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  • 动态规划经典题目

    2014-11-23 16:00:29
    动态规划经典题目:包括了经典的最长不下降子序列,最长公共子序列,01背包,完全背包,部分背包等算法的详解。
  • 题目:思路:先放上视频讲解动态规划经典题目:鸡蛋掉落https://www.zhihu.com/video/1225199247848513536纠正:视频里的状态转移方程漏写了一个+1,意思就是不管鸡蛋有没有摔碎,不管我们是往上走还是往下走,当前...

    题目:

    d4a3f562e65e4ef1642642e986312c7f.png

    思路:

    先放上视频讲解

    98f40c9d38df31e65a2888c96da52003.png
    动态规划经典题目:鸡蛋掉落https://www.zhihu.com/video/1225199247848513536

    纠正:视频里的状态转移方程漏写了一个+1,意思就是不管鸡蛋有没有摔碎,不管我们是往上走还是往下走,当前都已经扔过一次了,所以次数+1。

    代码(优化前):

    class Solution {
        public int superEggDrop(int K, int N) {
            //dp存的是拥有i个鸡蛋j层楼情况下找到F所需的最小移动次数
            int[][] dp = new int[K+1][N+1];
            //只有一个鸡蛋时,最坏需要移动(当前拥有的楼层数)次
            for(int i=0;i<=N;i++){
                dp[1][i] = i;
            }
            //从两个鸡蛋的情况开始算
            for(int i=2;i<=K;i++){
                //在拥有i个鸡蛋j个楼层的情况下,计算从h层扔鸡蛋去找F层所需的移动次数
                for(int j=1;j<=N;j++){
                    int ans = Integer.MAX_VALUE;
                    for(int h=1;h<=j;h++){
                        int A = dp[i-1][h-1];
                        int B = dp[i][j-h];
                        //ans为h从1取到j层楼的所有情况里的最小移动次数
                        ans = Math.min(ans,Math.max(A,B)+1);
                    }
                    dp[i][j] = ans;
                }
            }
            return dp[K][N];
        }
    }

    这是结合我视频里的思路写出来的代码,比较便于理解。但是由于h一次次地从1取到当前拥有的楼层数,然后才能比较出最小值,这中间做了很多不必要的工作,所以还需要进行优化。

    回头看一下这个状态转移方程:max(dp(K-1,X-1),dp(K,N-X))

    可以发现:

    当X增大时,dp(K-1,X-1)是随之增大的。这也很好理解,楼层越多,想找到F就需要更多的次数。

    而当X增大时,dp(K,N-X)是随之减小的。和上条是一样的道理,X越大,N-X就越小,即楼层越少,那么找到F所需的次数就更少。

    而max(dp(K-1,X-1),dp(K,N-X)),取的是两者中的较大数。画个图理解一下(当然真实数据并不是图片所展示的这样,这个图只是为了便于理解):

    d5de4f8c620684666000889ad6616a49.png

    345fad5a746374c004c15ecea5ddf95f.png
    红色折线即为max(dp(K-1,X-1),dp(K,N-X))的图像

    所以max(dp(K-1,X-1),dp(K,N-X))是先递减后递增的,它的最小值即为我们要找的最小移动次数。

    也就是说,我们不必每次都让h从1开始遍历完所有的楼层,只要找到一个X,使得

    max(dp(K-1,X-1),dp(K,N-X))<max(dp(K-1,(X+1)-1),dp(K,N-(X+1)))

    成立,那么这个X就是让max取到最小值时的层数。

    代码(优化后):

    class Solution {
        public int superEggDrop(int K, int N) {
            //dp存的是拥有i个鸡蛋j层楼情况下找到F所需的最小移动次数
            int[][] dp = new int[K+1][N+1];
            //只有一个鸡蛋时,最坏需要移动(当前拥有的楼层数)次
            for(int i=0;i<=N;i++){
                dp[1][i] = i;
            }
            //从两个鸡蛋的情况开始算
            for(int i=2;i<=K;i++){
                int x=1;
                for(int j=1;j<=N;j++){
                    //当取x层比取X+1层的结果要大时,x++(再往上找)
                    while(x<j && Math.max(dp[i-1][x-1],dp[i][j-x])>Math.max(dp[i-1][x],dp[i][j-x-1]))
                        x++;
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][x-1],dp[i][j-x])+1;
                }
            }
            return dp[K][N];
        }
    }

    总结:动态规划就是一个自底向上计算的过程,保存每个前面的值,便于后面去计算。像这道题,我们先算好K=1的情况,便于给K=2的情况用。接下来,一步步根据前面的值算出dp[2][1],dp[2][2]……就这样一直自底向上计算出dp[K][N]。

    补充:经评论区大神指点,发现还可以做另一种优化。

    像上面分析的那样,dp(K-1,X-1)是递增函数,dp(K,N-X)是递减函数,max在两者相交时取到最小值。如下图所示。

    017144bfea73e8f8649d350831ae5295.png

    那么我们令low=1,high=N(当前总楼层数),index=(low+high)/2,根据以上图像,我们会发现:

    如果dp(K-1,index-1)>dp(K,N-index),说明当前index位于交点右侧,可以缩小查找区间至[low,index],否则说明index位于交点的左侧,缩小查找区间为[index,high]。

    根据这个规律,就可以通过二分法去查找到这个交点了!

    代码(优化二):

    class Solution {
        public int superEggDrop(int K, int N) {
            //dp存的是拥有i个鸡蛋j层楼情况下找到F所需的最小移动次数
            int[][] dp = new int[K+1][N+1];
            //只有一个鸡蛋时,最坏需要移动(当前拥有的楼层数)次
            for(int i=0;i<=N;i++){
                dp[1][i] = i;
            }
            //从两个鸡蛋的情况开始算
            for(int i=2;i<=K;i++){
                for(int j=1;j<=N;j++){
                    //通过二分法去查找能取到最小移动次数的层数
                    int low=1,high=j;
                    while(low+1<high){
                        int index = (low+high)/2;
                        int A = dp[i-1][index-1];
                        int B = dp[i][j-index];
                        if(A>B){
                            high = index;
                        }else if(A<B){
                            low = index;
                        }else{
                            low = high = index;
                        }
                    }
                    //dp[i][j]=min(选择low层时的移动次数,选择high层时的移动次数)
                    dp[i][j] = Math.min(Math.max(dp[i-1][low-1],dp[i][j-low]),Math.max(dp[i-1][high-1],dp[i][j-high]))+1;
                }
            }
            return dp[K][N];
        }
    }

    注意:这个交点可能并不是整数(无法取到这个楼层),所以最后要用low和high分别代入计算,再取最小值。

    最后的一点感想:终于写完了。。。曾经让我望而却步的算法,现在也能轻松掌握了,还是很有成就感的~其实学这些真的没有那么难,只要多一点耐心和毅力,相信自己就好。

    最后借用添哥一句话吧:

    我无坚不摧,也无所不能。

    与君共勉~

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  • 动态规划经典题目总结

    万次阅读 多人点赞 2018-12-27 11:31:30
    在算法中,动态规划题目算是比较经典的一类题目。在找工作中,不管是笔试,还是面试,我们经常会遇到用动态规划来解决问题的情况,有时候面试官还需要我们现场手写出动态规划解法的代码。因此,在求职中能灵活的运用...
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    在算法中,动态规划题目算是比较经典的一类题目。在找工作中,不管是笔试,还是面试,我们经常会遇到用动态规划来解决问题的情况,有时候面试官还需要我们现场手写出动态规划解法的代码。因此,在求职中能灵活的运用动态规划就相当重要了。下面我总结出了一些经典的动态规划题目,其中有些还是面试中遇到的。

    1. 什么是动态规划

    【1】牛客网在线编程专题《剑指offer-面试题9》斐波那契数列

    【2】动态规划学习-【国王和金矿】

    2. 第一个动态规划问题 Climbing Stairs

    【1】牛客网在线编程专题《剑指offer-面试题9:题目二》跳台阶

    【2】【LeetCode】70. Climbing Stairs

    【3】【LeetCode】120. Triangle

    【4】【LeetCode】64. Minimum Path Sum

    3. 发现重叠子问题 Integer Break

    【1】【LeetCode】343. Integer Break

    【2】【LeetCode】279. Perfect Squares

    【3】【LeetCode】91. Decode Ways

    【4】【LeetCode】62. Unique Paths

    【5】【LeetCode】63. Unique Paths II

    4. 状态的定义和状态转移 House Robber

    【1】【LeetCode】198. House Robber

    【2】【LeetCode】213. House Robber ||

    【3】【LeetCode】337. House Robber |||

    【4】【LeetCode-面试-算法】股票的最大盈利值

    【5】【LeetCode】309. Best Time to Buy and Sell Stock with Cooldown

    5. 阶段练习

    【1】【动态规划】Subarray Sum Equals K-子数组和为K

    【2】【动态规划】求数组不相邻元素之和最大

    【3】牛客网在线编程专题《剑指offer-面试题31》连续子数组的最大和

    【4】【LeetCode】53. Maximum Subarray

    【5】牛客网在线编程专题《剑指offer-面试题9:相关题目》矩形覆盖

    6. 0-1背包问题

    【1】动态规划学习-【0-1背包问题】

    7. 0-1背包问题的优化和变种

    【1】动态规划学习-【0-1背包问题的优化和变种】

    8. 面试中的0-1背包问题 Partition Equal Subset Sum

    【1】【LeetCode】416. Partition Equal Subset Sum

    【2】【LeetCode】322. Coin Change

    【3】【LeetCode】377. Combination Sum IV

    【4】【LeetCode】474. Ones and Zeroes

    【5】【LeetCode】139. Word Break

    【6】【LeetCode】494. Target Sum

    9. LIS问题 Longest Increasing Subsequence

    【1】【LeetCode】300. Longest Increasing Subsequence

    【2】【LeetCode】376. Wiggle Subsequence

    10. LCS、最短路径、求动态规划的具体解以及更多

    【1】【LeetCode】最长公共子序列 | 718. Maximum Length of Repeated Subarray | 最短路径

    11. 面试中常考的经典动态规划题目

    【1】【LeetCode】72. Edit Distance

    展开全文
  • 动态规划经典题目及解答(含代码pdf) 1. 最长公共子序列 2. 计算矩阵连乘积 3. 凸多边形的最优三角剖分 4. 防卫导弹 5. 石子合并 6. 最小代价子母树 7. 商店购物 8. 旅游预算 9. 皇宫看守 10. 游戏室问题...
  • 针对最常见的最优化问题,动态规划如何设计求解呢?下面我们研究一个最优化问题:矿工挖矿问题。矿工挖矿问题是为了解决在给定矿产和矿工数量的前提下,能够获得最多钻石的挖矿策略。1. 问题描述假设某地区有 5 座...

    针对最常见的最优化问题,动态规划如何设计求解呢?下面我们研究一个最优化问题:矿工挖矿问题。矿工挖矿问题是为了解决在给定矿产和矿工数量的前提下,能够获得最多钻石的挖矿策略。

    1. 问题描述

    假设某地区有 5 座钻石矿,每座钻石矿的钻石储量不同,根据挖矿难度,需要参与挖掘的工人数量也不同。假设能够参与挖矿工人的总数是 10 人,且每座钻石矿要么全挖,要么不挖,不能只派出一部分人挖取一部分矿产。要求用程序求解出,要想得到尽可能多的钻石,应该选择挖取哪几座矿产?

    各矿产的钻石储量与所需挖掘工人数量如表 1 所示。

    表 1:各矿产的钻石储量与所需工人数量

    矿产编号

    钻石储量

    所需工人数量

    1

    400

    5

    2

    500

    5

    3

    200

    3

    4

    300

    4

    5

    350

    3

    2. 问题分析

    1)分析原问题最优解的结构特征

    首先寻找最优子结构。我们的解题目标是确定 10 个工人挖 5 座矿产时能够获得的最多的钻石数量,该结果可以从 10 个工人挖 4 个矿产的子问题中递归求解。证明不再赘述。

    在解决了 10 个工人挖 4 个矿产后,存在两种选择:一种选择是放弃其中一座矿,比如第五座矿产,将 10 个工人全部投放到前4座矿产的挖掘中,如图 1 所示;

    图 1:放弃第 5 座矿产的情况

    另一种选择是对第 5 座矿产进行挖掘,因此需要从 10 人中分配 3 个人加入到第 5 座矿产的挖掘工作中,如图 2 所示。

    图 2:挖掘第 5 座矿产的情况

    因此,最终的最优解应该是这两种选择中获得钻石数量较多的那个,即为图 1 所描述的场景与图 2 所描述场景中的最大值。

    为了方便描述,我们假设矿产的数量为 n,工人的数量为 m,当前获得的钻石数量为 G[n],当前所用矿工的数量为 L[n],则根据上述分析,要获得 10 个矿工挖掘第 5 座矿产的最优解 F(5,10),需要在 F(4,10)和F(4,10-L[4])+G[4] 中获取较大的值,即

    F(5,10)=max{F(4,10),F(4,10-L[4])+G[4]}

    因此,针对该问题而言,以上便是 F(5,10) 情况下的最优子结构。

    2) 建立递归关系,写出状态转移函数

    我们首先来考虑该问题的边界和初始条件。对于一个矿产的情况,若当前的矿工数量不能满足该矿产的挖掘需要,则获得的钻石数量为 0,若能满足矿工数量要求,则获得的钻石数量为 G[0]。

    因此,该问题的初始边界条件可表述为:

    当n=1,m≥L[0]时,F(n,m)=G[0];

    当n=1,m

    综上,可以得到该问题的状态转移函数为:

    F(n,m)=0(n≤1,m

    F(n,m)=G[0](n==1,m≥L[0])

    F(n,m)=F(n-1,m)(n>1,m

    F(n,m)=max(F(n-1,m),F(n-1,m-L[n-1])+G[n-1])(n>1,m≥L[n-1])

    至此,我们定义了用动态规划解决该问题的几个要素。下面,我们要做的是利用边界和初始条件、最优子结构和状态转移函数对该问题进行求解。

    3) 计算最优解的值

    初始化阶段,我们利用表格分析求解思路。如表 2 所示,表格的第一列代表挖掘矿产数,即 n 的取值情况;表格的第一行代表占用工人数,即 m 的取值情况;中间各空白区域是我们需要通过计算填入的对应的钻石数量,即 F(n,m) 的取值。

    表 2:初始钻石数量

    矿产编号 n

    m=1 人

    m=2 人

    m=3 人

    m=4 人

    m=5 人

    m=6 人

    m=7 人

    m=8 人

    m=9 人

    m=10 人

    矿产 1

    矿产 2

    矿产 3

    矿产 4

    矿产 5

    在挖掘第一个矿产时,由于其所需的工人数量为 5,所以当 m 的取值小于 5 时,根据公式 F(n,m)=0(n≤1,m

    表 3:挖掘第1个矿产时钻石数量

    矿产编号 n

    m=1 人

    m=2 人

    m=3 人

    m=4 人

    m=5 人

    m=6 人

    m=7 人

    m=8 人

    m=9 人

    m=10 人

    矿产 1

    0

    0

    0

    0

    400

    400

    400

    400

    400

    400

    矿产 2

    矿产 3

    矿产 4

    矿产 5

    在挖掘第 2 个矿产时,由于其需要 5 个人进行挖掘,因此当 m 取值小于 5 时,根据公式 F(n,m)=F(n-1,m)(n>1,m1,m≥L[n-1]),在 5~9 人的区间里,获得的钻石数量为 500,即所有人都去参加第 2 个矿产的挖掘时获得的钻石量。

    这是因为当 m∈{5,9}时, F(1,m)

    表 4:挖掘第 2 个矿产时钻石数量

    矿产编号 n

    m=1 人

    m=2 人

    m=3 人

    m=4 人

    m=5 人

    m=6 人

    m=7 人

    m=8 人

    m=9 人

    m=10 人

    矿产 1

    0

    0

    0

    0

    400

    400

    400

    400

    400

    400

    矿产 2

    0

    0

    0

    0

    500

    500

    500

    500

    500

    500

    矿产 3

    矿产 4

    矿产 5

    同理,在挖掘第 3 个矿产时,钻石产出量为 200,需要的工人数量为 3,根据上述计算方式,可得钻石产出量如表 5 所示。

    表 5:挖掘第 3 个矿产时钻石数量

    矿产编号 n

    m=1 人

    m=2 人

    m=3 人

    m=4 人

    m=5 人

    m=6 人

    m=7 人

    m=8 人

    m=9 人

    m=10 人

    矿产 1

    0

    0

    0

    0

    400

    400

    400

    400

    400

    400

    矿产 2

    0

    0

    0

    0

    500

    500

    500

    500

    500

    500

    矿产 3

    0

    0

    200

    200

    500

    500

    500

    700

    700

    900

    矿产 4

    矿产 5

    第 4 个矿产的钻石产出量为 300,需要的工人数量为 4,根据上述计算方式,可得钻石产出量如表 6 所示。

    表 6:挖掘第 4 个矿产时钻石数量

    矿产编号 n

    m=1 人

    m=2 人

    m=3 人

    m=4 人

    m=5 人

    m=6 人

    m=7 人

    m=8 人

    m=9 人

    m=10 人

    矿产 1

    0

    0

    0

    0

    400

    400

    400

    400

    400

    400

    矿产 2

    0

    0

    0

    0

    500

    500

    500

    500

    500

    500

    矿产 3

    0

    0

    200

    200

    500

    500

    500

    700

    700

    900

    矿产 4

    0

    0

    200

    300

    500

    500

    500

    700

    800

    900

    矿产 5

    针对第 5 个矿产的钻石产出量计算与上述过程一致,具体产出量如表 7 所示。

    表 7:挖掘第 5 个矿产时钻石数量

    矿产编号 n

    m=1 人

    m=2 人

    m=3 人

    m=4 人

    m=5 人

    m=6 人

    m=7 人

    m=8 人

    m=9 人

    m=10 人

    矿产 1

    0

    0

    0

    0

    400

    400

    400

    400

    400

    400

    矿产 2

    0

    0

    0

    0

    500

    500

    500

    500

    500

    500

    矿产 3

    0

    0

    200

    200

    500

    500

    500

    700

    700

    900

    矿产 4

    0

    0

    200

    300

    500

    500

    500

    700

    800

    900

    矿产 5

    0

    0

    350

    350

    500

    550

    650

    850

    850

    900

    通过以上的计算过程,我们不难发现,除第一个矿产的相关数据,表格中的其他数据都可以由前一行的一个或两个格子推导而来。例如,3 个矿产 8 个人挖掘的钻石量 F(3,8) 就来自 2 个矿产 8 个人挖掘的钻石量 F(2,8)和 2 个矿产 5 个人挖掘的钻石量 F(2,5),即 F(3,8)=max{F(2,8),F(2,5)+200}=max(500,500+200)=700。

    再比如,4 个矿产 10 个人挖掘的钻石量 F(4,10),来自 3 个矿产 10 个人挖掘的钻石量 F(3,10)和 3 个矿产 7 个人挖掘的钻石量 F(3,7),即 F(4,10)=max{F(3,10),F(3,7)+300}=max(900, 500+300)=900,如表 8 所示。

    表 8:矿产钻石产量计算依赖于之前计算量

    矿产编号 n

    m=1 人

    m=2 人

    m=3 人

    m=4 人

    m=5 人

    m=6 人

    m=7 人

    m=8 人

    m=9 人

    m=10 人

    矿产 1

    0

    0

    0

    0

    400

    400

    400

    400

    400

    400

    矿产 2

    0

    0

    0

    0

    500

    500

    500

    500

    500

    500

    矿产 3

    矿产 4

    矿产 5

    根据以上思路,在用程序实现该算法的过程中,采用自底向上的方式进行计算,像填表过程一样从左至右、从上到下逐渐获得计算结果。这样,可以不需要存储整个表格的内容,仅需要存储前一行的结果,就可以推出下一行的内容,避免了重复计算。

    4) 构造最优解

    填表结束后,我们通过回溯的方式可以找出该矿工挖矿问题的最优解组合为所有矿工(10人)挖掘矿产 1 和矿产 2,最多可以挖得价值 900 的钻石。具体回溯过程我们之后展示。

    3. 参考实现

    现在我们来把这个过程转化为程序。

    我们定义函数 goldMine(n,m,g,L) 来计算挖掘第 n 个矿产,有 m 个工人参与时能获得的钻石量,其中 g 和 L 分别为数组,分别存放对应各个矿产的钻石量和所需工人数。在正式迭代之前,首先界定边界的情况。当工人数量小于 L[0]时,说明目前的工人数量不能开始任何矿产的挖掘,获得的钻石数量为 0;当工人数量大于或等于 L[0]时,获得的钻石数量即为 g[0]。

    之后进入循环的迭代过程,在迭代中,根据之前的分析,我们仅需要关注前一行 t_results 的取值,即可通过状态转移函数 F(n,m)=F(n-1,m)(n>1,m1,m≥L[n-1]) 获得 F(n,m) 的值,因此,整个迭代过程仅需要引入 t_results 数组保存前一行的值即可。

    由此可见,该解决方案的时间复杂度为 O(ni m),而空间复杂度只有 O(m)。

    具体实现时,我们首先定义边界值,确定数组 t_results 各个元素的取值,同时初始化数组 results。之后,通过函数 goldMine(n,m,g,L) 迭代计算各个矿产数量与工人数量组合所能产生的钻石量,最终获得问题的解。

    矿工挖矿问题代码如下:

    def goldMine(n, m, g, L):

    results = [0 for _ in range(m+1)]     #保存返回结果的数组

    t_results = [0 for _ in range(m+1)]    #保存上一行结果的数组

    for i in range(1,m+1):    #填充边界格子的值,从左向右填充表格第一行的内容

    if i < L[0]:

    t_results[i] = 0#若当前人数少于挖掘第一个金矿所需人数,黄金量为0

    else:

    t_results[i] = g[0] #若当前人数不少于第一个金矿所需人数,黄金量为g[0]

    for i in range(1,n):       #外层循环为金矿数量

    results = [0 for _ in range(m+1)]

    for j in range(1,m+1):   #内层循环为矿工数量

    if j < L[i]:

    results[j] = t_results[j]

    else:

    results[j] = max(t_results[j], t_results[j-L[i]] + g[i])

    t_results = results

    return results[-1]

    print(goldMine(5, 10, [400,500,200,300,350], [5,5,3,4,3]))

    输出:

    900

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  • 动态规划经典题目整理

    千次阅读 2019-05-12 23:44:45
    动态规划经典题目整理背包问题最长公共子串问题连续数组最大和问题 背包问题 复杂度 o(nW) n为物品种类,W是背包的重量 单副本背包问题: K(w,j)=max{K(w−wj,j−1)+vj,K(w,j−1)}K(w,j)=max\{K(w-w_j,j-1)+v_j,K(w,...

    背包问题

    复杂度 O(nW)O(nW)
    nn为物品种类,WW是背包的重量

    目的:使得背包中的物品价值最大化

    1. 单副本背包问题:(每种物品只有一件)
      K(w,j)=max{K(wwj,j1)+vj,K(w,j1)}K(w,j)=max\{K(w-w_j,j-1)+v_j,K(w,j-1)\}

      K(w,j)K(w,j)代表背包重量为WW,有jj件物品时候的最大价值
      vjv_j为第jj种物品的价值

    2. 多副本背包问题:(每种物品有无数件)
      K(w)=max{K(wwi)+vi:wi<=w}K(w)=max\{K(w-w_i)+v_i:w_i<=w\}

    最长公共子串问题

    博客入口
    问题描述: 设有s[m]s[m],和t[n]t[n]两个字符串,要找他们最长的公共子串

    解:
    设置一个变量 存储最长公共子串的长度
    long=0;

    c(i,j)=s[i]==s[j]?c(i-1,j-1)+1:0
    每次如果 c(i,j)>long 那么 long=c(i,j)

    设两个子序列的长度分别为mm,nn
    那么时间复杂度就为O(mn)O(mn)

    连续数组最大和问题

    例子:
    给定一个数组如:
    {-2, 11, -4, 13, -5, -2 }
    该数组的最大和为 i=2, j=4的时候 11-4+13=20

    算法:

    int sum=0, b=0;
    
    for(int i=1;i<=n;++i){
    	if(b>0){
    		b+=a[i];
    	}
    	else{
    		b=a[i]
    	}
    	if(b>sum)
    		sum=b;
    }
    return sum;
    

    复杂度:O(n)O(n)

    持续增加中。。。。

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