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  • 18 Cramer法则及行列式的几.pdf
  • 基于Matlab的Cramer法则求解线性方程组.pdf
  • 将四元数体上n元线性方程组的求解问题转化为复数域上2n元线性方程组的求解...进而给出了四元数体上Cramer法则的两种较简单的证明。通过引入了一类特殊行列式的记号,由Cramer法则的两种证明过程得到了这类行列式的性质。
  • Cramer法则谈起 矩阵论漫谈878页,是哈尔滨工业大学出版本社出版,刘培杰数学工作编辑的<数学著名定理从横谈丛书>的一本,数学爱好者们值得学习.
  • 给出了约束方程Ax+By=b,x∈L,y∈L⊥有解的充要条件和通解公式及有惟一解时惟一解的Cramer法则;并讨论了矩阵对(A,B)的约束广义逆存在的条件,给出了矩阵对(A,B)的约束广义逆的一些性质。
  • VS2010编的能解任意元方程组的控制台程序,用Cramer算法。定义了两个类:向量类和矩阵类,算法已经封装好,虽然不是很全,但是可以根据需要随时扩充。
  • 程序 Source.cpp #include <iostream> #include "Det.h" using namespace std; int main() { int num; unsigned m = 0; deque<deque<double>> mat; deque<... "Please input li

    求解结果为小数。结果为分数和小数兼容的程序详见我的博客 【C++ 程序】 解线性方程组(Cramer法则)(分数形式结果)


    程序

    Source.cpp

    #include <iostream>
    #include "Det.h"
    using namespace std;
    
    int main()
    {
    	int num;
    	unsigned m = 0;
    	deque<deque<double>> mat;
    	deque<deque<deque<double>>> D;
    
    	// instruction
    	cout << "Please input like this:\n"
    		<< "a_11 * x_1 + a_12 * x_2 + ... + a_1n * x_n = b_1\n"
    		<< "a_21 * x_1 + a_22 * x_2 + ... + a_2n * x_n = b_2\n"
    		<< "...\n"
    		<< "a_n1 * x_1 + a_n2 * x_2 + ... + a_nn * x_n = b_n"
    		<< "\n" << endl;
    
    	// input
    	while (1)
    	{
    		deque<double> row;
    		while (cin >> num)
    		{
    			row.push_back(num);
    			if (getchar() == '\n') break;
    		}
    		mat.push_back(row);
    		m = (row.size() > m) ? row.size() : m;
    		if (mat.size() >= m - 1) break;
    	}
    
    	// calculate & print
    	for (unsigned i = 0; i < m; i++)
    	{
    		deque<deque<double>> temp = mat; // D[m - 1][m]
    		for (unsigned j = 0; j != m - 1; j++)
    		{
    			if (i) temp[j][i - 1] = mat[j][m - 1];
    			temp[j].pop_back();
    		}
    		D.push_back(temp);
    	}
    	double D0 = det_is(D[0]);
    	if (D0 != 0)
    	{
    		cout << endl;
    		for (unsigned i = 1; i < m; i++)
    		{
    			cout << "x_" << i << " = " << det_is(D[i]) / D0 << endl;
    		}
    	}
    	else cout << "\nNo finite solution!" << endl;
    	return 0;
    }
    

    Det.h
    见我的博客 【C++ 程序】 行列式

    输出示例

    Output

    分析

    • 一开始老是错:
      err

    查了半天发现错误在头文件中:
    solution
    一开始一直没加sign = 1的语句,造成了全局变量sign一直处于一个错误的位置。
    启示:每一次调用头文件函数时,并不是重新运行的!运行一次造成的影响会带给下一次运行。

    • 这里面运用到行列式的求法。
    • (其他分析以后继续)

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    欢迎转载,转载请注明出处。


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    展开全文
  • // D=0时不可以Cramer法则,解不唯一 if (d == 0) { printf("More than one solution.\n"); } else { // D不等于0时,解唯一,利用Cramer计算 for (j=0; j; j++) { toDj(D, Dj, b, n, j); x[j] = count(Dj,...
    //求解存在唯一解的方程组
    
    #include <stdio.h>
    #include <stdlib.h>
    double count(double D[][100],int n);//计算行列式
    int toDj(double D[][100],double Dj[][100],double *b,int n,int j);//转换成Dj
    
    int main(void)
    {
        double D[100][100]={},Dj[100][100],b[100],x[100],d;
        int n,i,j;//n为未知数个数
        
    //    输入未知数数量
        printf("Input the number of unknown digits.\n");
        scanf("%d",&n);
        
    //    输入方程
        printf("Enter the equation.\n");
        for (i=0; i<n; i++)
        {
            printf("? x%d",i+1);
            if (i!=n-1)
            {
                printf(" + ");
            }
        }
        printf("=?\n");
        for (i=0; i<n; i++)
        {
            for (j=0; j<n; j++)
            {
                scanf("%lf",&D[i][j]);
            }
            scanf("%lf",&b[i]);
        }
        
        d = count(D, n);//计算D
        
    //    D=0时不可以Cramer法则,解不唯一
        if (d == 0)
        {
            printf("More than one solution.\n");
        }
        else
        {
    //        D不等于0时,解唯一,利用Cramer计算
            for (j=0; j<n; j++)
            {
                toDj(D, Dj, b, n, j);
                x[j] = count(Dj, n) / d;
                printf("x%d = %.2lf  ",j+1,x[j]);
                
                if (j%5==0 && j!=0 && j!=n-1)
                {
                    printf("\n");
                }
            }
            printf("\n");
        }
        
        return 0;
    }
    
    //利用第一列展开求行列式
    double count(double D[][100],int n)
    {
        int i,p,q,s;//i为原行列式行数,p、q为余子式的行列号,s为符号表示
        double M[100][100] = {}, result = 0.0;//M[][]为余子式,result为结果
        
        //    令拆到行列数为0时,余子式为1
        if (n==0)
        {
            return 1;
        }
        
        //    第一列展开
        for (i=0,s=1; i<n; i++,s*=(-1))
        {
            //        求a[i][0]的余子式M[i][0],即删去第i+1行第1列
            for (p=0; p<n-1; p++)
            {
                if (p<i)
                {
                    for (q=0; q<n-1; q++)
                    {
                        M[p][q] = D[p][q+1];
                    }
                }
                else if (p>=i)
                {
                    for (q=0; q<n-1; q++)
                    {
                        M[p][q] = D[p+1][q+1];
                    }
                }
            }
            //        利用递归求解
            result += s*D[i][0]*count(M, n-1);
        }
        
        return result;
    }
    
    //将第j+1列与b列交换
    int toDj(double D[][100],double Dj[][100],double *b,int n,int j)
    {
        int p,q;//p为行,q为列
        
        for (p=0; p<n; p++)
        {
            for (q=0; q<n; q++)
            {
                if (q == j)
                {
                    Dj[p][q] = b[p];
                }
                else
                {
                    Dj[p][q] = D[p][q];
                }
            }
        }
        
        return 0;
    }

     

    展开全文
  • 克莱姆法则(cramer法则)详解

    千次阅读 2020-11-08 23:09:11
  • (事实上Enter=\r\n,不过C++中\n就是\r\n) 其他详见我的博客 【C++ 程序】 解线性方程组(Cramer法则)。 ALL RIGHTS RESERVED © 2020 Teddy van Jerry 欢迎转载,转载请注明出处。 See also Teddy van Jerry 的...

    f毕竟数学多用分数,所以修改了原程序:

    程序

    Source.cpp

    #include <iostream>
    #include <conio.h>
    #include <Windows.h>
    #include "Det.h"
    #include "Fraction.h"
    using namespace std;
    
    int main()
    {
    	int num;
    	unsigned m = 0;
    	deque<deque<double>> mat;
    	deque<deque<deque<double>>> D;
    
    	// instruction
    	cout << "Please input like this:\n"
    		<< "a_11 * x_1 + a_12 * x_2 + ... + a_1n * x_n = b_1\n"
    		<< "a_21 * x_1 + a_22 * x_2 + ... + a_2n * x_n = b_2\n"
    		<< "...\n"
    		<< "a_n1 * x_1 + a_n2 * x_2 + ... + a_nn * x_n = b_n"
    		<< "\n" << endl;
    
    	// input
    	while (1)
    	{
    		deque<double> row;
    		while (cin >> num)
    		{
    			row.push_back(num);
    			if (getchar() == '\n') break;
    		}
    		mat.push_back(row);
    		m = (row.size() > m) ? row.size() : m;
    		if (mat.size() >= m - 1) break;
    	}
    
    	// hide the Console Cursor
    	HANDLE hOut = GetStdHandle(STD_OUTPUT_HANDLE);
    	CONSOLE_CURSOR_INFO cci;
    	GetConsoleCursorInfo(hOut, &cci);
    	cci.bVisible = FALSE;
    	SetConsoleCursorInfo(hOut, &cci);
    
    	// calculate & print
    	for (unsigned i = 0; i < m; i++)
    	{
    		deque<deque<double>> temp = mat; // D[m - 1][m]
    		for (unsigned j = 0; j != m - 1; j++)
    		{
    			if (i) temp[j][i - 1] = mat[j][m - 1];
    			temp[j].pop_back();
    		}
    		D.push_back(temp);
    	}
    	double D0 = det_is(D[0]);
    	if (D0 != 0)
    	{
    		cout << "\n-------------------------------------------------------------------------\n"
    			<< "By default you view the solution in the FRACTION form.\n"
    			<< "You can switch to DECIMAL by any keyboard press except Enter.\n"
    			<< "Press Enter to end the program.\n"
    			<< "-------------------------------------------------------------------------\n" << endl;
    		for (unsigned i = 1; i < m; i++)
    		{
    			cout << "x_" << i << " = " << decimal_to_fraction(det_is(D[i]) / D0) << endl;
    		}
    		while (1)
    		{
    			if (_kbhit())
    			{
    				if (_getch() != '\r') // not Enter
    				{
    					// return to the front of the line (\r)
    					// cover the initial input by pressing the keyboard
    					cout << "\r\t\r\n-------------------------------------------------------------------------\n" << endl;
    					for (unsigned i = 1; i < m; i++)
    					{
    						cout << "x_" << i << " = " << det_is(D[i]) / D0 << endl;
    					}
    				}
    				cout << "\n-------------------------------------------------------------------------" << endl;
    				break;
    			}
    		}
    	}
    	else
    	{
    		cout << "\n-------------------------------------------------------------------------" << endl;
    		cout << "\nNo finite solution!" << endl;
    		cout << "\n-------------------------------------------------------------------------" << endl;
    	}
    	return 0;
    }
    

    Fraction.h

    #ifndef _FRACTION_
    #define _FRACTION_
    #include <string>
    #include <vector>
    
    std::string decimal_to_fraction(double n)
    {
    	std::string fra = "";
    	std::string sgn = (n >= 0) ? "" : "-";
    	n = fabs(n);
    	double epsilon = 1E-10;
    	if (n - static_cast<int>(n) < epsilon)
    	{
    		fra = std::to_string(static_cast<int>(n));
    		return fra;
    	}
    	else if (n - static_cast<int>(n) > 1 - epsilon)
    	{
    		fra = std::to_string(static_cast<int>(n) + 1);
    		return fra;
    	}
    	else
    	{
    		std::vector<int> denominator;
    		for (int i = 2; i <= 100000; i++)
    			denominator.push_back(i);
    		for (auto c : denominator) // every number within 100000
    		{
    			if (c * n - static_cast<int>(c * n) < epsilon)
    			{
    				fra = sgn + std::to_string(static_cast<int>(c * n)) + "/" + std::to_string(c);
    				return fra;
    			}
    			if (c * n - static_cast<int>(c * n) > 1 - epsilon)
    			{
    				fra = sgn + std::to_string(static_cast<int>(c * n) + 1) + "/" + std::to_string(c);
    				return fra;
    			}
    		}
    	}
    	return std::to_string(n);
    }
    
    #endif // !_FRACTION_
    

    Det.h
    见我的博客 【C++ 程序】 行列式

    输出示例

    Output

    分析

    • 输出分数原理:判断分数值与小数值相差不超过一个极小的值,此处即epsilon。特别注意负数时候的情况!
    • \r回车,回到一行最前端。(事实上Enter=\r\n,不过C++中\n就是\r\n
    • 其他详见我的博客 【C++ 程序】 解线性方程组(Cramer法则)

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  • 从目前来看行列式的意义,主要体现在Cramer法则中,用来确定(方程个数与未知量个数相等)线性方程组的解(唯一解、多个解或无解),并求取参数值。 但更为普适的方法(针对任意方程组),应求增广矩阵的秩。 ...
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