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  • SAS ANOVA方差分析.doc

    2020-12-30 13:11:53
    SAS练习题
  • ANOVA方差分析

    万次阅读 2019-09-02 17:18:12
        从方差分析的目的来看,是要检验各个水平的均值μ1、μ2、…、μm是否相等(m为水平个数),而实现这个目的的手段是通过方差的比较(即考察各观察数据的差异)。 在变量的观察值之间存在着差异。差异的产生...

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    https://www.jianshu.com/p/f5f54a39cb19

    例子:
    某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色共有四种,分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同,先从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一期该种饮料的销售量情况,见表1

     

     

    问饮料的颜色是否对销售量产生影响。

    一、方差分析术语

    1.因素
    因素是一个独立的变量,也就是方差分析研究的对象,也称为因子。如:例1中,我们要分析饮料的颜色对饮料的销售量是否有影响,在这里,“饮料的颜色”是所要检验的对象,它就是一个因素。在有的书中把因素称为“因子”。
    2.水平
    因素中的内容称为水平,它是因素的具体表现。如:例1中“饮料的颜色”这一因素中的水平有四个,即饮料的四种不同颜色:无色、粉色、桔黄色、绿色;它们是“饮料的颜色”这一因素的四种具体表现。
    因素的每一个水平可以看作是一个总体,比如:无色、粉色、桔黄色、绿色饮料可以看作是四个总体。
    3.控制变量
    在方差分析中,能够人为控制的影响因素称为控制因素,或控制变量;如:例1中,“饮料的颜色”对于饮料的销售量而言,是能够人为控制的影响因素,称为控制变量。
    4.随机变量
    在方差分析中,人为很难控制的影响因素称为随机因素,或随机变量;如:例1中,“人们对不同颜色的偏爱”对于饮料的销售量而言,是人为很难控制的影响因素,称为随机变量。
    5.观察变量与观察值
    在方差分析中,受控制因素和随机因素影响的事物,称为观察变量。在每个水平下得到的样本数据称为观察值。如:例1中,销售量是观察变量,在每个饮料颜色下得到的样本数据(即表10-1中的数据)就是观察值。

    二、方差分析的原理

        从方差分析的目的来看,是要检验各个水平的均值μ1、μ2、…、μm是否相等(m为水平个数),而实现这个目的的手段是通过方差的比较(即考察各观察数据的差异)。
    在变量的观察值之间存在着差异。差异的产生来自于两个方面。
    一个方面是由因素中的不同水平造成的,称之为系统性差异(或系统性误差)。如:饮料的不同颜色带来不同的销售量。
        另一个方面是由于抽选样本的随机性而产生的差异,称之为随机性差异(或随机性误差)。如:相同颜色的饮料在不同的商场销售量也不同。
    两个方面产生的差异可以用两个方差来计量。
        一个叫组间方差,即水平之间的方差,是衡量不同总体下各样本之间差异的方差。在组间方差里,既包括系统性误差,也包括随机性误差。如:在例1中,不同颜色的饮料在不同地点(超市)产品销售量之间的差异既有系统性误差(即由于人们对不同颜色的偏爱造成的差异),也有随机性误差(即由于抽样的随机性造成的差异)。不同颜色的饮料在不同地点(超市)产品销售量之间的方差即为组间方差。
        另一个叫组内方差,即水平内部的方差,是衡量同一个总体下样本数据的方差。在组内方差里仅包括随机性差异。如:在例1中,可以把同一个颜色的饮料在不同地点(超市)产品销售量之间的差异看成是随机因素的影响,同一个颜色的饮料在不同地点(超市)产品销售量之间的方差即为组内方差。
        如果不同的水平对结果没有影响,如: 饮料的不同颜色对销售量无影响,那么在水平之间的方差中,就仅仅有随机因素影响的差异,而没有系统性因素影响的差异。这样一来,组间方差与组内方差就应该非常接近,两个方差的比值就会接近于1;反之,如果饮料的不同颜色对销售量有影响,在组间方差中就不仅包括了随机性误差,也包括了系统性误差,这时,组间方差就会大于组内方差,两个方差的比值就会大于1。当这个比值大到某种程度时,我们就可以作出判断,说不同水平之间存在着显著性差异。一次,方差分析就是通过不同方差的比较,作出接受原假设或拒绝原假设的判断。如:例1中,判断饮料的不同颜色对销售量是否有显著性影响的问题,实际上也就是检验销售量的差异主要是由于什么原因所引起的。如果这种差异主要是系统性误差,我们就说饮料的不同颜色对销售量有显著性影响。

    三、思路

    从表1中看到,20个数据各不相同,其原因可能有两个方面:
    一是销售地点不同的影响。即使是相同颜色的饮料,在不同超市的销售量也是不同的。但是,由于这五个超市地理位置相似、经营规模相仿,因此,可以把不同地点产品销售量的差异看成是随机因素的影响。
    二是饮料颜色不同的影响。
        即使在同一个超市里,不同颜色的饮料的销售量也是不同的。哪怕它们的营养成分、味道、价格、包装等方面的因素都相同,但销售量也不相同。这种不同,有可能是由于抽样的随机性造成的,也有可能是由于人们对不同颜色的偏爱造成的。
        于是,上述问题就归结为检验饮料颜色对销售量是否有影响的问题。我们可以令μ1、μ2、μ3、μ4分别为四种颜色饮料的平均销售量,检验它们是否相等。如果检验结果显示μ1、μ2、μ3、μ4不相等,则意味着不同颜色的饮料来自于不同的总体,表明饮料颜色对销售量有影响;反之,如果检验结果显示μ1、μ2、μ3、μ4之间不存在显著性差异,则意味着不同颜色的饮料来自于相同的总体,可认为饮料颜色对销售量没有影响。

    四、计算分析

    第一步、建立假设

    原假设 H0:μ1=μ2=μ3=μ4;即假设颜色对销售量没有影响。

    备择假设H1: μ1、μ2、μ3、μ4不全相等;即假设四个配方颜色对销售量有影响。

    第二步、计算水平均值

    无色饮料销售量均值=136.6÷5=27.32箱

    粉色饮料销售量均值=147.8÷5=29.56箱

    桔黄色饮料销售量均值=132.2÷5=26.44箱

    绿色饮料销售量均值=157.3÷5=31.46箱

    第三步、计算全部观察值的总均值

    各种颜色饮料销售量总的样本平均数=(136.6+147.8+132.2+157.3)÷20=28.695箱

     

    第四步、计算离差平方和

     

    第五步、构造统计量并计算检验统计量的样本值

     

     

    第六步、确定检验规则、列出方差分析表、做出统计决策
    P-值规则:

    根据算得的检验统计量的样本值(F值)算出P-值=0.000466(见表10-4)。由于P-值=0.000466<显著水平标准=0.05,所以拒绝H0,接受备择假设H1,即通过检验知,μj不全相等,说明饮料的颜色对销售量有显著影响。
    临界值规则

    根据给定的显著水平a=0.05,查表得临界值为3.24。因为F=10.486>3.24,检验统计量的样本值落入拒绝域,所以拒绝H0,接受备择假设H1,即通过检验知,μj不全相等,说明饮料的颜色对销售量有显著影响。
    显著水平
    举例说明:某药品商宣传能治愈某病的概率是90%。(即原假设)一个医生不相信宣传,于是做个了实验验证,15个人治好了11个人。而15个人应该能够治愈13.5个人。那么宣传是不是骗人的呢?这时候用假设性检验来验证(采用显著性水平为5%检验),假设这15个人服从二项分布,P(X<=11)的概率等于5.6%,这个p值大于显著性水平。而我们的显著性水平是5%,也就是说,小于5%的是个小概率事件,治愈了11个人并不是一个小概率事件,在治愈率90%的情况下你是有可能刚好抽到治愈11个人的情况。我们没有足够的证据证明药品商是骗人的,所以我们接受他的宣传(接受原假设),即治愈率90%。这时候有人会问,如果15个人治愈了9个人呢,我们经过计算发现,p值小于5%,这时候处于拒绝域。因为,你们宣传治愈率90%,可是我做了抽样,发现15个人只治好了9个人,概率太小了,基本不可能遇到的情况(小概率事件)怎么刚好让我遇到?所以,我们有足够的证据证明宣传是假的。这时候我们采用备选假设,推翻原假设。个人理解显著水平是鉴别两个假设之间大小概率事件的阈值。

    p值大于显著水平,支持原假设,F值大于临界值(由显著水平得到),拒绝原假设。

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    方差分析

    方差分析(Analysis of Variance,简称ANOVA),又称为“变异数分析”, 是由英国统计学家费歇尔(Fisher)在20世纪20年代提出的,可用于推断两个或两个以上总体均值是否有差异的显著性检验。

    由于各种因素的影响,研究所得的数据呈现波动性。造成波动的原因可分成两类,一是不可控的随机因素,另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。

    方差分析一般可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。我们从单因素方差分析开始。

    1. 单因素方差分析

    所谓单因素方差分析就是只考虑一个因素对实验结果造成的影响。

    1.1. 单因素方差分析的理论

    设实验只有一个因素(因子)A,有r个水平 A 1 , A 2 , . . . , A r

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  • 方差分析ANOVA)简记

    千次阅读 2020-01-01 16:17:50
    方差分析(Analysis of Variance,简称ANOVA),是一种对多个水平或多组样本之间期望的差异进行显著性检验的方法。 对于两组样本,如X1,X2,…,Xn1X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n_1}X1​,X2​,…,Xn1​​为来自正态总体...

    基本概念

    方差分析(Analysis of Variance,简称ANOVA),是一种对多个水平或多组样本之间期望的差异进行显著性检验的方法。

    对于两组样本,如 X 1 , X 2 , … , X n 1 X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n_1} X1,X2,,Xn1为来自正态总体 X ∼ N ( μ 1 , σ 2 ) X \sim N(\mu_1, \sigma^2) XN(μ1,σ2)的一个样本, Y 1 , Y 2 , … , Y n 2 Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{n_2} Y1,Y2,,Yn2为来自正态总体 Y ∼ N ( μ 2 , σ 2 ) Y \sim N(\mu_2, \sigma^2) YN(μ2,σ2)的一个样本,往往可以使用t检验方法检验两个总体均值的差异是否显著。但如果有 s ( s ≥ 2 ) s(s \ge 2) s(s2)组样本,或某个要检验的随机变量X受到某种因素A的影响,因素A有s个水平 A 1 , A 2 , … , A s A_1,A_2,\ldots,A_s A1,A2,,As,随机变量X在各组/各水平下的均值分别为 μ 1 , μ 2 , … , μ s \mu_1,\mu_2,\ldots,\mu_s μ1,μ2,,μs。若想要检验随机变量X是否受到因素A的影响,即检验这s组样本之间的均值是否有显著差异,即检验假设 μ 1 = μ 2 = … = μ s \mu_1 = \mu_2 = \ldots = \mu_s μ1=μ2==μs,可以尝试进行 C s 2 C_s^2 Cs2次成对t检验,但这样做的复杂度显然较高。因此常常使用方差分析的方法来进行这种类型的显著性检验。

    单因素试验的方差分析

    在此先简单记录单因素试验的方差分析,即仅仅考察某个单一因素对随机变量的影响。

    前提和假设

    之后的讨论均基于如下前提和假设:

    有一种因素A对随机变量X有一定影响,因素A有s个水平,假设各个水平下随机变量X的总体均服从正态分布,且在各个水平下的方差相等,均为 σ 2 \sigma^2 σ2。在A的s个水平下分别进行 n j ( j = 1 , 2 , ⋯   , s ) n_{j}(j=1,2,\cdots,s) nj(j1,2,,s)次独立试验。试验结果如下:

    A 1 A_1 A1 A 2 A_2 A2 ⋯ \cdots A s A_s As
    X 11 X_{11} X11 X 12 X_{12} X12 ⋯ \cdots X 1 s X_{1s} X1s
    X 21 X_{21} X21 X 22 X_{22} X22 ⋯ \cdots X 2 s X_{2s} X2s
    ⋮ \vdots ⋮ \vdots ⋮ \vdots ⋮ \vdots
    X n 1 1 X_{n_{1}1} Xn11 X n 2 2 X_{n_{2}2} Xn22 ⋯ \cdots X n s s X_{n_{s}s} Xnss
    样本总和 T ⋅ 1 T_{\cdot1} T1 T ⋅ 2 T_{\cdot2} T2 ⋯ \cdots T ⋅ s T_{\cdot s} Ts
    样本均值 X ⋅ 1 ‾ \overline{X_{\cdot1}} X1 X ⋅ 2 ‾ \overline{X_{\cdot2}} X2 ⋯ \cdots X ⋅ s ‾ \overline{X_{\cdot s}} Xs
    样本方差 S 1 2 S_1^2 S12 S 2 2 S_2^2 S22 ⋯ \cdots S s 2 S_s^2 Ss2
    总体均值 μ 1 \mu_1 μ1 μ 2 \mu_2 μ2 ⋯ \cdots μ s \mu_s μs
    • 注意每个水平下的实验次数 n j n_{j} nj可以不一样,故表格不一定是正方形。总共的实验次数 n = n 1 + n 2 + ⋯ + n s n = n_1 + n_2 + \cdots + n_s n=n1+n2++ns
    • 样本总和 T ⋅ j = ∑ i = 1 n j X i j T_{\cdot j} = \sum_{i=1}^{n_{j}} X_{i j} Tj=i=1njXij,即第j个水平/第j组样本(第j列)的加和;
    • 样本均值 X ⋅ j ‾ = 1 n j T ⋅ j = 1 n j ∑ i = 1 n j X i j \overline{X_{\cdot j}} = \frac{1}{n_j}T_{\cdot j} = \frac{1}{n_j}\sum_{i=1}^{n_{j}} X_{i j} Xj=nj1Tj=nj1i=1njXij,即第j个水平/第j组样本(第j列)的样本均值;
    • 样本方差 S j 2 = 1 n j − 1 ∑ i = 1 n j ( X i j − X ⋅ j ‾ ) 2 S_j^2 =\frac{1}{n_j-1} \sum_{i=1}^{n_{j}} (X_{ij} - \overline{X_{\cdot j}})^2 Sj2=nj11i=1nj(XijXj)2,即第j个水平/第j组样本(第j列)的样本方差;
    • 因素A有s个水平,假设各个水平下随机变量X的总体均服从正态分布,且各个水平下的方差相等,用数学语言描述即为:各个水平 A j ( j = 1 , 2 , ⋯   , s ) A_j (j=1,2,\cdots,s) Aj(j=1,2,,s)下的样本(即各列数据) X 1 j , X 2 j , ⋯   , X n j j X_{1j},X_{2j},\cdots,X_{n_j j} X1j,X2j,,Xnjj来自具有相同方差的正态总体 N ( μ j , σ 2 ) N(\mu_j, \sigma^2) N(μj,σ2),总体均值 μ j ( j = 1 , 2 , ⋯   , s ) \mu_j (j=1,2,\cdots,s) μj(j=1,2,,s)则表示各个水平(各组)的总体均值。

    基本思路

    要检验A这一因素对随机变量X没有任何影响,则检验A因素在s个不同水平下时,随机变量X的期望差异不显著,即零假设为: H 0 : μ 1 = μ 2 = … = μ s H_0: \mu_1 = \mu_2 = \ldots = \mu_s H0:μ1=μ2==μs。为验证该假设建模:

    定义总平均为各水平总体均值的算术平均数: μ = 1 n ∑ j = 1 n j n j μ j \mu = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n_{j}} n_j\mu_j μ=n1j=1njnjμj,即在不考虑因素A时随机变量X的总体平均。相应地,数据的总平均 X ‾ = 1 n ∑ j = 1 n j T ⋅ j = 1 n ∑ j = 1 s ∑ i = 1 n j X i j \overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n_{j}} T_{\cdot j} = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{s}\sum_{i=1}^{n_{j}} X_{ij} X=n1j=1njTj=n1j=1si=1njXij。根据各个水平下的总体方差均为 σ 2 \sigma^2 σ2的假设,则随机变量X的总体方差自然也就是 σ 2 \sigma^2 σ2。结合中心极限定理,则有:

    X ‾ ∼ N ( μ , σ 2 n ) \overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n}) XN(μ,nσ2)

    因素A在不同水平下可能会对总平均有不同影响,再定义水平 A j A_j Aj效应为: δ j = μ j − μ \delta_j = \mu_j - \mu δj=μjμ,即该水平下的均值与总平均的差异(体现了因素A在该水平上导致的均值的“位移”)。根据定义,有 ∑ j = 1 s n j δ j = 0 \sum_{j=1}^{s} n_{j} \delta_{j} = 0 j=1snjδj=0

    在A的某个水平下进行试验,每次试验的结果则可以表示为总平均 μ \mu μ、该水平下的效应 δ j \delta_j δj与一个随机误差 ϵ i j \epsilon_{ij} ϵij的和。即:

    X i j = μ j + ϵ i j = μ + δ j + ϵ i j X_{ij} = \mu_j + \epsilon_{ij} = \mu + \delta_j + \epsilon_{ij} Xij=μj+ϵij=μ+δj+ϵij

    往往认为随机误差 ϵ i j \epsilon_{ij} ϵij为每次试验随机产生的,故互相独立且均服从正态分布 N ( 0 , σ 2 ) N(0, \sigma^2) N(0,σ2),也就是该随机误差导致了组内数据的抖动,产生了总体方差 σ 2 \sigma^2 σ2

    差异分解

    引入总变差 S T S_T ST,即所有数据与数据总平均之间的差异之和:

    S T = ∑ j = 1 s ∑ i = 1 n j ( X i j − X ‾ ) 2 S_T = \sum_{j=1}^{s}\sum_{i=1}^{n_{j}} (X_{ij} - \overline{X})^2 ST=j=1si=1nj(XijX)2

    再定义误差平方和 S E S_E SE效应平方和 S A S_A SA

    S E = ∑ j = 1 s ∑ i = 1 n j ( X i j − X ⋅ j ‾ ) 2 = ∑ j = 1 s ( n j − 1 ) S j 2 S_E = \sum_{j=1}^{s}\sum_{i=1}^{n_{j}} (X_{ij} - \overline{X_{\cdot j}})^2 = \sum_{j=1}^{s}(n_j - 1)S_j^2 SE=j=1si=1nj(XijXj)2=j=1s(nj1)Sj2
    S A = ∑ j = 1 s n j ( X ⋅ j ‾ − X ‾ ) 2 = ∑ j = 1 s n j X ⋅ j ‾ 2 − n X ‾ 2 S_A = \sum_{j=1}^{s} n_j(\overline{X_{\cdot j}} - \overline{X})^2 = \sum_{j=1}^{s} n_j \overline{X_{\cdot j}}^2 - n\overline{X}^2 SA=j=1snj(XjX)2=j=1snjXj2nX2

    误差平方和体现的是水平内差异(即组内方差)的和,该部分差异仅由随机误差引起。效应平方和体现的是水平间差异(组间差异)的和,该部分差异则由随机误差以及因素A不同水平下的绝对效应共同引起。基于如上定义,可以推导出(详细推导过程省略):

    S T = S E + S A S_T = S_E + S_A ST=SE+SA

    图像理解

    下面作图辅助对上述各种概念的理解:
    图像理解ANOVA
    其中各水平/各组数据通过不同颜色的点表示,不同水平的数据所在的区域大小体现了组内方差;各区域的几何中心点即为该组数据的样本均值 X ⋅ j ‾ \overline{X_{\cdot j}} Xj。所有数据所在的区域大小体现了总变差 S T S_T ST;整体区域的几何中心即为总平均 μ \mu μ。局部区域的几何中心与整体区域的几何中心之间的距离就体现了对应水平的效应 δ j \delta_j δj

    差异的统计学特征

    先单独看各水平下的数据,即各列数据。根据各个水平下的总体服从等方差正态分布 N ( μ j , σ 2 ) N(\mu_j, \sigma^2) N(μj,σ2)的假设,有

    ( n j − 1 ) S j 2 σ 2 = ( n j − 1 ) ∑ i = 1 n j ( X i j − X ⋅ j ‾ ) 2 σ 2 ∼ χ 2 ( n j − 1 ) \frac{(n_j - 1)S_j^2}{\sigma^2} = \frac{(n_j - 1)\sum_{i=1}^{n_{j}} (X_{ij} - \overline{X_{\cdot j}})^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n_j - 1) σ2(nj1)Sj2=σ2(nj1)i=1nj(XijXj)2χ2(nj1)

    结合 χ 2 \chi^2 χ2分布的可加性,将各列相加即得:

    ∑ j = 1 s ( n j − 1 ) S j 2 σ 2 = S E σ 2 ∼ χ 2 ( n − s ) \frac{\sum_{j=1}^{s}(n_j - 1)S_j^2}{\sigma^2} = \frac{S_E}{\sigma^2} \sim \chi^2(n - s) σ2j=1s(nj1)Sj2=σ2SEχ2(ns)

    进而有 E ( S E ) = ( n − s ) σ 2 E(S_E)=(n-s)\sigma^2 E(SE)=(ns)σ2,即 S E n − s \frac{S_E}{n-s} nsSE就是总体方差 σ 2 \sigma^2 σ2的无偏估计。这样也再次证明了误差平方和 S E S_E SE为组内方差的和,仅由随机误差引起。

    再看不同水平之间的数据。对于效应平方和,可以推导出如下关系(详细推导过程省略):

    E ( S A ) = ( s − 1 ) σ 2 + ∑ j = 1 s n j δ j 2 E(S_A) = (s-1)\sigma^2 + \sum_{j=1}^{s}n_j \delta_j^2 E(SA)=(s1)σ2+j=1snjδj2

    这也详细说明了效应平方和 S A S_A SA随机误差(第一部分)以及因素A不同水平下的绝对效应(第二部分)共同引起。

    检验统计量

    此时就可以考虑若零假设成立,即因素A在不同水平下随机变量X的期望差异不显著,也就是说因素A的不同水平的绝对效应的和(即上式中第二部分)为0。因此有:

    E ( S A ) = ( s − 1 ) σ 2    ; S A σ 2 ∼ χ 2 ( s − 1 ) E(S_A) = (s-1)\sigma^2 \; ; \qquad \frac{S_A}{\sigma^2} \sim \chi^2(s - 1) E(SA)=(s1)σ2;σ2SAχ2(s1)

    构建统计量:

    F = S A / ( s − 1 ) S E / ( n − s ) ∼ F ( s − 1 , n − s ) F = \frac{S_A / (s-1)}{S_E / (n-s)} \sim F(s-1, n-s) F=SE/(ns)SA/(s1)F(s1,ns)

    若零假设成立,则 S E n − s \frac{S_E}{n-s} nsSE S A s − 1 \frac{S_A}{s-1} s1SA均为总体方差 σ 2 \sigma^2 σ2的无偏估计,即上述统计量不得过大。若上述检验量过大(具体值由显著性水平 α \alpha α决定),则说明效应平方和 S A S_A SA比误差平方和 S E S_E SE大,也就是说因素A的不同水平的绝对效应之和较大,进而可以认为因素A会影响随机变量X的均值。

    一句话总结方差分析就是看组内差异和组间差异是否大致相同,进而推断组间均值是否一致。

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  • 方差分析 anova一般指方差分析

    千次阅读 2019-09-27 00:06:45
    方差分析(Analysis of Variance,简称ANOVA),又称“变异数分析”或“F检验”,是R.A.Fisher发明的,用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。 由于各种因素的影响,研究所得的数据呈现波动状。造成波动的原因...
    方差分析(Analysis of Variance,简称ANOVA),又称“ 变异数分析”或“F检验”,是R.A.Fisher发明的,用于两个及两个以上 样本均数差别的 显著性检验。 由于各种因素的影响,研究所得的数据呈现波动状。造成波动的原因可分成两类,一是不可控的随机因素,另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。
     

    1简介编辑

    方差分析是用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。由于各种因素的影响,研究所得的数据呈现波动状,造成波动的原因可分成两类,一是不可控的随机因素,另一是研究中施加的对结果形成影响的可控因素。 [1]  
    方差分析是从观测变量的方差入手,研究诸多 控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量。

    2原理编辑

    方差分析的基本原理是认为不同处理组的均数间的差别基本来源有两个:
    (1) 随机误差,如测量误差造成的差异或个体间的差异,称为组内差异,用变量在各组的均值与该组内变量值之偏差平方和的总和表示, 记作SSw,组内自由度dfw。
    (2) 实验条件,实验条件,即不同的处理造成的差异,称为组间差异。用变量在各组的均值与总均值之偏差平方和表示,记作SSb,组间自由度dfb。
    总偏差平方和 SSt = SSb + SSw。
    组内SSw、组间SSb除以各自的自由度(组内dfw =n-m,组间dfb=m-1,其中n为样本总数,m为组数),得到其均方MSw和MSb,一种情况是处理没有作用,即各组样本均来自同一总体,MSb/MSw≈1。另一种情况是处理确实有作用,组间均方是由于误差与不同处理共同导致的结果,即各样本来自不同总体。那么,MSb>>MSw(远远大于)。
    MSb/MSw比值构成F分布。用F值与其临界值比较,推断各样本是否来自相同的总体。 [1]  

    3基本思想编辑

    方差分析的基本思想是:通过分析研究不同来源的变异对总变异的贡献大小,从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。 [1]  
    通过分析研究中不同来源的变异对总变异的贡献大小,从而确定可控因素对研究结果影响力的大小。
    举例分析:
    下面我们用一个简单的例子来说明方差分析的基本思想:
    如某 克山病区测得11例克山病患者和13名健康人的血磷值(mmol/L)如下:
    患者:0.84 1.05 1.20 1.20 1.39 1.53 1.67 1.80 1.87 2.07 2.11
    方差分析

      方差分析

    健康人:0.54 0.64 0.64 0.75 0.76 0.81 1.16 1.20 1.34 1.35 1.48 1.56 1.87
    问该地克山病患者与健康人的血磷值是否不同?
    从以上资料可以看出,24个患者与健康人的血磷值各不相同,如果用离均差平方和(SS)描述其围绕总均值的变异情况,则总变异有以下两个来源:
    组内变异,即由于 随机误差的原因使得各组内部的血磷值各不相等;
    组间变异,即由于克山病的影响使得患者与健康人组的血磷值均值大小不等。
    而且:SS总=SS组间+SS组内 v总=v组间+v组内
    如果用均方( 离差平方和除以 自由度)代替离差平方和以消除各组样本数不同的影响,则方差分析就是用组间均方去除组内均方的商(即F值)与1相比较,若F值接近1,则说明各组均值间的差异没有 统计学意义,若F值远大于1,则说明各组均值间的差异有统计学意义。实际应用中检验假设成立条件下F值大于特定值的概率可通过查阅F界值表(方差分析用)获得。
    利用统计学 软件分析结果如下:
    data a;
    input type num @@;
    cards;
    1 0.84 1 1.05 1 1.20 1 1.20 1 1.39 1 1.53 1 1.67 1 1.80 1 1.87 1 2.07 1 2.11
    2 0.54 2 0.64 2 0.64 2 0.75 2 0.76 2 0.81 2 1.16 2 1.20 2 1.34 2 1.35 2 1.48 2 1.56 2 1.87
    ;
    run;
    proc anova;
    class type;
    model num=type;
    means type;
    run;
     
    自由度
    离差平方和
    均方
    F 值
    P值
    SS组间(处理因素)
    1
    1.13418185
    1.13418185
    6.37
    0.0193(有统计学意义)
    SS组内(抽样误差)
    22
    3.91761399
    0.17807336
      
    总和
    23
    5.05179583
       

    4应用编辑

    方差分析主要用途:①均数差别的显著性检验,②分离各有关因素并估计其对总变异的作用,③分析因素间的交互作用,④方差齐性检验。 [1]  
    在科学实验中常常要探讨不同实验条件或处理方法对实验结果的影响。通常是比较不同实验条件下样本均值间的差异。例如医学界研究几种药物对某种疾病的疗效;农业研究土壤、肥料、日照时间等因素对某种农作物产量的影响;不同化学药剂对作物害虫的杀虫效果等,都可以使用方差分析方法去解决。 [1]  
    协方差分析

      协方差分析

    一个复杂的事物,其中往往有许多因素互相制约又互相依存。方差分析的目的是通过数据分析找出对该事物有显著影响的因素,各因素之间的 交互作用,以及显著影响因素的最佳水平等。方差分析是在可比较的 数组中,把数据间的总的“变差”按各指定的变差来源进行分解的一种技术。对变差的度量,采用 离差平方和。方差分析方法就是从总 离差平方和分解出可追溯到指定来源的部分离差平方和,这是一个很重要的思想。
    经过方差分析若拒绝了检验假设,只能说明多个样本 总体均值不相等或不全相等。若要得到各组均值间更详细的信息,应在方差分析的基础上进行多个 样本均值的两两比较。
    多个样本均值间两两比较
    多个样本均值间两两比较常用q检验的方法,即Newman-keuls法,其基本步骤为:建立检验假设-->样本均值排序-->计算q值-->查q界值表判断结果。
    多个实验组与一个对照组均值间两两比较
    多个 实验组与一个对照组均值间两两比较,若目的是减小第II类错误,最好选用最小显著差法(LSD法);若目的是减小第I类错误,最好选用新复极差法,前者查t界值表,后者查q'界值表。

    5主要内容编辑

    分析方法

    根据资料设计类型的不同,有以下两种方差分析的方法:
    1、对成组设计的多个 样本均值比较,应采用 完全随机设计的方差分析,即 单因素方差分析
    2、对 随机区组设计的多个样本均值比较,应采用配伍组设计的方差分析,即两因素方差分析。

    两类方差异同

    两类方差分析的异同:
    两类方差分析的基本步骤相同,只是变异的分解方式不同,对成组设计的资料,总变异分解为组内变异和组间变异(随机 误差),即:SS总=SS组间+SS组内,而对配伍组设计的资料,总变异除了分解为处理组变异和随机误差外还包括配伍组变异,即:SS总=SS处理+SS配伍+SS误差。

    基本步骤

    整个方差分析的基本步骤如下:
    1、建立检验假设;
    H0:多个样本总体均值相等;
    H1:多个样本总体均值不相等或不全等。
    检验水准为0.05。
    2、计算检验统计量F值;
    3、确定P值并作出推断结果。

    6假设检验编辑

    1. 方差分析的假定条件为:
    (1)各处理条件下的样本是 随机的。
    (2)各处理条件下的样本是 相互独立的,否则可能出现无法解析的输出结果。
    (3)各处理条件下的样本分别来自正态分布总体,否则使用非 参数分析。
    (4)各处理条件下的 样本方差相同,即具有齐效性。
    2. 方差分析的假设 检验
    假设有K个样本,如果原假设H0 样本均数都相同,K个样本有共同的方差σ ,则K个样本来自具有共同方差σ和相同均值的总体。
    如果经过计算,组间均方远远大于组内均方,则推翻原假设,说明样本来自不同的正态总体,说明处理造成均值的差异有 统计意义。否则承认原假设,样本来自相同总体,处理间无差异。
    应用条件:
    1. 各样本是相互独立的随机样本
    2. 各样本均来自正态分布总体
    3. 各样本的总体方差相等,即具有方差齐性
    4.在不满足正态性时可以用非参数检验 [2]  

    7分类举例编辑

    单因素

    单因素方差分析:
    (一)单因素方差分析概念理解步骤
    是用来研究一个 控制变量的不同水平是否对观测变量产生了显著影响。这里,由于仅研究单个因素对观测变量的影响,因此称为 单因素方差分析
    例如,分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响,考察地区差异是否影响妇女的生育率,研究学历对工资收入的影响等。这些问题都可以通过单因素方差分析得到答案。
    单因素方差分析的第一步是明确观测变量和 控制变量。例如,上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇女生育率、工资收入; 控制变量分别为施肥量、地区、学历。
    单因素方差分析的第二步是剖析观测变量的方差。方差分析认为:观测变量值的变动会受控制变量和 随机变量两方面的影响。据此, 单因素方差分析将观测变量总的 离差平方和分解为组间离差平方和和组内离差平方和两部分,用数学形式表述为:SST=SSA+SSE。
    单因素方差分析的第三步是通过比较观测变量总 离差平方和各部分所占的比例,推断 控制变量是否给观测变量带来了显著影响。
    (二)单因素方差分析原理总结
    容易理解:在观测变量总 离差平方和中,如果组间离差平方和所占比例较大,则说明观测变量的变动主要是由 控制变量引起的,可以主要由控制变量来解释,控制变量给观测变量带来了显著影响;反之,如果组间离差平方和所占比例小,则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的,不可以主要由控制变量来解释,控制变量的不同水平没有给观测变量带来显著影响,观测变量值的变动是由随机 变量因素引起的。
    (三)单因素方差分析基本步骤
    1、提出原假设:H0——无差异;H1——有显著差异
    2、选择 检验统计量:方差分析采用的检验统计量是 F统计量,即F值检验。
    3、计算检验统计量的 观测值和概率P值:该步骤的目的就是计算检验统计量的观测值和相应的概率P值。
    4、给定 显著性水平,并作出决策
    (四)单因素方差分析的进一步分析
    在完成上述 单因素方差分析的基本分析后,可得到关于 控制变量是否对观测变量造成显著影响的结论,接下来还应做其他几个重要分析,主要包括方差齐性检验、多重比较检验。
    1 、方差齐性检验
    是对 控制变量不同水平下各观测变量 总体方差是否相等进行检验。
    前面提到, 控制变量不同水平下观测变量总体方差无显著差异是方差分析的前提要求。如果没有满足这个前提要求,就不能认为各 总体分布相同。因此,有必要对方差是否齐性进行检验。
    SPSS 单因素方差分析中,方差齐性检验采用了方差同质性(homogeneity of variance) 检验方法,其原假设是:各水平下观测变量总体的方差无显著差异。
    2 、多重比较检验
    单因素方差分析的基本分析只能判断 控制变量是否对观测变量产生了显著影响。如果 控制变量确实对观测变量产生了显著影响,进一步还应确定控制变量的不同水平对观测变量的影响程度如何,其中哪个水平的作用明显区别于其他水平,哪个水平的作用是不显著的,等等。
    例如,如果确定了不同施肥量对农作物的产量有显著影响,那么还需要了解10公斤、20公斤、30 公斤肥料对农作物产量的影响 幅度是否有差异,其中哪种施肥量水平对提高农作物产量的作用不明显,哪种施肥量水平最有利于提高产量等。掌握了这些重要的信息就能够帮助人们制定合理的施肥方案,实现低投入高产出。
    多重比较检验利用了全部观测变量值,实现对各个水平下观测变量总体 均值的逐对比较。由于多重比较检验问题也是 假设检验问题,因此也遵循假设检验的基本步骤。

    检验统计量的构造方法

    (1 )LSD 方法
    LSD方法称为最小 显著性差异(Least Significant Difference)法。最小 显著性差异法的字画就体现了其检验敏感性高的特点,即水平间的均值只要存在一定程度的微小差异就可能被检验出来。
    正是如此,它利用全部观测变量值,而非仅使用某两组的 数据。LSD方法适用于各总体方差相等的情况,但它并没有对犯一类错误的概率问题加以有效控制。
    (2 )S-N-K 方法
    S-N-K方法是一种有效划分相似性子集的方法。该方法适合于各水平观测值个数相等的情况,
    3 、其他检验
    (1 )先验对比检验
    在多重比较检验中,如果发现某些水平与另外一些水平的均值差距显著,如有五个水平,其中x1、x2、x3与x4、x5的均值有显著差异,就可以进一步分析比较这两组总的均值是否存在显著差异,即1/3(x1+x2+x3)与1/2(x4+x5)是否有显著差异。这种事先指定各均值的系数,再对其 线性组合进行检验的分析方法称为先验对比检验。通过先验对比检验能够更精确地掌握各水平间或各相似性子集间均值的差异程度。
    (2 )趋势检验
    控制变量定序变量时,趋势检验能够分析随着控制变量 水平的变化,观测变量值变化的总体趋势是怎样的,是呈现线性变化趋势,还是呈二次、三次等多项式变化。通过趋势检验,能够帮助人们从另一个角度把握 控制变量不同水平对观测变量总体作用的程度。

    多因素

    多因素方差分析:
    (一)多因素方差分析基本思想
    多因素方差分析用来研究两个及两个以上 控制变量是否对观测变量产生显著影响。这里,由于研究多个因素对观测变量的影响,因此称为多因素方差分析。多因素方差分析不仅能够分析多个因素对观测变量的独立影响,更能够分析多个控制因素的交互作用能否对观测变量的分布产生显著影响,进而最终找到利于观测变量的最优组合。
    例如:
    分析不同品种、不同施肥量对农作物产量的影响时,可将农作物产量作为观测变量,品种和施肥量作为 控制变量。利用多因素方差分析方法,研究不同品种、不同施肥量是如何影响农作物产量的,并进一步研究哪种品种与哪种水平的施肥量是提高农作物产量的最优组合。
    (二)多因素方差分析的其他功能
    1、均值检验
    在SPSS中,利用多因素方差分析功能还能够对各 控制变量不同水平下观测变量的均值是否存在显著差异进行比较,实现方式有两种,即多重比较检验和对比检验。多重比较检验的方法与 单因素方差分析类似。对比检验采用的是单样本 t检验的方法,它将 控制变量不同水平下的观测变量值看做来自不同总体的样本,并依次检验这些总体的均值是否与某个指定的检验值存在显著差异。其中,检验值可以指定为以下几种:
    观测变量的均值(Deviation);
    第一水平或最后一个水平上观测变量的 均值(Simple);
    前一水平上观测变量的均值(Difference);
    后一水平上观测变量的均值(Helmert)。
    2、 控制变量交互作用的图形分析
    控制变量的交互作用可以通过图形直观分析。
    (三)多因素方差分析的进一步分析
    在上述 案例中,已经对广告形式、地区对销售额的影响进行了多因素方差分析,建立了饱和 模型。由分析可知:广告形式与地区的交互作用不显著,先进一步尝试非饱和模型,并进行均值比较分析、交互作用图形分析。
    1、建立非饱和模型
    2、均值比较分析
    3、控制变量交互作用的图形分析

    协方差

    协方差分析:
    (一) 协方差分析基本思想
    通过上述的分析可以看到,不论是 单因素方差分析还是多因素方差分析,控制因素都是可控的,其各个水平可以通过人为的努力得到控制和确定。但在许多实际问题中,有些控制因素很难人为控制,但它们的不同水平确实对观测变量产生了较为显著的影响。
    协方差分析

      协方差分析

    例如,在研究农作物产量问题时,如果仅考察不同施肥量、品种对农作物产量的影响,不考虑不同地块等因素而进行方差分析,显然是不全面的。因为事实上有些地块可能有利于农作物的生长,而另一些却不利于农作物的生长。不考虑这些因素进行分析可能会导致:即使不同的施肥量、不同品种农作物产量没有产生显著影响,但分析的结论却可能相反。
    再例如,分析不同的饲料对生猪增重是否产生显著差异。如果单纯分析 饲料的作用,而不考虑生猪各自不同的身体条件(如初始体重不同),那么得出的结论很可能是不准确的。因为体重增重的幅度在一定程度上是包含诸如初始体重等其他因素的影响的。
    (二)协方差分析的原理
    协方差分析将那些人为很难控制的控制因素作为 协变量,并在排除协变量对观测变量影响的条件下,分析 控制变量(可控)对观测变量的作用,从而更加准确地对控制因素进行评价。
    协方差分析仍然沿承方差分析的基本思想,并在分析观测变量变差时,考虑了 协变量的影响,人为观测变量的变动受四个方面的影响:即 控制变量的独立作用、控制变量的交互作用、协变量的作用和随机因素的作用,并在扣除协变量的影响后,再分析控制变量的影响。
    方差分析中的原假设是: 协变量对观测变量的线性影响是不显著的;在协变量影响扣除的条件下, 控制变量各水平下观测变量的总体均值无显著差异,控制变量各水平对观测变量的效应同时为零。检验 统计量仍采用F统计量,它们是各均方与随机因素引起的均方比。
    (三)协方差分析的应用举例
    为研究三种不同饲料对生猪体重增加的影响,将生猪随机分成三组各喂养不同的饲料,得到体重增加的数据。由于生猪体重的增加理论上会受到猪自身身体条件的影响,于是收集生猪喂养前体重的数据,作为自身身体条件的测量指标。
     
     

    数学·包含学科

    14 逻辑与基础
    1410:演绎逻辑学 1420:证明论 1430:递归论
    1440:模型论 1450:公理集合论 1460:数学基础
    1499:数理逻辑与数学基础其他学科   
     
    17 数论
    1710:初等数论 1720:解析数论 1730:代数数论
    1740:超越数论 1750:丢番图逼近 1760:数的几何
    1770:概率数论 1780:计算数论 1799:数论其他学科
     
    21 代数学
    2110:线性代数 2115:群论 2120:域论
    2125:李群 2130:李代数 2135:Kac-Moody代数
    2140:环论 2145:模论 2150:格论
    2155:泛代数理论 2160:范畴论 2165:同调代数
    2170:代数K理论 2175:微分代数 2180:代数编码理论
    2199:代数学其他学科   
     
    27 几何学
    2710:几何学基础 2715:欧氏几何学 2720:非欧几何学
    2725:球面几何学 2730:向量和张量分析 2735:仿射几何学
    2750:分数维几何 2740:射影几何学 2745:微分几何学
    2755:计算几何学 2799:几何学其他学科  
     
    31 拓扑学
    3110:点集拓扑学 3115:代数拓扑学 3120:同伦论
    3125:低维拓扑学 3130:同调论 3135:维数论
    3140:格上拓扑学 3145:纤维丛论 3150:几何拓扑学
    3155:奇点理论 3160:微分拓扑学 3199:拓扑学其他学科
     
    34 数学分析
    3410:微分学 3420:积分学 3430:级数论
    3499:数学分析其他学科   
     
    41 函数论
    4110:实变函数论 4120:单复变函数论 4130:多复变函数论
    4140:函数逼近论 4150:调和分析 4160:复流形
    4170:特殊函数论 4199:函数论其他学科  
     
    44 常微分方程
    4410:定性理论 4420:稳定性理论 4430:解析理论
    4499:常微分方程其他学科   
     
    47 偏微分方程
    4710:椭圆型偏微分方程 4720:双曲型偏微分方程 4730:抛物型偏微分方程
    4740:非线性偏微分方程 4799:偏微分方程其他学科  
     
    51 动力系统
    5110:微分动力系统 5120:拓扑动力系统 5130:复动力系统
    5199:动力系统其他学科   
     
    57 泛函分析
    5710:线性算子理论 5715:变分法 5720:拓扑线性空间
    5725:希尔伯特空间 5730:函数空间 5735:巴拿赫空间
    5740:算子代数 5745:测度与积分 5750:广义函数论
    5755:非线性泛函分析 5799:泛函分析其他学科  
     
    61 计算数学
    6110:插值法与逼近论 6120:常微分方程数值解 6130:偏微分方程数值解
    6140:积分方程数值解 6150:数值代数 6160:连续问题离散化方法
    6170:随机数值实验 6180:误差分析 6199:计算数学其他学科
     
    64 概率论
    6410:几何概率 6420:概率分布 6430:极限理论
    6440:随机过程 6450:马尔可夫过程 6460:随机分析
    6470:鞅论 6480:应用概率论 6499:概率论其他学科
     
    67 数理统计学
    6710:抽样理论 6715:假设检验 6720:非参数统计
    6725:方差分析 6730:相关回归分析 6735:统计推断
    6740:贝叶斯统计 6745:试验设计 6750:多元分析
    6755:统计判决理论 6760:时间序列分析 6799:数理统计学其他学科
     
    71 应用统计数学
    7110:统计质量控制 7120:可靠性数学 7130:保险数学
    7140:统计模拟 7199:应用统计数学其他学科  
     
    74 运筹学
    7410:线性规划 7415:非线性规划 7420:动态规划
    7425:组合最优化 7430:参数规划 7435:整数规划
    7440:随机规划 7445:排队论 7450:对策论
    7460:决策论 7455:库存论 7465:搜索论
    7470:图论 7475:统筹论 7480:最优化
    7499:运筹学其他学科   
     
    其他二级学科
    11:数学史 24:代数几何学 37:非标准分析
    54:积分方程 77:组合数学 81:离散数学
    84:模糊数学 87:应用数学 99:数学其他学科
     
    学科前数字为 国家标准学科代码

    数学生态学

     

     

    其他科技名词

    以上科技名词按拼音字母排序,排名不分先后
    参考资料
    • 1.  方差分析  .西南大学植物保护学院 [引用日期2013-06-23] .

    • 2.   刘仁权 .spss统计软件 .北京 :中国中医药出版社 ,2007 :50 .

    转载于:https://www.cnblogs.com/loving-wenqure/articles/3869028.html

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  • R语言方差分析ANOVA

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    单因素方差分析#用data frame的格式输入数据 medicine ( Response=c(7,5,3,1,6,5,3,3,7,9,9,9,4,3,4,3), Treatment=factor(c(rep(1,4),rep(2,4),rep(3,4),rep(4,4))) ) #各组样本大小 table(medicine$Treat
  • 首先来说说我们为什么要用ANOVA。在做一些实验时,我们通常会把样本分成不同的组,给予不同的对待。例如,我们想研究某种药物在不同剂量下对人们的作用。我们可能会将病人随机分为同等大小的三组,A组每天吃一片,B...
  • 问题描述:在比较两组独立正态分布样本的均值时用t test,那么比较多组样本的均值呢?要用one-way ANOVA
  • 统计学习:方差分析ANOVA2)

    千次阅读 2018-05-22 15:52:27
    方差分析ANOVA 方差分析,通常被叫做ANOVA,可以被应用于随机变量来自于多于两类样本的情景。 . 当我们只有两个样本来源的时候,我们可以使用T-test 来检验关于样本均值的假设,但当样本数量大于两个的时候,这...
  • 单因素方差分析(ANOVA)及其Python库

    千次阅读 2020-04-21 17:35:39
    单因素方差分析(one-way analysis of variance, ANOVA)用于确定3个及其以上的数据组之间的均值是否具有统计差异,此外,单因素方差分析也可以用于分析两组数据之间的统计差异,这种情况下等价于利用t检验比较独立...
  • 单因素方差分析是两个样本平均数比较的引伸,它是用来检验多个平均数之间的差异,从而确定一种因素对试验结果有无显著性影响的统计方法。 分析: 研究者想分析不同group间的Index得分差异,可以采用单因素方差分析...
  • T检验和ANOVA都是用来看样本之间均值是否相等,但是两者又有什么区别...从理论上讲,方差分析有两个前提条件,一是因变量Y需要满足正态性要求,二是满足方差齐检验。 方差不齐时可使用‘非参数检验’,同时还可使用wel
  • ANOVA原理参考:单因素方差分析(One-way Anova)实验数据:在随机划分的试验田中,施加三种复合肥(B,C,D),饲料填充物做空白对照(A),一段时间后,测定试验田内植株高度,比较数据有无不同,差异性是否具有统计学意义...
  • 方差分析ANOVA)用于选取最优波段

    千次阅读 2018-03-10 08:57:38
    方差分析(Analysis of Variance,简称ANOVA),又称“变异数分析”又称“F检验”,用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验。 由于各种因素的影响,研究所得的数据呈现波动状。造成波动的原因可分成两类,一是不...
  • 统计分析基础之方差分析ANOVA

    千次阅读 2018-10-01 19:51:38
    1)SPSS One-Way ANOVA Tutorial 2)One-way ANOVA The one-way analysis of variance (ANOVA) is used to determine whether there are any statistically significant differences between the means of three ...
  • 单因素方差分析(one-way analysis of variance, ANOVA)单因素方差分析常用于判断在多个分组中某个指标是否具有显著差异。 例: 这里有3组数字。 原假设:这3组数无显著差异。 from scipy import stats x = ...
  • R语言Welch方差分析(Welch’s ANOVA)实战:Welch方差分析是典型的单因素方差分析的一种替代方法,当方差相等的假设被违反时我们无法使用单因素方差分析,这时候Welch’s出来救场了 目录 R语言Welch方差分析...
  • 单因素方差分析(One Way ANOVA

    千次阅读 2018-11-29 20:54:00
    Analysis of variance (ANOVA) is a collection of statistical models and their associated estimation procedures (such as the "variation" among and between groups) used to analyze the differences am...

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