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  • 自相关系数

    万次阅读 2019-06-11 10:50:50
    两个信号之间的相似性大小用相关系数来衡量。定义: 称为变量 X 和 Y 的相关系数。若相关系数 = 0,则称 X与Y 不相关。相关系数越大,相关性越大,但肯定小于或者等于1.。相关函数分为自相关和互相关。下面一一介绍...

    1、介绍
    相关函数是描述信号X(s),Y(t)(这两个信号可以是随机的,也可以是确定的)在任意两个不同时刻s、t的取值之间的相关程度。两个信号之间的相似性大小用相关系数来衡量。定义:
    在这里插入图片描述

    称为变量 X 和 Y 的相关系数。若相关系数 = 0,则称 X与Y 不相关。相关系数越大,相关性越大,但肯定小于或者等于1.。相关函数分为自相关和互相关。下面一一介绍
    自相关函数是描述随机信号 x(t) 在任意不同时刻 t1,t2的取值之间的相关程度。定义式:
    在这里插入图片描述

    主要性质如下:

    (1)自相关函数为偶函数,其图形对称于纵轴。
    (2)当s=t 时,自相关函数具有最大值,且等于信号的均方值,即
    (3)周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。
    自相关是互相关的一种特殊情况.。互相关函数是描述随机信号 x(t)、y(t) 在任意两个不同时刻s,t的取值之间的相关程度,其定义为:
    在这里插入图片描述

    对于连续函数,有定义:
    在这里插入图片描述

    对于离散的,有定义:

    在这里插入图片描述

    从定义式中可以看到,互相关函数和卷积运算类似,也是两个序列滑动相乘,但是区别在于:互相关的两个序列都不翻转,直接滑动相乘,求和;卷积的其中一个序列需要先翻转,然后滑动相乘,求和。所以,f(t)和g(t) 做相关等于 f*(-t) 与 g(t) 做卷积。
    在图象处理中,自相关和互相关函数的定义如下:设原函数是f(t),则自相关函数定义为 R(u)=f(t)f(-t),其中表示卷积;设两个函数分别是f(t)和g(t),则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t),它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。

    2、互相关公式
    自相关和互相关表示两个的线性度。越接近正负1线性度越好。若接近0表示线性关系不好,但有可能是其他关系,如平方等。
    相关的计算公式其实是为了让协方差有量纲:
    在这里插入图片描述
    也就是下面公式:
    在这里插入图片描述
    3、自相关
    协方差是会受到单位的影响的,而相关系数就是消除了量纲的影响。
    这里讲的自相关系数可以说是根据最原始的定义引伸出来的。
    其实自相关系数可以这么理解:把一列数据按照滞后数拆成两列数据,在对这两列数据做类似相关系数的操作。
    看一个例子:

    在这里插入图片描述

    这组数据是求滞后数为2的自相关系数,则变成求{x1,x2,…,x8}和{x3,x4,…,x10}两者的“相关系数”,相关系数打引号是因为这个相关系数的公式和以往的有点不一样。下面看一下公式的对比:

    在这里插入图片描述
    (注意:上面公式左边大的求和号只是对分子求和)
    要注意的是在计算自相管系数的时候 是使用的总体的均值, 可以看到他们除了 取得不一样, 几乎就是一样的。
    所以,我们可以这么理解自相关系数, 她就是用来表达一组数据前后数据 (自己和自己) 的相关性的。

    4、matlab中计算自相关系数
    比如矩阵A = [1 2 3 4] ;xcorr(A) = 4 11 20 30 20 11 4
    自相关函数是信号间隔的函数,间隔有正负间隔,所以n个长度的信号,有2n-1个自相关函数值,分别描述的是不同信号间隔的相似程度,并且该2n-1个自相关函数值关于n对称。
    比如,上面的矩阵,最后得到7个结果,其中第4个是自己和自己相乘,最后相加的结果,值最大11+22+33+44 = 30 。而第三个和第五个分别是间隔正负1的结果也就是12+23+34 = 20,21+32+43 = 20 。第二个和第六个分别是间隔正负2也就是13+24=11,31+42 = 11。第一个和第七个分别是间隔正负3也就是14 = 4 ,41=4 。
    而matlab中autocorr和xcorr有什么不同呢?autocorr是对序列减去均值后做的自相关,最后又进行了归一化。而且由于自相关本身是偶函数,autocorr只是取了以中点n为起始的后面n个序列。

    clear ;
    %使用autocorr函数
    A = [1 2 3 4] ;
    n = length(A) ;
    [ACF,lags,bounds] = autocorr(A,n-1) ;
    subplot(2,1,1) ;
    plot(lags(1:end),ACF(1:end)) ;
    title(‘autocorr求自相关’) ;
    %使用xcorr函数
    B = A - mean(A) ;%减掉均值
    [c,lags] = xcorr(B) ;
    d = c ./ c(n) ;%归一化
    subplot(2,1,2) ;
    plot(lags(n:end),d(n:end)) ;%取中点n为起始的后面n个序列
    title(‘xcorr求自相关’) ;

    得到的函数图像一样,如图所示:
    在这里插入图片描述

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  • AR模型中的自相关系数和偏自相关系数

    万次阅读 多人点赞 2018-07-20 18:08:44
    其实自相关系数可以这么理解:把一列数据按照滞后数拆成两列数据,在对这两列数据做类似相关系数的操作。 看一个例子: 这组数据是求滞后数为2的自相关系数,则变成求{x1,x2,...,x8}和{x3,x4,...,x10}两者的...

    转:https://blog.csdn.net/WMN7Q/article/details/70174300
    自相关系数
    其实自相关系数可以这么理解:把一列数据按照滞后数拆成两列数据,在对这两列数据做类似相关系数的操作。
    看一个例子:

    这组数据是求滞后数为2的自相关系数,则变成求{x1,x2,...,x8}和{x3,x4,...,x10}两者的“相关系数”,相关系数打引号是因为这个相关系数的公式和以往的有点不一样。下面看一下公式的对比:

    要注意的是在计算自相管系数的时候 是使用的总体的均值, 可以看到他们除了 取得不一样, 几乎就是一样的。
    所以,我们可以这么理解自相关系数, 她就是用来表达一组数据前后数据 (自己和自己) 的相关性的

    在mathematica中,求自相关系数的函数为 CorrelationFunction[]

     

    偏自相关系数

    偏自相关系数在网上能查到的很少,我就详细的讲一下。

    首先是定义:

    但是上面这个式子不能进行计算,我们经过化简,可以得到下面的等价的式子:下面矩阵中的pi就是滞后为i的自相关系数

    至于化简的过程,可以查阅一下相关的资料,用到了k阶自回归拟合,还是有点复杂的。

    我们可以将上面的过程用mma实现,当然mma中是有现成的函数的,我们就全当验证一下公式是否正确。

    我们来计算一下{2,3,4,3,7}的滞后系数为3的偏自相关系数

     

    1.首先计算他的1,2,3阶滞后的自相关系数

     

    xs = CorrelationFunction[{2, 3, 4, 3, 7}, #] & /@ {1, 2, 3}

     

     

    2.接着生成如上的k*k的矩阵D和对于的Dk

     

    
     
    1. <span style="font-size:18px;">x = Array[

    2. CorrelationFunction[{2, 3, 4, 3, 7}, Abs[#1 - #2]] &, {3, 3}];

    3. x // MatrixForm</span>

     

     

    
     
    1. <span style="font-size:18px;">xk = x;

    2. xk[[All, 3]] = xs;

    3. xk // MatrixForm</span>

    3.计算Dk/D

    
     
    1. <span style="font-size:18px;">PartialCorrelationFunction[{2, 3, 4, 3, 7}, 3]

    2. Det[xk]/Det[x]</span>

     


     

     

    上面的过程其实可以帮助我们更好的理解偏自相关系数的计算,我们把上面的过程总结成一个函数

     

    
     
    1. <span style="font-size:18px;">pcorr[h_, list_] := Block[{xs, x, xk, lh},

    2. lh = Length[list];

    3. xs = CorrelationFunction[list, #] & /@ Range[lh - 1];

    4. x = Array[CorrelationFunction[list, Abs[#1 - #2]] &, {h, h}];

    5. xk = x;

    6. xk[[All, h]] = xs[[;; h]];

    7. Print["D矩阵: ", MatrixForm[x]];

    8. Print["Dk矩阵: ", MatrixForm[xk]];

    9. Print["使用自编函数: " <> ToString[N@Det[xk]/Det[x]]];

    10. Print["使用系统函数: " <> ToString[N@PartialCorrelationFunction[list, h]]];

    11. ]</span>

    这样在计算偏自相关系数的时候可以返回两个矩阵D和Dk,我们看一下效果

     

    可以看到两者计算的结果是一样的,并且输出了两个矩阵。

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  • 自相关系数(autocorrelation coefficient,AC)和偏自相关系数(partial autocorrelation coefficient,PAC)是统计学中定义的概念,是用以反映变量之间相关程度的统计指标,只是两者表现的具体变量之间的关系有所不同...

    自相关系数与偏自相关系数

    自相关系数(autocorrelation coefficient,AC)和偏自相关系数(partial autocorrelation coefficient,PAC)是统计学中定义的概念,是用以反映变量之间相关程度的统计指标,只是两者表现的具体变量之间的关系有所不同。

    自相关系数:当研究一个变量受另一个变量影响时,若同时考虑其他变量的影响,此时分析变量之间的关系强弱程度称为相关系数。

    偏自相关系数:若研究一个变量受另一个变量影响时,其他的影响变量要视作常数,即暂时不考虑其他因素影响,单独考虑这两个变量的关系程度,此时分析变量之间的关系用的是偏相关系数。

    拖尾与截尾

    拖尾是指序列以指数率单调递减或震荡衰减,而截尾指序列从某个时间点变得非常小。

    出现以下情况,通常视为(偏)自相关系数d阶截尾:

    1. 在最初的d阶明显大于2倍标准差范围
    2. 之后几乎95%的(偏)自相关系数都落在2倍标准差范围以内
    3. 且由非零自相关系数衰减为在零附近小值波动的过程非常突然

    出现以下情况,通常视为(偏)自相关系数拖尾:

    1. 如果有超过5%的样本(偏)自相关系数都落在两倍标准差范围之外
    2. 或者是由显著非0的(偏)自相关系数衰减为小值波动的过程比较缓慢或非常连续

    参考自:https://www.cnblogs.com/ylxn/p/10750710.html

    例如:

    AC是2阶截尾,PAC是拖尾

    AC是拖尾,PAC是2阶截尾

    AC和PAC均是拖尾

    拖尾截尾实例图片来源于:孙红果,邓华.样本自相关系数与偏自相关系数的研究[J].蚌埠学院学报,2016,5(01):35-39.

    侵删

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  • [时间序列分析][3]--自相关系数和偏自相关系数

    万次阅读 多人点赞 2017-04-15 13:07:09
    [时间序列分析][3]--自相关系数和偏自相关系数 之前在回归分析里面曾经讲过协方差和相关系数协方差与相关系数, 这里再多讲一句,协方差是会受到单位的影响的,而相关系数就是消除了量纲的影响,来看两者的相关性 ...

    [时间序列分析][3]--自相关系数和偏自相关系数

    之前在回归分析里面曾经讲过协方差和相关系数协方差与相关系数
    这里再多讲一句,协方差是会受到单位的影响的,而相关系数就是消除了量纲的影响,来看两者的相关性
    这里讲的自相关系数可以说是根据最原始的定义引伸出来的。
    下面分别讲一下我对自相关系数和偏自相关系数的理解:
    自相关系数
    其实自相关系数可以这么理解:把一列数据按照滞后数拆成两列数据,在对这两列数据做类似相关系数的操作。
    看一个例子:


    这组数据是求滞后数为2的自相关系数,则变成求{x1,x2,...,x8}和{x3,x4,...,x10}两者的“相关系数”,相关系数打引号是因为这个相关系数的公式和以往的有点不一样。下面看一下公式的对比:


    要注意的是在计算自相管系数的时候 是使用的总体的均值, 可以看到他们除了 取得不一样, 几乎就是一样的。
    所以,我们可以这么理解自相关系数, 她就是用来表达一组数据前后数据 (自己和自己) 的相关性的

    在mathematica中,求自相关系数的函数为 CorrelationFunction[]


    偏自相关系数

    偏自相关系数在网上能查到的很少,我就详细的讲一下。

    首先是定义:



    但是上面这个式子不能进行计算,我们经过化简,可以得到下面的等价的式子:下面矩阵中的pi就是滞后为i的自相关系数


    至于化简的过程,可以查阅一下相关的资料,用到了k阶自回归拟合,还是有点复杂的。

    我们可以将上面的过程用mma实现,当然mma中是有现成的函数的,我们就全当验证一下公式是否正确。

    我们来计算一下{2,3,4,3,7}的滞后系数为3的偏自相关系数


    1.首先计算他的1,2,3阶滞后的自相关系数

    xs = CorrelationFunction[{2, 3, 4, 3, 7}, #] & /@ {1, 2, 3}

    2.接着生成如上的k*k的矩阵D和对于的Dk

    x = Array[
       CorrelationFunction[{2, 3, 4, 3, 7}, Abs[#1 - #2]] &, {3, 3}];
    x // MatrixForm

    xk = x;
    xk[[All, 3]] = xs;
    xk // MatrixForm
    3.计算Dk/D
    PartialCorrelationFunction[{2, 3, 4, 3, 7}, 3]
    Det[xk]/Det[x]



    上面的过程其实可以帮助我们更好的理解偏自相关系数的计算,我们把上面的过程总结成一个函数

    pcorr[h_, list_] := Block[{xs, x, xk, lh},
      lh = Length[list];
      xs = CorrelationFunction[list, #] & /@ Range[lh - 1];
      x = Array[CorrelationFunction[list, Abs[#1 - #2]] &, {h, h}];
      xk = x;
      xk[[All, h]] = xs[[;; h]];
      Print["D矩阵: ", MatrixForm[x]];
      Print["Dk矩阵: ", MatrixForm[xk]];
      Print["使用自编函数: " <> ToString[N@Det[xk]/Det[x]]];
      Print["使用系统函数: " <> ToString[N@PartialCorrelationFunction[list, h]]];
      ]
    这样在计算偏自相关系数的时候可以返回两个矩阵D和Dk,我们看一下效果

    可以看到两者计算的结果是一样的,并且输出了两个矩阵。


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    以上,所有。

    2017/4/15

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