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  • Gamma函数

    千次阅读 2019-04-13 20:21:11
    伽玛函数(Gamma函数),也叫欧拉第二积分,是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数,也叫第一类欧拉积分。可以...

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    伽玛函数(Gamma函数),也叫欧拉第二积分,是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数,也叫第一类欧拉积分。可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。

    对于正整数X>1,具有如下性质:
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    Γ(n+1)=nΓ(n) , n>0

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  • Gamma 函数

    万次阅读 2014-04-15 06:48:30
    Gamma函数),是 阶乘 函数在实数与复数上的扩展。对于实数部份为正的复数 z ,伽玛函数定义为: 此定义可以用 解析开拓 原理拓展到整个 复数 域上, 非正整数 除外。 如果 n 为正整数,则伽玛函数...

    转自:

    http://blog.sina.com.cn/s/blog_6c17a3a00100o4xx.html


    Γ函数

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    \Gamma \,函数,也叫做伽玛函数(Gamma函数),是阶乘函数在实数与复数上的扩展。对于实数部份为正的复数z,伽玛函数定义为:

     \Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} \frac{t^{z-1}}{e^t} \,{\rm{d}}t

    此定义可以用解析开拓原理拓展到整个复数域上,非正整数除外。

    如果n为正整数,则伽玛函数定义为:

    Γ(n) = (n − 1)!

    这显示了它与阶乘函数的联系。可见,伽玛函数将n拓展到了实数与复数域上。

    概率论中常见此函数,在组合数学中也常见。

    定义

    \Gamma \,函数可以通过欧拉(Euler)第二类积分定义:

    \Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}\frac{t^{z-1}}{e^t}\rm{d}t

    对复数z\,,我们要求Re(z) > 0

    Γ函数还可以通过对e^{-t}\,做泰勒展开,解析延拓到整个复平面: \Gamma(z)=\int_{1}^{\infty}\frac{t^{z-1}}{e^t}{\rm{d}}t+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n\!}\frac{1}{n+z}

    这样定义的Γ函数在全平面除了z=0,-1,-2,\ldots以外的地方解析。

    Γ函数也可以用无穷乘积的方式表示:

    \Gamma(z)=\frac{1}{z}\prod_{n=1}^{\infty} \left\{\left(1+\frac{z}{n}\right)^{-1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^z \right\}

    这样定义的Γ函数在全平面解析

    无穷乘积

    \Gamma\,函数可以用无穷乘积表示:

    \Gamma(z) = \lim_{n \to {+\infty}} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)}
    \Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z}}{z} \prod_{n=1}^{+\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{\frac{z}{n}}

    其中\gamma\,欧拉-马歇罗尼常数

    Gamma积分

    1= \int_{0}^{\infty}\frac{x^\left(\alpha-1\right)\lambda^\alpha e^\left(-\lambda x\right)}{\Gamma\left(\alpha \right)} {\rm{d}} x

    \Rightarrow \frac{\Gamma\left(\alpha\right)}{\lambda^\alpha} = \int_{0}^{\infty} x^{\alpha-1}e^{-\lambda x} {\rm{d}}x

    递推公式

     \Gamma \,函数的递推公式为: Γ(x + 1) = xΓ(x)

    对于正整数n\,,有

    Γ(n + 1) = n!

    可以说 \Gamma \,函数是阶乘的推广。

    递推公式的推导

    \Gamma(n + 1) = \int_0^\infty e^{-x} x ^{n + 1 - 1} dx = \int_0^\infty e^{-x} x ^n {\rm{d}}x

    我们用分部积分法来计算这个积分:

    \int_0^\infty e^{-x} x ^n dx = \left[\frac{-x^n}{e^x}\right]_0^\infty + n \int_0^\infty e^{-x} x ^{n - 1} {\rm{d}} x

    x=0 \,时,\frac{-0^n}{e^0} = \frac{0}{1} = 0。当x \,趋于无穷大时,根据洛必达法则,有:

    \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-x^n}{e^x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-n! \cdot 0}{e^x} = 0.

    因此第一项\left[\frac{-x^n}{e^x}\right]_0^\infty 变成了零,所以:

    \Gamma(n + 1) = n \int_0^\infty \frac{x ^{n - 1}}{e^x} {\rm{d}}x

    等式的右面正好是n \Gamma(n)\,。因此,递推公式为:

    {\Gamma(n + 1) = n \Gamma(n)} \,

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  • 这是我整理的关于gamma函数及用gamma函数证明标准正态分布概率密度函数的归一性的一点内容,传上来希望对大家有所帮助。
  • Gamma函数(第二类Euler积分)。 性质1:Gamma函数有递推关系 。 证明: . 性质2:设 , .(性质1的推广,易证)。 显然 ,可认为Gamma函数是 的极限,做...

    参考链接: Python数学库math | gamma()函数

    使用教材:

     王竹溪,郭敦仁.特殊函数概论

     

      设 

     

       ,积分 

     

     

       称为

     

     Gamma函数(第二类Euler积分)。

     性质1:Gamma函数有递推关系 

     

       。

     

     证明: 

     

       .

     

     性质2:设 

     

       , 

     

     

       .(性质1的推广,易证)。

     

      显然 

     

       ,可认为Gamma函数是 

     

     

       的极限,做换元 

     

     

       ,注意范围并做 

     

     

       次分部积分有: 

     

     

      

     

     据此得 

     

       ,注意 

     

     

       得:

     

     

     

      

     

     这个式子被称为Euler无穷乘积,是Gamma函数的普遍定义式。

      在上述的过程中,我们还可以把因子表示为:

     

      

     

     因此,可以得到 

     

       ,这个式子被称为

     

     Weierstrass无穷乘积,其中 

     

       称为

     

     Euler常数, 

     

       。

     

      根据Weierstrass无穷乘积,易得 

     

       ,令 

     

     

       ,结合定义和上述结果易得 

     

     

       ,这个式子被称为

     

     Wallis乘积。据此给出乘积公式:

     

     

      

     

     证明:我们令 

     

       ,易得:

     

     

     

      

     

     说明 

     

       是无关的,易证乘积公式,余下略。

     

     

     本文仅作为作者的个人笔记,若有读者则请谨慎阅读。

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    789a6f14e20d7ad5868a5cadfd5c8e53.png

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    具体见图片: 是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。该函数在分析学、概率论、偏微分方程和组合数学中有重要的应用。与之有密切联系的函数是贝塔函数,也叫第一类欧拉积分。可以用来快速计算同伽马函数形式相类似的积分。

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