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  • 二维抽样定理(惠特克-香农抽样定理,Whittaker_Shannon sampling theorem)利用抽样函数重构原函数的过程和还原条件。MATLAB代码
  • 香农采样定理的理解

    千次阅读 2021-03-20 11:45:26
    在学习课程《计算机控制技术》时,第二章讲到了香农采样定理。有一些疑惑:从公式的推导上很容易就能够理解一个非周期的信号经过一定频率的采样后,在频率上变成了一个周期的频谱信号,但是一直都不大清楚其具体的...
     在学习课程《计算机控制技术》时,第二章讲到了香农采样定理。有一些疑惑:从公式的推导上易得一个非周期的信号经过一定频率的采样后,在频率上变成了一个周期的频谱信号,但是一直都不大清楚其具体的物理意义。上网查看了很多回答和资料在这里说一点自己的理解吧。 
    

    时域 — 频域
    所谓傅里叶变换,就是将满足一定条件的某个函数表示成三角函数的线性组合。通过下面这张图可以更直观地看到其中的物理意义。

    傅里叶变换

    傅里叶变换

    频域的周期延拓
    我觉得知乎的一个回答说得很清楚,链接:

    知乎:https://www.zhihu.com/question/20236413/answer/253229096

    所以只有当采样频率大于两倍的信号截至频率时,我们才能通过n=0时的频谱,将频域信号还原为采样前的时域信号。而通过还原n!=0时的频谱信号得到的仅仅是一组与原信号采样相同的其他信号,该组信号间的频率相差n个采样频率。
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  • 为了不失真地恢复模拟信号,采样频率应该大于等于模拟信号频谱中最高频率的2倍。 理想低通信道的最高大码元传输速率B=2W,信息传输速率C=B*log2N 。(其中W是理想低通信道的带宽,N是电平强度) ...

    定义

    为了不失真地恢复模拟信号,采样频率应该大于等于模拟信号频谱中最高频率的2倍。

    理想低通信道的最高大码元传输速率B=2W,信息传输速率C=B*log2N 。(其中W是理想低通信道的带宽,N是电平强度)

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  • 对于香农采样定律的简短理解

    千次阅读 2019-04-10 16:01:51
    有没有觉得Nyquist采样定律很神奇,对于一个连续的信号,在一定频率下采样,根据采样得到的离散信号就能还原连续的信号! 疑问: 任意给一个采样后的离散时间序列,即便采样的频率再高,在任意两个点之间可以有...

    有没有觉得Nyquist采样定律很神奇,对于一个连续的信号,在一定频率下采样,根据采样得到的离散信号就能还原连续的信号!

    疑问:

    任意给一个采样后的离散时间序列,即便采样的频率再高,在任意两个点之间可以有无数种画法啊?如图1。为啥原信号一定就是频域中主频区傅里叶逆变换回来的那个连续信号?

                                                      

                                                        图 1. 1、2、 3、 4为4个采样点,两种可能的原信号

    解答:

    Nyquist采样定理:

    Nyquist Sampling Theorem.

    A bandlimited continuous-time signal can be sampled and perfectly reconstructed from its samples if the waveform is sampled over twice as fast as it's highest frequency component.

    首先说,直接给定一个离散采样信号,没有其他任何信息我们没有办法还原原信号。其实从定理中就能看出,能还原关键点在已知原连续信号的最高频率(the highest frequency component is known),这样我们才能乘以2倍得到采样频率的最小值。对于(最高频率)未知信号,我们没有办法进行精确的还原!

    从时域中理解,比如说图1中的1、2两点之间,当原信号的最大采样频率已知,1、2两点之间也许只能画出右图平滑的曲线,不能像左图中那样有很多高频的“毛刺”。

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  • 香农 抽样定理 信息论 经典理论论文 作者香农
  • 香农采样定理

    千次阅读 2016-09-07 08:31:00
    香农采样定理

    原文地址:http://baike.baidu.com/link?url=nhy34easnYIspX7WAoSP76pG8z1VCnYwgvqEeMAtm4-fxVGicrX1GjyJH1uT9AzIgcX3z-ABO7rQQabEFQtyn_

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    香农采样定理

      编辑
    香农采样定理,又称奈奎斯特采样定理,是信息论,特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论。1924年奈奎斯特(Nyquist)就推导出在理想低通信道的最高大码元传输速率的公式:理想低通信道的最高大码元传输速率=2W*log 2N (其中W是理想低通信道的带宽,N是电平强度)
    中文名
    香农采样定理
    别    名
    奈奎斯特采样定理
    提出时间
    1924
    补    充
    采样频率转换成一个数值序列


    定义

    编辑
    为了不失真地恢复模拟信号,采样频率应该不小于模拟信号频谱中最高频率的2倍。  f s≥2f max

    概念

    编辑
    采样定理,又称香农采样定律、奈奎斯特采样定律,是信息论,特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker(1915年发表的统计理论),克劳德·香农 与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。另外,V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。
    采样是将一个信号(即时间或空间上的连续函数)转换成一个数值序列(即时间或空间上的离散函数)。
    采样得到的离散信号经保持器后,得到的是阶梯信号,即具有零阶保持器的特性。
    如果信号是带限的,并且采样频率高于信号最高频率的一倍,那么,原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。
    带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制,也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是非常有限的。采样定理是指,如果信号带宽小于 奈奎斯特频率(即采样频率的二分之一),那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致 混叠现象。大多数应用都要求避免混叠,混叠问题的严重程度与这些 混叠频率分量的相对强度有关。
    采样过程所应遵循的规律,又称取样定理、抽样定理。采样定理说明采样频率与信号频谱之间的关系,是连续信号离散化的基本依据。采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的,因此称为奈奎斯特采样定理。1933年由苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述这一定理,因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确地说明并正式作为定理引用,因此在许多文献中又称为香农采样定理。采样定理有许多表述形式,但最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。采样定理在 数字式遥测系统时分制遥测系统、信息处理、数字通信和采样控制理论等领域得到广泛的应用。
    时域采样定理  频带为 F的连续信号 f( t)可用一系列离散的采样值 f( t1), f( t1±Δ t), f( t1±2Δ t),...来表示,只要这些采样点的时间间隔Δ t≤1/2 F,便可根据各采样值完全恢复原来的信号 f( t)。
    采样定理 采样定理
    时域采样定理的另一种表述方式是:当时间信号函数 f( t)的最高频率分量为 fM时, f( t)的值可由一系列采样间隔小于或等于1/2 fM的采样值来确定,即采样点的重复频率 f≥2 fM。图为模拟信号和采样样本的示意图。
    时域采样定理是采样误差理论、随机变量采样理论和多变量采样理论的基础。
    频域采样定理 对于时间上受限制的连续信号 f( t)(即当│ t│> T时, f( t)=0,这里 T= T2- T1是信号的持续时间),若其频谱为 Fω),则可在频域上用一系列离散的采样值来表示,只要这些采样点的频率间隔ω≦π / tm 。

    采样简介

    编辑
    从信号处理的角度来看,此采样定理描述了两个过程:其一是采样,这一过程将连续时间信号转换为 离散时间信号;其二是信号的重建,这一过程离散信号还原成连续信号。
    连续信号在时间(或空间)上以某种方式变化着,而采样过程则是在时间(或空间)上,以T为单位间隔来测量连续信号的值。T称为采样间隔。在实际中,如果信号是时间的函数,通常他们的采样间隔都很小,一般在毫秒、微秒的量级。采样过程产生一系列的数字,称为样本。样本代表了原来地信号。每一个样本都对应着测量这一样本的特定时间点,而采样间隔的倒数,1/T即为采样频率, fs,其单位为样本/秒,即 赫兹(hertz)。
    信号的重建是对样本进行插值的过程,即,从离散的样本x[n]中,用数学的方法确定连续信号x(t)。
    从采样定理中,我们可以得出以下结论:
    如果已知信号的最高频率 fH,采样定理给出了保证完全重建信号的最低采样频率。这一最低采样频率称为临界频率或奈奎斯特采样率,通常表示为 fN
    相反,如果已知采样频率,采样定理给出了保证完全重建信号所允许的最高信号频率。
    以上两种情况都说明,被采样的信号必须是带限的,即信号中高于某一给定值的频率成分必须是零,或至少非常接近于零,这样在重建信号中这些频率成分的影响可忽略不计。在第一种情况下,被采样信号的频率成分已知,比如声音信号,由人类发出的声音信号中,频率超过5 kHz的成分通常非常小,因此以10 kHz的频率来采样这样的音频信号就足够了。在第二种情况下,我们得假设信号中频率高于采样频率一半的频率成分可忽略不计。这通常是用一个低通滤波器来实现的。

    混叠

    如果不能满足上述采样条件,采样后信号的频率就会重叠,即高于采样频率一半的频率成分将被重建成低于采样频率一半的信号。这种频谱的重叠导致的失真称为 混叠,而重建出来的信号称为原信号的混叠替身,因为这两个信号有同样的样本值。
    一个频率正好是采样频率一半的弦波信号,通常会混叠成另一相同频率的波弦信号,但它的相位和幅度改变了。以下两种措施可避免混叠的发生:
    1. 提高采样频率,使之达到最高信号频率的两倍以上;
    2. 引入低通滤波器或提高低通滤波器的参数;该低通滤波器通常称为 抗混叠滤波器
    抗混叠滤波器可限制信号的带宽,使之满足采样定理的条件。从理论上来说,这是可行的,但是在实际情况中是不可能做到的。因为滤波器不可能完全滤除奈奎斯特频率之上的信号,所以,采样定理要求的带宽之外总有一些“小的”能量。不过抗混叠滤波器可使这些能量足够小,以至可忽略不计。

    减采样

    当一个信号被减采样时,必须满足采样定理以避免混叠。为了满足采样定理的要求,信号在进行减采样操作前,必须通过一个具有适当截止频率的低通滤波器。这个用于避免混叠的低通滤波器,称为抗混叠滤波器。

    定理

    编辑
    为了不失真地恢复 模拟信号,采样频率应该不小于模拟信号频谱中最高频率的2倍。
    Fs≥2Fmax
    采样率越高,稍后恢复出的波形就越接近原信号,但是对系统的要求就更高,转换电路必须具有更快的转换速度。

    重构原信号

    编辑
    任何信号都可以看做是不同频率的正弦(余弦)信号的叠加,因此如果知道所有组成这一信号的正(余弦)信号的幅值、频率和 相角,就可以重构原信号。由于信号测量、分解及时频变换的过程中存在误差,因此不能100%地重构原信号,重构的信号只能保证原信号误差在容许范围内。

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