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  • 单因素方差分析

    2018-09-26 20:37:32
    单因素方差分析中,你感兴趣的是比较分类因子定义的两个或多个组别中的因变量均值。本例给出了单因素方差分析的基本R语言代码
  • 单因素方差分析(One Way ANOVA)

    万次阅读 2017-10-23 20:09:37
    单因素方差分析是指对单因素试验结果进行分析,检验因素对试验结果有无显著性影响的方法。 单因素方差分析是两个样本平均数比较的引伸,它是用来检验多个平均数之间的差异,从而确定因素对试验结果有无显著性影响的...

    单因素方差分析是指对单因素试验结果进行分析,检验因素对试验结果有无显著性影响的方法。

    单因素方差分析是两个样本平均数比较的引伸,它是用来检验多个平均数之间的差异,从而确定因素对试验结果有无显著性影响的一种统计方法

     

    • 因素:影响研究对象的某一指标变量
    • 水平:因素变化的各种状态或因素变化所分的等级或组别。
    • 单因素试验:考虑的因素只有一个的试验叫单因素试验。

     

    例如,将抗生素注入人体会产生抗生素与血浆蛋白质结合的现象,以致减少了药效。下表列出了5种常用的抗生素注入到牛的体内时,抗生素与血浆蛋白质结合的百分比。现需要在显著性水平α = 0.05下检验这些百分比的均值有无显著的差异。设各总体服从正态分布,且方差相同。

    青霉素 四环素 链霉素 红霉素 氯霉素
    29.6 27.3 5.8 21.6 29.2
    24.3 32.6 6.2 17.4 32.8
    28.5 30.8 11.0 18.3 25.0
    32.0 34.8 8.3 19.0 24.2

      在这里,试验的指标是抗生素与血浆蛋白质结合的百分比,抗生素为因素,不同的5种抗生素就是这个因素的五个不同的水平。假定除抗生素这一因素外,其余的一切条件都相同。这就是单因素试验。试验的目的是要考察这些抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值有无显著的差异。即考察抗生素这一因素对这些百分比有无显著影响。这就是一个典型的单因素试验的方差分析问题

     

      与通常的统计推断问题一样,方差分析的任务也是先根据实际情况提出原假设H0与备择假设H1,然后寻找适当的检验统计量进行假设检验。本节将借用上面的实例来讨论单因素试验的方差分析问题。

      在上例中,因素A(即抗生素)有s(=5)个水平A_1,A_2,\cdots,A_5,在每一个水平A_j(j=1,2,\cdots,s)下进行了nj = 4次独立试验,得到如上表所示的结果。这些结果是一个随机变量。表中的数据可以看成来自s个不同总体(每个水平对应一个总体)的样本值,将各个总体的均值依次记为\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_s,则按题意需检验假设

      H_0:\mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_s

      H_1:\mu_1,\mu_2,\cdots,\mu_s不全相等

    为了便于讨论,现在引入总平均μ

      \mu=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^s n_j \mu_j 其中:n=\sum_{j=1}^s n_j

    再引入水平Aj的效应δj

    \delta_j=\mu_j-\mu(j=1,2\ldots,s)

    显然有n_1\delta_1+n_2\delta_2+\cdots+n_s\delta_s=0,δj表示水平Aj下的总体平均值与总平均的差异。

    利用这些记号,本例的假设就等价于假设

      H_0:\delta_1=\delta_2=\cdots=\delta_s=0

      H_1:\delta_1,\delta_2,\cdots,\delta_s不全为零

    因此,单因素方差分析的任务就是检验s个总体的均值μj是否相等,也就等价于检验各水平Aj的效应δj是否都等于零。

      2. 检验所需的统计量

      假设各总体服从正态分布,且方差相同,即假定各个水平A_j(j=1,2,\cdots,s)下的样本x_{1j},x_{2j},\cdots,x_{n_jj}来自正态总体N(μj,σ2),μj与σ2未知,且设不同水平Aj下的样本之间相互独立,则单因素方差分析所需的检验统计量可以从总平方和的分解导出来。下面先引入:

      水平Aj下的样本平均值:

      {\overline x}_{\bullet j}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n_j}x_{ij}

      数据的总平均:

      \overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^s\sum_{i=1}^{n_j}x_{ij}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^sn_j{\overline x}_{\bullet j}

      总平方和:

      S_T=\sum_{j=1}^s \sum_{i=1}^{n_j}{(x_{ij}-\overline x)}^2

    总平方和ST反映了全部试验数据之间的差异,因此ST又称为总变差。将其分解为

      ST = SE + SA

    其中:

      S_E=\sum_{j=1}^s \sum_{i=1}^{n_j}{(x_{ij}\overline x}_{\bullet j})}^2

      S_A=\sum_{j=1}^s \sum_{i=1}^{n_j}{({\overline x}_{\bullet j\overline x)}^2=\sum_{j=1}^s n_j({\overline x}_{\bullet j}-\overline x)^2)

    上述SE的各项(x_{ij}\overline x}_{\bullet j})^2表示了在水平Aj下,样本观察值与样本均值的差异,这是由随机误差所引起的,因此SE叫做误差平方和。SA的各项n_j({\overline x}_{\bullet j\overline x)^2表示了在水平Aj下的样本平均值与数据总平均的差异,这是由水平Aj以及随机误差所引起的,因此SA叫做因素A的效应平方和。

      可以证明SA与SE相互独立,且当H_0:\delta_1=\delta_2=\cdots=\delta_s=0为真时,SA与SE分别服从自由度为s − 1,n − s的χ2分布,即

      SA / σ2˜χ2(s − 1)

      SE / σ2˜χ2(n − s)

    于是,当H_0:\delta_1=\delta_2=\cdots=\delta_s=0为真时

      F=\frac{(S_A)/(s-1)}{(S_E)/(n-s)}=\frac{\frac{S_A}{\sigma^2}/(s-1)}{\frac{S_E}{\sigma^2}/(n-s)} \sim  F(s-1,n-s)

    这就是单因素方差分析所需的服从F分布的检验统计量。

      3. 假设检验的拒绝域

      通过上面的分析可得,在显著性水平α下,本检验问题的拒绝域为

      F=\frac{(S_A)/(s-1)}{(S_E)/(n-s)}\le F_{\alpha}(s-1,n-s)

    为了方便分析比较,通常将上述分析结果编排成如下表所示的方差分析表。表中的\overline S_A,\overline S_E分别称为SA,SE的均方。

    方差来源 平方和 自由度 均方 F比
    因素A SA s − 1 \overline S_A=\frac{S_A}{s-1} F=\frac{\overline S_A}{\overline S_E}
    误差 SE n − s \overline S_E=\frac{S_E}{n-s}  
    总和 ST n − 1    

     

     

     

     

     

     

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  • 那么对于平时的常用的统计方法——单因素方差分析,首选先要进行的是数据的正态性分析,符合正态后,我们可以使用单因素方差分析进行分析。软件Origin 2019b图文介绍数据的正态性检测1. 打开origin软件,输入数据2. ...

    介绍

    之前的推文中,我们介绍了origin如何进行数据描述以及正态性分析。那么对于平时的常用的统计方法——单因素方差分析,首选先要进行的是数据的正态性分析,符合正态后,我们可以使用单因素方差分析进行分析。

    e66c871f7c6f22d6dec7fdf201cda1dd.png

    软件

    Origin 2019b

    4d294392a01bce8bea164e90294329ef.png

    图文介绍

    数据的正态性检测

    1. 打开origin软件,输入数据

    c0f2a2581dbc2b76c09eeb32d58830d8.png

    2. 正态性检验

    2d5056f8eec93af8e2d4bd0eaedfd4ba.png

    3. 结果显示,数据为正态性

    04cbd655019b4c61de5626020ce9159f.png

    单因素方差分析

    1. 选中数据,选择单因素方差分析

    aee46095771a54b0c386f2e1d9c4d655.png

    2. 设置一下数据,如果竖着输入,就选择原始;横着输入,就选择索引。

    1c46b975333c8b729cbf140f6da39e8d.png

    3. 均值比较选择第一个统计方法(Origin优选出了好几个统计方法,差异不大,选择第一个即可)

    eab525b78db11717aa2a053d9a3fdbf9.png

    4. 方差齐性检验,选择第一个方法即可

    68332dc999c64b53caf468870a3bd8a3.png

    5. 可以选择其中一个或者二者都选

    720bd73d19d1f16a7e78c34d257c04df.png

    6. 看一下最终结果,包括描述性统计结果,可以以此来进行作图使用

    d475460134e912f4b4c0503ba338648f.png

    7. 总体方差中P小于0.05,表明该四组数据中,至少有两组数据平均值有显著差别

    afe905e51e1f73564d2698a6c2686e30.png

    8. 均值比较部分,比如第一行,Model Control, Sig为1,即说明Model和Control比较具有显著性差异,概率小于0.05;比如最后一行,Drug 2和Drug 1比较,Sig为0,即说明Drug 2和Drug 1比较没有显著性不同,P值为0.99713,大于0.05。

    34dd58c7c19bb9855630be96cb0282f3.png

    9. 方差齐性这里,概率为0.71288,大于0.05,认为四组数据的方差没有显著不同。(如果方差不齐,需要使用非参数检验。对于自己的数据不属于正态或者方差不齐,要么对数据重新筛选,符合正态和方差齐性。要么就直接使用非参数检验进行分析)

    e22be610bf0483d9280e88426d498cba.png

    10. 那么最后,我们使用均值加减标准误进行作图,可以使用文本工具将符号标记上去。一般情况下,Model和Control比较用#,药物组和Model比较用*。

    685bda84420507da4f4b98143684bb02.png

    11. 你也可以使用标记显著性的符号,不过这个似乎用起来不是很好

    b26d98efa54b75dc98332bb2a90face4.png

    12. 怎么样,今天的教程你学会了吗?

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  • 看过我TCGA肿瘤数据库知识图谱的小伙伴都...我们感兴趣的基因(这里是CUL5)在乳腺癌的正常组织及癌症组织(原位和转移)表达量,使用单因素方差分析,得到了统计学显著的结果。定义单因素方差分析是两个样本平均数...

    看过我TCGA肿瘤数据库知识图谱的小伙伴都知道如何在任意癌症查询指定感兴趣基因的表达量,并且对样本进行分组比较,网站是:https://xenabrowser.net/heatmap/

    7e80c4b7a436820465df7559d6e3f5c6.png

    根据视频教程拿到数据,很容易可视化如下:

    df1ddaccdfe15fecceb9ceb749cf9494.png

    可以得出结论,我们感兴趣的基因(这里是CUL5)在乳腺癌的正常组织及癌症组织(原位和转移)表达量,使用

    单因素方差分析,得到了统计学显著的结果。

    定义

    单因素方差分析是两个样本平均数比较的引伸,它是用来检验多个平均数之间的差异,从而确定因素对试验结果有无显著性影响的一种统计方法。

    • 因素:影响研究对象的某一指标、变量。
    • 水平:因素变化的各种状态或因素变化所分的等级或组别。
    • 单因素试验:考虑的因素只有一个的试验叫单因素试验。

    了解数据

    数据文件可以下载,然后读入R里面进行可视化,代码如下:

    rm(list = ls())
    options(stringsAsFactors = F)
    library(ggpubr)
    df=read.table('CUL5-BRCA-type.tsv',header = T,sep = 't')
    colnames(df)
    
    p = ggboxplot(df, "sample_type", "CUL5",
              color = "sample_type", palette =c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"),
              add = "jitter", shape = "sample_type")
    p

    这个文件 CUL5-BRCA-type.tsv 如果你没有看我的TCGA肿瘤数据库知识图谱可能不知道如何下载,可以发邮件给我,找我申请这个测试数据 ( 邮箱: jmzeng1314@163.com )

    可以看到,比网页工具出图要好看:

    43e55051b7085b0d1278546ba39a65a9.png

    但是,这个时候还没有进行统计分析,可以添加的统计学检验包括:

    7c328846594f3f168092fa9017446f98.png

    代码也很简单:

    p+stat_compare_means(method = "anova", label.y = 10)+      # Add global p-value
      stat_compare_means(label = "p.signif", method = "t.test",
                         ref.group = ".all.")                  # Pairwise comparison against all

    a6b9b4eef533bce7404cc2d44c6c4dd3.png

    可以看到,跟网页工具结果一模一样,而且出图更漂亮,下面我们就手把手带领大家完成这个分析,把这个ggpubr一步就完成的工作拆解开来。

    第1步:计算各组内样本均值

    lapply(split(df,df$sample_type),function(x) mean(x$CUL5))

    第2步:计算所有样本均值

    mean(df$CUL5 )

    第3步:计算各组内部误差平方和

    tmp=lapply(split(df,df$sample_type),function(x) sum((x$CUL5-mean(x$CUL5))^2) )
    sse = sum(unlist(tmp))

    第4步:计算各组间误差平方和

    tmp=lapply(split(df,df$sample_type),function(x) nrow(x)*(mean(x$CUL5) - mean(df$CUL5 ))^2 )
    ssb = sum(unlist(tmp))

    第5步:计算各组内部均方误

    mse=sse/(nrow(df)-length(unique(df$sample_type)))

    第6步:计算组间均方误

    msd=ssb/length(unique(df$sample_type))-1

    第7步:计算F比率

    f= msb/mse
    f

    第8步:查找F临界值

    df1=(length(unique(df$sample_type))-1)
    df2=(nrow(df)-length(unique(df$sample_type)))
    qf(0.05,2,1215)

    差别可知这里的F值是0.05,远小于我们真实情况,所以非常显著了。

    第9步:判断是否显著

    1-pf(f,2,1215)

    现在我们已经知道了,在选定的显著水平为0.05时候,这个F统计是显著的,但是仍然是不知道哪组之间不一样, 所以可以选择tukey检验

    第10步:进行tukey检验,多重比较

    J·W·图凯(Tukey)于1953年提出一种能将所有各对平均值同时比较的方法,这种方法现在已被广泛采用,一般称之为“HSD检验法”,或称“W法”。 Tukey (John Wilder Tukey) for multiple comparisons 主要应用于3组或以上的多重比较。比如说一共有4组数据,两两比较产生6个统计值,Tukey test用于生成一个critical value来控制总体误差(Familywise error rate,FER);与Tukey test相类似的是Dunnett test,它是控制多对一比较(即3组同时和一个参照组比较)的FER。

    这个多重比较算法还蛮多的,参考:https://zhuanlan.zhihu.com/p/44880434

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  • 1 单因素方差分析的形式单因素方差分析针对的是单因素完全随机设计。只有一个自变量,包含,共个水平,各水平之下有个观测值。特别的,当各水平的观测值都为时,称为等组设计。等组设计的具体形式如下:若各组观测值...

    之前写的那一篇太啰嗦了,索性删了,重新发。

    1 单因素方差分析的形式

    单因素方差分析针对的是单因素完全随机设计。只有一个自变量

    ,包含
    ,共
    个水平,各水平之下有
    个观测值。特别的,当各水平的观测值都为
    时,称为等组设计。

    等组设计的具体形式如下:

    若各组观测值

    数量不同,称为非等组设计,形式如下:

    其中

    各不相同

    单因素方差分析的逻辑是对变异进行比较。通过对平方和(Sum of Squares)和自由度(Degree of Freedom)的分解,计算出组间平方和,组间自由度,组内平方和,组内自由度。进一步通过公式:

    计算出组间方差和组内方差。此时组间方差包含了处理带来的变异,以及误差带来的变异;组内方差只包含了误差带来的变异,二者的差异(比值)体现了处理的显著性。而且在零假设为真的情况下,组间方差与组内方差的比值服从F分布,进而完成假设检验。

    常规的流程大家都非常熟悉,接下来我们换个角度,从多元线性回归来看一看单因素方差分析。

    2 单因素方差分析的线性模型

    模型的基本形式

    单因素方差分析的线性模型可以表示为:

    其中

    指第
    个处理的效应,
    表示第
    个处理中,第
    个观测值的随机误差。该式说明:某个观测值等于其所在的处理效果,附加上一个随机误差组成。

    通常,我们让:

    其中

    表示平均效应。上述式子意味着:计算所有处理效应的均值,以此为标准来进行比较。例如,此时的第
    个处理的效应,比平均效应多
    (如果
    是负值,那就是比平均效应少)。其实,
    就是相对效应量,是各效应偏离平均效应的程度,即离均差。 据此,可将2.1式写为:

    其中:

    • 是观测值
    • 是总平均,相当于模型的截距
    • 是自变量各水平的相对效应值,且
      (离均差和为零)
    • 是随机误差,且独立同分布

    模型表达的意思是:每一个观测值

    实际上都是在某个总平均
    上附加了一个处理的相对效果
    ,并且还受到了随机误差
    的影响。

    例如,如果某被试接受的是自变量第3个水平

    的处理,那么他的观测值就是

    引入虚拟变量

    为了便于理解,我们可以引入虚拟变量

    ,令:

    其中

    ,其余均为0。

    例如:对第

    个处理下的观测值来说,
    所以

    可以发现2.3式与2.2式等价,不过此时的2.3式相当于是包含

    个自变量(
    )的多元函数。

    此时各自变量的取值为:

    注意到回归模型2.4中,有一项是多余的

    为什么这么说呢?因为有

    这个限制条件,只要知道了任意
    个效应值,就可以推出剩下的那个。例如,最后一个效应值

    所以,我们可以从模型去掉一项,不妨就去掉最后一项(实际上去掉哪一项都可以,不影响结果),将2.4写为:

    但一定要注意的是:模型中去掉这项,只是因为这项可以通过其他项推导出来,而不是说这项就不需要分析了

    为了将去掉的效应

    在模型中体现出来,将模型中剩下的
    个虚拟变量改为:

    可见当

    时,虚拟变量的取值没有变化,但
    时,所有的
    个虚拟变量都取值为

    可见各处理效应都可以通过该式表示出来。

    实际上,此时的虚拟变量编码形式就是对比中常用的“Sum (Deviation) ”编码的,因为此时各系数体现了各处理与效应均值

    的差异

    3 对单因素方差分析的线性模型进行多元回归

    提示:该部分涉及不算复杂的数学推导,如果不感兴趣可以直接跳到结论部分

    进行线性回归,实际上就是通过收集到的数据,对模型中的参数进行线性拟合。在2.5式中,我们收集到的数据是因变量

    和虚拟变量
    ,这是已知的。未知的参数是

    对未知参数进行估计,最常使用的自然是最小二乘法,原则就是误差平方和最小。根据2.5式:

    则:

    达到最小值时,此时的
    就是最佳拟合值。

    **好了,让我们暂时停下!**因为如果继续用包含了虚拟变量的模型求解,虽然也能得到结果,但需要用到线性代数的投影矩阵,否则暴力硬推实在太繁琐(之前我就是这样干的,后来觉得实在太难看,把那篇文章删了,(lll¬ω¬))。考虑到很多同学对线性代数不是很熟悉,让我们回到2.2式,用它来进行普通最小二乘法(OLS)求解:

    达到最小值,即
    对各未知参数的偏导数等于0:

    展开:

    代回3.1式,得到:

    继续对

    求偏导:

    因为此时对单个

    求导,所以最前面的
    就丢掉了。注意到
    ,其中
    式第
    组的组均值。上式得到

    对3.2.2式进行

    的求和

    代回3.2.2式,得到:

    小结

    • 从3.2.2式可知,各处理的预测值
      就是该组的组均值。
    • 总平均
      的估计值是
      ,就是各处理均值的平均,可称为
      组平均
    • 特别的,当为等组设计时,
      ,即
      组平均等于所有数据的均值,此时的总平均估计值就是所有观测值的均值,

    对回归模型进行检验

    对回归模型进行检验,就是比较回归平方和与误差平方和,用二者的比值进行F检验。 回归平方和为模型拟合的预测值

    与总均值
    的差值平方和,注意到此时的预测值就是各处理均值,该结果计算出来对应的就是单因素方差分析的组间平方和。

    误差平方和为实际观测值与预测值差值平方和,刚好对应了方差分析中的组内平方和。

    至此,通过回归的方法完成了方差分析。

    4 结论

    • 单因素方差分析可以通过回归分析搞定,二者实际上都属于一般线性模型。
    • 等组设计中,截距
      的估计值就是所有观测值的平均值;但非等组设计中则是各组均值的均值
    • 无论等组设计还是非等组设计,单因素方差分析各处理效应的估计值就是各组的组均值

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  • 单因素方差分析.ppt

    2018-02-27 18:38:44
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  • 转自个人微信公众号【Memo_Cleon】的统计学习笔记:R笔记:单因素方差分析 | 事后两两多重比较 | 趋势方差分析。示例来源:李康,贺佳等.医学统计学(第6版).北京:人民卫生出版社,2013.评价某药物耐受性及安全性的I...

空空如也

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单因素方差分析