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  • 连续型随机变量

    2013-12-08 15:29:00
    1. 对于一个连续型随机变量,它取任何固定值的概率都等于0。因此,对于连续随机变量,下式成立:  F(a)= ∫(-∞,a)f(x)dx=P{X<a}=P{X≤a} 2. 分布函数F与密度函数f的关系:  F(a)=P{X∈(-∞,a]}=∫(-∞,...

    1. 对于一个连续型随机变量,它取任何固定值的概率都等于0。因此,对于连续随机变量,下式成立:

        F(a)= ∫(-∞,a)f(x)dx=P{X<a}=P{X≤a}

    2. 分布函数F与密度函数f的关系:

        F(a)=P{X∈(-∞,a]}=∫(-∞,a)f(x)dx

        dF(a)/da=f(a)

        f(a)可看作随机变量取值于点a附近的可能性的一个度量。

    3. 连续型随机变量的期望E[X]=∫(-∞,+)xf(x)dx,方差可根据Var(X)=E[X2]-E[X]2得到。

    4. 设X是连续型随机变量,概率密度函数为f(x),那么对任意实值函数g,有:

        E[g(X)]=∫(-∞,+∞)g(x)f(x)dx

        -对比-

        E[X] = ∫(-∞,+∞)f(x)dx

    4.1 对于一个非负随机变量Y,E[Y]=∫(0,∞)P{Y>y}dy

    5. 均匀分布的随机变量:

        f(x)=1/(β-α),(α<x<β)

        E[X]=(β+α)/2

        Var(X)=(β-α)2/12

    6. 如果X是一个服从参数为μ和σ的正态分布的随机变量,那么aX+b也服从正态分布,参数为aμ+b和a2σ2

    7. 如果X是一个服从参数为μ和σ的正态分布的随机变量,那么(X-μ)/σ服从标准正态分布。

    8. 标准正态分布的期望和方差为0和1,一般正态分布的期望和方差为μ和σ2

        解释:以上三条可以联系起来看。

    9. 当二项分布的np(1-p)较大(≥10)时,二项分布可用正态分布来近似。

        用来近似该二项分布的正态分布的参数为(np, np(1-p))。

        即,用于近似的正态分布和原二项分布有相同的期望和方差(二项分布的期望和方差分别为np和np(1-p))。

        近似前的连续性修正:将二项分布的P{X=i}近似为正态分布的P{x-0.5<X<x+0.5}

    10. 指数分布:f(x)=λe-λx,x≥0

          F(x)=1-e-λx

          E[X]=1/λ,Var(X)=1/λ2

          根据P{X>a}=1-F(a)=e-λae-λ(s+t)e-λse-λt可以得到

          P{X>s+t}=P{X>s}P{X>t}

          P{X>s+t | X>t}=P{X>s}

          指数分布是连续分布中唯一具有无记忆性的分布。

    11. 泊松分布和指数分布

          如果事件在时间t内发生的次数服从参数为μt的泊松分布,那么若以T表示相邻两次事件之间的时间间隔,事件{T≤t}意味着在时间t内至少发生了一次事件。

          F(T)=P{T≤t}=P{时间t内至少发生一次事件}=1-P{时间t内事件没有发生}

          “时间t内事件没有发生”即上述泊松分布中时间t内事件发生次数为0,因此:

          F(T)=1-e-μt(μt)0/0!=1-e-μt

          即,如果事件在时间t内发生的次数服从参数为μt的泊松分布,那么相邻两次事件之间的时间间隔服从参数为μ的指数分布。

          特殊情况下的描述:如果事件在单位时间内发生的次数服从参数为μ的泊松分布,那么相邻两次事件之间的时间间隔服从参数为μ的指数分布。

          更直观一点的说法是,泊松过程任意两点间的距离服从指数分布。

    12. 抛硬币和指数分布

          让我们来看看抛硬币连续n次正面的概率分布列。

          n=0:第一次必须为反面,后续为Don't care,记为-xxx...,p{0}=1/2

          n=1:结果为+-xxx...,p{1}=1/4

          n=2:结果为++-xxx...,p{2}=1/8

          因此概率分布列为1/2,1/4,1/8,...

          Σp(n)=1。

          这和指数分布类似:这种分布的分布列单调下降,无记忆。

    13. 对于指数分布的进一步解释

         以无老化元件寿命为例,由于失效率(即单位时间内失效可能性)为一常数,因此时间越长,元件失效可能性越大;据此,元件寿命分布是递减函数。

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  • 离散型随机变量和连续型随机变量

    千次阅读 2018-02-28 14:58:09
    实例 离散性随机变量: ...如果变量可以在某个区间内取任一实数,即变量的取值可以是连续的,这随机变量就称为连续型随机变量,比如,公共汽车每15分钟一班,某人在站台等车时间x是个随机变量,x的取值范围是
    实例

    离散性随机变量:

    • 比如,一次掷20个硬币,k个硬币正面朝上,
    • k是随机变量,
    • k的取值只能是自然数0,1,2,…,20,而不能取小数3.5、无理数√20,
    • 因而k是离散型随机变量

    连续型随机变量:

    • 如果变量可以在某个区间内取任一实数,即变量的取值可以是连续的,这随机变量就称为连续型随机变量,
    • 比如,公共汽车每15分钟一班,某人在站台等车时间x是个随机变量,
    • x的取值范围是[0,15),它是一个区间,从理论上说在这个区间内可取任一实数3.5、√20等,因而称这随机变量是连续型随机变量。
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    1.  连续型随机变量的性质一——连续型随机变量的分布函数是连续函数

     

    2. 连续型随机变量的性质二——连续型随机变量在任意一点上的概率为零

    连续型随机变量的性质三——概率为零的事件不一定是不可能事件

     

    3. 连续型随机变量的性质四——连续型随机变量概率密度函数的性质:非负性和规范性(概率密度曲线下的面积为1)

    连续型随机变量的性质五——计算概率时区间端点可有可无(开区间、闭区间、半开半闭区间均等价),因为连续型随机变量在任意一点上的概率为零

     

    4. 连续型随机变量的性质六——分布函数求导可得概率密度函数

     

    5. 概率密度函数求解示例

     

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    目录

     

    1 基本概念

    2 离散型随机变量的概率分布

    2.1 二项分布

    2.2 超几何分布 

    2.2.1 概念

    2.2.2 举例

    2.3 泊松分布 

    3 连续型随机变量的概率分布

    3.1 均匀分布 

    3.1.1 概念

    3.2 正态分布

    3.2.1 概念

    3.3  指数分布 

    3.3.1 概念

    3.3.2 举例

    4 参考文献


    1 基本概念

    在之前的博文中,已经明白了概率分布函数和概率密度函数。下面来讲解一下常见的离散型和连续型随机变量概率分布。

    在此之前,介绍几个基本概念:

    • 均值(期望值expected value):\mu=E(x)=\sum xp(x)
    • 方差(variance): \sigma^2=E[(x-\mu)^2]=\sum (x-\mu)^2p(x)
    • 标准差(standard deviation):\sigma =\sqrt {\sigma^2}

    其中,可以证明E[(x-\mu^2)]=E(x^2)-\mu^2

    2 离散型随机变量的概率分布

    2.1 二项分布

    如果进行n次不同的实验,每次试验完全相同并且只有两种可能的结果,这样的实验结果分布情况就是二项分布。最简单的比如投掷一枚硬币,不管进行多少次实验,实验结果都只有正面朝上或者反面朝上,这就是一个简单的二项分布。 

    二项分布概率分布:

    p(x)=C_{n}^{x} p^xq^{n-x} \space (x=0,1,2,3···,n)

    其中:n代表n次实验,x表示实验结果为T的次数,q是实验结果为T的概率,q=1-p,表示实验结果为F的概率。

    二项分布的 
    均值:\mu=np
    方差:\sigma^2=npq
    标准差:\sigma=\sqrt {npq}
    二项分布对于结果只有两种情况的随机事件有非常好的描述,属于日常生活中最常见、最简单的随机变量概率分布,在知道某种实验结果概率的情况下,能够很好推断实验次数后发生其中某一结果次数的概率。

    2.2 超几何分布 

    2.2.1 概念

    超几何分布和二项分布比较相似,二项分布每次实验完全一样,而超几何分布前一次的实验结果会影响后面的实验结果。简单地讲,二项分布抽取之后放回元素,而超几何分布是无放回的抽取。 
    超几何分布的概率分布,均值和方差

    p(x)=\frac{C_{r}^{x}C_{N-r}^{n-x}}{C_{N}^{n}}

    \mu=\frac{nr}{N}

    \sigma^2=\frac{r(N-r)n(N-n)}{N^2(N-1)}

    2.2.2 举例

    在一个口袋中装有30个球,其中有10个红球,其余为白球,这些球除颜色外完全相同。游戏者一次从中摸出5个球。摸到至少4个红球就中一等奖,那么获一等奖的概率是多少?

    解:由题意可见此问题归结为超几何分布模型。

    其中N = 30. r = 10. n = 5.

    P(一等奖)= P(X=4)+ P(X=5)

    由公式

     p(X=x)=\frac{C_{r}^{x}C_{N-r}^{n-x}}{C_{N}^{n}}

    ,x=0,1,2,...得:

     

     

    P(一等奖) = 106/3393

    2.3 泊松分布 

    2.3.1 概念

    泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。泊松分布适合于描述单位时间(或空间)内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数,电话交换机接到呼叫的次数,汽车站台的候客人数,机器出现的故障数,自然灾害发生的次数,一块产品上的缺陷数,显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。

    泊松分布的概率分布,均值和方差: 

    p(x)=\frac{\lambda^xe^{-\lambda}}{x!}\space (x=0,1,2,···)

    泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。

    \mu=\lambda

    \sigma^2=\lambda

    2.3.2 举例

    采用0.05J/㎡紫外线照射大肠杆菌时,每个基因组平均产生3个嘧啶二体。实际上每个基因组二体的分布是服从泊松分布的,将取如下形式: 

     

     

     

    ……

    3 连续型随机变量的概率分布

    3.1 均匀分布 

    3.1.1 概念

    均匀概率分布(uniform probability distribution)是指连续随机变量所有可能出现值出现概率都相同。 
    均匀分布 
    均匀分布的概率分布,均值,方差和标准差: 

    f(x)=\frac{1}{b-a}(a\leq x\leq b)

    均值:\mu=\frac{a+b}{2}

    方差:\sigma=\frac{(b-a)^2}{12}
    标准差:\sigma=\frac{b-a}{\sqrt {12}}

    如何求解均值和标准差:

    3.2 正态分布

    3.2.1 概念

    正态分布是统计学中常见的一种分布,表现为两边对称,是一种钟型的概率分布(bell curve),其概率密度图为:

    æ­£æåå¸

    概率密度函数为:

     

    其中,\mu是正态随机变量的均值; \sigma是标准差; \pi是圆周率,约等于3.1416··· ;e=2.71828⋅⋅⋅

    特别的,当\mu=0\sigma=1的正态分布,被称为标准正态分布(standard distribution),此时有:

     

    正态分布转化为标准正态分布: 
    正态分布x,均值是μ,标准差是σ,z定义为z=\frac{x-\mu }{\sigma}

    正态分布来近似二项分布 :
    当n足够大的时候,正态分布对于离散型二项分布能够很好地近似。 
    二项分布

    评价正态分布 :
    如何来确定数据是否正态分布,主要有以下几种方法: 
    1. 图形感受法:建立直方图或者枝干图,看图像的形状是否类似正态曲线,既土墩形或者钟形,并且两端对称。 
    2. 计算区间\bar x\pm s,\bar x\pm 2s,\bar x\pm 3s,看落在区间的百分比是否近似于68%,95%,100%。(切比雪夫法则和经验法则) 
    3. 求IQR和标准差s,计算IQR/s,如若是正态分布,则IQR/s≈1.3.
    4. 建立正态概率图,如果近似正态分布,点会落在一条直线上。 

    æ­£ææ¦çå¾

    3.3  指数分布 

    3.3.1 概念

    指数分布是描述泊松分布中事件发生时间间隔的概率分布。除了用于泊松过程的分析,还有许多其他应用,如以下场景:

    • 世界杯比赛中进球之间的时间间隔
    • 超市客户中心接到顾客来电之间的时间间隔
    • 流星雨发生的时间间隔
    • 机器发生故障之间的时间间隔
    • 癌症病人从确诊到死亡的时间间隔

    指数分布有如下的适用条件: 
    1. x是两个事件发生之间的时间间隔,并且x>0; 
    2. 事件之间是相互独立的; 
    3. 事件发生的频率是稳定的; 
    4. 两个事件不能发生在同一瞬间。

    这几个条件实质上也是使用泊松分布的前提条件。如果满足上述条件,则x是一个指数随机变量,x的分布是一个指数分布。如果不满足上述条件,那么需要使用Weibull分布或者gamma分布。

    指数分布只有一个参数,“λ”,λ是事件发生的频率,在不同的应用场景中可能有不同名称:

    • 事件频率
    • 到达频率
    • 死亡率
    • 故障率
    • 转变率
    • …………

    λ是单元时间内事件发生的次数,这里需要注意的是,单元时间可以是秒,分,小时等不同的单位,同时λ根据单元时间度量的不同,其数值也不一样。如单元时间为1小时,λ为6,则单元时间1分钟,λ为6/60=0.1

    指数分布的概率密度函数(probability density func,PDF)由λ和x(时间)构成:

    f(x)=\lambda e^{-\lambda x}

    均值:\mu=\frac{1}{\lambda}

    方差:\sigma^2=\frac{1}{\lambda}

    3.3.2 举例

    一个设备出现多次故障的时间间隔记录如下:

    23, 261, 87, 7, 120, 14, 62, 47, 225, 71, 246, 21, 42, 20, 5, 12, 120, 11, 3, 14, 71, 11, 14, 11, 16, 90, 1, 16, 52, 95

    根据上面数据,我们可以计算得到该设备发生故障的平均时间是59.6小时,即单位小时时间内发生故障事件的次数为λ=1/59.6=0.0168。 
    那么该设备在3天(72小时)内出现故障的概率是多大呢?即求P(x<72),这就需要计算指数分布的累积分布函数: 

    P(X<72)=\int_{0}^{72}\lambda e^{-\lambda x}dx=1-e^{-\lambda(72)}=1-e^{-0.0168*72}=0.7017
    也即该设备3天内出现故障的概率大于70%。


    4 参考文献

    【1】统计学:离散型和连续型随机变量的概率分布

    【2】指数分布

     

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