一、指标权重计算确定的困惑
 
相信很多写过或者正在写指标处理类论文的朋友都曾对如何计算指标权重充满困惑，到底是用熵值法，还是主成分分析法？或者其他各种看起来奥妙无穷却难以上手操作的神奇方法？好不容易确定要选用主成分分析法时又开始发愁要如何实现呢？听说过要可以用SPPS，可是又如何使用SPSS操作呢？用SPSS进行主成分分析之后又要如何得到最终的权重呢？接下来笔者将以一个实际的案例，带领大家一步步从SPSS入手，进行主成分分析，并利用主成分分析的结果最终得到各指标的权重值。
 
二、利用SPSS实现主成分分析
 
1、数据标准化
 （1）为什么要对数据进行标准化处理
 
在对数据进行主成分分析前，首先要对数据进行标准化，之所以要对数据进行标准化，是因为各种类别的数据间的度量不同，比如计算经济的指标，我们通常会选取地区GDP生产总值和第三产业产值在GDP中的比重，GDP产值以亿为单位，通常以千计或万计，而第三产业产值在GDP中的比重的取值范围在0~1之间，如何能够相提并论呢？能够因为前者的数据远远大于后者，而得出前者的指标更为重要的结论吗？显然是不行的，所以要进行主成分分析，首先要对数据进行标准化。
 
（2）数据标准化的方法
 
为什么要关心数据处理的方法呢？在实际操作中，笔者曾经遇到一个问题。笔者利用SPSS自带的数据标准化方法对数据进行了标准化处理，但在权重的计算过程中不断出现负值，后来笔者几次重新调整指标类别，终于得出了均为正值的权重。但笔者最终的目的是要进行耦合协调度，这时候出现了大量的负值，而耦合度及耦合协调度的取值范围应该在0~1之间，因此笔者开始从头探索出错的原因。终于，笔者找到了原因，那就是数据标准化的方法选取的不正确，因此笔者重新选择了极差法对数据重新进行标准化，并最终顺利得到了后续的结果。
 
本文中笔者将先直接利用SPSS对数据进行标准化，进行主成分分析，并计算权重。随后再利用极差法对数据进行标准化并进行主成分分析，计算权重。
 
在这里先列出极差法数据标准化的方法：
 首先要区分指标的正负向，即指标数值越大对主体产生的结果是越好还是越坏。
 
 如上图，城市绿地面积越大对城市环境越好，而工业废气排放量越大，对城市环境越坏，因此城市绿地面积为正向指标，而工业废气排放量为负向指标。
 
2.SPSS数据标准化
 （1）数据选取
 我们选择广东省2016年21个市级行政区域的五项指标数据，如下图所示：
 
 （2）SPSS中的数据标准化
 首先将数据直接粘贴到SPSS数据视图中：
 
 发现表头那里是自动生成的标号，在“变量视图”中进行修改：
 
 这时候在数据视图可以看到表头已经修改：
 
 这时候开始进行数据标准化处理，也很简单，点击【分析】——【描述统计】——【描述】
 将选中数据放入右侧“变量”，将左下角“将标准化得分另存为变量（Z）”，这一步一定不能缺少，否则无法在变量视图中展现标准化的数据：
 
 直接点击确定，不用管输入的内容，直接看回“数据视图”，发现新增加了五列数，这些就是用SPSS标准化处理后得到的数据。
 
 （3）主成分分析
 首先什么是主成分分析？如何进行主成分分析？由于数据之间可能会具有相关性，即可能表达的是同样的含义，因此需要的对这些相关性的数据进行降维处理，用较少的变量去解释原来资料中的大部分变量，将我们手中许多相关性很高的变量转化成彼此相互独立或不相关的变量。通常是选出比原始变量个数少，能解释大部分资料中变量的几个新变量，并用以解释资料的综合性指标。简单来说就是，把给定的一组相关变量通过线性变换转成另一组不相关的变量，这些新的变量按照方差依次递减的顺序排列。利用SPSS极大的简化了以上过程：
 点击【分析】——【降维】——【因子分析】
 
 将刚才标准化得到的数据项添加到“变量中”：
 
 接下来，点击：【描述】——选中“原始分析结果”，“系数”，“KMO和Bartlett球形度检验”（用来检测是否适合使用主成分分析）
 
 点击：【抽取】——【主成分分析】，其他选项默认
 
 点击：【旋转】——选择“最大方差法”，“旋转解”（也可以选择无，在某些情况下数据会出现异常结果，这时会需要进行矩阵旋转）
 
 点击：【得分】，选择“显示因子得分系数矩阵”（对于权重计算来说这必不可少）
 
 点击：【选项】，其他选项可默认
 
 当一切设置完毕之后，点击“确定”，就可以得到主成分分析结果了：
 我们主要关注【解释的总方差】和【成分矩阵】，这也是后面计算权重所不可缺少的。通常解释的总方差需要超过80%，说明提取的两个总方差对总体方差的贡献率高。从笔者分析的结果来说，好像并不适合进行主成分分析。这其实是由于数据标准化选择不可造成的，有的情况下权重计算还可以得出负值，这就是为什么要选择数据标准化的方法，而不能够只依靠SPSS中的数据标准化。相信这也困惑了很多的朋友，怀疑自己选取指标体系的合理性，在后面笔者使用极差法对数据进行标准化处理后，解释的总方差接近95%。
 
 成分矩阵在后面全之后结果的计算中，是不可或缺的。
 

 由于篇幅的原因，接下来利用极差法对数据进行标准化以及权重的计算将放到第二节进行。后面在得出指标权重后，笔者还将分享如何进行多个指标系统之间耦合度及耦合协调度的方法，相信这也曾经难倒了不少朋友，笔者希望能为大家解决一些障碍，降低各位的时间成本。下面是第二节权重计算及极差法标准化的链接：
 
超详细SPSS主成分分析计算指标权重（二：权重计算及极差法标准化）
 https://blog.csdn.net/qq_32925031/article/details/88562141

主成分分析能够解决多个指标之间存在的信息不统一或冗余等问题，是一种降维的统计方法。
 【主成分分析与因子分析】
 相同：两者都是降维和信息浓缩的方法。生成的新变量可代表原始的大部分变量，且相互独立。
 区别：主成分分析强调新变量贡献了多大比例的方差，不关心新变量是否有明确的实际意义；因子分析要求新变量具有实际意义，能解释原始变量的内在结构。
 以归一化后的11个时间段的t1~t31个变量为例：
 
 【分析-降维-因子分析】
 1.“描述”中勾选“系数”和“KMO和Bartlett球形度检验”：
 “系数”：输出变量之间的相关系数矩阵，可以直观的分析相关性。
 “KMO和Bartlett球形度检验”：用于定量检验变量之间是否具有相关性。
 KMO值：一般大于0.7就说明变量之间有相关性；
 Bartlett球形度检验：p值<0.001，有相关性。
 【PS：如果数据量小于变量数，“KMO和Bartlett球形度检验”将不会出现结果】
 
 2.“抽取”中勾选“碎石图”：可以直观了解输出结果。
 
 3.此时可点击“确认”，查看第一个主成分分析结果：
 
 “总计”：为成分对应的特征值，表示所解释的方差的大小；
 “方差百分比”：对应成分所包含的方差占总方差的百分比；
 一般来说，SPSS默认选择特征值大于1的成分作为主成分。
 根据表，可选1，2和3作为主成分。
 4.分析成分矩阵
 
 经分析，该成分矩阵不能很好的解释实际变量代表的含义，所以通过因子旋转获得更好的解释。【此步视具体情况而定】
 5.“旋转”中点击“最大方差法”，勾选“载荷图”
 
 6.“得分”中勾选“保存为变量”，“显示因子得分系数矩阵”
 
 7.得到因子旋转后的结果
 
 
 经过旋转，3个成分有了合理的解释。
 
 点击“保存为变量”后，SPSS会自动生成每个主成分的结果：
 
 该结果由以下公式可得：（可自行验证）
 FAC1=T1* 0.031+T2* 0.023+……+* T3
 FAC2，FAC3同理可得。
 其中，系数由“成分得分系数矩阵”可得，T1，T2，……为【原始变量标准正态变换后的变量】，【不是原始变量！】
 8.主成分得分和综合得分
 主成分n的得分=（特征值的算术平方根）*FACn
 综合得分F= （主成分1对应的方差百分比）/（总方差百分比）*FAC1+(主成分2对应的方差百分比）/（总方差百分比）*FAC2+(主成分3对应的方差百分比）/（总方差百分比）*FAC3
 即：F=（46.095/95.868）*FAC1+(43.374/95.868）*FAC2+(6.399/95.868）*FAC3

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文章目录
 
Ⅰ.主成分分析：
主成分与原始变量之间的关系：
PCA降维：
   
Ⅱ.SPSS主成分分析的步骤如下：
A.求指标对应的系数
1.方差图与成分矩阵：
2.指标系数=成分矩阵中的数据/sqrt(主成分相对应的特征值)
3.主成分的对应的系数=特征值方差的占比/所有特征值方差占比的总和
4.采用excel的公式计算指标系数
5.数据的归一化处理
a.操作如下：
b.得到归一化后的数据：
c.然后将数据导入excel进行得分项的输出并排序：
    
B.附spss的免安装文件地址：
  
 

 
Ⅰ.主成分分析：
 
​ 主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）， 将多个变量通过线性变换以选出较少个数重要变量的一种 多元统计分析方法。
 
主成分与原始变量之间的关系：
 
​ （1）主成分保留了原始变量绝大多数信息。
 
​ （2）主成分的个数大大少于原始变量的数目。
 
​ （3）各个主成分之间互不相关。
 
​ （4）每个主成分都是原始变量的线性组合。
 
PCA降维：
 
​ 假设我们所讨论的实际问题中，有p个指标，我们把这 p个指标看作p个随机变量，记为X1，X2，…，Xp，主 成分分析就是要把这p个指标的问题，转变为讨论p个 指标的线性组合的问题，而这些新的指标F1，F2，…， Fk(k≤p），按照保留主要信息量的原则充分反映原指标 的信息，并且相互独立。
 
​ 这种由讨论多个指标降为少数几个综合指标的过程在 数学上就叫做降维。主成分分析通常的做法是，寻求 原指标的线性组合Fi。
 
Ⅱ.SPSS主成分分析的步骤如下：
 
 
 
 

 
 

 
 
 
A.求指标对应的系数
 
1.方差图与成分矩阵：
 
 
2.指标系数=成分矩阵中的数据/sqrt(主成分相对应的特征值)
 
F1=0.353ZX1 +0.042ZX2- 0.041ZX3 +0.364ZX4 +0.367ZX5 +0.366ZX6 +0.352ZX7 +0.364ZX8 +0.298ZX9+0.355ZX10
 
F2 =0.175ZX1 - 0.741ZX2+0.609ZX3 - 0.004ZX4 +0.063ZX5- 0.061ZX6 - 0.022ZX7 +0.158ZX8 0.046ZX9 -0.115ZX10
 
(注：ZX1,ZX2,…ZX10均为归一化之后处理的数据，而不是原数据表格中的数值，目的在于统一不同的量纲。)
 
3.主成分的对应的系数=特征值方差的占比/所有特征值方差占比的总和
 
F=(72.2/84.5) F1 +(12.3/84.5) F2
 
4.采用excel的公式计算指标系数
 
将成分矩阵的数据列导入excel表格。
 
 
然后通过Excel命令：
 
​ =A1/sqrt(主成分的特征值)
 
得到结果：
 
 
5.数据的归一化处理
 
a.操作如下：
 
 
 
b.得到归一化后的数据：
 
 
c.然后将数据导入excel进行得分项的输出并排序：
 
​ 通过F1的计算公式得到F1标准下的测评得分。
 
 
​ F2同理可得；
 
​ 最终根据F的计算式得到最终测评得分排序。
 
 
B.附spss的免安装文件地址：
 
链接：https://pan.baidu.com/s/1euYKvEDu_LevjGweXKVCIw
 提取码：u2p8

三、权重计算
 
1、上节回顾
 
上一节我们利用SPSS中的数据标准化方法及主成分分析法，得出了“解释的总方差”和“成分矩阵”（如下图）
 接下来我们将利用主成分分析得出的数据计算指标权重
 
2、权重计算
 
（1）输入数据
 将主成分分析中得出的“成分矩阵”及特征根复制的Excel中：
 
 对应主成分分析的数据为：
 
 （2）计算线性组合中的系数
 公式为：标准化数/对应主成分特征根的平方根.。直接上图。
 
 
 为方便描述，线性组合中的系数使用Excel中的标号，如“工业废水排放量”对应的两个系数分别为C8和D8。
 
（3）计算综合得分模型中的系数
 公式为：（第一主成分方差x100xC8+第二个主成分方差x100xD8）/(第一主成分方差+第二主成分方差)
 注：建议先将方差x100再进行计算
 如图：蓝色和紫色为分别对应相乘的线性组合中的系数及主成分方差
 
 其中主成分方差的数据为：
 
 （4）权重计算（归一化）
 现在到了最后一步，计算权重，也即标准化，将所有指标进行归一化处理，使其权重综合为1。
 公式为：A指标权重=A指标综合得分模型系数/五指标综合得分模型之和。
 如图：
 
 到这里，我们就得出了最终的结果。
 注：蓝色框中的数据是相同的，笔者这样做是为了美观及防止出错。
 （5）完整示范
 为方便大家使用Excel进行权重计算，在这里将笔者自己完整的Excel表格分享给大家：
 
 （6）权重计算出负值的问题
 如果有朋友最终计算的结果出现了负值，说明不适用SPSS中的数据标准化处理，可以改用极差法重新标准化数据。下面介绍极差法，并用Excel进行实现。
 
四、极差法标准化
 
1、公式
 公式为：
 
 如何区分指标时正向还是负向？如笔者的五项指标中吗，废水、废气、固体废弃物越多对环境来说越糟糕，因此为负向指标；绿地面积，建成区绿化率值越大对环境来说越好，因此为正向指标。
 
2、使用Excel实现
 
由于公式直接输入比较困难，因此笔者建议先计算最小、最大值，再计算最大值与最小值的差，最后计算得出结果。
 （1）计算最小值。如图：
 
 （2）计算最大值
 
 （3）计算【max-min】
 
 (4)计算最终的标准化数值
 注意：这里要区分正负向指标
 首先是正向指标，如图：
 
 然后是负向指标：
 
 （5）0值的处理
 最终计算的可能出现0值，这时候为每一个0值加上0.01即可（如下图）。
 （6）完整示范
 
 到此，极差法标注化处理就结束了。前面利用SPSS进行标准化得出权重为负值的朋友可以用极差法对数据进行重新标准化，再重新利用SPSS进行主成分分析，然后计算权重。
 
下一节，我们将介绍耦合度及耦合协调度的计算方法，并使用Excel进行实现，实际计算出所有数值。