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  • aov网
    2022-04-02 10:07:14

    摘要

    AOV 网是图的一种类型,本质是一个有向无环图。AOV 网的排序被称为拓扑排序,它的实现思路是卡恩算法。代码实现上要留意删除顶点的操作,这是一个很巧妙的处理方式。

    通常一项大的工程会被拆分为多个小的子工程。子工程之间可能存在一定的顺序关系,即一个子工程会在其他子工程完成之后才会开始。

    在现代化管理中,人们通常用有向图来描述和分析一项工程的计划和实施过程,子工程被称为活动(Activity)。所以以顶点表示活动,有向边表示活动之间的先后关系,这样的图被称为 AOV 网(Activity On Vertex Network)

    AOV 网

    标准的 AOV 网必须是一个有向无环图,即从任何一个顶点出发,无论怎么走,都无法回到这个顶点自身。如下图所示:

    从图中可以梳理出每个顶点的依赖关系:

    • B 依赖于 A;

    • C 依赖于 B;

    • D 依赖于 B;

    • E 依赖于 B、C、D;

    • F 依赖于 E。

    拓扑排序

    将 AOV 网中所有活动排成一个序列,使得每个活动的前驱活动都排在该活动的前面,这样的序列就是拓扑排序

    拓扑排序中有两个关键词,即前驱活动和后继活动,他们的定义分别是:

    • 前驱活动:有向边起点的活动被称为终点的前驱活动,即只有当这个活动的前驱活动都完成之后,才可以开始该活动;

    • 后继活动:有向边终点的活动被称为起点的后继活动。

    如下图所示,它的拓扑排序是 A、B、C、D、E、F 或者 A、B、D、C、E、F(可以看出一个 AVO 网的拓扑排序不是唯一确定的)。

    排序思路

    拓扑排序的思路可以使用卡恩算法实现,它的大致逻辑是,假设一个存放排序结果的列表为 L,然后进行如下操作:

    1. 把所有入度为 0 的顶点放到 L 中,并在图中删除该顶点;

    2. 重复 1 步骤操作,直到图中没有度为 0 的 顶点为止。

    然后可以比较 L 和图中总的顶点数量,如果 L 等于图中总的顶点数量,则拓扑排序完成,如果是小于的关系,那么就证明图中存在环,无法进行拓扑排序。

    入度是什么?

    一个顶点的入度为 x,是指有 x 条边以该顶点为终点;

    代码实现

    依据排序的思路,首先需要创建一个数组存放排序的结果。顶点入度的数量直接可以通过它的入度集合获取到。

    关于删除顶点的操作,这里有一个取巧的点,就是创建一个 Map 存放入度不为 0 的顶点,和它的入度值。那么删除操作,就是将它的入度值减1处理。代码如下:

    public List<V> topologiclSort() {
        List<V> list = new ArrayList<>();
        Queue<Vertex<V, E>> queue = new LinkedList<>();
        // 存放顶点和它的入度值
        Map<Vertex<V, E>, Integer> ins = new HashMap<>();
        vertices.forEach((v, vertex) -> {
            int size = vertex.inEdges.size();
            if (size == 0) {
                queue.offer(vertex);
            } else {
                ins.put(vertex, size);
            }
        });
    
        while (!queue.isEmpty()) {
            Vertex<V, E> vertex = queue.poll();
            list.add(vertex.value);
    
            for (Edge<V, E> edge : vertex.outEdges) {
                // 获取顶点的入度值,并 -1 达到删除顶点效果
                int toIn = ins.get(edge.to) - 1;
                if (toIn == 0) {
                    queue.offer(edge.to);
                } else {
                    ins.put(edge.to, toIn);
                }
            }
        }
        return list;
    }
    

    总结

    • AOV 网是一个有向无环图;

    • 拓扑排序实现的思路可以使用卡恩算法处理,即不断获取入度为 0 的顶点;

    • 删除顶点可以转换为保存顶点的入度值,将入度值在合适的地方减1操作。

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  • 图算法入门3之活动网络-AOV网络,AOV网络的基本概念以及拓扑排序的代码实现。

    AOV网络

    通常一个工程可以分成若干个子工程,这些子工程被称为活动(activity),完成这些活动,整个工程就完成了。给一个简单的例子,如下图,大学专业课程存在依赖关系,对于一些课程必须选修其他课程,完成整个工程就是学习所有的课程,每门课程的学习都是一个活动。

    图1

    整个工程可以通过工程图表示:

    图2

     工程图为有向图,顶点表示活动,例如有向边<u,v>表示活动u必须先于活动v,这种有向图称为顶点表示活动的网络Activity On Vertices),通常叫作AOV网络。活动u必须在活动v之前进行,u被称为v的直接前驱(immediate predecessor),v是u的直接后继(immediate successor)。如果是有向路径<u,u1,u2,...,un,v>,则称u是v的前驱(predecessor),v是u的后继(successor) 。前驱后继的关系具有传递性(transitivity),比如v2是v1的后继,v3是v2的后继,那么v3也是v1的后继。任何活动不能以自己为前驱或者后继。

    由上面分析可以看到,AOV网络不能出现有向回路(回环),不含有向回路的有向图称为有向无环图Directed Acyclic Graph, DAG)。对于AOV网络是不允许出现回路的,因为这样会陷入死循环,导致工程无法进行,故对于给定的AOV网络,必须要判断它是否是有向无环图。

    拓扑排序

    基本概念

    判断有向无环图的方法是对AOV网络构造它的拓扑有序序列(topological order sequence),即所有的顶点排列成一个线性有序的序列,使得AOV网络中所有前驱和后继关系都能满足,如下图:

    图3

     

    这种构造AOV网络全部顶点的拓扑有序序列的运算称为拓扑排序(topological sort)。如果能够通过拓扑排序将AOV网络的所有顶点都排入一个拓扑有序的序列中,那么该AOV网络必定不存在有向环;反之,如果得不到所有顶点的拓扑有序序列,则说明该AOV网络存在有向环,此AOV网络所代表的工程是不可行的。例如对于图2的拓扑排序结果为:

    C1,C2,C3,C4,C5,C6,C8,C9,C7 或者 C1,C8,C9,C2,C5,C3,C4,C7,C6。

    可见一个AOV网络的拓扑有序序列可能并不是唯一的。

    拓扑排序实现方法

    AOV网络进行拓扑排序的算法如下:

    1)从AOV网络中选择一个入度为0(没有直接前驱)的顶点并输出;

    2)从AOV网络中删除该顶点及该顶点发出的所有边;

    3)重复步骤1)和2),直到找不到入度为0的顶点。

    结果:1.所有顶点都被输出,即整个拓扑排序完成;2.仍有顶点没有输出,且剩下的图再也没有入度为0的顶点,那么说明此图有环。

    代码实现

    整个代码具体流程如下:

    1)建立存放入度为0的顶点的栈,初始时将所有入度为0的顶点存入栈;

    2)若当前栈不为空,重复执行:

            (1)栈中弹出栈顶,将该顶点存入拓扑排序序列;

            (2)删除弹出的顶点和它发出的每一条边,并且每一个边的终点节点入度减1

            (3)如果顶点的入度减为0,则将该顶点压栈。

    3)拓扑顶点个数小于实际顶点个数则存在环,否则可得到拓扑排序。 

    下面给出基于之前表示方法给出的数据结构和文件的完整代码:

    #include<iostream>
    #include<vector>
    #include<fstream>
    #include<sstream>
    #include<string>
    #include<unordered_map>
    #include<stack>
    using namespace std;
    typedef struct Vertex{
    	string name;
    	int index;
    	Vertex(string inputName, int inputIndex):name(inputName),index(inputIndex){}
    	Vertex():name(""),index(0){}
    } VertexNode;
    // graph表示邻接表,id表示每个节点入度统计,topSortId存储拓扑排序的索引。
    bool topSort(const vector<vector<VertexNode> >& graph, vector<int>& id, vector<int>& topSortId) {
    	topSortId.clear();
    	topSortId.reserve(graph.size());
    	stack<int> S; // 栈,存放入度为0的顶点
    	for(int i = 0; i < graph.size(); i++) {
    		if (id[i] == 0) {
    			S.push(i);
    		}
    	}
    	for (int i = 0; i < graph.size(); i++) {
    		if(S.empty()) {
    			return false;
    		}
    		int j = S.top();
    		S.pop(); //弹出栈顶存储的顶点j
    		topSortId.push_back(j); //存入拓排序序列
    		for(int k = 0; k < graph[j].size(); k++) {
    			int currentIndex = graph[j][k].index;
    			if(--id[currentIndex] == 0) {
    				S.push(currentIndex);
    			}
    		}
    	}
    	return true; // 如果前面所有顶点全部循环没问题,那么说明可以拓扑排序故返回true.
    }
    int main() {
    	unordered_map<string ,int> graphMap; // 图节点名和编号的Map
    	vector<vector<VertexNode> > adjGraph; // 图的连接表表示法
    	ifstream graphRdFile("graph_struct.txt");
    	if(!graphRdFile.good()) {
    		cout << "open graph file failed!" << endl;
    		return -1;
    	}
    	string line;
    	int index = 0;
    	string vertexName;
    	// 首先对Vertex Name进行编码
    	while(graphRdFile >> vertexName) {
    		if (graphMap.find(vertexName) == graphMap.end()) {
    			graphMap.insert(make_pair(vertexName, index++));
    		}
    	}
    	// 编码与Vertex的反映射
    	vector<string> indexName = vector<string>(graphMap.size(),"");
    	for(auto itr=graphMap.begin();itr!=graphMap.end();itr++) {
    		indexName[itr->second] = itr->first;
    	}
    	// 重新读
    	graphRdFile.clear();
    	graphRdFile.seekg(0,std::ios::beg);
    	adjGraph.resize(graphMap.size());
    	int currentIndex = 0; // 当前图节点的编号
    	vector<int> id(adjGraph.size(), 0);
    	while (getline(graphRdFile, line)) { //按行读,每一行是一个图节点的连接情况
    		istringstream ss(line);
    		string tmp;
    		bool firstFlag = true;
    		while(ss >> tmp) {
    			if (firstFlag) {
    				if (graphMap.find(tmp) != graphMap.end()) {
    					currentIndex = graphMap[tmp];
    				} else {
    					break;
    				}
    				firstFlag = false;
    				continue;
    			}
    			if (graphMap.find(tmp) != graphMap.end()) {
    				adjGraph[currentIndex].emplace_back(VertexNode(tmp,graphMap[tmp]));
    				id[graphMap[tmp]]++;
    			}
    		}
    	}
    	// 拓扑排序测试:
    	vector<int> topSortId;
    	if(topSort(adjGraph, id, topSortId)) {
    		for(int i = 0; i < topSortId.size(); i++) {
    			cout << indexName[topSortId[i]] << " ";
    		}
    		cout << endl;
    	} else {
    		cout << "Network has a cycle!" << endl;
    	}
    	return 0;
    }

    测试图结构文件graph_struct.txt内容为:

    1 2 4
    2 6
    3 2 6
    4
    5 1 2 6

    对应的有向无环图为:

    输出结果为:

    5 1 4 3 2 6
    展开全文
  • AOV网

    2019-09-28 03:46:42
    1、定义 用顶点表示活动,用有向边<Vi, Vj>表示活动间的优先关系。 Vi必须先于活动Vj进行。 这种有向图叫做顶点表示活动的AOV网络(Activity On Vertices) ...这种构造AOV网络全部顶点的拓扑有序序列的运...

    1、定义

    用顶点表示活动,用有向边<Vi, Vj>表示活动间的优先关系。

    Vi必须先于活动Vj进行。

    这种有向图叫做顶点表示活动的AOV网络(Activity On Vertices)

     

    2、拓扑排序

    拓扑序列:即将各个顶点(代表各个活动)排列成一个线性有序的序列,使得所有弧尾结点排在弧头结点的前面。

     

    这种构造AOV网络全部顶点的拓扑有序序列的运算叫做拓扑排序。

     

    如果通过拓扑排序能将AOV网络的所有顶点都排入一个拓扑有序的序列中,则一定没有有向环。

     

    上图的拓扑排序为:

    C1,C8,C2,C3,C5,C9,C4,C7,C6

     

    拓扑排序方法:

    (1)输入AOV网络。令n为顶点个数;

    (2)在AOV网络中选一个没有直接前驱的顶点,并输出之;

    (3)从图中删去该顶点,同时删去所有它发出的有向边;

    (4)重复以上(2)(3)步,直到

             全部顶点均已输出,拓扑有序序列形成,拓扑排序完成;

       或

             图中还有未输出的顶点,但已跳出处理循环。说明图中还剩下一些顶点,它们都有直接前驱,这是网络中必有环。

     

     

    如果图采用邻接表储存,则在邻接表中增设一个数组count[],记录各顶点入度。入度为0的顶点即无前驱顶点。

    在输入数据前,顶点表data[]和入度数组count[]全部初始化。

    在输入数据时,每输入一条边<j, k >,就需要建立一个边结点,并将它链入相应边链表中,统计入度信息:

    EdgeNode *p = new EdgeNode;
    p->adjvex = k;
    p->nextarc = G.VexList[j].firstarc;
    data[j].firstarc = p;
    count[k]++;
    

      

     

    在算法中,使用一个存放入度为0的顶点的链式栈,供选择和输出无前驱的顶点。

     

    算法描述:

    建立入度为0的顶点栈;

    当入度为0的顶点栈不为空时,重复执行

        从顶点栈中推出一个顶点,并输出之;

        从AOV网络中删去这个顶点和它发出的边,边的总顶点入度减一;

        如果边的终顶点入度减至0,则该顶点进入入度为0的顶点栈;

    如果输出顶点个数少于AOV网络的顶点个数,则报告网络中存在有向环。

     

    算法分析:

    如果AOV网络中有n个顶点,e条边,在拓扑排序的过程中,搜索入度为0的顶点,建立链式栈所需要的时间是O(n)。在正常的情况下,有向图有n个顶点,每个顶点进入一次栈,出一次栈,共输出n次。顶点入度减一的运算共执行了e次。所以总的时间复杂度为O(n+e).

    转载于:https://www.cnblogs.com/KennyRom/p/6120039.html

    展开全文
  • AOV网(拓扑排序)和AOE网

    千次阅读 2020-09-04 13:19:18
    AOV网(Activity On Vertex Network) 拓扑排序(Topological Sort) 拓扑排序 – 思路 拓扑排序 – 实现 AOE网 (Activity On Edge Network) AOV网与AOE网的关系 AOV网(Activity On Vertex Network) 一项大...

    目录

    AOV网(Activity On Vertex Network)

    拓扑排序(Topological Sort)

    拓扑排序 – 思路

    拓扑排序 – 实现

    AOE网 (Activity On Edge Network)

    AOV网与AOE网的关系

    拓扑排序应用

    LeetCode_210:课程表


    AOV(Activity On Vertex Network)

    一项大的工程常被分为多个小的子工程, 子工程之间可能存在一定的先后顺序,即某些子工程必须在其他的一些子工程完成后才能开始; 在现代化管理中,人们常用有向图来描述和分析一项工程的计划和实施过程,子工程被称为活动(Activity)

    顶点表示活动、有向边表示活动之间的先后关系,这样的图简称为 AOV 网, 标准的AOV网必须是一个有向无环图(Directed Acyclic Graph,简称 DAG)

    拓扑排序(Topological Sort)

    前驱活动:有向边起点的活动称为终点的前驱活动  (注意: 只有当一个活动的前驱全部都完成后,这个活动才能进行)
    后继活动:有向边终点的活动称为起点的后继活动


    什么是拓扑排序?
    将 AOV 网中所有活动排成一个序列,使得每个活动的前驱活动都排在该活动的前面
    比如上图的拓扑排序结果是:A、B、C、D、E、F 或者 A、B、D、C、E、F (结果并不一定是唯一的)

    拓扑排 思路

    可以使用卡恩算法(Kahn)完成拓扑排序
    假设 L 是存放拓扑排序结果的列表
    (1) 把所有入度为 0 的顶点放入 L 中,然后把这些顶点从图中去掉
    (2) 重复操作(1),直到找不到入度为 0 的顶点
         如果此时 L 中的元素个数和顶点总数相同,说明拓扑排序完成
         如果此时 L 中的元素个数少于顶点总数,说明原图中存在环,无法进行拓扑排序

    拓扑排 实现

    在代码实现中, 使用一个map来维护顶点与该顶点入度的关系, 当某个顶点的入度为 0 , 那么该顶点需要放入list列表中, 进行排序, 并将该顶点所属边的终点顶点的入度 -1, 模拟移除该顶点; 

    /**
     * 拓扑排序(卡恩算法)
     */
    @Override
    public List<V> topologicalSort() {
        List<V> list = new ArrayList<>(); //存储排好序的顶点值
        Queue<Vertex<V, E>> queue = new LinkedList<>(); //存储度为0的顶点
        Map<Vertex<V, E>, Integer> ins = new HashMap<>(); //存储顶点与实时入度的映射
    
        /**
         * 将入度为 0的顶点入栈,作为起始顶点;
         * 将入度不为 0的顶点加入ins映射中, 后面进行实时更新
         */
        vertices.forEach((V v,Vertex<V,E> vertiex)->{
            int inSize = vertiex.inEdges.size();
            if(inSize == 0){
                queue.offer(vertiex);
            }else{
                ins.put(vertiex,inSize);
            }
        });
    
        while(!queue.isEmpty()){
            Vertex<V, E> vertex = queue.poll(); //队头元素出队
            list.add(vertex.value);  //加入集合
    
            /**
             * 模拟vertex顶点删除, 该顶点所有的边的to顶点的入度需要-1
             */
            vertex.outEdges.forEach((Edge<V,E> edge)->{
                int inSize = ins.get(edge.to) - 1;
                if(inSize == 0){
                    queue.offer(edge.to);
                }else{
                    ins.put(edge.to,inSize);
                }
            });
        }
    
        return list;
    }

    AOE网 (Activity On Edge Network)

    AOE网的定义:在带权有向图中若以顶点表示事件,有向边表示活动,边上的权值表示该活动持续的时间,这样的图简称为AOE网

    这里写图片描述

    如上所示,共有11项活动(11条边), 9个事件(9个顶点)。整个工程只有一个开始点和一个完成点。即只有一个入度为零的点 (源点) 和只有一个出度为零的点(汇点)
    关键路径:是从开始点到完成点的最长路径的长度。路径的长度是边上活动耗费的时间
    如上图所示,1 -> 2 -> 5 -> 7 -> 9是关键路径(关键路径不止一条,请输出字典序最小的), 权值的和为18

    AOV网与AOE网的关系

    从定义上来看,很容易看出两种网的不同,AOV网的活动以顶点表示,而AOE网的活动以有向边来表示,AOV网的有向边仅仅表示活动的先后次序。纵观这两种网图,其实它们总体网络结构是一样的,仅仅是活动所表示的方式不同,因此可以猜想从AOV网转换成AOE网应该是可行的。

      通常AOE网都是和关键路径联系在一起的,在AOE网中我们可以通过关键路径法来计算影响整个工期的关键路径,达到缩短工期的目的。在传统的AOV网中是没有表示活动时间的权值的,因此传统的AOV网无法估算工期,但是如果我们在AOV网中的活动结点上都标上时间属性,那么AOV网就可以完全转换为AOE网。

    拓扑排序应用

    LeetCode_210:课程表

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  • 拓扑排序AOV网

    2022-03-27 10:32:31
    若用DAG图表示一个工程,其顶点表示活动,用有向边,Vj>表示活动Vi必须先于活动Vj进行的这样一种关系,则将这种有向图称为顶点表示活动的网络,即AOV网。在AOV网中,可以寻找是否有一条路径,让每个活动有序进行,即...
  • 1.AOV网:顶点活动网,是指用顶点表示活动,而用边集表示活动优先关系的有向无环图。 2.AOE网:边活动网,是指用带权的边集表示活动,而用顶点表示事件的有向无环图。 AOV网和AOE网都不能存在环,否则会出现逻辑错误...
  • AOV网络 用顶点表示活动的网络 用有向图表示先修和后修的关系。 在有向图中,用顶点表示活动, 用有向边< vi, vj >表示vi 必须先于 v j进行。 如果有有向环则说明某项活动以自己为先决条件,这是不对...输入AOV网
  • 有向无环图——AOV网(拓扑排序)

    千次阅读 2022-02-24 20:31:50
    有向无环图:无环的有向...用一个有向图表示一个工程的各子工程及其相互制约的关系,其中以顶点表示活动,弧表示活动之间的优先制约关系,称这种有向图为顶点表示活动的网,简称AOV网(Activity On Vertex network) A
  • 一:AOV网(Activity On Vertex Network)【顶点——表示活动】 二:AOE网(Activity On Edge)【边——表示活动】 一:AOV网(Activity On Vertex Network)【顶点——表示活动】 是一个——有向无回路的图 ...
  • AOV网络和AOE网络

    千次阅读 2018-12-02 22:41:29
    AOV和AOE网络是什么 活动网络可以用来描述生产计划、施工过程、生产流程、程序流程等工程中各子工程的安排问题。活动网络可分为两种:AOV网络和AOE网络 AOV网络(Activity On Vertices):在有向图中,用顶点表示...
  • 针对印刷工作流程的控制问题,首先在研究JDF(job definition format)标准的基础上,基于AOV(activity on vertices)网提出了JDF-AOV网,以描述JDF印刷工作流程中各过程节点在执行时的相互依赖关系;然后定义了...
  • AOV网 AOV网(Activity On Vertex Network)用顶点表示活动。边是无权的,仅仅用来表示前驱与后继关系。 前驱与后继 有向边的起点称为终点的前驱,有向边的终点称为起点的后继。拓扑排序的关注点在于前驱——一个...
  • 【算法】 AOV网与AOE网

    千次阅读 2019-09-10 21:02:16
    AOV网 我们把施工过程、生产流程、软件开发、教学安排等都当成一个项目工程来对待,所有的工程都可以分为若干个“活动”的子工程。有很多场景对顺序有严格的要求,比如说建造一栋大楼必须先找好施工人员,购买各种...
  • AOV网:在一个表示工程的有向图中,用顶点表示活动,用弧表示活动之间的优先关系,称这样的有向图为顶点表示活动的网,简称AOV网 拓扑序列 : **设G=(V,E)是一个具有n个顶点的有向图,V中的顶点序列v1, v2, …, ...

空空如也

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