• MATLAB实现SVR(支持向量机回归)多输入单输出数据集
• 支持向量机用于回归预测的源代码。
• 根据支持向量机二分类博客所述，数据集合归一化后，某个元素到回归平面的距离为 。另外，由于数据不可能都在回归平面上，距离之和还是挺大，因此所有数据到回归平面的距离可以给定一个容忍值ε防止过拟合。该参数是...
• 【SVR预测】基于混沌灰狼优化支持向量机回归预测SVR模型matlab源码.md
• 本论文就以上主要内容进行了深入的研究并取得了以下结果： (1) 在深入了解支持向量机回归的基本原理和算法的基础上，提出一种用于在线训练的支持向量机回归(OSVR)算法。在线情况下采用批量训练方法对支持向量机回归...
• 提出在支持向量机回归预测中采用粒子群算法优化参数和主成分析降维的方法，通过算例分析表明，此法能够显著提高预测的精度。
• 支持向量机回归支持向量机Support Vector Machine(SVM) is a supervised machine learning algorithm that is usually used in solving binary classification problems. It can also be applied in multi-class ...

支持向量机回归和支持向量机

Support Vector Machine(SVM) is a supervised machine learning algorithm that is usually used in solving binary classification problems. It can also be applied in multi-class classification problems and regression problems. This article represents the mathematics behind the binary-class linear Support Vector Machines. Understanding mathematics helps implement and tune the models in practice. Moreover, you can build your own support vector machine model from scratch, and compare it with the one from Scikit-Learn. For details, you can read this article along with another article of mine.
支持向量机(SVM)是一种监督型机器学习算法，通常用于解决二进制分类问题。 它也可以应用于多类分类问题和回归问题。 本文介绍了二元类线性支持向量机背后的数学原理。 了解数学有助于在实践中实现和调整模型。 此外，您可以从头开始构建自己的支持向量机模型，并将其与Scikit-Learn的模型进行比较。 有关详细信息，您可以阅读本文以及我的另一篇文章。
Specifically, this report explains the key concepts of linear support vector machine, including the primal form and its dual form for both hard margin and soft margin case; the concept of support vectors, max-margin, and the generalization process.
具体而言，本报告解释了线性支持向量机的关键概念，包括硬边际和软边际情况的原始形式及其对偶形式； 支持向量，最大边距和归纳过程的概念。
Key Concepts of SVM
SVM的关键概念
Assume we have n training points, each observation i has p features (i.e. x_i has p dimensions), and is in two classes y_i=-1 or y_i = 1. Suppose we have two classes of observations that are linearly separable. That means we can draw a hyperplane through our feature space such that all instances of one class are on one side of the hyperplane, and all instances of the other class are on the opposite side. (A hyperplane in p dimensions is a p-1 dimensional subspace. In the two-dimensional example that follows, a hyperplane is just a line.) We define a hyperplane as:
假设我们有n个训练点，每个观测值i具有p个特征(即x_i具有p个维)，并且处于两类y_i = -1或y_i =1。假设我们有两类线性可分离的观测值。 这意味着我们可以在特征空间中绘制一个超平面，这样一类的所有实例都在超平面的一侧，而另一类的所有实例都在另一侧。 (p维上的超平面是p-1维子空间。在下面的二维示例中，超平面只是一条线。)我们将超平面定义为：
where ˜w is a p-vector and ˜b is a real number. For convenience, we require that ˜w = 1, so the quantity x * ˜w + ˜b is the distance from point x to the hyperplane.
其中〜w是p向量，〜b是实数。 为了方便起见，我们要求〜w = 1，所以数量x *〜w +〜b是从点x到超平面的距离。

image from Wikipedia

图片来自维基百科

Thus we can label our classes with y = +1/-1, and the requirement that the hyperplane divides the classes becomes:
因此，我们可以用y = + 1 / -1标记我们的类，超平面划分这些类的要求变为：

How should we choose the best hyperplane?
我们应该如何选择最佳的超平面？
The approach to answering this question is to choose the plane that results in the largest margin M between the two classes, which is called the Maximal Margin Classifier.
回答此问题的方法是选择在两个类别之间产生最大边距M的平面，这称为最大边距分类器。

image from Wikipedia

图片来自维基百科

From the previous graph, we can see that H1 doesn’t separate the two classes; for H2 and H3, we will choose H3 because H3 has a larger margin. Mathematically, we choose ˜b and ˜w to maximize M, given the constraints:
从上一张图中，我们可以看到H1并没有将这两个类别分开。 对于H2和H3，我们将选择H3，因为H3具有较大的边距。 在数学上，给定约束，我们选择〜b和〜w以最大化M：

Defining w =˜ w / M and b =˜b / M, we can rewrite this as:
定义w = 〜w / M和b =〜b / M ，我们可以重写为：

and
和

The support vectors
支持向量
The support vectors are the data points that lie closest to the separating hyperplane. They are the most difficult data points to classify. Moreover, support vectors are the elements of the training set that would change the position of the dividing hyperplane if removed. The optimization algorithm to generate the weights proceeds in such a way that only the support vectors determine the weights and thus the boundary. Mathematically support vectors are defined as:
支持向量是最靠近分离超平面的数据点。 它们是最难分类的数据点。 此外，支持向量是训练集的元素，如果被移除，它们将改变划分超平面的位置。 生成权重的优化算法以这样的方式进行：只有支持向量才能确定权重，从而确定边界。 数学上的支持向量定义为：

Hard-margin SVM
硬利润支持向量机
The hard-margin SVM is very strict with the support vectors crossing the hyperplane. It doesn’t allow any support vectors to be classified in the wrong class. To maximize the margin of the hyperplane, the hard-margin support vector machine is facing the optimization problem:
硬边支持向量机非常严格，支持向量跨过超平面。 不允许将任何支持向量分类为错误的类。 为了最大化超平面的余量，硬余量支持向量机面临着优化问题：

Soft-margin SVM and the hyper-parameter C
软边距SVM和超参数C
In general, classes are not linearly separable. This may be because the class boundary is not linear, but often there is no clear boundary. To deal with this case, the support vector machine adds a set of “slack variables”, which forgive excursions of a few points into, or even across, the margin, like showing in the graph below:
通常，类不是线性可分离的。 这可能是因为类边界不是线性的，但是通常没有明确的边界。 为了解决这种情况，支持向量机添加了一组“松弛变量”，这些宽恕原谅了到边缘甚至跨越边缘的几个点的偏移，如下图所示：

image by Author

图片作者

We want to minimize the total amount of slacks while maximizing the width of the margin, which is called soft-margin support vector machine. This is more widely used, and the objective function becomes:
我们要在使边距的宽度最大的同时，使松弛的总量最小化，这称为软边距支持向量机。 这被更广泛地使用，目标函数变为：

for some constant C. This optimization problem is called the primal problem. The constant C represents the “cost” of the slack. When C is small, it is efficient to allow more points into the margin to achieve a larger margin. Larger C will produce boundaries with fewer support vectors. By increasing the number of support vectors, SVM reduces its variance, since it depends less on any individual observation. Reducing variance makes the model more generalized. Thus, decreasing C will increase the number of support vectors and reduce over-fitting.
对于一些常数C。 此优化问题称为原始问题。 常数C代表松弛的“成本”。 当C较小时，允许有更多点进入边距以实现更大的边距是有效的。 C越大，边界越少，支持向量也越少。 通过增加支持向量的数量，SVM减少了方差，因为它较少依赖于任何单独的观察。 减少方差使模型更通用。 因此，降低C将增加支持向量的数量并减少过度拟合。
With Lagrange multipliers:
使用拉格朗日乘数：

two constraints

两个约束

we can rewrite the constrained optimization problem as the primal Lagrangian function :
我们可以将约束优化问题重写为原始拉格朗日函数：

Instead of minimizing over w, b, subject to constraints, we can maximize over the multipliers subject to the relations obtained previously for w, b. This is called the dual Lagrangian formulation:
代替将w ， b最小化(受约束)，我们可以使乘数最大化，该乘数受先前为w ， b获得的关系的约束。 这称为双重拉格朗日公式：

This is now a reasonably straightforward quadratic programming problem, solved with Sequential Minimization Optimization. There are a lot of programming tools you can use to solve the optimizing problem. You can use the CVX tool in Matlab to solve this question. Or if you are familiar with python, you can use the CVXOPT package to solve it. I have another article at Medium that discusses the use of the CVXOPT package, and how to apply it to solve SVM in the dual formulation. Once we have solved this problem for \alpha, we can easily work out the coefficients:
现在这是一个相当简单的二次规划问题，可通过顺序最小化优化解决。 您可以使用许多编程工具来解决优化问题。 您可以使用Matlab中的CVX工具来解决此问题。 或者，如果您熟悉python，则可以使用CVXOPT软件包来解决它。 我在Medium上还有另一篇文章，讨论了CVXOPT软件包的用法，以及如何将其应用于对偶公式中的SVM解决方案。 解决\ alpha的问题后，我们可以轻松计算出系数：

Waling through the math behind the Support Vector Machines algorithm definitely helps understand the implementation of the model. It gives insights on choosing the right model for the right questions and choosing the right value for the hyper-parameters.
仔细阅读支持向量机算法背后的数学知识，无疑有助于理解模型的实现。 它为选择正确的问题模型和为超参数选择正确的值提供了见解。
Hope this helps. Thank you all for reading!
希望这可以帮助。 谢谢大家的阅读！

翻译自: https://towardsdatascience.com/explain-support-vector-machines-in-mathematic-details-c7cc1be9f3b9

支持向量机回归和支持向量机

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支持向量机 回归分析

It is a common misconception that support vector machines are only useful when solving classification problems.
常见的误解是，支持向量机仅在解决分类问题时才有用。
The purpose of using SVMs for regression problems is to define a hyperplane as in the image above, and fit as many instances as is feasible within this hyperplane while at the same time limiting margin violations.
使用SVM解决回归问题的目的是定义一个超平面，如上图所示，并在此超平面内尽可能多地容纳实例，同时限制了违反边界的情况。
In this way, SVMs used in this manner differ from classification tasks, where the objective is to fit the largest possible hyperplane between two separate classes (while also limiting margin violations).
通过这种方式，以这种方式使用的SVM与分类任务不同，分类任务的目的是在两个单独的类之间容纳最大可能的超平面(同时还限制违反边界的行为)。
As a matter of fact, SVMs can handle regression modelling quite effectively. Let’s take hotel bookings as an example.
实际上，SVM可以非常有效地处理回归建模。 让我们以酒店预订为例。
预测酒店客户的平均每日房价 (Predicting Average Daily Rates Across Hotel Customers)
Suppose that we are building a regression model to predict the average daily rate (or rate that a customer pays on average per day) for a hotel booking. A model is constructed with the following features:
假设我们正在建立回归模型，以预测酒店预订的平均每日房价(或客户平均每天所支付的房价)。 构建具有以下特征的模型：
Cancellation (whether a customer cancels their booking or not) 取消(客户是否取消预订) Country of Origin 出生国家 Market Segment 细分市场 Deposit Type 存款类型 Customer Type 客户类型 Required Car Parking Spaces 所需停车位 Week of Arrival 抵达周
Note that the ADR values are also populated for customers that cancelled — the response variable in this case reflects the ADR that would have been paid had the customer proceeded with the booking.
The original study by Antonio, Almeida and Nunes (2016) can be accessed from the References section below.
Antonio，Almeida和Nunes(2016)的原始研究可从下面的“参考”部分获得。
建筑模型 (Model Building)
Using the features as outlined above, the SVM model is trained and validated on the training set (H1), with the predictions compared to the actual ADR values across the test set (H2).
The model is trained as follows:
该模型的训练如下：
>>> from sklearn.svm import LinearSVR>>> svm_reg = LinearSVR(epsilon=1.5)>>> svm_reg.fit(X_train, y_train)LinearSVR(C=1.0, dual=True, epsilon=1.5, fit_intercept=True,          intercept_scaling=1.0, loss='epsilon_insensitive', max_iter=1000,          random_state=None, tol=0.0001, verbose=0)>>> predictions = svm_reg.predict(X_val)>>> predictionsarray([100.75090575, 109.08222631,  79.81544167, ...,  94.50700112,        55.65495607,  65.5248653 ])
Now, the same model is used on the features in the test set to generate predicted ADR values:
bpred = svm_reg.predict(atest)bpred
Let’s compare the predicted ADR to actual ADR on a mean absolute error (MAE) and root mean squared error (RMSE) basis.
>>> mean_absolute_error(btest, bpred)29.50931462735928>>> print('mse (sklearn): ', mean_squared_error(btest,bpred))>>> math.sqrt(mean_squared_error(btest, bpred))44.60420935095296
Note that the sensitivity of the SVM to additional training instances is set by the epsilon (ϵ) parameter, i.e. the higher the parameter, the more of an impact additional training instances has on the model results.
请注意，SVM对其他训练实例的敏感性由epsilon(ϵ)参数设置，即参数越高，其他训练实例对模型结果的影响就越大。
In this instance, a large margin of 1.5 was used. Here is the model performance when a margin of 0.5 is used.
在这种情况下，使用了1.5的大余量。 这是使用0.5的裕度时的模型性能。
>>> mean_absolute_error(btest, bpred)29.622491512816826>>> print('mse (sklearn): ', mean_squared_error(btest,bpred))>>> math.sqrt(mean_squared_error(btest, bpred))44.7963000500928
We can see that there has been virtually no change in the MAE or RMSE parameters through modifying the ϵ parameter.
我们可以看到，通过修改ϵ参数，MAE或RMSE参数几乎没有变化。
That said, we want to ensure that the SVM model is not overfitting. Specifically, if we find that the best fit is achieved when ϵ = 0, then this might be a sign that the model is overfitting.
也就是说，我们要确保SVM模型不会过拟合。 具体来说，如果我们发现当ϵ = 0时达到了最佳拟合，则可能表明该模型过度拟合。
Here are the results when we set ϵ = 0.
当我们设置ϵ = 0时，结果如下。
MAE: 31.86 MAE： 31.86 RMSE: 47.65 RMSE： 47.65
Given that we are not seeing higher accuracy when ϵ = 0, there does not seem to be any evidence that overfitting is an issue in our model — at least not from this standpoint.
考虑到当ϵ = 0时我们看不到更高的精度，因此似乎没有任何证据表明过度拟合是我们模型中的一个问题-至少从这个角度来看不是这样。
SVM性能与神经网络相比如何？ (How Does SVM Performance Compare To A Neural Network?)
When using the same features, how does the SVM performance accuracy compare to that of a neural network?
当使用相同的功能时，SVM的性能精度与神经网络的性能相比如何？
Consider the following neural network configuration:
考虑以下神经网络配置：
>>> model = Sequential()>>> model.add(Dense(8, input_dim=8, kernel_initializer='normal', activation='elu'))>>> model.add(Dense(1669, activation='elu'))>>> model.add(Dense(1, activation='linear'))>>> model.summary()Model: "sequential"_________________________________________________________________Layer (type)                 Output Shape              Param #   =================================================================dense (Dense)                (None, 8)                 72        _________________________________________________________________dense_1 (Dense)              (None, 1669)              15021     _________________________________________________________________dense_2 (Dense)              (None, 1)                 1670      =================================================================Total params: 16,763Trainable params: 16,763Non-trainable params: 0_________________________________________________________________
The model is trained across 30 epochs with a batch size of 150:
该模型经过30个时期训练，批量大小为150 ：
>>> model.compile(loss='mse', optimizer='adam', metrics=['mse','mae'])>>> history=model.fit(X_train, y_train, epochs=30, batch_size=150,  verbose=1, validation_split=0.2)>>> predictions = model.predict(X_test)
The following MAE and RMSE are obtained on the test set:
在测试集上获得以下MAE和RMSE：
MAE: 29.89 MAE： 29.89 RMSE: 43.91 RMSE： 43.91
We observed that when ϵ was set to 1.5 for the SVM model, the MAE and RMSE came in at 29.5 and 44.6 respectively. In this regard, the SVM has matched the neural network in prediction accuracy on the test set.
我们观察到   SVM模型设置为1.5 ，MAE和RMSE分别为29.5和44.6。 在这方面，SVM在测试集的预测准确性方面已与神经网络相匹配。
结论 (Conclusion)
It is a common misconception that SVMs are only suitable for working with classification data.
常见的误解是SVM仅适用于分类数据。
However, we have seen in this example that the SVM model has been quite effective at predicting ADR values for the neural network.
Many thanks for reading, and any questions or feedback appreciated.
非常感谢您的阅读，并感谢任何问题或反馈。
The GitHub repository for this example, as well as other relevant references are available below.
下面提供了此示例的GitHub存储库以及其他相关参考。
Disclaimer: This article is written on an “as is” basis and without warranty. It was written with the intention of providing an overview of data science concepts, and should not be interpreted as professional advice in any way.
免责声明：本文按“原样”撰写，不作任何担保。 它旨在提供数据科学概念的概述，并且不应以任何方式解释为专业建议。

支持向量机 回归分析

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SVM回归模型的损失函数度量SVM回归模型的目标函数的原始形式SVM回归模型的目标函数的对偶形式SVM 算法小结
一、SVM回归模型的损失函数度量
SVM和决策树一样，可以将模型直接应用到回归问题中；在SVM的分类模型(SVC)中，目标函数和限制条件如下

在SVR中，目的是为了尽量拟合一个线性模型y=wx+b；
我们可以定义常量eps>0，对于任意一点(x,y)，如果|y-wx-b|≤eps，那么认为没有损失，
从而我们可以得到目标函数和限制条件如下：

二、SVM回归模型的目标函数的原始形式
加入松弛因子ξ>0，从而我们的目标函数和限制条件变成：

构造拉格朗日函数：

三、SVM回归模型的目标函数的对偶形式
拉格朗日函数对偶化：

首先来求优化函数对于w、b、ξ的极小值，通过求导可得：

将w、b、ξ的值带入函数L中，就可以将L转换为只包含β的函数，从而我们可以得到最终的优化目标函数为(备注：对于β的求解照样可以使用SMO算法来求解)：

四、SVM 算法小结
SVM算法是一个很优秀的算法，在集成学习和神经网络之类的算法没有表现出优越性能前，SVM基本占据了分类模型的统治地位。目前则是在大数据时代的大样本背景下,SVM由于其在大样本时超级大的计算量，热度有所下降，但是仍然是一个常用的机器学习算法。
SVM算法的主要优点：
1) 解决高维特征的分类问题和回归问题很有效,在特征维度大于样本数时依然有很好的效果。
2) 仅仅使用一部分支持向量来做超平面的决策，无需依赖全部数据。
3) 有大量的核函数可以使用，从而可以很灵活的来解决各种非线性的分类回归问题。
4)样本量不是海量数据的时候，分类准确率高，泛化能力强。
SVM算法的主要缺点：
1) 如果特征维度远远大于样本数，则SVM表现一般。
2) SVM在样本量非常大，核函数映射维度非常高时，计算量过大，不太适合使用。
3）非线性问题的核函数的选择没有通用标准，难以选择一个合适的核函数。
4）SVM对缺失数据敏感。
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回归预测 | MATLAB实现SVR(支持向量机回归)K折交叉验证

目录

回归预测 | MATLAB实现SVR(支持向量机回归)K折交叉验证

基本介绍
划分原理

留一划分
交叉验证
K折交叉

程序设计
参考资料
致谢

基本介绍

在机器学习里，通常来说我们不能将全部用于数据训练模型，否则我们将没有数据集对该模型进行验证，从而评估我们的模型的预测效果。为了解决这一问题，有如下常用的方法：

第一种是最简单的，也是很容易就想到的。我们可以把整个数据集分成两部分，一部分用于训练，一部分用于验证，这也就是我们经常提到的训练集（training set）和测试集（test set）。
我们都知道，当用于模型训练的数据量越大时，训练出来的模型通常效果会越好。所以训练集和测试集的划分意味着我们无法充分利用我们手头已有的数据，所以得到的模型效果也会受到一定的影响。基于这样的背景，有人就提出了Cross-


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