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  • 高斯核函数
    2021-10-09 17:30:04

    线性支持向量机 (Linear-SVM) 被用于线性可分的数据集的二分类问题,当数据集不是线性可分的时候,需要利用到核函数将数据集映射到高维空间。这样数据在高维空间中就线性可分。

    高斯核函数(Gaussian kernel),也称径向基 (RBF) 函数,是常用的一种核函数。它可以将有限维数据映射到高维空间,我们来看一下高斯核函数的定义:

    k(x,x′)=e−||x−x′||22σ2

    k(x, x’) = e^{-\frac{||x - x’||2}{2\sigma2}}
    上述公式涉及到两个向量的欧式距离(2范数)计算,而且,高斯核函数是两个向量欧式距离的单调函数。 σ \sigma 是带宽,控制径向作用范围,换句话说, σ \sigma 控制高斯核函数的局部作用范围。当 x x 和x′x’ 的欧式距离处于某一个区间范围内的时候,假设固定 x′ x’, k(x,x′) k(x, x’) 随x的变化而变化的相当显著。

    一维情况

    令 x′=0 x’ = 0, k(x,0) k(x, 0) 随x的变化情况如下图所示:
    这里写图片描述
    σ=1 \sigma = 1
    这里写图片描述
    σ=5 \sigma = 5
    我们看到,随着 x x 与x′x’的距离的距离的增大,其高斯核函数值在单调递减。并且, σ \sigma越大,那么高斯核函数的局部影响范围就会越大。

    二维情况

    \sigma=1
    σ=1 \sigma=1

    \sigma=5
    σ=5 \sigma=5

    二维可以更加明显的看出高斯核函数局部作用的范围随带通的变化情况。带通越大,高斯核函数的局部影响的范围就越大。在超出这个范围之后,核函数的值几乎不变。

    高斯核将数据映射到高维甚至无穷维的原理

    通过一些简单的推导,我们可以得到这样的结果,为了描述简单,我们令高斯核中的分母为1.
    这里写图片描述
    图片转载自:https://www.zhihu.com/question/46587416?from=profile_question_card
    可以看到,高斯核函数通过泰勒展开可以被描述成 ϕ(x)Tϕ(x′) \phi(x)^T\phi(x’)的形式,而 ϕ(x) \phi(x)是无穷维的。

    本文转自 https://blog.csdn.net/wuyanxue/article/details/79642758,如有侵权,请联系删除。

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  • 核函数 高斯核函数,线性核函数,多项式核函数

    千次阅读 多人点赞 2022-01-17 19:37:07
    核函数是我们处理数据时使用的一种方式。对于给的一些特征数据我们通过核函数的方式来对其进行处理。我们经常在SVM中提到核函数,就是因为通过核函数来将原本的数据进行各种方式的组合计算,从而从低维数据到高维...

      核函数是我们处理数据时使用的一种方式。对于给的一些特征数据我们通过核函数的方式来对其进行处理。我们经常在SVM中提到核函数,就是因为通过核函数来将原本的数据进行各种方式的组合计算,从而从低维数据到高维数据。比如原来数据下样本点1是x向量,样本点2是y向量,我们把它变成e的x+y次方,就到高维中去了。

      把数据映射到高维在我们直观上理解起来是很难的,其实也并不用深刻理解,因为做这些的目的只是为了让机器去理解,帮助机器通过自己的模型去更好的挖掘一些语义信息。所以对于我们人来说,“样本点1是x向量,样本点2是y向量”就完全足够了;只是为了照顾到机器和模型,我们需要帮它处理成高维,以便机器更好地使用。

    核函数一般表示成,意思就是对向量xi和xj进行一些变换操作。 

    梳理几种常见的核函数:

    线性核函数

      其实就是对两个向量做内积。其中有个转置操作,举个例子你就明白了:

      所以看起来线性核函数不对数据做任何变化,就拿过来乘起来就好了。虽然没有把数据怎么映射到高维,但在很多情况下“最简单的往往就是最好的”,就像奥卡姆剃刀原理所说:如无必要,勿增实体”,即“简单有效原理”。

      线性核函数操作起来十分简单,计算也很方便,尤其是在样本数据量巨大的情况下,想用别的核函数也不好计算,直接用线性核就可以起到不错的效果了。

    多项式核函数 (Polynomial kernel function)

      乍一看,多项式核函数好像就是在线性核函数基础上增加了ζ,γ和Q这几个参数。这些参数是可以由我们自己指定的,比如我们把它写成二次的(Q=2),也就变成了常见的二次形式:

      多项式核函数根据公式也很好理解,其中γ就是用来对内积进行缩放的,而ζ就是一个常数项,来进行加减上的调整,Q则是控制次数的。

    我们另ζ为0,γ为1,Q为1,就会得到线性核函数即

      说到底这种变换是在xi和xj的内积的基础上进行额外的变换。因为核函数的其中一个妙处就在于:我们发现“先求次项到高维再内积”等于“先低维空间内积再求次项”。既然有这么一个现象,肯定是先在低维做容易些。核函数也是这种计算思路的体现,减少了计算量。

    高斯核函数

      提到高斯我们知道有高斯分布(正态分布),后面在其他文章对于各种分布应该会有总结。

    一维高斯分布公式是这样:

    图像是这样:

    二维的高斯函数则是这样:

      我们对高斯分布的图形样子有大概了解了,接下来引出高斯核函数

      看起来和高斯分布的格式差不多,有一个差,有平方,有除以σ的平方等。

      高斯核这样做的意义是什么呢?我们来分析这个公式:

    1.首先抛开σ

      我们对高斯核函数进行展开,首先我们忽略掉分母2σ的平方。

      可以得到:

      所以:

      上面式子本来是只有一个累加符的,不过为了得到对xi和xj的相同格式,我们在后半段再添一个了累加符号,使其彻底分开,原始值并不会改变。

      所以:

      可以发现,我们通过高斯核函数这么一个看似简单的公式,却对于传入的xi和xj都可以扩展到无穷次的维度上,相比于线性核与高斯核,高斯核这个特征维度就对比出来了——纬度越高,模型越复杂,功能就会越强(如果不考虑过拟合的话~)。

    2.单独分析σ

      我们知道高斯核函数长上面这样,将它可视化出来,形状和前面的高斯分布也差不太多。

      观察高斯核函数公式,发现里面有对样本向量求差的操作:xi-xj。假设xi和xj的距离不变,则xi-xj也不变吧?我们把这两个样本摆在底部平面上,向上投影,我们发现假如σ越小,曲面越陡,则投影出来的高度差也就越大;而假如σ越大,则曲面趋于平缓,则得到的K(xi,xj)也就越小。

      高斯核函数基本上是最常用的核函数了,对σ参数的调整也是非常常见的了,具体它是怎么影响最终结果的呢,我们举个例子从头到尾梳理一下高斯函数的应用场景:

      现在我有N个样本点,每个样本点自己有一个特征向量,假设向量是5维的吧,比如第一个样本x1的特征为(2,3,1,2,4)。我们现在需要把这N个样本点进行分类,首先就通过高斯核函数来对这样的样本数据进行处理。

      如何处理呢?我们拿出N个样本点中的第一个样本点x1,我们拿它与所有的样本点进行高斯核函数的计算,x1与每一个样本点都可以得到一个结果K(x1,xn),一共有N个样本点,我们可以得到N个计算结果。那么此时对于样本点x1的特征,就由原来5维的(2,3,1,2,4)变成了N维的(K(x1,x1),K(x1,x2),K(x1,x3)……K(x1,xN))。同理,对于样本点x2和其他所有样本点都可以得到新的特征向量。不管原来每一个样本点的特征是多少维,经过这样的高斯核函数处理,每个样本都变成了“总样本数量”维

      这样一来,我们就扩充了数据的维度和多样性了。而参数σ的作用如何体现呢?我们采用不同的σ大小对数据处理后,投入模型训练,最终得到的模型分类效果如下:

      可以发现σ越小,对数据划分越细致,也越容易倒置过拟合。这是为什么呢?我自己的理解是这样的:我们σ越小,对于每一对样本点之间得出的高斯核函数值就越大,也就是把各个样本之间的距离算的越远了,那么模型就越偏向于把这些不同的样本点归位不同的类;如果σ很大,则算出来样本点之间的距离就很近,模型会偏向于把这些归位同一类。

      这篇我主要是梳理了三种常见的核函数,尤其是对高斯核函数的原理、用法与参数调整等方面进行了描述。

    展开全文
  • RBF神经网络-高斯核函数

    千次阅读 2022-03-24 21:31:34
    文章目录一、RBF神经网络介绍1.1高斯函数代码实例高斯核函数中的Gamma 一、RBF神经网络介绍 从对函数的逼近功能而言,神经网络可分为全局逼近和局部逼近。局部逼近网络具有学习速度快的优点。径向基函数(Radial ...

    一、RBF神经网络介绍

    从对函数的逼近功能而言,神经网络可分为全局逼近和局部逼近。局部逼近网络具有学习速度快的优点。径向基函数(Radial Basis Function,BRF)就属于局部逼近神经网络。是一种性能良好的前向网络,具有最佳逼近及克服局部极小值问题的性能。

    网络结构:
    在这里插入图片描述
    首先是多个输入,中间的是径向基函数,常用的就是高斯核函数,最后是输出。

    1.1高斯函数

    高斯核函数的名称比较多,一下名称指的都是高斯核函数

    • 高斯核函数
    • RBF
    • 径向基函数

    对于多项式核函数而言,它的核心思想是将样本数据升维,从而使得原本线性不可分的数据线性可分。那么高斯核函数的核心思想是将每一个样本点映射到一个无穷维的特征空间,从而使得原本线性不可分的数据线性可分。

    我们先来回顾一下多项式特征,如下图所示,有一组一维数据,两个类别,明显是线性不可分的情况:
    在这里插入图片描述
    然后通过多项式将样本数据再增加一个维度,假设就是 x 2 x^2 x2,这样数据就变成这样了
    在这里插入图片描述
    此时原本线性不可分的样本数据,通过增加一个维度后就变成线性可分了。这就是多项式升维的意义。

    高斯核函数的公式:

    在这里插入图片描述
    上面公式中的 r r r就是高斯核函数的超参数。然后我们再来看看高斯核函数使线性不可分是数据线性可分的。

    为了方便可视化,我们将高斯核函数中的 r r r取两个定值‍‍ l 1 和 l 2 l_1和l_2 l1l2 ‍‍,这类点称为地标(Land Mark)。那么高斯核函数升维过程就是假如有两个地标点,那么就将样本数据转换为二维,也就是将原本的每个 x x x值通过高斯核函数和地标,将其转换为2个值,既:
    在这里插入图片描述

    代码实例

    构建线性不可分:

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    # 构建样本数据,x值从-4到5,每个数间隔为1
    x = np.arange(-4, 5, 1)
    x
    # 结果
    array([-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4])
    # y构建为0,1向量,且是线性不可分的
    y = np.array((x >= -2) & (x <= 2), dtype='int')
    y
    # 结果
    array([0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0])
    # 绘制样本数据
    plt.scatter(x[y==0], [0]*len(x[y==0]))
    plt.scatter(x[y==1], [0]*len(x[y==1]))
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述
    构造线性可分,使用高斯核函数:

    def gaussian(x, l):
    	# 这一节对gamma先不做探讨,先定为1
    	gamma = 1.0
    	# 这里x-l是一个数,不是向量,所以不需要取模
    	return np.exp(-gamma * (x - l)**2)
    # 将每一个x值通过高斯核函数和l1,l2地标转换为2个值,构建成新的样本数据
    l1, l2 = -1, 1
    X_new = np.empty((len(x), 2))
    for i, data in enumerate(x):
    X_new[i, 0] = gaussian(data, l1)
    X_new[i, 1] = gaussian(data, l2)
    #x_new
    array([[1.23409804e-04, 1.38879439e-11],
           [1.83156389e-02, 1.12535175e-07],
           [3.67879441e-01, 1.23409804e-04],
           [1.00000000e+00, 1.83156389e-02],
           [3.67879441e-01, 3.67879441e-01],
           [1.83156389e-02, 1.00000000e+00],
           [1.23409804e-04, 3.67879441e-01],
           [1.12535175e-07, 1.83156389e-02],
           [1.38879439e-11, 1.23409804e-04]])
           
    #x_new[y==0,0]是y==0的四个点的二维x值
    #array([1.23409804e-04, 1.83156389e-02, 1.12535175e-07, 1.38879439e-11])
    
    
    #x_new[y==0,1]是y==0的四个点的二维y值
    #array([1.38879439e-11, 1.12535175e-07, 1.83156389e-02, 1.23409804e-04])
    # 绘制新的样本点
    plt.scatter(X_new[y==0, 0], X_new[y==0, 1])
    plt.scatter(X_new[y==1, 0], X_new[y==1, 1])
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述
    可以通过高斯函数将原本的一维样本数据转换为二维后,新样本数据明显成为线性可分的状态。

    上面的示例中,我们将高斯核函数中的 y y y取定了两个值‍‍ l 1 l_1 l1和‍‍ l 2 l_2 l2 ‍‍。在实际运用中,是需要真实的将每个 y y y值带进去的,也就是每一个样本数据中的 y y y都是一个地标,那么可想而知,原始样本数据的行数就是新样本数据的维数,既原始 mn ‍‍的样本数据通过高斯核函数转换后成为mn的数据。当样本数据行数非常多的话,转换后的新样本数据维度自然会非常高,这也就是为什么在这节开头会说高斯核函数的核心思想是将每一个样本点映射到一个无穷维的特征空间的原因。

    高斯核函数中的Gamma

    在看高斯核函数中的 r r r之前,我们先来探讨一个问题,我们以前有学过正态分布,它是一个非常常见的连续概率分布,最关键的是它又名高斯分布,我们再来看看高斯分布的函数:

    在这里插入图片描述
    仔细看这个函数就能发现,它和高斯核函数的公式在形‍‍态上是一致的:

    -

    所以高斯核函数的曲线其实也是一个高斯分布图。

    下面再来看看高斯分布图以及‍‍ u u u ‍‍和 r r r对分布图的影响:

    在这里插入图片描述

    上图是维基百科对高斯分布解释中的分布图,从图中可以看到:

    • 高斯分布曲线的形状都是相似的钟形图。
    • u u u决定分布图中心的偏移情况
    • r r r决定分布图峰值的高低,或者说钟形的胖瘦程度。

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 一、核函数(Kernel Function)1)格式K(x, y):表示样本 x 和 y,添加多项式特征得到新的样本 x'、y',K(x, y) 就是返回新的样本经过计算得到的值;在 SVM 类型的算法 SVC() 中,K(x, y) 返回点乘:x' . y' 得到的...

    一、核函数(Kernel Function)

    1)格式

    K(x, y):表示样本 x 和 y,添加多项式特征得到新的样本 x'、y',K(x, y) 就是返回新的样本经过计算得到的值;

    在 SVM 类型的算法 SVC() 中,K(x, y) 返回点乘:x' . y' 得到的值;

    1355387-20180812220933949-819641584.png

    2)多项式核函数

    业务问题:怎么分类非线性可分的样本的分类?

    内部实现:

    对传入的样本数据点添加多项式项;

    新的样本数据点进行点乘,返回点乘结果;

    多项式特征的基本原理:依靠升维使得原本线性不可分的数据线性可分;

    升维的意义:使得原本线性不可分的数据线性可分;

    例:

    一维特征的样本,两种类型,分布如图,线性不可分:

    1355387-20180813084346970-1269926721.png

    为样本添加一个特征:x2 ,使得样本在二维平面内分布,此时样本在 x 轴升的分布位置不变;如图,可以线性可分:

    1355387-20180813084651438-429332410.png

    3)优点 / 特点

    不需要每次都具体计算出原始样本点映射的新的无穷维度的样本点,直接使用映射后的新的样本点的点乘计算公式即可;

    减少计算量

    减少存储空间

    一般将原始样本变形,通常是将低维的样本数据变为高维数据,存储高维数据花费较多的存储空间;使用核函数,不用考虑原来样本改变后的样子,也不用存储变化后的结果,只需要直接使用变化的结果进行运算并返回运算结果即可;

    核函数的方法和思路不是 SVM 算法特有,只要可以减少计算量和存储空间,都可以设计核函数方便运算;

    对于比较传统的常用的机器学习算法,核函数这种技巧更多的在 SVM 算法中使用;

    4)SVM 中的核函数

    svm 类中的 SVC() 算法中包含两种核函数:

    SVC(kernel = 'ploy'):表示算法使用多项式核函数;

    SVC(kernel = 'rbf'):表示算法使用高斯核函数;

    SVM 算法的本质就是求解目标函数的最优化问题;

    1355387-20180812212945036-1286135181.png

    求解最优化问题时,将数学模型变形:

    1355387-20180812213104496-1003310670.png

    5)多项式核函数

    格式:

    from sklearn.svm importSVC

    svc= SVC(kernel = 'ploy')

    思路:设计一个函数( K(xi, xj) ),传入原始样本(x(i) 、 x(j)),返回添加了多项式特征后的新样本的计算结果(x'(i) . x'(j));

    内部过程:先对 xi 、xj 添加多项式,得到:x'(i) 、 x'(j),再进行运算:x'(i) . x'(j) ;

    x(i) 添加多项式特征后:x'(i) ;

    x(j) 添加多项式特征后:x'(j) ;

    x(i) .x(j)转化为:x'(i) .x'(j) ;

    其实不使用核函数也能达到同样的目的,这里核函数相当于一个技巧,更方便运算;

    二、高斯核函数(RBF)

    业务问题:怎么分类非线性可分的样本的分类?

    1)思想

    业务的目的是样本分类,采用的方法:按一定规律统一改变样本的特征数据得到新的样本,新的样本按新的特征数据能更好的分类,由于新的样本的特征数据与原始样本的特征数据呈一定规律的对应关系,因此根据新的样本的分布及分类情况,得出原始样本的分类情况。

    应该是试验反馈,将样本的特征数据按一定规律统一改变后,同类样本更好的凝聚在了一起;

    高斯核和多项式核干的事情截然不同的,如果对于样本数量少,特征多的数据集,高斯核相当于对样本降维;

    高斯核的任务:找到更有利分类任务的新的空间。

    方法:类似

    1355387-20180813091841921-939555460.png 的映射。

    高斯核本质是在衡量样本和样本之间的“相似度”,在一个刻画“相似度”的空间中,让同类样本更好的聚在一起,进而线性可分。

    疑问:

    “衡量”的手段

    1355387-20180813091841921-939555460.png,经过这种映射之后,为什么同类样本能更好的分布在一起?

    2)定义方式

    1355387-20180813081806925-1258954945.png

    x、y:样本或向量;

    γ:超参数;高斯核函数唯一的超参数;

    || x - y ||:表示向量的范数,可以理解为向量的模;

    表示两个向量之间的关系,结果为一个具体值;

    高斯核函数的定义公式就是进行点乘的计算公式;

    3)功能

    先将原始的数据点(x, y)映射为新的样本(x',y');

    再将新的特征向量点乘(x' . y'),返回其点乘结果;

    计算点积的原因:此处只针对 SVM 中的应用,在其它算法中的应用不一定需要计算点积;

    1355387-20180812213104496-1003310670.png

    4)特点

    高斯核运行开销耗时较大,训练时间较长;

    一般使用场景:数据集 (m, n),m < n;

    一般应用领域:自然语言处理;

    自然语言处理:通常会构建非常高维的特征空间,但有时候样本数量并不多;

    5)高斯函数

    1355387-20180813082116626-1137239968.png

    正态分布就是一个高斯函数;

    高斯函数和高斯核函数,形式类似;

    6)其它

    高斯核函数,也称为 RBF 核(Radial Basis Function Kernel),也称为径向基函数;

    高斯核函数的本质:将每一个样本点映射到一个无穷维的特征空间;

    无穷维:将 m*n 的数据集,映射为 m*m 的数据集,m 表示样本个数,n 表示原始样本特征种类,样本个数是无穷的,因此,得到的新的数据集的样本也是无穷维的;

    高斯核升维的本质,使得线性不可分的数据线性可分;

    三、RBF 转化特征数据原理

    1)转化原理

    1355387-20180813091841921-939555460.png

    x:需要改变维度的样本;

    np.array([l1, l2, ..., lm])== X == np.array([x1, x2, ... , xm]):Landmark,地标,一般直接选取数据集 X 的所有样本作为地标;(共 m 个)

    对于 (m, n) 的数据集:转化为 (m, m) 的数据集;将 n 维的样本转化为 m 维的样本;

    对于原始数据集中的每一个样本 x,也可以有几个地标点,就将 x 转化为几维;

    2)主要为两部分

    先将原始的数据点映射为一种新的特征向量,再将新的特征向量点乘,返回其点乘结果;

    维度转化:样本 x1 转化x1' :(e-γ||x1 - x1||**2, e-γ||x1 - x2||**2, e-γ||x1 - x3||**2, ..., e-γ||x1 - xm||**2),同理样本x2 的转化 x2';(地标点就是数据集 X 的样本点)

    点乘计算:x1' . x2' == K(x1, x2) == e-γ||x1 - x2||**2,最终结果为一个具体值;

    3)实例模拟维度转化过程

    一维升到二维

    原始样本分布:

    1355387-20180813084346970-1269926721.png

    第一步:选取地标点:L1、L2 ;

    1355387-20180813091603852-1293334346.png

    第二步:升维计算

    1355387-20180813091841921-939555460.png

    四、程序模拟

    目的:将线性不可分的数据变为线性可分;

    方法:一维数据升到二维;

    1)模拟数据集

    x 数据集:每一个样本只有一个特征,且分布规律线性不可分;

    np.arange(m, n, l):将区间 [m, n) 按间距为 l 等分,等分后的数据点包含 m 值,不包含 n;

    [0]*len(x[y==0]):[0] 是一个 list,list * C 表示将列表复制 C 份;

    如:[0]*5 == [0, 0, 0, 0, 0]

    importnumpy as npimportmatplotlib.pyplot as plt

    x= np.arange(-4, 5, 1)

    y= np.array((x >= -2) & (x <= 2), dtype='int')

    plt.scatter(x[y==0], [0]*len(x[y==0]))

    plt.scatter(x[y==1], [0]*len(x[y==1]))

    plt.show()

    1355387-20180813162742882-714810422.png

    2)经过高斯核,得到新的数据集

    np.exp(m):表示 e 的 m 次幂;

    np.empty(元组):(元组)=(m, n),生成一个 m 行 n 列的空的矩阵;

    enumerate(iterator):返回可迭代对象的 index 和 value;

    for i, data in enumerate(x):i 存放向量 x 的 index,data 存放向量 x 的 index 对应的元素值;

    defgaussian(x, l):#此处直接将超参数 γ 设定为 1.0;

    #此处 x 表示一维的样本,也就是一个具体的值,l 相应的也是一个具体的数,因为 l 和 x 一样,从特征空间中选定;

    gamma = 1.0

    #此处因为 x 和 l 都只是一个数,不需要再计算模,可以直接平方;

    return np.exp(-gamma * (x-l)**2)#设定地标 l1、l2 为 -1和1

    l1, l2 = -1, 1x_new= np.empty((len(x), 2))for i, data inenumerate(x):

    x_new[i, 0]=gaussian(data, l1)

    x_new[i,1] =gaussian(data, l2)

    plt.scatter(x_new[y==0, 0], x_new[y==0, 1])

    plt.scatter(x_new[y==1, 0], x_new[y==1, 1])

    plt.show()

    1355387-20180813163204389-1365896084.png

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