证据理论

  证据理论 (Theory of Evidence) 是由 Dempster 首先提出，由Shafer进一步发展起来的一种不精确推理理论，也称为 Dempster-Shafer (DS) 证据理论。证据理论可以在没有先验概率的情况下，灵活并有效地对不确定性建模。

证据理论的基本理论

辨识框架 (Frame of discernment)

  辨识框架 $\Omega$ 是一个由问题的所有假设 (hypothesis) 组成穷举集合，所有假设是相互排斥的。设 $\Omega$ 包含 $N$ 个元素，$\Omega$ 可以表示为： Ω = { H 1 , H 2 , ⋯   , H N } \Omega=\{H_1,H_2,\cdots, H_N\} Ω={H1​,H2​,⋯,HN​}
  $\Omega$ 的子集 $A$ 称为命题 (proposition)，$\Omega$ 的幂集 $2^{\Omega }$ 由 $\Omega$ 的所有子集组成，包含 $2^N$ 个元素，$2^{\Omega }$ 可以表示为： 2 Ω = { ∅ , { H 1 } , { H 2 } , ⋯   , { H N } , { H 1 , H 2 } , ⋯   , { H 1 , H 2 , ⋯   , H i } , ⋯   , Ω } 2^\Omega=\{\emptyset ,\{H_1\},\{H_2\},\cdots,\{H_N\},\{H_1,H_2\},\cdots,\{H_1,H_2,\cdots, H_i\},\cdots,\Omega\} 2Ω={∅,{H1​},{H2​},⋯,{HN​},{H1​,H2​},⋯,{H1​,H2​,⋯,Hi​},⋯,Ω}

基本概率分配函数 (Basic probability assignment, bpa) / m 函数 (Mass function)

  基本概率分配函数是从 $2^{\Omega }$ 到 $[0,1]$ 的映射：$$m:2^{\Omega }\to [0,1]$$ 它满足以下两个条件：$$m(\varnothing )=0and\sum _{A\subseteq \Omega }m(A)=1$$ $m(A)$ 的值表示证据对命题 $A$ 的支持程度。
  对于 $A\in 2^{\Omega }$，如果 $m(A)>0$，则称 $A$ 为一个焦元 (focal element)。

信任函数 (Belief function)

  信任函数定义如下：$$Bel(A)=\sum _{B\subseteq A}m(B)$$ $Bel(A)$表示对A的总的信任程度。根据基本概率分配函数的特点，我们可以知道：$$Bel(\varnothing )=m(\varnothing )=0$$ $$Bel(\Omega )=\sum _{B\subseteq \Omega }m(B)=1$$

似然函数 (Plausibility function)

  似然函数定义如下：$$Pl(A)=\sum _{B\cap A\ne \varnothing }m(B)$$似然函数也可以表示为：$$Pl(A)=1-Bel(\bar{A})$$其中 $\bar{A}=\Omega -A$。似然函数表示不否定A的信任程度。似然函数有如下特点：$$Pl(\varnothing )=0$$ $$Pl(\Omega )=1$$信任函数与似然函数的关系：$$Pl(A)\ge Bel(A)$$
Example:
Ω = { A , B , C } \Omega=\{A,B,C\} Ω={A,B,C} m ( { A } ) = 0.3 , m ( { A , B } ) = 0.2 , m ( Ω ) = 0.2 m ( { B } ) = 0 , m ( { A , C } ) = 0.2 , m ( ∅ ) = 0 m ( { C } ) = 0.1 , m ( { B , C } ) = 0 \begin{aligned} &m(\{A\})=0.3,&\quad m(\{A,B\})=0.2, &\quad m(\Omega)=0.2 \\ &m(\{B\})=0, &\quad m(\{A,C\})=0.2,&\quad m(\emptyset)=0 \\ &m(\{C\})=0.1,&\quad m(\{B,C\})=0 \quad \end{aligned} ​m({A})=0.3,m({B})=0,m({C})=0.1,​m({A,B})=0.2,m({A,C})=0.2,m({B,C})=0​m(Ω)=0.2m(∅)=0​ B e l ( { A } ) = m ( { A } ) + m ( ∅ ) = 0.3 P l ( { A } ) = m ( { A } ) + m ( { A , B } ) + m ( { A , B } ) + m ( Ω ) = 0.3 + 0.2 + 0.2 + 0.2 = 0.9 \begin{aligned} &Bel(\{A\})=m(\{A\})+m(\emptyset)=0.3 \\ &Pl(\{A\})=m(\{A\})+m(\{A,B\})+m(\{A,B\})+m(\Omega)=0.3+0.2+0.2+0.2=0.9 \end{aligned} ​Bel({A})=m({A})+m(∅)=0.3Pl({A})=m({A})+m({A,B})+m({A,B})+m(Ω)=0.3+0.2+0.2+0.2=0.9​

Dempster-Shafer 合成公式

  对于相互独立的不同证据源，有不同的基本概率分配函数。Dempster-Shafer 合成公式采用正交和将不同的基本概率分配函数合成为一个新的基本概率分配函数。公式定义如下：$$m(A)=\frac{1}{1-k}\sum _{A_1\cap A_2\cap A_3\cdots =A}{m}_1(A_1)m_2(A_2)m_3(A_3)\cdots$$ $$k=\sum _{A_1\cap A_2\cap A_3\cdots =\varnothing }{m}_1(A_1)m_2(A_2)m_3(A_3)\cdots =1-\sum _{A_1\cap A_2\cap A_3\cdots \ne \varnothing }{m}_1(A_1)m_2(A_2)m_3(A_3)\cdots$$ 其中 $k$ 是冲突系数，$k$ 越接近1表示证据源之间冲突越严重，$k$ 接近0表示证据源彼此一致。
  当 $k\to 1$ 时，表示证据源高度冲突，这时候采用DS合成公式会得出违反直觉的结果。而且，即使增加彼此一致的信息源的数量，也无法降低冲突系数 $k$。Example 2 和 Example 3 展示了这一问题。我在证据理论入门笔记（2）中总结了其他几种合成公式。

Examples

Example 1

Ω = { A , B } m 1 : m 1 ( { A } ) = 0.4 , m 1 ( { A , B } ) = 0.2 , m 1 ( { C } ) = 0.4 m 2 : m 2 ( { A } ) = 0.7 , m 2 ( Ω ) = 0.3 \begin{aligned} &\Omega=\{A,B\} \\ &m_1:m_1(\{A\})=0.4,\quad m_1(\{A,B\})=0.2,\quad m_1(\{C\})=0.4 \\ &m_2:m_2(\{A\})=0.7,\quad m_2(\Omega)=0.3 \end{aligned} ​Ω={A,B}m1​:m1​({A})=0.4,m1​({A,B})=0.2,m1​({C})=0.4m2​:m2​({A})=0.7,m2​(Ω)=0.3​ k = m 1 ( { C } ) m 2 ( { A } ) = 0.28 m ( { A } ) = m 1 ( { A } ) m 2 ( { A } ) + m 1 ( { A } ) m 2 ( Ω ) + m 1 ( { A , B } ) m 2 ( { A } ) 1 − k = 0.4 × 0.7 + 0.4 × 0.3 + 0.2 × 0.7 1 − 0.28 = 0.75 m ( { A , B } ) = m 1 ( { A , B } ) m 2 ( Ω ) 1 − k = 0.2 × 0.3 1 − 0.28 = 0.0833 m ( { C } ) = m 1 ( { C } ) m 2 ( Ω ) 1 − k = 0.4 × 0.3 1 − 0.28 = 0.1667 \begin{aligned} k&=m_1(\{C\})m_2(\{A\})=0.28 \\ m(\{A\})&=\frac{m_1(\{A\})m_2(\{A\})+m_1(\{A\})m_2(\Omega)+m_1(\{A,B\})m_2(\{A\})}{1-k} \\ &=\frac{0.4\times0.7+0.4\times0.3+0.2\times0.7}{1-0.28} \\ &=0.75 \\ m(\{A,B\})&=\frac{m_1(\{A,B\})m_2(\Omega)}{1-k} \\ &=\frac{0.2\times0.3}{1-0.28} \\ &=0.0833 \\ m(\{C\})&=\frac{m_1(\{C\})m_2(\Omega)}{1-k} \\ &=\frac{0.4\times0.3}{1-0.28} \\ &=0.1667 \\ \end{aligned} km({A})m({A,B})m({C})​=m1​({C})m2​({A})=0.28=1−km1​({A})m2​({A})+m1​({A})m2​(Ω)+m1​({A,B})m2​({A})​=1−0.280.4×0.7+0.4×0.3+0.2×0.7​=0.75=1−km1​({A,B})m2​(Ω)​=1−0.280.2×0.3​=0.0833=1−km1​({C})m2​(Ω)​=1−0.280.4×0.3​=0.1667​

Example 2

（证据源高度冲突的情况）
Ω = { A , B , C } m 1 : m 1 ( { A } ) = 0.99 , m 1 ( { B } ) = 0.01 , m 1 ( { C } ) = 0 m 2 : m 2 ( { A } ) = 0 , m 2 ( { B } ) = 0.01 , m 2 ( { C } ) = 0.99 \begin{aligned} &\Omega=\{A,B,C\} &\quad &\quad \\ &m_1:m_1(\{A\})=0.99,& m_1(\{B\})=0.01,&\quad m_1(\{C\})=0 \\ &m_2:m_2(\{A\})=0, & m_2(\{B\})=0.01,&\quad m_2(\{C\})=0.99 \\ \end{aligned} ​Ω={A,B,C}m1​:m1​({A})=0.99,m2​:m2​({A})=0,​m1​({B})=0.01,m2​({B})=0.01,​m1​({C})=0m2​({C})=0.99​ k = m 1 ( { A } ) m 2 ( { B } ) + m 1 ( { A } ) m 2 ( { C } ) + m 1 ( { B } ) m 2 ( { C } ) = 0.99 × 0.01 + 0.99 × 0.99 + 0.01 × 0.99 = 0.9999 m ( { A } ) = m 1 ( { A } ) m 2 ( { A } ) 1 − k = 0.99 × 0 1 − 0.9999 = 0 m ( { B } ) = m 1 ( { B } ) m 2 ( { B } ) 1 − k = 0.01 × 0.01 1 − 0.9999 = 1 m ( { C } ) = m 1 ( { C } ) m 2 ( { C } ) 1 − k = 0 × 0.99 1 − 0.0.9999 = 0 \begin{aligned} k&=m_1(\{A\})m_2(\{B\})+m_1(\{A\})m_2(\{C\})+m_1(\{B\})m_2(\{C\}) \\ &= 0.99\times0.01+0.99\times0.99+0.01\times0.99 \\ &=0.9999 \\ m(\{A\})&=\frac{m_1(\{A\})m_2(\{A\})}{1-k} \\ &=\frac{0.99\times0}{1-0.9999} \\ &=0 \\ m(\{B\})&=\frac{m_1(\{B\})m_2(\{B\})}{1-k} \\ &=\frac{0.01\times0.01}{1-0.9999} \\ &=1 \\ m(\{C\})&=\frac{m_1(\{C\})m_2(\{C\})}{1-k} \\ &=\frac{0\times0.99}{1-0.0.9999} \\ &=0 \\ \end{aligned} km({A})m({B})m({C})​=m1​({A})m2​({B})+m1​({A})m2​({C})+m1​({B})m2​({C})=0.99×0.01+0.99×0.99+0.01×0.99=0.9999=1−km1​({A})m2​({A})​=1−0.99990.99×0​=0=1−km1​({B})m2​({B})​=1−0.99990.01×0.01​=1=1−km1​({C})m2​({C})​=1−0.0.99990×0.99​=0​

Example 3

（三个证据源，其中证据源1和证据源2高度冲突，证据源1和证据源3一致）
Ω = { A , B , C } m 1 : m 1 ( { A } ) = 0.98 , m 1 ( { B } ) = 0.01 , m 1 ( { C } ) = 0.01 m 2 : m 2 ( { A } ) = 0 , m 2 ( { B } ) = 0.01 , m 2 ( { C } ) = 0.99 m 3 : m 3 ( { A } ) = 0.9 , m 3 ( { B } ) = 0 ,   m 3 ( { C } ) = 0.1 \begin{aligned} &\Omega=\{A,B,C\} &\quad &\quad \\ &m_1:m_1(\{A\})=0.98,& m_1(\{B\})=0.01,\quad & m_1(\{C\})=0.01 \\ &m_2:m_2(\{A\})=0, & m_2(\{B\})=0.01,\quad & m_2(\{C\})=0.99 \\ &m_3:m_3(\{A\})=0.9, & m_3(\{B\})=0, \:\qquad&m_3(\{C\})=0.1 \\ \end{aligned} ​Ω={A,B,C}m1​:m1​({A})=0.98,m2​:m2​({A})=0,m3​:m3​({A})=0.9,​m1​({B})=0.01,m2​({B})=0.01,m3​({B})=0,​m1​({C})=0.01m2​({C})=0.99m3​({C})=0.1​ k = 1 − [ m 1 ( { A } ) m 2 ( { A } ) m 3 ( { A } ) + m 1 ( { B } ) m 2 ( { B } ) m 3 ( { B } ) + m 1 ( { C } ) m 2 ( { C } ) m 3 ( { C } ) ] = 1 − [ 0.98 × 0 × 0.9 + 0.01 × 0.01 × 0 + 0.01 × 0.99 × 0.1 ] = 0.99901 m ( { A } ) = m 1 ( { A } ) m 2 ( { A } ) m 3 ( { A } ) 1 − k = 0.98 × 0 × 0.9 1 − 0.99901 = 0 m ( { B } ) = 0 m ( { C } ) = m 1 ( { C } ) m 2 ( { C } ) m 3 ( { C } ) 1 − k = 0.01 × 0.99 × 0.1 1 − 0.99901 = 1 \begin{aligned} k&=1-[m_1(\{A\})m_2(\{A\})m_3(\{A\})+m_1(\{B\})m_2(\{B\})m_3(\{B\})+m_1(\{C\})m_2(\{C\})m_3(\{C\})] \\ &=1-[0.98\times0\times0.9+0.01\times0.01\times0+0.01\times0.99\times0.1] \\ &=0.99901 \\ m(\{A\})&=\frac{m_1(\{A\})m_2(\{A\})m_3(\{A\})}{1-k} \\ &=\frac{0.98\times0\times0.9}{1-0.99901} \\ &=0 \\ m(\{B\})&=0 \\ m(\{C\})&=\frac{m_1(\{C\})m_2(\{C\})m_3(\{C\})}{1-k} \\ &=\frac{0.01\times0.99\times0.1}{1-0.99901} \\ &=1 \\ \end{aligned} km({A})m({B})m({C})​=1−[m1​({A})m2​({A})m3​({A})+m1​({B})m2​({B})m3​({B})+m1​({C})m2​({C})m3​({C})]=1−[0.98×0×0.9+0.01×0.01×0+0.01×0.99×0.1]=0.99901=1−km1​({A})m2​({A})m3​({A})​=1−0.999010.98×0×0.9​=0=0=1−km1​({C})m2​({C})m3​({C})​=1−0.999010.01×0.99×0.1​=1​

DS证据理论学习笔记 

参考资料：浙江大学徐从富教授   可见点击打开链接

一、经典证据理论

       1、经典证据理论的主要特点：

        ①满足比比贝叶斯概率更弱的条件，即不必蛮子概率可加性

        ②具有直接表达“不确定”和“不知道”的能力

        ③证据理论不但允许人们将信度赋予假设空间的单个元素，而且还能赋予他的子集

 1 简介

将多传感器信息融合技术引用到军事领域，介绍了基于 D-S 证据理论的多传感器多个测量周期的信息融合（时空信息融合）的方法，并将该方法应用于多个雷达的信息融合。模拟实验结果表明，与单个传感器相比，基于 D-S 证据理论的多传感器时空信息融合的结果具有较高的准确度和可信度​。

2 部分代码

function DS_out(Result,ec1,ec2)​%功能：由Result结果和ec1 ec2做出判断   ​​[nx,mx]=size(Result);if 1~=nx    disp('Result应为行向量');    return;end​[data,index]=sort(Result(1,1:mx-2));  %升序排列​if (Result(index(mx-2))-Result(index(mx-3))>ec1)  &  (Result(mx-1)<ec2)  &  (Result(index(mx-2))>Result(mx-1))    if index(mx-2)==1          Type='测风雷达';    elseif index(mx-2)==2           Type='测雨雷达';    elseif index(mx-2)==3           Type='测云雷达';    elseif index(mx-2)==4           Type='多普勒雷达';    else        Type='识别算法出错';    endelse    Type='无法识别目标';end​Type​​   ​    

3 仿真结果

4 参考文献

[1]王力. 基于DS证据理论的多传感器数据融合算法研究与应用[D]. 太原理工大学.

博主简介：擅长智能优化算法、神经网络预测、信号处理、元胞自动机、图像处理、路径规划、无人机等多种领域的Matlab仿真，相关matlab代码问题可私信交流。

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