目录

1、高斯函数与正态分布

1.1 一维高斯函数

1.2 正态分布

1.3 二维高斯函数（高斯分布、正态分布）

2、高斯模糊原理​

2.1 二维高斯函数

2.2 权重矩阵

2.3 计算高斯模糊

3、高斯核函数

3.1 径向基函数RBF

3.2 高斯函数性质

4、高斯噪声

4.1 噪声

4.2 高斯噪声

---

高斯函数广泛应用于统计学领域，用于表述正态分布，在信号处理领域，用于定义高斯滤波器，在图像处理领域，二维高斯核函数常用于高斯模糊，在数学领域，主要用于解决热力方程和扩散方程。

1、高斯函数与正态分布

1.1 一维高斯函数

• a表示得到曲线的高度；
• b(μ)是指曲线在x轴的中心；
• c(σ)指width(与半峰全宽有关)；

图形如下：

1.2 正态分布

高斯函数其实是一族函数，而满足正态分布的高斯函数如下所示:

1.3 二维高斯函数（高斯分布、正态分布）

μ=0，即中心点就是原点。

二维高斯函数在计算机视觉领域用处广泛，利用0均值的二维高斯函数，可以生成高斯卷积核，用于图像处理中的高斯滤波，实现高斯模糊的效果，有效去除高斯噪声。

二维高斯函数的表达式和形状如下所示，为一个立体“钟状图”。

2、高斯模糊原理

模糊就是每个像素取周边像素的平均值，在数值上是一种平滑作用，在图形上相当于产生模糊效果，中间点失去细节。

很显然，计算平均值时，取周边范围越大，模糊效果越强烈。

每个点都取周边像素的平均值，那么如何分配周边像素的权重呢？如果使用简单平均，不合理，这样忽略了图像像素之间的连续性和相关性。图像都是连续的，越靠近的点关系越密切，越远离的点关系越疏远，因此距离近的点权重大，距离远的点权重小。显然，正态分布是一种可取权重分布模式。

计算平均值时，将中心点作为原点，其他点按照其在正态曲线上的位置，分配权重，就可以得到一个加权值。

2.1 二维高斯函数

一维形式：

令中心点就是原点，即μ=0：

进而推导二维高斯函数：

2.2 权重矩阵

假定中心点的坐标是（0,0），那么距离它最近的8个点的坐标如下：

更远的点以此类推。

为了计算权重矩阵，需要设定σ的值。假定σ=1.5，则模糊半径为1的权重矩阵如下：

这9个点的权重总和等于0.4787147，如果只计算这9个点的加权平均，还必须让它们的权重之和等于1，因此上面9个值还要分别除以0.4787147，得到最终的权重矩阵。

2.3 计算高斯模糊

假设现有9个像素点，灰度值（0-255）如下：

每个点乘以自己的权重值（协相关运算、矩阵点乘）：

将这9个值加起来，就是中心点的高斯模糊的值。对所有点重复这个过程，就得到了高斯模糊后的图像。如果原图是彩色图片，可以对RGB三个通道分别做高斯模糊。

3、高斯核函数

3.1 径向基函数RBF

径向基函数 (Radial Basis Function 简称 RBF), 就是某种沿径向对称的标量函数。 通常定义为空间中任一点x到某一中心xc之间欧氏距离的单调函数 , 可记作 k(||x-xc||), 其作用往往是局部的 , 即当x远离xc时函数取值很小。

最常用的径向基函数是高斯核函数 ,形式为 k(||x-xc||)=exp{- ||x-xc||^2/2*σ^2) } 其中xc为核函数中心,σ为函数的宽度参数 , 控制了函数的径向作用范围。

3.2 高斯函数性质

高斯函数具有五个重要的性质，这些性质使得它在早期图像处理中特别有用。这些性质表明，高斯平滑滤波器无论在空间域还是在频率域都是十分有效的低通滤波器，且在实际图像处理中得到了工程人员的有效使用。高斯函数具有五个十分重要的性质，它们是：

1、二维高斯函数具有旋转对称性，即滤波器在各个方向上的平滑程度是相同的。

一般来说，一幅图像的边缘方向是事先不知道的，因此，在滤波前是无法确定一个方向上比另一方向上需要更多的平滑。旋转对称性意味着高斯平滑滤波器在后续边缘检测中不会偏向任一方向。

2、高斯函数是单值函数。这表明，高斯滤波器用像素邻域的加权均值来代替该点的像素值，而每一邻域像素点权值是随该点与中心点的距离单调增减的。这一性质是很重要的，因为边缘是一种图像局部特征，如果平滑运算对离算子中心很远的像素点仍然有很大作用，则平滑运算会使图像失真。

3、高斯函数的付立叶变换频谱是单瓣的。正如下面所示，这一性质是高斯函数付立叶变换等于高斯函数本身这一事实的直接推论。图像常被不希望的高频信号所污染(噪声和细纹理)。而所希望的图像特征（如边缘），既含有低频分量，又含有高频分量。高斯函数付立叶变换的单瓣意味着平滑图像不会被不需要的高频信号所污染，同时保留了大部分所需信号。

4、高斯滤波器宽度(决定着平滑程度)是由参数σ表征的，而且σ和平滑程度的关系是非常简单的。σ越大，高斯滤波器的频带就越宽，平滑程度就越好。通过调节平滑程度参数σ，可在图像特征过分模糊(过平滑)与平滑图像中由于噪声和细纹理所引起的过多的不希望突变量(欠平滑)之间取得折衷。

5、由于高斯函数的可分离性，大高斯滤波器可以得以有效地实现。二维高斯函数卷积可以分两步来进行，首先将图像与一维高斯函数进行卷积，然后将卷积结果与方向垂直的相同一维高斯函数卷积。因此，二维高斯滤波的计算量随滤波模板宽度成线性增长而不是成平方增长。

4、高斯噪声

4.1 噪声

一般默认噪声是高斯噪声，是为了更好的模拟未知的真实噪声。在真实环境中，噪音往往不是由单一源头造成的，而是很多不同来源的噪音复合体。假设，我们把真实噪音看成非常多不同概率分布的随机变量的加合，并且每一个随机变量都是独立的，那么根据Central Limit Theorem，他们的normalized sum就随着噪音源数量的上升，趋近于一个高斯分布。基于这种假设来看，采用合成的高斯噪音，是在处理这种复杂，且不知道噪音分布为何的情况下，一个既简单又不差的近似仿真。

噪声在图像上常表现为一引起较强视觉效果的孤立像素点或像素块。一般，噪声信号与要研究的对象不相关，它以无用的信息形式出现，扰乱图像的可观测信息。通俗的说就是噪声让图像不清楚。对于数字图像信号，噪声表为或大或小的极值，这些极值通过加减作用于图像像素的真实灰度值上，对图像造成亮、暗点干扰，极大降低了图像质量，影响图像复原、分割、特征提取、图像识别等后继工作的进行。

4.2 高斯噪声

概率密度函数服从高斯分布的一类噪声。如果一个噪声，幅度分布服从高斯分布，功率谱密度是均匀分布，则称为高斯白噪声。高斯白噪声的二阶矩不相关，一阶矩为常数，是指先后信号在时间上的相关性。

表现形式：

 

正态分布是高斯概率分布。高斯概率分布是反映中心极限定理原理的函数，该定理指出当随机样本足够大时，总体样本将趋向于期望值并且远离期望值的值将不太频繁地出现。高斯积分是高斯函数在整条实数线上的定积分。这三个主题，高斯函数、高斯积分和高斯概率分布是这样交织在一起的，所以我认为最好尝试一次性解决这三个主题（但是我错了，这是本篇文章的不同主题）。本篇文章我们首先将研究高斯函数的一般定义是什么，然后将看一下高斯积分，其结果对于确定正态分布的归一化常数是非常必要的。最后我们将使用收集的信息理解，推导出正态分布方程。

首先，让我们了解高斯函数实际上是什么。高斯函数是将指数函数 exp(x) 与凹二次函数（例如 -(ax^2+bx+c) 或 -(ax^2+bx) 或只是-ax^2组成的函数。结果是一系列呈现“钟形曲线”的形状的函数。

两个高斯函数的图。第一个高斯(绿色)的λ=1和a=1。第二个(橙色)λ=2和a=1.5。两个函数都不是标准化的。也就是说，曲线下的面积不等于1。

大多数人都熟悉这类曲线是因为它们在概率和统计中被广泛使用，尤其是作为正态分布随机变量的概率密度函数。在这些情况下，函数具有的系数和参数既可以缩放“钟形”的振幅，改变其标准差(宽度)，又可以平移平均值，所有这一切都是在曲线下的面积进行归一化(缩放钟形，使曲线下的面积总是等于1)的同时进行的。结果是一个高斯函数包含了一大堆的参数来影响这些结果。

如果将其认为是均值 = μ 且标准差 = σ 的正态分布方程。将其与高斯 λ exp(-ax^2) 的一般形式进行比较，我们可以看到：

• (x - μ)^2表示的是均值μ如何在x轴上左右平移图像，这就是均值要做的。如果μ=0，那么图的中心为0。
• σ^{2，是一个测量随机变量的方差，也就是说数据是如何分散的，当我们使用a=1/(2σ}2)缩小或扩大图形时，我们希望同时缩放图形使用λ=1/√2πσ^2。这样图下的面积才能保持为1。

前导系数 λ 有时表示为 1/Z，其中 Z=√2πσ^{2，正是这样的一个结果将我们带到了本文的主要观点之一：√2πσ}2有时被称为一个自变量的正态分布的归一化常数，而1/√2πσ2则被称为归一化常数。在这两种情况下，公式中都有 π，它是从哪里来的？它通常与圆、径向对称和/或极坐标相关联。单个变量的函数如何以 π 作为其在前导系数中的归一化参数之一呢？

可以参考我们以前的文章，里面有非常详细的描述

高斯积分

不定积分 ∫ exp(x^2) dx 不可能用初等函数求解。有没有任何积分方法可以用来求解不定积分？

可以计算定积分，如上所述，首先对高斯函数求平方从而在 x 和 y 中产生一个具有径向对称二维图的两个变量函数。这样能够将直角坐标系转换为极坐标，在此基础上就可以使用更熟悉的积分方法（例如置换）进行积分。然后，简单地取结果的平方根（因为我们在开始时对积分进行平方） 就得到了我们的答案，顺便说一句，结果是是√π。

对高斯积分求平方

方法的第一步是对积分求平方——也就是说，我们将一维转换为二维，这样就可以使用多变量微积分的技术来求解积分

可以重写为：

这两个积分用x和y表示是等价的;所以它等同于x的单个积分的平方。因为变量x和y是独立的，所以可以把它们移进或移出第二个积分符号，可以这样写:

如果你不熟悉如何解二重积分也不用担心。只需先使用内部变量进行积分得到单个积分。然后用左边的变量和外面的变量积分。但现在还不需要这么做。这里需要注意的是当我们对积分进行平方时，得到了一个二维的图形化的径向对称的高斯函数。用x和y来表示积分e的指数是- (x^2+y2)给了我们下一步应该做什么的线索。

转换为极坐标

这里棘手的部分是，我们必须将直角坐标下的二重积分转换成极坐标下的二重积分。

为了在极坐标中对整个无限区域进行积分，我们首先对 exp(−r²) 相对于从 x=0 开始并延伸到无穷大的半径 r 进行积分。结果是一个无限薄的楔形，看起来像我们原始一维高斯曲线的一半。然后我们围绕旋转轴 Z 轴旋转楔形，并累积无限数量的这些极薄的楔形。也就是说——我们在 π 从 0 到 2π 时积分。

我们现在的二重积分看起来像这样:

我们可以用 r^2 替换指数中的 −(x^2+y2)，这要感谢毕达哥拉斯。但是我们仍然需要将我们的微分从矩形转换为极坐标。

微分的转换简单的表示如下：

在任何情况下，我们的二重积分现在看起来像这样:

添加适当的积分边界:

如果我们设u=r^2，那么du=2r，我们可以写成(对于内积分)

然后求出外积分:

所以:

我们在下一节求解标准化常数时，这个结果很重要。

正态分布函数的推导

现在我们有了推导正态分布函数的所有前提。下面将分两步来做：首先确定我们需要的概率密度函数。这意味着以λ为单位重新转换-a-产生的函数，无论为λ选择什么值，曲线下的面积总是1。然后用随机变量的方差σ^2来转换λ。对整个实数线上的方差进行积分 从而得到我们在前导系数 √2πσ^2 中需要归一化常数的项，也是我们在分母中需要的项指数 2σ^2。我们将使用分部积分来求解方差积分。

概率密度函数的推导

我们将从广义高斯函数f(x)=λ exp(−ax^2)开始，正态分布下的面积必须等于1所以我们首先设置广义高斯函数的值，对整个实数线积分等于1

这里将 -a- 替换为 a^2 稍微修改了高斯分布。为什么要这样做？因为它可以使用 换元积分 U-substitution 来解决这个积分。为什么我们可以这样做？因为 -a- 是一个任意常数，所以a^2 也只是一个任意常数，可以使用 U-substitution 求解。让 u=ax 和 du=a dx 这意味着 dx=du/a， 由于 λ 和 1/a 是常数，我们可以将它们移到积分符号之外，得到：

我们从上面关于高斯积分的讨论中知道，右边积分的值等于√π。这样就可以改成：

求解 -a- 可以这样写：

根据已经发现的λ 和 -a- 之间的关系，修改后的高斯下的面积总是等于 1 也是必须的，所以我们可以进一步修改，用 πλ^2 代替 a^2 并写：

无论 λ 的值如何，该曲线下的面积始终为 1。这是我们的概率密度函数。

确定归一化常数

在获得归一化概率分布函数之前还需要做一件事：必须将 λ 重写为随机变量方差 σ^2 的函数。这将涉及对整个实数线的方差表达式进行积分所以需要采用按分部积分来完成此操作。

如果给定一个概率密度函数 f(x) 和一个均值 μ，则方差定义为从均值平方(x - μ)^2的偏差乘以整个实数线的概率密度函数f(x)的积分:

假设μ=0，因为已经有了概率密度函数h(x)，所以可以写成

用分部积分法求解这个积分有:

第一项归零是因为指数中的x^2项比前一项分子中的- x项趋近于∞的速度快得多所以我们得到

右边的被积函数是概率密度函数，已经知道当对整个实数线进行积分时它的值是1 :

求解 λ 得到：

将 λ 的 1/√2πσ^2 代入我们的修改后的公式（即我们的概率密度函数），我们得到：

剩下要做的就是将平均值 μ 放入指数的分子中，以便可以根据 μ 的值沿 x 轴平移图形：

这样就完成了方程推导

https://www.overfit.cn/post/ead43bb483024034bd397d6fc63b53eb

作者 ：Manin Bocss

高斯函数

---

引言

2022年03月06日10:51:08
昨天，在组会上师弟提到了高斯模板，自己被导师抽查提问解释如何生成模板的。故，回忆一下过去的知识，并进行总结。学习如何通过高斯函数生成高斯模板，并用python代码实现生成高斯模板的过程。

---

参考文献

• 图像处理基础(4)：高斯滤波器详解
• 高斯函数-keep going!-博客园
• 高斯滤波计算过程

---

一维高斯函数

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp \left(-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$$

---

二维高斯函数

$$G(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }^2}\exp \left(-\frac{((x-\mu {)}^2+(y-u{)}^2)}{2{\sigma }^2}\right)$$

---

Word is Cheap Show you the Code

"""
Author: yida
Time is: 2022/3/5 20:42 
this Code: 使用高斯函数生成高斯模板
"""

import numpy as np


def gauss(x, y, u=0, s=0.8):
    """
    输入x, y,均值及标准差生成高斯函数对应的值
    :param x:x坐标
    :param y:y坐标
    :param u:均值
    :param s:sigma标准差
    :return:结果
    """
    g = (1 / (2 * np.pi * s ** 2)) * np.exp(-(((x - u) ** 2 + (y - u) ** 2) / (2 * s ** 2)))
    return g


def make_template(k=3):
    """
    输入模板要求为奇数, 生成对应的x, y坐标,
    然后将x, y坐标拿进去生成高斯模板,
    最后reshape
    :param k:模板的大小
    :return:
    """
    print("初始化高斯模板坐标...大小为{}×{}...".format(k, k))
    # 找到行与列的关系 用于生成横纵坐标
    if k % 2 == 1:
        t = (k - 1) // 2
        # 坐标的范围
        m = np.arange(-t, t + 1)
        # 重复得到x坐标
        # x = np.array([k * [i] for i in range(-t, t + 1)]).flatten()
        x = np.repeat(m, k)
        # 重复得到y坐标
        # y = np.array(k * [i for i in range(-t, t + 1)])
        y = np.repeat(m.reshape(1, -1), k, axis=0).flatten()
        # 利用zip得到坐标数组
        point = list(zip(x, y))
        # 循环输出坐标, 调整成行和列的形式
        for i in range(k):
            print(point[i * k:i * k + k])
        return x, y
    else:
        print("请正确输入模板大小...")


def normalization(arr):
    """
    输入arr, 归一化权重和为1
    :param arr:待归一化矩阵
    :return:
    """
    print("\n正在进行归一化...权重和为1...")
    arr = arr / np.sum(arr)
    print(arr)
    return arr


def integer(arr):
    """
    输入arr, 将其转换成整数高斯模板
    :param arr:归一化后的高斯模板
    :return:
    """
    print("\n整形化高斯模板...")
    # 取第一个值 然后将左上角第一个值变成1 其它的值对应改变 并转换成整形
    v = arr[0][0]
    arr = np.int32(arr / v)
    s = np.sum(arr)
    print(arr, '   1/' + str(np.sum(arr)))
    return arr


if __name__ == '__main__':
    # 设置高斯模板大小, 模板请输入奇数
    kernel = 3
    # 初始化高斯模板
    x, y = make_template(k=kernel)
    # 设置高斯函数的均值和标准差
    mean = 0
    sigma = 0.8
    # 得到结果
    result = gauss(x, y, u=mean, s=sigma)
    # reshape
    gauss_template = np.reshape(result, (kernel, kernel))
    print("\n高斯模板如下:\n", gauss_template)
    # 归一化
    arr_nor = normalization(gauss_template)
    # 整数化
    arr_int = integer(arr_nor)
    

---

输出

---

总结

1. 使用均值为0的二维高斯函数，生成的模板是以中心原点(0, 0)左右对称的
2. 将坐标代入高斯函数，通过公式计算得到高斯模板（此时为小数模板）
3. 需要归一化，让高斯模板的权重和为1（高斯函数的特性，积分为1），这样就同高斯函数保存一致，以中心点为中心，往四周衰减，且权重能与高斯函数变换趋势保持一致
4. 将高斯模板转换为（整数模板），将左上角第一个值a变为1（除以本身），其它值均除a得到结果（并向下取整）
5. 模板的使用同卷积，当为小数模板时直接点乘得到结果向下取整；当为整数模板时直接点乘并除以全部系数的和（归一化权重为1）向下取整得到结果