arima(x,order=c(p,d,q),method=c("ML","CSS"),include.mean)

其中:
x—带估计序列；
Order—指定模型阶数；其中，P为自回归阶数；d为差分阶数，若为平稳序列，则不需要差分即d=0；q为移动平均阶数。
method—估计方法。method =CSS-ML，系统默认的是条件最小二乘估计和极大似然估计的混合方法；method =ML，极大似然估计；method =CSS，条件最小二乘估计；
include.mean—是否包含均值项，即估计结果中的intercept项。系统默认含有常数项。

补充讲解：差分的R语言
(1)P阶差分计算：p阶差分
R语言是：diff(x,differences=p)
其中：x是需要进行差分的序列；p是差分阶数，系统默认为1。
看一个例子：

x=1:10
x
 [1]  1  2  3  4  5  6  7  8  9 10
 y=diff(x)   #对序列x进行一阶差分。
y
[1] 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Z=diff(x,differences = 2)  #对序列x进行二阶差分。
Z
[1] 0 0 0 0 0 0 0 0

（2）k步差分加入参数 lag=k
R语言是：diff(x, lag=k)
其中：x是需要进行差分的序列；k是差分步长，系统默认为1。

如计算x的3步差分，其R程序和结果为：

x=1:10
y=diff(x, lag = 3)
y
[1] 3 3 3 3 3 3 3

知识点1：ARIMA拟合
例1：对1952-1988年中国农业实际国民收入指数序列建模。
（1）读取数据

d=read.table("C:\\Users\\w\\Documents\\收入指数.txt")

#导入数据

shouru=ts(d,start=1952,end=1988,freq=1)#转化为时间序列数据
ts.plot(shouru,type=“b”)  #作时序图。通过时序图，发现该序列呈现出显著的线性递增趋势，为非平稳时间序列。

图1 国民收入指数的时序图
（2）差分运算，并对差分序列的平稳性进行判断

chafen=diff(shouru,differences=1)#对原序列进行一阶差分，剔除趋势
ts.plot(chafen) #时序图表明，差分后的序列在均值附近随机波动，没有明显的趋势或周期性波动，因此差分序列可能为平稳序列。

图2 收入指数一阶差分后时序图

图3收入指数一阶差分序列的自相关图
图4收入指数一阶差分序列的自相关图

acf(chafen,10)      #作自相关图，发现一阶差分序列具有短期相关性，应该为平稳序列。并且可看做1阶截尾
pacf(chafen,10)     #作偏自相关图，可看做拖尾

进一步的对原序列的一阶差分序列chafen进行单位根检验：

library(fBasics)
library(fUnitRoots)
#下载并安装“fUnitRoots”包（安装可以用install.packages(“fUnitRoots”)语句进行），并用library函数进行调用。该程序包中的adfTest函数可以很便捷的进行单位根检验。
for(i in 1:3)print(adfTest(chafen,lag=i,type="c"))
#对“chafen”序列进行检验类型为类型2（无趋势，有常数项），延迟阶数分别取1,2,3的单位根检验

R的运行结果如下：

Title: 
 Augmented Dickey-Fuller Test
Test Results:
  PARAMETER:
    Lag Order: 1
  STATISTIC:
    Dickey-Fuller: -3.0057
  P VALUE:
   0.04732 

Title:
 Augmented Dickey-Fuller Test
Test Results:
  PARAMETER:
    Lag Order: 2
  STATISTIC:
    Dickey-Fuller: -2.4431
  P VALUE:
    0.1626 

Title:
 Augmented Dickey-Fuller Test
Test Results:
  PARAMETER:
    Lag Order: 3
  STATISTIC:
    Dickey-Fuller: -2.8483
  P VALUE:
    0.06747

ADF检验结果表明，差分序列是有常数均值的平稳序列（检验类型是“c”），且该平稳序列有1阶自相关（ADF检验P值=0.04732<0.05）。结合差分序列的时序图和自相关图，认为国民收入指数的一阶差分序列是平稳序列。

(3)差分序列的白噪声检验

Box.test(chafen, type="Ljung-Box",lag=6)  #分别进行滞后期数为6和12期的纯随机性检验。这里略去12期检验的结果。

R运行结果：

data:  chafen
X-squared = 15.3304, df = 6, p-value = 0.01784

当延迟阶数取6时，拒绝原假设，表明序列不是白噪声序列。

Box.test(chafen, type="Ljung-Box",lag=12)

因此差分序列为平稳非白噪声序列，可以用ARMA拟合。

（4）对平稳非白噪声的差分序列构建ARMA模型
根据ACF图和PACF图，考虑建立MA(1)模型。

arima(chafen, order = c(0,0,1),method="ML") 

R运行结果：

arima(x = chafen, order = c(0, 0, 1), method = "ML")

Coefficients:
ma1           intercept
      0.6710        4.9947
s.e.   0.1648         2.0139
sigma^2 estimated as 53.42:  log likelihood = -122.99, aic = 251.97

（5）模型的检验
接着，对差分序列的MA（1）模型进行显著性检验：

a= arima(chafen, order = c(0,0,1),method="ML")
r=a$residuals  #用r来保存残差
Box.test(r,type="Ljung-Box",lag=6,fitdf=1)
Box.test(r,type="Ljung-Box",lag=12,fitdf=1)

白噪声检验表明残差序列是一个白噪声序列，该MA（1）模型拟合差分序列是显著的。
进一步的对模型参数进行显著性检验，这里同上次课内容，此处不再赘述，结果表明参数也是显著的。
写出模型形式为：

困惑(1) ：
理论上，R语句arima(chafen, order = c(0,0,1),method="ML") 和arima(shouru, order = c(0,1,1),method="ML")反映的内容是一样的。
但语句arima(shouru, order = c(0,1,1),method=“ML”) 的计算结果如下：

Call:
arima(x = shouru, order = c(0, 1, 1), method = "ML",include.mean=T)
Coefficients:
         ma1
      0.7355
s.e.  0.1545
sigma^2 estimated as 61.95:  log likelihood = -125.74, aic = 255.49

建议：使用平稳的差分序列进行建模。

困惑(2)：预测咋搞？对原序列直接建模得到的模型是有问题的，所以不能直接用R语句shouru.forecast= predict(arima(shouru, order = c(0,1,1)), n.ahead =3)进行预测，因为结果如下，是错误的结果!

 shouru.forecast
$pred
Time Series:
Start = 1989 
End = 1991 
Frequency = 1 
[1] 283.0082 283.0082 283.0082

探索解法1：使用基于差分序列构造的模型进行预测：

forecast= predict(arima(chafen, order = c(0,0,1)), n.ahead=3)
forecast
$pred
Time Series:
Start = 1989 
End = 1991 
Frequency = 1 
[1] 5.696599 4.995631 4.995631

但得到的是差分序列的预测结果，不是我们关心的原序列的预测结果！该方法失败！
建议：各种尝试，发现和正确的预测结果最接近的唯一办法就是大家自己动手计算。

知识点2：疏系数ARIMA模型的拟合
#例2：对1917-1975年美国23岁妇女每万人生育率序列建模。

d=read.table("C:\\Users\\w\\Documents\\生育率.txt")
shengyu=ts(d,start=1917,end=1975,freq=1)#转化为时间序列数据ts.plot(shengyu,type="p")   #作时序图。通过时序图，发现该序列为非平稳时间序列。

图1 23岁妇女每万人生育率序列的时序图

chafen=diff(shengyu,differences=1)#对原序列进行一阶差分，剔除趋势
ts.plot(chafen)#时序图表明，差分后的序列在均值附近随机波动，波动有界，没有明显的趋势或周期性波动，因此为平稳序列

图2 生育率序列一阶差分后时序图

图3生育率一阶差分序列的自相关图

图4生育率一阶差分序列的自相关图

acf(chafen,18)  #作自相关图，发现延迟5阶后的自相关系数都落在两倍标准差以内，序列具有短期自相关性，因此自相关图表明差分后的序列为平稳序列。且自相关系数相对而言偏向于拖尾。
pacf(chafen,18)  #作偏自相关图，发现延迟一阶和延迟四阶的偏自相关系数显著大于2倍标准差，其他阶数的偏自相关系数都较小。因此偏自相关系数1阶和4阶截尾。
Box.test(chafen, type="Ljung-Box",lag=6)  #纯随机性检验

R运行结果：

data:  chafen
X-squared = 20.805, df = 6, p-value = 0.001989
Box.test(chafen, type="Ljung-Box",lag=12)#序列不是白噪声序列。因此差分序列为平稳非白噪声序列，可以用ARMA拟合。结合自相关图和偏自相关图，建立疏系数模型AR（1,4）。

arima(chafen,order=c(4,0,0),fixed=c(NA,0,0,NA,NA),method="ML")
#首先尝试着构造一个非中心化（即有常数项）的AR（1,4）模型

R运行结果：

arima(x = chafen, order = c(4, 0, 0), fixed = c(NA, 0, 0, NA, NA), method = "ML")
Coefficients:
         ar1    ar2  ar3   ar4      intercept
      0.2537    0    0   0.3386     -1.5603
s.e.   0.1162    0     0   0.1223     3.2903
sigma^2 estimated as 117.8:  log likelihood = -220.89,  aic = 449.78

再尝试着构建中心化的AR（1,4）模型，并比较那个模型更优。

arima(chafen,order=c(4,0,0),fixed=c(NA,0,0,NA,0),method="ML")

R运行结果：

arima(x = chafen, order = c(4, 0, 0), fixed = c(NA, 0, 0, NA, 0), method = "ML")
Coefficients:
         ar1    ar2   ar3     ar4      intercept
      0.2583    0     0     0.3408       0
s.e.   0.1159    0     0     0.1225       0
sigma^2 estimated as 118.2:  log likelihood = -221,  aic = 448.01

所以由AIC准则，认为中心化的AR（1,4）模型更好。从而得到最终的模型形式为：

接着，对该AR（1，4）模型的残差序列进行白噪声检验：

a= arima(chafen,order=c(4,0,0),fixed=c(NA,0,0,NA,0),method="ML")
r=a$residuals
Box.test(r,type="Ljung-Box",lag=6,fitdf=2)
Box.test(r,type="Ljung-Box",lag=12,fitdf=2)

结果表明，6阶和12阶延迟下的LB统计量的P值都小于显著性水平0.05，因此用AR（1,4）模型拟合差分序列得到的残差序列是一个白噪声序列，该AR（1，4）模型是显著的。
再通过参数的t检验，表明两参数都显著。参数的t检验程序如下：
（1）计算出参数的t统计量值=
，
和参数的t统计量值=

（2）求P值。参数的t检验统计量的P值的计算：
p=pt(2.2286,df=57,lower.tail = F)*2
p
[0.02980024]
注：数据有59个，估计参数2个，所以自由度为57.
同样的得到参数的t检验统计量的P值= 0.007312442。
所以参数和都显著。