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  • Beta分布

    2021-09-12 21:11:41
    Beta函数  Beta函数的定义如下B(a,b)=∫01xa−1(1−x)b−1dx,\mathrm{B}(a,b)=\int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx,B(a,b)=∫01​xa−1(1−x)b−1dx,其中参数a>0a>0a>0,b>0b>0b>0。Beta函数具有如下...

    Beta函数

    Beta函数的定义如下 B ( a , b ) = ∫ 0 1 x a − 1 ( 1 − x ) b − 1 d x , \mathrm{B}(a,b)=\int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx, B(a,b)=01xa1(1x)b1dx,其中参数 a > 0 a>0 a>0 b > 0 b>0 b>0。Beta函数具有如下性质:
    (1) B ( a , b ) = B ( b , a ) \mathrm{B}(a,b)=\mathrm{B}(b,a) B(a,b)=B(b,a)
    证明:令 y = 1 − x y=1-x y=1x,则有 B ( a , b ) = ∫ 1 0 ( 1 − y ) a − 1 y b − 1 ( − d y ) = ∫ 0 1 ( 1 − y ) a − 1 y b − 1 d y = B ( b , a ) \mathrm{B}(a,b)=\int^0_1 (1-y)^{a-1}y^{b-1}(-dy)=\int^1_0 (1-y)^{a-1}y^{b-1}dy=\mathrm{B}(b,a) B(a,b)=10(1y)a1yb1(dy)=01(1y)a1yb1dy=B(b,a)(2)Beta函数与Gamma函数之间的关系 B ( a , b ) = Γ ( a ) Γ ( b ) Γ ( a + b ) \mathrm{B}(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)} B(a,b)=Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)证明:由Gamma函数的定义可知 Γ ( a ) Γ ( b ) = ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ x a − 1 y b − 1 e − ( x + y ) d x d y , \Gamma(a)\Gamma(b)=\int^{\infty}_{0}\int^{\infty}_{0}x^{a-1}y^{b-1}e^{-(x+y)}dxdy, Γ(a)Γ(b)=00xa1yb1e(x+y)dxdy,作变量变换 x = u v x=uv x=uv y = u ( 1 − v ) y=u(1-v) y=u(1v),其雅可比行列式 J = − u J=-u J=u。故 Γ ( a ) Γ ( b ) = ∫ 0 ∞ ∫ 0 1 ( u v ) a − 1 [ u ( 1 − v ) ] b − 1 e − u u d u d v = ∫ 0 ∞ u a + b − 1 e − u d u ∫ 0 1 v a − 1 ( 1 − v ) b − 1 d v = Γ ( a + b ) B ( a , b ) \begin{aligned}\Gamma(a)\Gamma(b)&=\int^{\infty}_0\int_0^1(uv)^{a-1}[u(1-v)]^{b-1}e^{-u}ududv\\&=\int^{\infty}_0u^{a+b-1}e^{-u}du\int^{1}_0 v^{a-1}(1-v)^{b-1}dv\\&=\Gamma(a+b)\mathrm{B}(a,b)\end{aligned} Γ(a)Γ(b)=001(uv)a1[u(1v)]b1euududv=0ua+b1eudu01va1(1v)b1dv=Γ(a+b)B(a,b)证毕。

    Beta分布

    若随机变量 X X X的密度函数为 p ( x ) = { Γ ( a + b ) Γ ( a ) Γ ( b ) x a − 1 ( 1 − x ) b − 1 , 0 < x < 1 , 0 , 其 他 , p(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1},&0<x<1,\\0,&其他,\end{array}\right. p(x)={Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)xa1(1x)b1,0,0<x<1,则称 X X X服从Beta分布,记作 X ∼ B e t a ( a , b ) X \sim Beta(a,b) XBeta(a,b),其中 a > 0 a>0 a>0 b > 0 b>0 b>0都是形状参数。
     因为服从Beta分布 B e t a ( a , b ) Beta(a,b) Beta(a,b)的随机变量是仅在区间 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)取值的,所以不合格率,机器的维修率,市场占有率,射击的命中率等各种比率选用Beta分布作为它们的概率分布是恰当的,只要选择合适的参数 a a a b b b即可。

    Beta分布 B e t a ( a , b ) Beta(a,b) Beta(a,b)的数学期望和方差

    利用Beta函数的性质,不难算得Beta分布 B e t a ( a , b ) Beta(a,b) Beta(a,b)的数学期望为 E ( X ) = Γ ( a + b ) Γ ( a ) Γ ( b ) ∫ 0 1 x a ( 1 − x ) b − 1 d x = Γ ( a + b ) Γ ( a ) Γ ( b ) ⋅ Γ ( a + 1 ) Γ ( b ) Γ ( a + b + 1 ) = a a + b \begin{aligned}\mathbb{E}(X)&=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\int^1_0 x^a(1-x)^{b-1}dx\\&=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\cdot\frac{\Gamma(a+1)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b+1)}\\&=\frac{a}{a+b}\end{aligned} E(X)=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)01xa(1x)b1dx=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)Γ(a+b+1)Γ(a+1)Γ(b)=a+ba又因为 E ( X 2 ) = Γ ( a + b ) Γ ( a ) Γ ( b ) ∫ 0 1 x a + 1 ( 1 − x ) b − 1 d x = Γ ( a + b ) Γ ( a ) Γ ( b ) ⋅ Γ ( a + 2 ) Γ ( b ) Γ ( a + b + 2 ) = a ( a + 1 ) ( a + b ) ( a + b + 1 ) \begin{aligned}\mathbb{E}(X^2)&=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\int_0^1x^{a+1}(1-x)^{b-1}dx\\&=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\cdot\frac{\Gamma(a+2)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b+2)}\\&=\frac{a(a+1)}{(a+b)(a+b+1)}\end{aligned} E(X2)=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)01xa+1(1x)b1dx=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)Γ(a+b+2)Γ(a+2)Γ(b)=(a+b)(a+b+1)a(a+1)由此得到 X X X的方差为 V a r ( X ) = a ( a + 1 ) ( a + b ) ( a + b + 1 ) − ( a a + b ) 2 = a b ( a + b ) 2 ( a + b + 1 ) \begin{aligned}\mathrm{Var}(X)&=\frac{a(a+1)}{(a+b)(a+b+1)}-\left(\frac{a}{a+b}\right)^2\\&=\frac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}\end{aligned} Var(X)=(a+b)(a+b+1)a(a+1)(a+ba)2=(a+b)2(a+b+1)ab

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  • beta分布 贝塔分布( Beta Distribution ) 是一个作为伯努利分布和二项式分布的共轭先验分布的密度函数,在机器学习和数理统计学中有重要应用。在概率论中,贝塔分布,是指一组定义在(0,1)区间的连续概率分布。其...

    beta分布

    贝塔分布( Beta Distribution ) 是一个作为伯努利分布和二项式分布的共轭先验分布的密度函数,在机器学习和数理统计学中有重要应用。在概率论中,贝塔分布,是指一组定义在(0,1)区间的连续概率分布。其概率密度函数为:

    f(x;\alpha ,\beta )=\frac{1}{B(\alpha ,\beta )}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}

    beta 分布的期望为:\mu =\frac{\alpha }{\alpha +\beta }

    下面我们通过一个问题来具体的分析 beta 分布的使用。假设一个概率实验只有两种结果,一个是成功,概率是X;另一个是失败,概率为(1−X)。其中,X的值我们是不知道的,但是它所有可能的情况也是等概率的。如果我们对X的不确定性用一种方式描述,那么,可以认为X是个来自于[0,1]区间的均匀分布的样本。

    这是很合理的,因为X只可能是[0,1]之间的某个值。同时,我们对X也一无所知,认为它是[0,1]之间任何一个可能的值。这些都与[0,1]均匀分布的性质契合。

    现在,假设我们做了n次独立重复的实验,我们观察到k次成功,n−k次失败。这时候我们就可以使用这些实验结果来修订之前的假设了。换句话说,我们就要计算X的条件概率,其条件是我们观察到的成功次数和失败次数。这里计算的结果就是 beta 分布了。

    在这里,在总共n次实验,k次成功的条件下,X的条件概率是一个 beta 分布,其参数是k+1和n−k+1。

    示例:beta分布用于评价旧货商服务质量

    假设亚马逊上有三家旧货商,其评价结果分别如下:

    商家一:85193个评论,94%的正向

    商家二:20785个评论,98%的正向

    商家三:840个评论,99%的正向

    那么这三个商家中,哪一家的服务质量最好呢?假设我们对三家旧货商的信息一无所知,那么这些参数的先验可以认为是一个均匀分布,也可以等同于 beta(1,1) 。根据之前的知识,我们知道,最终这三家旧货商的服务质量应当服从三个不同参数的 beta 分布,即 beta(80082,5113)、beta(20370,417)和beta(833,9)。

    注意,当 beta 分布的参数很大的时候,我们可以使用相同均值和方差的正态分布代替这个 beta 分布。

    因此,最终这三家供货商,商家3的服务质量的标准差是0.003,是最大的。其他两家的标准差比这个还小。因此,我们可以认为这三家供货商的服务质量都高度聚焦于他们的均值。因此,从第一个或第二个分布中抽取的样本不太可能比第三个样本的值高。也就是说前两个服务商不太可能质量比第三个高。

    scipy 的 beta 分布计算

    Python 的scipy中含有 beta 分布函数。下面给出该函数的用法: beta.pdf(x,a,b) 其中x是给定的取值范围,a为α值,b为β值。它的返回值就是指定输入的概率值。

    例如,在旧货商的正向评论率问题中,我们使用 scipy 的 beta 函数就可以得到三家供货商的服务质量函数。在本问题中,x∈[0,1]表示正向评论率,三个旧货商的 beta 函数为beta.pdf(x,80082,5113),beta.pdf(x,20370,417),beta.pdf(x,833,9)。 使用 beta 函数后得到的值就是正向评论率的概率。

    编程示例

    我们现在考虑这么个问题:

    问题1. 在一个收费站,收费站一段时间(比如每隔1小时)会经过一些车(n辆)。假设经过的车只分两种,大车和小车。我们希望通过观察收费站一长段时间的车辆经过情况,估计小车占所有车的比例 p 。

    首先我们使用这样的策略:每隔一个小时统计一次,那么在每个小时内,小车的数量应该服从(n,p)二项分布。但是有个问题,就是每个小时的 n (车辆总数)是不同的, p 也不同,那么十个小时的观测到的小车数目,就是十个不同的二项分布的期望,所以不好假设是二项分布了。

    估计小车的比例 p 显然仅能出现于0到1之间。任何时刻的小车的比例具有随机性,这些提示我们一段时间的小车比例的分布可能符合贝塔分布。

    记每小时的小车数为α ,大车数β,则小车的比例为\frac{\alpha }{\alpha +\beta }。而这个比例就服从B(α,β)。也就是说,计算每小时观测到的小车比例,可以认为小车车流量服从 beta 分布,并进行求解。因此,小车的占比p的可能性为0 ~ 1,作为beta分布的输入x,α 和β为函数的参数。

    from scipy.stats import beta
    import numpy as np
    
    
    a = input()     #贝塔分布的alpha值
    b = input()     #贝塔分布的beta值
    a = float(a)
    b = float(b)
    x=np.arange(0.1,1,0.1)     #给定的输入数据
    print(beta.pdf(x,a,b))

    测试输入:

    1. 0.5
    2. 0.5

    预期输出:

    1. [1.06103295 0.79577472 0.69460912 0.64974733 0.63661977 0.649747330.69460912 0.79577472 1.06103295]
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  • C++生成Beta分布随机数

    2021-05-18 06:15:37
    #include "cpp3rdlib/boost/include/boost/math/distributions.hpp" #include "cpp3rdlib/boost/include/boost/random/mersenne_twister.hpp" ...float rand_beta_dist(float alpha, float beta) {  static thread...
    #include "cpp3rdlib/boost/include/boost/math/distributions.hpp"
    #include "cpp3rdlib/boost/include/boost/random/mersenne_twister.hpp"
    
    float rand_beta_dist(float alpha, float beta) {
      static thread_local boost::random::mt19937 seed(std::time(0));
    
      std::uniform_real_distribution<float> uniform_dist(0.0, 1.0);
      auto rand_uniform = uniform_dist(seed);
    
      boost::math::beta_distribution<> beta_dist(alpha, beta);
      auto rand_beta = boost::math::quantile(beta_dist, rand_uniform);
    
      return rand_beta;
    }
    
    展开全文
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  • beta分布 java代码

    2021-03-09 23:03:36
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