质其实证明也很简单,我们将左边反着看就是

    C(n+r,r)+C(n+r-1,r-1)+C(n+r-2,r-2)+…+C(n+1,1)+C(n,0)

    还记的上面的那个公式吗?是不是感觉证明这性质不用那公式证明都对不起它了?

    我们先将它摆出来C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)

    为了让⑶右边和左边看起来很像,我们将②带入

    C(n+r+1,r)=C(n+r,r)+C(n+r,r-1)

    是不是有一个一样?!很简单吧,整个式子就化成了我们要证明

    C(n+r-1,r-1)+C(n+r-2,r-2)+…+C(n+1,1)+C(n,0)=C(n+r,r-1)

    哈哈是不是又可以代入?(  C(n+r,r-1)=C(n+r-1,r-1)+C(n+r-1,r-2)  )一直这样代入消元,最终式子也就变成了0=0

    所以说也就 Q.E.D(证毕)了


    ⑷C(n,l)*C(l,r)=C(n,r)*C(n-r,l-r)

    这个是这篇文章的最后一个
    所以说得好好证啦!

    其实这个题目的证明是很容易的,只要用组合的定义(强拆),就可以直接得到证明。

    那就开始暴力吧!

    C(n,l)×C(l,r)={n!/[(n-l)!×l!]}×{l!/[(l-r)!r!]}={n!/[(n-r)!*r!]}×{(n-r)!/[(n-l)!(l-r)!]}=C(n,r)×C(n-r,l-r)

    为了更加理解,我这次来编个故事

    在很南很南的南方,有一个叫wulala的dalao开了一座工厂,都是废话赶紧入正题

    这个式子所描述的意义就是,在母本忠有n个不同元素,要先在其中取出l个,再在l个中取出r个样本的取法的数量;但是wulala爱创新,所以它先从n个不同元素中先取出r个,再在剩下的n-r个元素中取出l-r个元素。其实这两种取法的结果,都是得到三组,分别为n-l个,l-r个和r个元素。二者的结果都是一样的,所以,无论中间如何取,结果都是一样的。依照乘法原理也就得出了结论

     
     
    好的,这次的内容就到这里了,学生党时间不多,不能一次性全部打完,敬请谅解
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  • 组合数性质

    千次阅读 2016-07-21 16:58:28
    华电北风吹 天津大学认知计算与应用重点实验室 2016-07-21一、组合数定义 从n个不同元素中取出m个元素的个数,用CmnC_n^m表示。...}二、组合数性质 Cmn=Cn−mnC_n^m=C_n^{n-m} Cmn=Cmn−1+Cm−1n−1C_n^m

    华电北风吹
    天津大学认知计算与应用重点实验室
    2016-07-21

    一、组合数定义
    从n个不同元素中取出m个元素的个数,用 Cmn 表示。
    Cmn=AmnAmm=n!m!(nm)!

    二、组合数性质
    Cmn=Cnmn(1)
    Cmn=Cmn1+Cm1n1(2)
    mnCmn=Cm1n1(3)

    三、练习
    Cmm+Cmm+1+Cmm+2+Cmm+3+...+Cmn=Cm+1n+1(2)()

    四、实例
    从1到n中,随机挑选m个数,其中最大的那个数的期望是多少?
    nk=mkCm1k1Cmn=m(n+1)m+1()

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  • 2021_2022学年新教材高中数学第三章排列组合与二项式定理3.1.3.1组合与组合数及组合数性质课件新人教B版选择性必修第二册202107062122
  • 组合数的各种性质和定理

    万次阅读 多人点赞 2017-07-23 19:21:30
    组合数有很多很多的性质和定理。。。 注意由于本人沉迷玩梗无法自拔,如果看见您看不懂的梗请随意跳过。 组合数通项公式 Cnm=m!n!∗(m−n)!Cmn=m!n!∗(m−n)!C_m^n=\frac{m!}{n!*(m-n)!} 证明:现在我们从m个...

    从m个物品里选出n个的方案数,记作 Cnm C m n ,即为组合数
    组合数有很多很多的性质和定理。。。
    注意由于本人沉迷玩梗无法自拔,如果看见您看不懂的梗请随意跳过。

    组合数通项公式

    Cnm=m!n!(mn)! C m n = m ! n ! ∗ ( m − n ) !

    证明:现在我们从m个不同的数里选出n个数组成一个排列,第一个位子上的数有m种取法,第二个位子上的有m-1种,第三个位子上有m-2种。。。共有 m!(mn)! m ! ( m − n ) !
    然而,我们对于顺序没有要求,假设取出了n个数,第一个位子上有n种放法,第二个位子上有n-1种。。。所以我们刚才得到的哪个东西还要除一个 n! n !

    组合数递推公式

    Cnm=Cnm1+Cn1m1 C m n = C m − 1 n + C m − 1 n − 1

    证明:从m个不同的数中取n个,第m个数如果取的话有 Cn1m1 C m − 1 n − 1 种取法,如果不取则有 Cnm1 C m − 1 n 种。
    如果您是组合数新手,请牢记以上两个公式

    性质1

    Cnm=Cmnm C m n = C m m − n

    证明:显然从m个物品里选n个和从m个物品里选m-n个丢掉的方案数是一样的。

    性质2

    Crm+r+1=i=0rCim+i C m + r + 1 r = ∑ i = 0 r C m + i i

    证明:用组合数的递推公式。
    首先 C0m=C0m+1=1 C m 0 = C m + 1 0 = 1
    C0m+C1m+1+C2m+2+...+Crm+r C m 0 + C m + 1 1 + C m + 2 2 + . . . + C m + r r =
    C1m+C1m+1+C2m+2+...+Crm+r C m 1 + C m + 1 1 + C m + 2 2 + . . . + C m + r r =
    C1m+2+C2m+2+...+Crm+r C m + 2 1 + C m + 2 2 + . . . + C m + r r =
    Crm+r+1 C m + r + 1 r

    性质3

    CnmCrn=CrmCnrmr C m n ∗ C n r = C m r ∗ C m − r n − r

    证明:用组合数的通项公式
    CnmCrn= C m n ∗ C n r =
    m!n!(mn)!n!r!(nr)!= m ! n ! ( m − n ) ! ∗ n ! r ! ( n − r ) ! =
    m!r!(mr)!(mr)!(mn)!(nr)!= m ! r ! ( m − r ) ! ∗ ( m − r ) ! ( m − n ) ! ( n − r ) ! =
    CrmCnrmr C m r ∗ C m − r n − r

    性质4(二项式定理)

    i=0mCim=2m ∑ i = 0 m C m i = 2 m

    证明:显然 Cim C m i 代表一个m位二进制数有i个0的情况下的数量,那么这个和就是m位二进制数的数量了。
    推广一下这个二项式定理:
    i=0mCimxi=(x+1)m ∑ i = 0 m C m i ∗ x i = ( x + 1 ) m

    这个又怎么证明呢?先把 (x+1)m ( x + 1 ) m 写成 (x+1)(x+1)(x+1)... ( x + 1 ) ( x + 1 ) ( x + 1 ) . . . 的格式,然后每一项很精妙啊,比如说i次方项,选的 i i x是从哪个括号里来呢?有 Cim C m i 种方案吧,所以 xi x i 项的系数是 Cim C m i
    这就是杨辉三角的应用(可以自行百度)

    性质5

    C0mC1m+C2m...±Cmm=0 C m 0 − C m 1 + C m 2 − . . . ± C m m = 0

    证明:假如m是奇数的花,由性质1可知正确。
    假如m是偶数的花,这个里面的花,用一下递推公式,然后显然 C0m1=C0m=1 C m − 1 0 = C m 0 = 1 并且 Cm1m1=Cmm=1 C m − 1 m − 1 = C m m = 1 ,则:
    C0mC1m+C2m...+Cmm= C m 0 − C m 1 + C m 2 − . . . + C m m =
    C0m1C0m1C1m1+C1m1+C2m1...+Cm1m1=0 C m − 1 0 − C m − 1 0 − C m − 1 1 + C m − 1 1 + C m − 1 2 − . . . + C m − 1 m − 1 = 0

    性质6

    C0m+C2m+C4m...=C1m+C3m+C5m+...=2m1 C m 0 + C m 2 + C m 4 . . . = C m 1 + C m 3 + C m 5 + . . . = 2 m − 1

    证明:这个根据性质4和性质5可知正确。

    性质7

    Crm+n=C0mCrn+C1mCr1n++CrmC0n C m + n r = C m 0 ∗ C n r + C m 1 ∗ C n r − 1 + … + C m r ∗ C n 0

    证明:很简单,考虑我选出的r个物品在前m个物品有几个,在后n个物品里有几个即可。
    特别的:
    Cnm+n=C0mC0n+C1mC1n++CmmCmn C m + n n = C m 0 ∗ C n 0 + C m 1 ∗ C n 1 + … + C m m ∗ C n m

    这个是根据性质1变形得到的。

    性质8

    nCnm=mCn1m1 n ∗ C m n = m ∗ C m − 1 n − 1

    证明:运用通项公式
    nCnm= n ∗ C m n =
    nm!n!(mn)!= n ∗ m ! n ! ( m − n ) ! =
    m!(n1)!(mn)!= m ! ( n − 1 ) ! ( m − n ) ! =
    m(m1)!(n1)!(mn)!=mCn1m1 m ∗ ( m − 1 ) ! ( n − 1 ) ! ( m − n ) ! = m ∗ C m − 1 n − 1

    性质9

    i=1nCini=n2n1 ∑ i = 1 n C n i ∗ i = n ∗ 2 n − 1

    证明:用通项公式
    ni=1Cini=n2n1= ∑ i = 1 n C n i ∗ i = n ∗ 2 n − 1 =
    ni=1n!(i1)!(ni)!= ∑ i = 1 n n ! ( i − 1 ) ! ( n − i ) ! =
    (ni=1(n1)!(i1)!(ni)!)n= ( ∑ i = 1 n ( n − 1 ) ! ( i − 1 ) ! ( n − i ) ! ) ∗ n =
    (n1i=0Cin)n= ( ∑ i = 0 n − 1 C n i ) ∗ n =
    现在看性质4。
    n2n1 n ∗ 2 n − 1

    性质10

    i=1nCini2=n(n+1)2n2 ∑ i = 1 n C n i ∗ i 2 = n ∗ ( n + 1 ) ∗ 2 n − 2

    证明
    和上一个性质有些类似。
    ni=1Cini2= ∑ i = 1 n C n i ∗ i 2 =
    用和上面差不多的方法得到:
    (n1i=0Cin1(i+1))n= ( ∑ i = 0 n − 1 C n − 1 i ∗ ( i + 1 ) ) ∗ n =
    (n1i=0Cin1i+n1i=0Cin1)n= ( ∑ i = 0 n − 1 C n − 1 i ∗ i + ∑ i = 0 n − 1 C n − 1 i ) ∗ n =
    用性质9和性质4可以得到:
    (2n2(n1)+2n1)n= ( 2 n − 2 ∗ ( n − 1 ) + 2 n − 1 ) ∗ n =
    很明显 2n1=22n2 2 n − 1 = 2 ∗ 2 n − 2
    所以原式= 2n2(n+1)n 2 n − 2 ∗ ( n + 1 ) ∗ n

    性质11

    i=0n(Cin)2=Cn2n ∑ i = 0 n ( C n i ) 2 = C 2 n n

    证明:boshi说,他的门前有两棵树, 一棵是枣树,另一棵也是枣树,每棵树上有n个枣子,每个枣子都有一个不同的神奇的膜法符号。现在boshi从两棵树上一共打下了n个枣子,那么一共有多少种方案?是 Cn2n C 2 n n ,也是第一棵树上打下i个枣子,从第二棵树上打下(n-i)棵枣子的方案,根据乘法原理乘起来,又因为 Cin=Cnin C n i = C n n − i ,所以得到上一个式子。

    卢卡斯定理

    简单的说就是求 Cnm%p C m n % p 的时候可以化作 Cnm=Cn/pm/pCn%pm%p C m n = C m / p n / p ∗ C m % p n % p ,那么只要递归 Cn/pm/p C m / p n / p 即可。
    证明我蠢我不会自己想

    后记

    啊啊啊搞了一下午终于证完了累死了。。。感觉自己和组合数的感情有了明显的提升(才怪)。。。
    在文章的最后%一发数王。。。
    %%%%%%%%%数王您太强了%%%%%%%%%%%
    数王说以上所有定理都可以用那个那个那个证,虽然我不知道那个是哪个,但是反正好强啊%%%%%%%%
    好吧以上都是不正经内容,正经内容是:
    在做题的时候大家可能不一定都会遇到这些性质,但是在手动证明完这些性质后对于组合数变形的问题就会有更深一层的理解,总之,组合数性质可以用一下方法推出:
    1.情景假设法(假设boshi从枣树选枣子的方案。。。
    2.隔板法(boshi把枣子放成一排,通过在枣子间添加隔板来分组。。。
    3.通向公式法
    4.递推公式法
    以上。

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  • 首先我们都知道组合数的意义,就是说一共有n个样本,一次性从中取出m个样本,一共有多少种不同的取法。它的公式如下: 它有这么一个性质: 该性质有若干种证明方式,今天我在这边写出我觉得挺巧妙的一种证明方式。...

    1.公式

    • 首先我们都知道组合数的意义,就是说一共有n个样本,一次性从中取出m个样本,一共有多少种不同的取法。它的公式如下:

      List item
      它有这么一个性质:
      在这里插入图片描述
      该性质有若干种证明方式,今天我在这边写出我觉得挺巧妙的一种证明方式。

    2.证明

    • 想必大家都知道有关的另一个公式:
      在这里插入图片描述

    • 关于这个公式的系数(也就是c(n,0),c(n,1)…)可以这么理解:
      首先知道,(a+b) ^n 的展开式一共有n+1项,分别是a ^n,a ^n-1b,…ab ^n-1,b ^n。
      (a+b) ^n 就是有n个(a+b)相乘,相当于(a+b)(a+b)(a+b)…(a+b)(a+b),一共n个。
      对于a^n,相当于是从n项中找n个a相乘,其系数就是C(n,0)=1,
      对于a^n-1
      b,相当于是从n项中找 (n-1) 个a和 1 个b相乘,其系数就是C(n,1)=n,
      对于a^n-2*b ^2,相当于是从n项中找 (n-2) 个a和 2 个b相乘,其系数就是C(n,2),


      对于b^n,相当于是从n项中找 n 个b相乘,其系数就是C(n,n)=1,

    • 由此可知:组合数之和 = 二项式的系数之和 = (a+b)^n一共的项数
      很明显,(a+b)^n,一共有2 ^n个系数为1的项

    (a+b)^n
    n=12项
    n=24项
    n=38项
    n=k2^k项

    这也算是加深了自己的理解吧,以前一直只知道死记公式,从不想为什么,今后这毛病得改。。。

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    比如求 CnmC_{n}^{m}Cnm​,代码如下: ll combi(int n,int m){//求组合数的函数 ll cnt = 1; for(int i = 0; i < m; i++){ cnt *= n - i; cnt /= i + 1; } return cnt; } ...
  • java求排列组合数

    万次阅读 2017-09-15 14:51:06
    组合数性质 即从m个不同元素中取出n个元素的组合数=从m个不同元素中取出(m-n)个元素的组合数;即:运用互补性质可以简化组合数的计算量。 package com.lan.MathFunction; //求排列数组合数 public class Test { ...
  • 想必大家都知道的组合数在正整数上有:    但很少有人知道这个公式在实数领域上也是成立的:  也就是说n!在实数上有定义  x!=(x+1)。。。。。(x)为伽马函数    下面问题转移到伽马函数上面了,但是...
  • 组合数C(n,k)的求法总结 与组合数有关的两个最重要内容是杨辉三角和二项式定理。 杨辉三角前10行如下所示: 另一方面,将(a+b)^n展开,系数正好和杨辉三角一致。 一般有(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+.....

空空如也

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组合数性质

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