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  • Hilbert空间

    千次阅读 2019-09-06 06:29:38
    Hilbert空间 一百年前的数学界有两位泰斗:庞加莱和希尔伯特,而尤以后者更加出名(在我的汉字系统下希尔伯特居然是一个词组),我想主要原因是他曾经在1900年的世界数学家大会上提出了二十三个著名的希尔伯特问题,指引...

    Hilbert空间

    一百年前的数学界有两位泰斗: 庞加莱和希尔伯特, 而尤以后者更加出名(在我的汉字系统下希尔伯特居然是一个词组),  我想主要原因是他曾经在1900年的世界数学家大会上提出了二十三个著名的希尔伯特问题, 指引了本世纪前五十年数学的主攻方向,不过还有一个原因呢, 我想就是著名的 希尔伯特空间了.
       希尔伯特空间是老希在解决无穷维线性方程组时提出的概念, 原来的线性代数理论都是基于有限维欧几里得空间的, 无法适用, 这迫使老希去思考无穷维欧几里得空间, 也就是无穷序列空间的性质.
         大家知道, 在一个欧几里得空间R^n上,所有的点可以写成为:X=(x1, x2, x3,....xn).  那么类似的, 在一个无穷维欧几里得空间上点就是:X= (x1, x2, x3,....xn,.....), 一个点的序列.
         欧氏空间上有两个重要的性质,一是每个点都有一个范数(绝对值,或者说是一个点到原点的距离),||X||^2=∑xn^2, 可是这一重要性质在无穷维时被破坏了: 对于无穷多个xn, ∑xn^2可以不存在(为无穷大). 于是希尔伯特将所有∑xn^2为有限的点做成一个子空间,并赋以 X*X'=∑xn*xn' 作为两点的内积. 这个空间我们现在叫做 l^2, 平方可和数列空间,这是最早的希尔伯特空间了.
          注意到我只提了内积没有提范数,这是因为范数可以由点与自身的内积推出,所以内积是一个更加强的条件,有内积必有范数,反之不然.只有范数的空间叫作Banach空间,(有时间以后再慢慢讲) 。
          如果光是用来解决无穷维线性方程组的话泛函就不会被称为现代数学的支柱了. 
          在话说泛函---Hilbert空间中我只提到了一个很自然的泛函空间: 在无穷维欧氏空间上∑xn^2为有限的点. 这个最早的Hilbert space叫做l^2(小写的l 上标2,又叫小l2空间), 非常类似于有限维的欧氏空间.
           数学的发展可以说是一部抽象史. 最早的抽象大概是一个苹果和一头牛在 算术运算中可以都被抽象为"一", 也就是"数学"本身的起源(脱离具体物体的数字运算)了,而Hilbert space理论发展就正是如此: 内积 + 线性 这两个性质被抽象出来, 这样一大类函数空间就也成为了Hilbert space. 
         单位闭区间上所有平方可积的实函数(就是说 f(x)的平方在[0,1]上的积分存在且有限)按照函数的加法和数乘成为一个线性空间,然后我们定义内积如下:   <f,g>= ∫|f*g|dx,  范数f=根号<f,f>=根号∫(f)^2dx. 容易验证它们满足内积和范数的几个公理(有兴趣的学者可以随便翻翻任何一本泛函书). 这样把(平方可积)函数看作一个个的点,由函数线性运算和以上定义的内积 就构成一个函数空间,叫做L^2(大L2空间) 
           经过一些推理以后,可以证明(约化后的)L^2空间等价于小l^2空间(这个等价是指 一种完全保留线性运算和内积的一一映射,可以参考熊金城的《点集拓扑讲义》我在这里就不具体讲了).
          由于这个性质证起来简单,所以一般的泛函教科书都没有怎么重点提这个定理.  可是对我而言,它却是最有启发性的定理之一. 这个定理我认为是继笛卡儿发明了坐标系把几何和代数联系起来以后这方面最伟大的成就,因为有了这个定理,我们 就可以真正把一个函数也看作是某个空间里的一个点,而且在这个空间里也有距离:ρ(f,g)=‖f-g‖, 有内积用来定出基,也就是坐标系(L^2的坐标系有很多种,最出名和常用的是三角函数系), 换一句话说,我们可以用几何的工具来研究一族函数的性质了. 
          说了这么半天,恐怕很多人还不知道为什么这们学科叫做*泛函*分析.
          什么是函数? 最狭义的函数恐怕就是从实数(R^1)到实数的映射了.现在我们把定义域扩展为所有Hilbert space上的点(经常本身就是一个函数了,象L^2), 值域不变仍然为实数,这样的映射就是所谓的泛函数简称泛函了. 就像函数在实数理论里面占的地位一样,泛函在整个泛函分析里面也起到举足轻重的作用. 
            最简单而又不太trivial的实函数大概就是线性函数了,同样的,泛函分析也从线性泛函讲起.实数上有多少线性函数呢? 无穷多? 当然是:-), 那么有多么无穷多? 我们知道所有线性实函数都具有这种形式: f(x)=kx, k是一个实数. 而且反过来说,不同的k都对应着一个不同的线性实函数. 这样我们就有了一个从R^1上所有线性实函数到R^1自身的一一对应. 也就是说,这个函数空间和R^1自身等价. 
           对于Hilbert space也有类似的结论: 一个Hilbert space的对偶空间(就是所有它的线性连续泛函组成的空间)等价于它自身,进一步,所有的线性连续泛函  I(f): H---> R 可以表示成为内积的形式: I(f)=<f,g*> for some g* in H. (对了在这里再重新提一下,常用的平方可积函数空间L^2的内积是积分的形式: ∫f*g, f, gL^2, 所以所有的线性连续泛函就都是带一个因子g的积分了.)  这个Hilbert space上最根本的定理几乎把Hilbert space和Euclidean space(欧几里得空间)等同起来了,在那时大家都很高兴,毕竟Euclidean space的性质我们了解的最多,也最"好".
    狄立克莱(Dirichlet)原理就是在这个背景下提出的: 任何连续泛函在有界闭集上达到其极值. 这个结论在Euclidean space 上是以公理的形式规定下来的(参见数学分析的实数基本定理部分), 具体说来就叫做有界闭集上的连续函数必有极值,而且存在点使得这个函数达到它.
          在拓扑学上等价于局部紧性的这个东东,很可惜在一般的Hilbert space上却是不 
    成立的: 闭区间[0,1]上的L^2空间有一个很自然的连续泛函:I(f)=∫|f(x)|dx. 容易证明,它的范数‖I‖=sup|I(f)|/‖f‖=1.在这个L^2的单位闭球面(所有范数等于1 的f)上存在这么一个子序列: f_n(x)=n, 当x∈[0,1/n^2]; f_n(x)=0, 当x>1/n^2. 按照L^2上范数的定义,‖f_n‖=∫f^2(x)dx =1, for all n. 0≤I(f)==>I在这个有界闭集上的最小值≤0, 而且I(f_n)=1/n→0. 但是我们看到,当f_n弱收敛到常函数零时,它已经不在单位闭球面上了(严格的证明可以在一些课本上找到).

     

    . 定义

     线性完备内积空间称为Hilbert space. 
     线性(linearity): 对任意f, g∈H, a, b∈R, a*f+b*g仍然∈H.
     完备(completeness): 对H上的任意柯西序列必收敛于H上的某一点. ---相当于闭集的定义.
     内积(inner product): 一个从H×H-->R 的双线性映射,记为<f,g>. 它满足:i> <f,f>≥0, <f,f>=0 <==> f=0; ii>  <a*f,g>=a*<f,g>=<f,a*g> for any a in R; iii> <f+g,h>=<f,h>+<g,h>;
    iv>  <f,g>=<g,f>   ---在复内积里是复数共轭关系 
                                 
     内积诱导的范数(norm): f=√<f,f>, 它满足范数公理: 
    i>   ‖f‖≥0, ‖f‖=0<==> f=0;
    ii>  ‖a*f‖=a*‖f‖, for any a in R;
    iii> ‖f+g‖≥‖f‖+‖g‖   ---三角不等式. 
     范数诱导的距离(distance): ρ(f,g)=f-g, 它满足距离公理: 
    i>   ρ(f,g)≥0, ρ(f,g)=0 <==> f=0;
    ii>  ρ(f,g)=ρ(g,f)
    iii> ρ(f,g)+ρ(g,h)≥ρ(f,h).

     

     一个距离空间称为是紧的,如果每一个有界序列必有收敛子列.

     Hilbert space上的序列f_n强收敛于g, 如果‖f_n-g‖收敛于零;
     Hilbert space上的序列f_n称为是一个柯西序列,如果‖f_n-f_m‖收敛于零当m, n--->∞;
     Hilbert space上的序列f_n弱收敛于g,如果对于任何一个线性连续泛函I, |I(f_n)-I(g)|收敛于零.

     Hilbert space上的泛函I(f)称为线性,如果它满足: 对任意f, g∈H, a, b∈R,

     I(a*f+b*g)=a*I(f)+b*I(g);
     Hilbert space上的泛函I(f)称为有界,如果‖I‖有界;
     Hilbert space上的泛函I(f)称为连续,如果对于任意柯西序列f_n, I(f_n)是R 上的柯西序列.

     泛函I(f)的范数定义为 sup|I(f)|/‖f‖, for all f∈H. 它的一个等价定义是sup|I(f)|, for all f∈H such that ‖f‖=1, 也就是单位球面上的极大值. 
     从定义立刻可以看到, |I(f)|≤I(f)*f.

    . 定理

    1. 完备的线性赋范空间上线性泛函的有界性与连续性等价.  ---可以推广到算子, 并且Hilbert space是完备的线性赋范空间(Banach space)的一个特例.

    2. Hilbert space上线性连续泛函可以完全由内积表示,并且这种表示是一一对应的.

    3. Hilbert space上存在一组正交标准基(f_1, f_2, ....), 使得所有g∈H均有一个表示: g=∑a_n*f_n, 其中的a_n 叫做第n个投影或者坐标值, a_n=<g,f_n>.

    4. 自反空间(Hilbert space是其中一种)的有界序列必有弱收敛子序列,这个性质叫做弱紧性.

    5. 任何 H 上的闭线性子空间 M 均满足射影性质: 对任意点 f∈H, 存在 g∈M, h∈M的线性补空间, 使得 f=g+h.

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  • 希尔伯特空间填充曲线D3图,用于表示二维空间上的一维长度。 现场示例: : 快速开始 import HilbertChart from 'hilbert-chart'; 要么 const HilbertChart = require('hilbert-chart'); 甚至 [removed][removed]...
  • 话说泛函——Hilbert空间

    千次阅读 2020-12-22 03:58:23
    一百年前的数学界有两位泰斗:...希尔伯特空间是希尔伯特在解决无穷维线性方程组时提出的概念,原来的线性代数理论都是基于有限维欧几里得空间的,无法适用,这迫使希尔伯特去思考无穷维欧几里得空间,也就是无...

    一百年前的数学界有两位泰斗:庞加莱和希尔伯特,而尤以后者更加出名,我想主要原因是他曾经在1900年的世界数学家大会上提出了二十三个著名的希尔伯特问题,指引了本世纪前五十年数学的主攻方向,不过还有一个原因呢,我想就是著名的希尔伯特空间了。

    希尔伯特空间是希尔伯特在解决无穷维线性方程组时提出的概念,原来的线性代数理论都是基于有限维欧几里得空间的,无法适用,这迫使希尔伯特去思考无穷维欧几里得空间,也就是无穷序列空间的性质。

    大家知道,在一个欧几里得空间R^n上,所有的点可以写成为:X=(x1,x2,x3,...,xn)。那么类似的,在一个无穷维欧几里得空间上点就是:X=(x1,x2,x3,....xn,.....),一个点的序列。

    欧氏空间上有两个重要的性质,一是每个点都有一个范数(绝对值,或者说是一个点到原点的距离),||X||^2=∑xn^2,可是这一重要性质在无穷维时被破坏了:对于无穷多个xn,∑xn^2可以不存在(为无穷大)。于是希尔伯特将所有∑xn^2为有限的点做成一个子空间,并赋以 X*X'=∑xn*xn' 作为两点的内积。这个空间我们现在叫做 l^2,平方和数列空间,这是最早的希尔伯特空间了。

    注意到我只提了内积没有提范数,这是因为范数可以由点与自身的内积推出,所以内积是一个更加强的条件,有内积必有范数,反之不然。只有范数的空间叫做Banach空间,(以后有时间再慢慢讲:-) 。

    如果光是用来解决无穷维线性方程组的话,泛函就不会被称为现代数学的支柱了。

    Hilbert空间中我只提到了一个很自然的泛函空间:在无穷维欧氏空间上∑xn^2为有限的点。这个最早的Hilbert space叫做l^2(小写的l 上标2,又叫小l2空间),非常类似于有限维的欧氏空间。

    数学的发展可以说是一部抽象史。最早的抽象大概是一个苹果和一头牛在算术运算中可以都被抽象为“一”,也就是“数学”本身的起源(脱离具体物体的数字运算)了,而Hilbert space理论发展就正是如此:“内积 + 线性”这两个性质被抽象出来,这样一大类函数空间就也成为了Hilbert space。

    单位闭区间上所有平方可积的实函数(就是说 f(x)的平方在[0,1]上的积分存在且有限)按照函数的加法和数乘成为一个线性空间,然后我们定义内积如下:= ∫|f*g|dx,范数‖f‖=根号=根号∫(f)^2dx。容易验证它们满足内积和范数的几个公理(有兴趣的同学可以随便翻翻任何一本泛函书)。这样把(平方可积)函数看作一个个的点,由函数线性运算和以上定义的内积就构成一个函数空间,叫做L^2(大L2空间)。

    经过一些推理以后,可以证明(约化后的)L^2空间等价于小l^2空间(这个等价是指一种完全保留线性运算和内积的一一映射,我在这里就不具体讲了)。

    由于这个性质证起来简单,所以一般的泛函教科书都没有怎么重点提这个定理。可是对我而言,它却是最有启发性的定理之一。这个定理我认为是继笛卡尔发明了坐标系把几何和代数联系起来以后这方面最伟大的成就,因为有了这个定理,我们就可以真正把一个函数也看作是某个空间里的一个点,而且在这个空间里也有距离:ρ(f,g)=‖f-g‖,有内积用来定出基,也就是坐标系(L^2的坐标系有很多种,最出名和常用的是三角函数系),换一句话说,我们可以用几何的工具来研究一族函数的性质了。

    说了这么半天,恐怕很多人还不知道为什么这们学科叫做*泛函*分析。

    什么是函数? 最狭义的函数恐怕就是从实数(R^1)到实数的映射了。现在我们把定义域扩展为所有Hilbert space上的点(经常本身就是一个函数了,象L^2),值域不变仍然为实数,这样的映射就是所谓的泛函数简称泛函了。就像函数在实数理论里面占的地位一样,泛函在整个泛函分析里面也起到举足轻重的作用。

    最简单而又不太trivial的实函数大概就是线性函数了,同样的,泛函分析也从线性泛函讲起.(球星是个例外,我当时被迫从非线性泛函课开始,那个飞机坐的...) 实数上有多少线性函数呢? 无穷多? 当然是:-),那么有多么无穷多? 我们知道所有线性实函数都具有这种形式:f(x)=kx,k是一个实数。而且反过来说,不同的k都对应着一个不同的线性实函数。这样我们就有了一个从R^1上所有线性实函数到R^1自身的一一对应。也就是说,这个函数空间和R^1自身等价。

    对于Hilbert space也有类似的结论:一个Hilbert space的对偶空间(就是所有它的线性连续泛函组成的空间)等价于它自身,进一步,所有的线性连续泛函I(f): H---> R 可以表示成为内积的形式: I(f)= for some g* in H。(对了在这里再重新提一下,常用的平方可积函数空间L^2的内积是积分的形式: ∫f*g,f,g∈L^2,所以所有的线性连续泛函就都是带一个因子g的积分了.) 这个Hilbert space上最根本的定理几乎把Hilbert space和Euclidean space(欧几里得空间)等同起来了,在那时大家都很高兴,毕竟Euclidean space的性质我们了解的最多,也最“好”。

    狄立克莱(Dirichlet)原理就是在这个背景下提出的:任何连续泛函在有界闭集上达到其极值。这个结论在Euclidean space上是以公理的形式规定下来的(参见数学分析的实数基本定理部分),具体说来就叫做有界闭集上的连续函数必有极值,而且存在点使得这个函数达到它。

    在拓扑学上等价于局部紧性的这个东东,很可惜在一般的Hilbert space上却是不成立的:闭区间[0,1]上的L^2空间有一个很自然的连续泛函:I(f)=∫|f(x)|dx。容易证明,它的范数‖I‖=sup|I(f)|/‖f‖=1.在这个L^2的单位闭球面(所有范数等于1 的f)上存在这么一个子序列:f_n(x)=n,当x∈[0,1/n^2]; f_n(x)=0,当x>1/n^2。按照L^2上范数的定义,‖f_n‖=∫f^2(x)dx =1,for all n。0≤I(f)==>I在这个有界闭集上的最小值≤0,而且I(f_n)=1/n→0。但是我们看到,当f_n弱收敛到常函数零时,它已经不在单位闭球面上了(严格的证明可以在一些课本上找到)。

    一、定义

    线性完备内积空间称为Hilbert space。

    线性(linearity):对任意f,g∈H,a,b∈R,a*f+b*g仍然∈H。

    完备(completeness):对H上的任意柯西序列必收敛于H上的某一点。——相当于闭集的定义。

    内积(inner product):一个从H×H-->R 的双线性映射,记为。它满足:

    i)≥0,=0 <==> f=0;

    ii)=a*= for any a in R;

    iii)=+;

    iv)= ——在复内积里是复数共轭关系

    内积诱导的范数(norm):‖f‖=√,它满足范数公理:

    i)‖f‖≥0,‖f‖=0<==> f=0;

    ii)‖a*f‖=a*‖f‖,for any a in R;

    iii)‖f+g‖≥‖f‖+‖g‖——三角不等式。

    范数诱导的距离(distance):ρ(f,g)=‖f-g‖,它满足距离公理:

    i)ρ(f,g)≥0,ρ(f,g)=0 <==> f=0;

    ii)ρ(f,g)=ρ(g,f)

    iii)ρ(f,g)+ρ(g,h)≥ρ(f,h)。

    一个距离空间称为是紧的,如果每一个有界序列必有收敛子列。

    Hilbert space上的序列f_n强收敛于g,如果‖f_n-g‖收敛于零;

    Hilbert space上的序列f_n称为是一个柯西序列,如果‖f_n-f_m‖收敛于零当m,n--->∞;

    Hilbert space上的序列f_n弱收敛于g,如果对于任何一个线性连续泛函I,|I(f_n)-I(g)|收敛于零。

    Hilbert space上的泛函I(f)称为线性,如果它满足:对任意f,g∈H,a,b∈R,I(a*f+b*g)=a*I(f)+b*I(g);

    Hilbert space上的泛函I(f)称为有界,如果‖I‖有界;

    Hilbert space上的泛函I(f)称为连续,如果对于任意柯西序列f_n,I(f_n)是R 上的柯西序列。

    泛函I(f)的范数定义为 sup|I(f)|/‖f‖,for all f∈H。它的一个等价定义是sup|I(f)|,for all f∈H such that ‖f‖=1,也就是单位球面上的极大值。

    从定义立刻可以看到,|I(f)|≤‖I(f)‖*‖f‖。

    二、定理

    1、完备的线性赋范空间上线性泛函的有界性与连续性等价。——可以推广到算子,并且Hilbert space是完备的线性赋范空间(Banach space)的一个特例。

    2、Hilbert space上线性连续泛函可以完全由内积表示,并且这种表示是一一对应的。

    3、Hilbert space上存在一组正交标准基(f_1,f_2,....),使得所有g∈H均有一个表示:g=∑a_n*f_n,其中的a_n 叫做第n个投影或者坐标值,a_n=。

    4、自反空间(Hilbert space是其中一种)的有界序列必有弱收敛子序列,这个性质叫做弱紧性。

    5、任何H上的闭线性子空间M均满足射影性质:对任意点 f∈H,存在 g∈M,h∈M的线性补空间,使得 f=g+h。

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  • D3布局使用连续的Hilbert空间填充曲线可视化距离变量。 这是一个。 另请参阅 。 快速开始 import d3Hilbert from 'd3-hilbert'; 要么 d3.hilbert = require('d3-hilbert'); 甚至 [removed][removed] 然后 const ...
  • 在前面的讨论中对“收敛”的描述是很粗糙的,在时间序列分析中,常常在Hilbert空间下定义收敛。Hilbert空间是完备的内积空间,加上距离的概念后就可以类比实数系收敛定义空间中元素的收敛。

    四、Hilbert空间

    1.平稳序列的导出—— L 2 ( X ) L^2(X) L2(X)空间

    在时间序列的预测中,常常会用历史信息对将来进行预测,最常见的预测就是线性预测,即
    X n + k = a 1 X 1 + a 2 X 2 + ⋯ + a n X n X_{n+k}=a_1X_1+a_2X_2+\cdots+a_nX_n Xn+k=a1X1+a2X2++anXn
    的形式。如果进行预测的项数是有限的,则这种求和是有意义的,但如果推广到无限,需要确保这样的求和是有意义的(即收敛),在这里,我们一般指均方收敛,至于为什么,在下面的论证过程中将体现。

    为了研究这样的线性和,我们不妨对平稳序列 { X t } \{X_t\} {Xt}构造一个空间对线性和进行研究:
    L 2 ( X ) = { ∑ j = 1 k a j X t j ∣ a j ∈ R , t j ∈ Z , 1 ≤ j ≤ k , k ∈ N + } L^2(X)=\left\{ \sum_{j=1}^k a_jX_{t_j}\bigg| a_j\in\R,t_j\in\Z,1\le j\le k,k\in\N_+ \right\} L2(X)={j=1kajXtjajR,tjZ,1jk,kN+}
    也就是说 L 2 ( X ) L^2(X) L2(X)是关于平稳序列 { X t } \{X_t\} {Xt}有限维线性和构成的空间,并且它是一个线性空间,因为对任何 X , Y , Z ∈ L 2 ( X ) , a , b ∈ R X,Y,Z\in L^2(X),a,b\in\R X,Y,ZL2(X),a,bR,都有

    • 加法交换律与结合律: X + Y = Y + X ∈ L 2 ( X ) , ( X + Y ) + Z = X + ( Y + Z ) X+Y=Y+X\in L^2(X),(X+Y)+Z=X+(Y+Z) X+Y=Y+XL2(X),(X+Y)+Z=X+(Y+Z)
    • 零元素存在性: 0 ∈ L 2 ( X ) , X + 0 = X , X + ( − X ) = 0 0\in L^2(X),X+0=X,X+(-X)=0 0L2(X),X+0=X,X+(X)=0
    • 数乘分配律与结合律: a ( X + Y ) = a X + a Y , ( a + b ) X = a X + b X , a ( b X ) = ( a b ) X a(X+Y)=aX+aY,(a+b)X=aX+bX,a(bX)=(ab)X a(X+Y)=aX+aY,(a+b)X=aX+bX,a(bX)=(ab)X

    如果引入内积,可以将 L 2 ( X ) L^2(X) L2(X)扩展成一个内积空间,这里内积定义为 ⟨ X , Y ⟩ = E ( X Y ) \langle X,Y\rangle={\rm E}(XY) X,Y=E(XY),追加满足

    • ⟨ X , Y ⟩ = ⟨ Y , X ⟩ , ⟨ a X + b Y , Z ⟩ = a ⟨ X , Z ⟩ + b ⟨ Y , Z ⟩ \langle X,Y\rangle=\langle Y,X\rangle,\langle aX+bY,Z\rangle=a\langle X,Z\rangle+b\langle Y,Z\rangle X,Y=Y,X,aX+bY,Z=aX,Z+bY,Z
    • ⟨ X , X ⟩ ≥ 0 \langle X,X\rangle\ge 0 X,X0,且 ⟨ X , X ⟩ = 0 \langle X,X\rangle =0 X,X=0当且仅当 X = 0 X=0 X=0以概率1成立;
    • 柯西不等式: ∣ ⟨ X , Y ⟩ ∣ ≤ [ ⟨ X , X ⟩ ⟨ Y , Y ⟩ ] 1 / 2 |\langle X,Y\rangle|\le [\langle X,X\rangle \langle Y,Y\rangle]^{1/2} X,Y[X,XY,Y]1/2

    有了内积以后就可以定义距离为 ∣ ∣ X − Y ∣ ∣ = ( ⟨ X − Y , X − Y ⟩ ) 1 / 2 ||X-Y||=(\langle X-Y,X-Y\rangle)^{1/2} XY=(XY,XY)1/2,使其成为距离空间,追加满足

    • ∣ ∣ X − Y ∣ ∣ = ∣ ∣ Y − X ∣ ∣ ≥ 0 ||X-Y||=||Y-X||\ge 0 XY=YX0,且 ∣ ∣ X − Y ∣ ∣ = 0 ||X-Y||=0 XY=0当且仅当 X = Y X=Y X=Y以概率1成立;
    • 三角不等式: ∣ ∣ X − Y ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ X − Z ∣ ∣ + ∣ ∣ Z − Y ∣ ∣ ||X-Y||\le ||X-Z||+||Z-Y|| XYXZ+ZY

    这样一步步将 L 2 ( X ) L^2(X) L2(X)从线性空间扩充成内积空间、距离空间,说明平稳序列有限和具有诸多良好的性质,不过我们的目标是将有限和向无限和扩展,而无限中,最重要的就是收敛,为此我们需要定义一些关于随机变量收敛的概念。

    2.二阶矩空间—— L 2 L^2 L2空间

    平稳序列总是二阶矩有限的,因此我们可以把平稳序列纳入到一类更宽广的空间中,用 L 2 L^2 L2表示二阶矩有限的随机变量的全体 L 2 = { X : E X 2 < ∞ } L^2=\{X:{\rm E}X^2<\infty\} L2={X:EX2<},我们希望能够在 L 2 L^2 L2中找到关于收敛的定义。首先显然 L 2 L^2 L2也是内积空间和距离空间,并且 L 2 ( X ) L^2(X) L2(X) L 2 L^2 L2的子空间,因此在 L 2 ( X ) L^2(X) L2(X)中定义的概念在 L 2 L^2 L2中依然适用。

    因为我们之前定义了距离,从直观上来看,一列随机变量收敛于一个随机变量,体现为它们的“距离”无限接近,因此我们可以直观地将收敛定义为: lim ⁡ n → ∞ ∣ ∣ ξ n − ξ 0 ∣ ∣ = 0 ⇔ ξ n ⟶ m . s . ξ 0 \lim\limits_{n\to \infty}||\xi_n-\xi_0||=0\Leftrightarrow \xi_n\stackrel{\rm m.s.}\longrightarrow \xi_0 nlimξnξ0=0ξnm.s.ξ0。因为这里 ∣ ∣ ξ n − ξ ∣ ∣ 2 = E ( ξ n − ξ ) 2 ||\xi_n-\xi||^2={\rm E}(\xi_n-\xi)^2 ξnξ2=E(ξnξ)2,所以这里的收敛指均方收敛

    可以发现,这个收敛定义与实数列的收敛极其相似,因此考虑实数系的连续性与完备性,引入基本列的定义:如果 n , m → ∞ n,m\to \infty n,m ∣ ∣ ξ n − ξ m ∣ ∣ → 0 ||\xi_n-\xi_m||\to 0 ξnξm0,就称 { ξ n } \{\xi_n\} {ξn} L 2 L^2 L2中的基本列或Cauchy列。类比实数的Cauchy列,Cauchy列与收敛是等价的,而在 L 2 L^2 L2内,这个性质依然是成立的:

    定理:如果 { ξ n } \{\xi_n\} {ξn} L 2 L^2 L2中的基本列,则存在唯一的 ξ ∈ L 2 \xi\in L^2 ξL2 a . s . {\rm a.s.} a.s.意义下),使得 ξ n ⟶ m . s . ξ \xi_n\stackrel {\rm m.s.}\longrightarrow \xi ξnm.s.ξ

    由此定理,我们知道内积空间 L 2 L^2 L2中每一个基本列都有极限,而且极限也在这个内积空间中,我们就称内积空间 L 2 L^2 L2完备的。更一般地,我们将完备的内积空间(如 L 2 L^2 L2)称为Hilbert空间。

    然而 L 2 ( X ) L^2(X) L2(X)并不一定能保证完备性,因此,我们取 L 2 L^2 L2中包含 L 2 ( X ) L^2(X) L2(X)最小闭子空间 L ˉ 2 ( X ) \bar L^2(X) Lˉ2(X),这样, L ˉ 2 ( X ) \bar L^2(X) Lˉ2(X)就是一个Hilbert空间,在 L ˉ 2 ( X ) \bar L^2(X) Lˉ2(X)中研究随机变量的收敛性更合适。

    3.无穷滑动和系数条件放宽——平方可和

    要证明这个结论,首先需要提出内积连续性定理:

    内积的连续性定理:在内积空间中,如果 ∣ ∣ ξ n − ξ ∣ ∣ → 0 , ∣ ∣ η n − η ∣ ∣ → 0 ||\xi_n-\xi||\to0,||\eta_n-\eta||\to 0 ξnξ0,ηnη0,则有

    1. ∣ ∣ ξ n ∣ ∣ → ∣ ∣ ξ ∣ ∣ ||\xi_n||\to ||\xi|| ξnξ
    2. ⟨ ξ n , η n ⟩ → ⟨ ξ , η ⟩ \langle \xi_n,\eta_n\rangle\to \langle \xi,\eta\rangle ξn,ηnξ,η

    证明:

    对1,由三角不等式有
    ∣ ∣ ξ n ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ ξ n − ξ ∣ ∣ + ∣ ∣ ξ ∣ ∣ , ∣ ∣ ξ ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ ξ n − ξ ∣ ∣ + ∣ ∣ ξ n ∣ ∣ , ||\xi_n||\le ||\xi_n-\xi||+||\xi||,\quad ||\xi||\le ||\xi_n-\xi||+||\xi_n||, ξnξnξ+ξ,ξξnξ+ξn,
    得到
    ∣ ∣ ξ ∣ ∣ ≤ lim ⁡ n → ∞ ∣ ∣ ξ n ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ ξ ∣ ∣ , lim ⁡ n → ∞ ∣ ∣ ξ n ∣ ∣ = ∣ ∣ ξ ∣ ∣ . ||\xi||\le\lim_{n\to \infty}||\xi_n||\le ||\xi||,\quad \lim_{n\to \infty}||\xi_n||=||\xi||. ξnlimξnξ,nlimξn=ξ.
    对2,由柯西不等式有
    ∣ ⟨ ξ n , η n ⟩ − ⟨ ξ , η ⟩ ∣ = ∣ ⟨ ξ n , η n − η ⟩ + ⟨ ξ n − ξ , η ⟩ ∣ ≤ ∣ ⟨ ξ n , η n − η ⟩ ∣ + ∣ ⟨ ξ n − ξ , η ⟩ ∣ ≤ ∣ ∣ ξ n ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ η n − η ∣ ∣ + ∣ ∣ ξ n − ξ ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ η ∣ ∣ → 0 , n → ∞ . \begin{aligned} |\langle\xi_n,\eta_n\rangle-\langle\xi,\eta\rangle|=&|\langle \xi_n,\eta_n-\eta\rangle+\langle \xi_n-\xi,\eta\rangle|\\ \le&|\langle\xi_n,\eta_n-\eta\rangle|+|\langle\xi_n-\xi,\eta\rangle|\\ \le&||\xi_n||\cdot||\eta_n-\eta||+||\xi_n-\xi||\cdot||\eta||\\ \to&0,\quad n\to \infty. \end{aligned} ξn,ηnξ,η=ξn,ηnη+ξnξ,ηξn,ηnη+ξnξ,ηξnηnη+ξnξη0,n.

    这条定理说明,在内积空间中,只要两个向量距离足够近,则它们的长度也足够接近;只要两个向量有收敛的趋势,则它们的内积也有收敛的趋势。

    现在可以证明对于平方可和的 { a j } \{a_j\} {aj}和零均值白噪声 { ε t } ∼ W N ( 0 , σ 2 ) \{\varepsilon_t\}\sim {\rm WN}(0,\sigma^2) {εt}WN(0,σ2),无穷滑动和 X t = ∑ j = − ∞ ∞ a j ε t − j X_t=\sum\limits_{j=-\infty}^\infty a_j\varepsilon_{t-j} Xt=j=ajεtj是存在的。令 ξ n = ∑ j = − n n a j ε t − j \xi_n=\sum\limits_{j=-n}^n a_j\varepsilon_{t-j} ξn=j=nnajεtj,只要证明 { ξ n } \{\xi_n\} {ξn}是基本列,就能说明 ξ n ⟶ m . s . X t \xi_n\stackrel{\rm m.s.}\longrightarrow X_t ξnm.s.Xt是存在的。不妨设 m < n m<n m<n,当 m → ∞ m\to \infty m时,
    ∣ ∣ ξ n − ξ m ∣ ∣ 2 = ∣ ∣ ∑ j = m + 1 n a j ε t − j + ∑ j = − n − m − 1 a j ε t − j ∣ ∣ 2 = E ( ∑ j = m + 1 n a j ε t − j + ∑ j = − n − m − 1 a j ε t − j ) 2 = σ 2 [ ∑ j = m + 1 n a j 2 + ∑ j = − n − m − 1 a j 2 ] → 0. \begin{aligned} &||\xi_n-\xi_m||^2\\ =&||\sum_{j=m+1}^na_j\varepsilon_{t-j}+\sum_{j=-n}^{-m-1}a_j\varepsilon_{t-j}||^2\\ =&{\rm E}\left(\sum_{j=m+1}^na_j\varepsilon_{t-j}+\sum_{j=-n}^{-m-1}a_j\varepsilon_{t-j} \right)^2\\ =&\sigma^2\left[\sum_{j=m+1}^na_j^2+\sum_{j=-n}^{-m-1}a_j^2 \right]\\ \to&0. \end{aligned} ===ξnξm2j=m+1najεtj+j=nm1ajεtj2E(j=m+1najεtj+j=nm1ajεtj)2σ2[j=m+1naj2+j=nm1aj2]0.
    这就说明 { ξ n } \{\xi_n\} {ξn}是基本列,存在极限 ξ \xi ξ,定义 X t = ξ X_t=\xi Xt=ξ即有 ξ n ⟶ m . s . X t \xi_n\stackrel{\rm m.s.}\longrightarrow X_t ξnm.s.Xt,这就证明了 X t X_t Xt是有定义的。接下来利用内积的连续性求 X t X_t Xt的均值与自协方差函数。均值有
    E X t = ⟨ X t , 1 ⟩ = lim ⁡ n → ∞ ⟨ ξ n , 1 ⟩ = lim ⁡ n → ∞ E ξ n = 0 , {\rm E}X_t=\langle X_t ,1\rangle=\lim\limits_{n\to \infty}\langle \xi_n,1\rangle =\lim\limits_{n\to \infty}{\rm E}\xi_n=0, EXt=Xt,1=nlimξn,1=nlimEξn=0,
    自协方差函数有
    γ k = E ( X t X t + k ) = lim ⁡ n → ∞ ⟨ ∑ j = − n n a j ε t − j , ∑ j = − n n a j ε t + k − j ⟩ = lim ⁡ n → ∞ E [ ∑ j = − n n a t ε t − j ∑ j = − n n a j ε t + k − j ] = σ 2 ∑ j = − ∞ ∞ a j a j + k . \begin{aligned} \gamma_k=&{\rm E}(X_tX_{t+k}) \\=&\lim_{n\to \infty}\left\langle\sum_{j=-n}^n a_j\varepsilon_{t-j},\sum_{j=-n}^na_j\varepsilon_{t+k-j} \right\rangle\\ =&\lim_{n\to \infty}{\rm E}\left[\sum_{j=-n}^na_t\varepsilon_{t-j}\sum_{j=-n}^na_j\varepsilon_{t+k-j} \right]\\ =&\sigma^2\sum_{j=-\infty}^\infty a_ja_{j+k}. \end{aligned} γk====E(XtXt+k)nlimj=nnajεtj,j=nnajεt+kjnlimE[j=nnatεtjj=nnajεt+kj]σ2j=ajaj+k.
    这就将无穷滑动和的系数条件放宽到了平方可和

    4.复值随机变量与时间序列

    在进行下一步的学习之前,我们需要先对复值时间序列进行了解,先定义复随机变量为 Z = X + i Y Z=X+{\rm i}Y Z=X+iY,这里 X , Y X,Y X,Y都是实随机变量。如果 E X , E Y {\rm E}X,{\rm E}Y EX,EY都存在,则称 Z Z Z的数学期望存在,为 E Z = E X + i E Y {\rm E}Z={\rm E}X+{\rm iE}Y EZ=EX+iEY。定义二阶矩为 E ∣ Z ∣ 2 = E X 2 + E Y 2 {\rm E}|Z|^2={\rm E}X^2+{\rm E}Y^2 EZ2=EX2+EY2,如果 E ∣ Z ∣ 2 < ∞ {\rm E}|Z|^2<\infty EZ2<,就称 Z Z Z是二阶矩有限的复值随机变量。

    H H H表示二阶矩有限的复值随机变量全体, Y ˉ \bar Y Yˉ表示 Y Y Y的共轭,定义内积为 ⟨ X , Y ⟩ = E ( X Y ˉ ) \langle X,Y\rangle={\rm E}(X\bar Y) X,Y=E(XYˉ),则 H H H是复数域上的Hilbert空间。

    按照时间次序排列的复值随机变量 { Z n } \{Z_n\} {Zn}序列称为复值时间序列,并且如果满足
    E Z n = μ ∈ C , C o v ( Z n , Z m ) = E [ ( Z n − μ ) ( Z m − μ ‾ ) ] = γ n − m , {\rm E}Z_n=\mu\in \mathbb C,\quad {\rm Cov}(Z_n,Z_m)={\rm E}[(Z_n-\mu)(\overline{Z_m-\mu})]=\gamma_{n-m}, EZn=μC,Cov(Zn,Zm)=E[(Znμ)(Zmμ)]=γnm,
    { Z n } \{Z_n\} {Zn}称为复值平稳序列, { γ k } \{\gamma_k\} {γk} { Z n } \{Z_n\} {Zn}的自协方差函数。

    同理也可以定义复值零均值白噪声,只需要 μ = 0 , γ k = E ( Z n Z n + k ) = σ 2 δ n − m \mu=0,\gamma_k={\rm E}(Z_{n}Z_{n+k})=\sigma^2\delta_{n-m} μ=0,γk=E(ZnZn+k)=σ2δnm即可。

    现在来验证一个重要复值序列: Y ∼ U ( − π , π ) , ε n = e i n Y Y\sim U(-\pi,\pi),\varepsilon_n=e^{{\rm i}nY} YU(π,π),εn=einY。求其均值,有
    E ε n = ∫ − π π e i n y 1 2 π d y = 1 2 π ∫ − π π cos ⁡ ( n y ) + i sin ⁡ ( n y ) d y = δ n . {\rm E}\varepsilon_n=\int_{-\pi}^\pi e^{{\rm i}ny}\frac 1{2\pi}{\rm d}y=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\cos(ny)+{\rm i}\sin (ny){\rm d}y=\delta_n. Eεn=ππeiny2π1dy=2π1ππcos(ny)+isin(ny)dy=δn.
    除了在 n = 0 n=0 n=0处,其他地方都是零均值的。再求其自协方差函数,
    E ( ε n ε ˉ m ) = 1 2 π ∫ − π π e i ( n − m ) y d y = δ n − m . \begin{aligned} {\rm E}(\varepsilon_n\bar \varepsilon_m)=\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi e^{{\rm i}(n-m)y}{\rm d}y=\delta_{n-m}. \end{aligned} E(εnεˉm)=2π1ππei(nm)ydy=δnm.
    注意,克罗内克函数的这种表现形式在以后也会经常出现,即 2 π δ n = ∫ − π π e i n x d x 2\pi\delta_n=\int_{-\pi}^\pi e^{{\rm i}nx}{\rm d}x 2πδn=ππeinxdx

    回顾总结

    1. Hilbert空间指的是完备的内积空间,在时间序列分析中,我们常常取二阶矩存在的实随机变量构成的空间 L 2 L^2 L2作为研究的对象,它就是一个Hilbert空间。
    2. L 2 L^2 L2是一个线性空间,为了将其往内积空间、距离空间扩展,定义两个向量的内积为 ⟨ X , Y ⟩ = E ( X Y ) \langle X,Y\rangle={\rm E}(XY) X,Y=E(XY),距离为 ∣ ∣ X − Y ∣ ∣ = ⟨ X − Y , X − Y ⟩ ||X-Y||=\sqrt{\langle X-Y,X-Y\rangle} XY=XY,XY ,因此,在 L 2 L^2 L2定义的收敛性指均方收敛。
    3. L 2 L^2 L2 ξ n → ξ \xi_n\to \xi ξnξ指的是 ∣ ∣ ξ n − ξ ∣ ∣ → 0 ||\xi_n-\xi||\to 0 ξnξ0,类比实数系定义有柯西收敛准则,即基本列必有极限,这里基本列指 n , m → ∞ n,m\to \infty n,m ∣ ∣ ξ n − ξ m ∣ ∣ → 0 ||\xi_n-\xi_m||\to 0 ξnξm0
    4. 在内积空间中有内积的连续性,即 ξ n → ξ , η n → η \xi_n\to \xi,\eta_n\to \eta ξnξ,ηnη时, ∣ ∣ ξ n ∣ ∣ → ∣ ∣ ξ ∣ ∣ , ⟨ ξ n , η n ⟩ → ⟨ ξ , η ⟩ ||\xi_n||\to ||\xi||,\langle\xi_n,\eta_n\rangle\to \langle\xi,\eta\rangle ξnξ,ξn,ηnξ,η。由此可以证明当 { a j } \{a_j\} {aj}平方可和时,无穷滑动和在均方收敛意义下有意义,完成了无穷滑动和的扩展。
    5. 对于一个具体的平稳过程 { X t } \{X_t\} {Xt},用 L 2 ( X ) L^2(X) L2(X)表示它的有限线性组合构成的空间,它是 L 2 L^2 L2的子集;用 L ˉ 2 ( X ) \bar L^2(X) Lˉ2(X)表示 L 2 L^2 L2中包括 L 2 ( X ) L^2(X) L2(X)的最小子空间,它是Hilbert空间。
    6. 复值随机变量 Z = X + i Y Z=X+{\rm i}Y Z=X+iY的期望是 E X + i E Y {\rm E}X+{\rm iE}Y EX+iEY,协方差是 E [ ( X − μ X ) ( Y − μ Y ‾ ) ] {\rm E}[(X-\mu_X)(\overline{Y-\mu_Y})] E[(XμX)(YμY)]。由复值随机变量构成的时间序列称为复值时间序列,类似地,有复值平稳序列与复值白噪声。
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  • 内积空间,赋范空间和Hilbert空间

    千次阅读 2019-07-21 12:02:29
    完备空间是指一种度量空间,它的所有柯西序列(如果有的话),都收敛在这个空间自己里面。有一种直观的形容方法就是完备空间“没有孔”(内部不缺点),“不缺皮”(边界不缺点),从这一点上讲,一个空间完备同一个...

    引言:

    • 我们通常说某某某,不加定义的说一些事情是因为我们之间约定俗成了一些背景、一些底色。比方说:“人总有一死,或重于泰山,或轻于鸿毛”,这句话之所以成立,是因为在现阶段,我们基于对过去历史的总结和对于世间万物的观察所得出的结论,这其实就是我们说那句话的背景或者是底色。
      但是游戏中的人就不是人吗,他能被虚拟世界创造出来,他能在虚拟世界中生长,他可以说话,他可以战斗,他可以喜怒哀乐,他也可能由于种种原因而死去,从而我们可以认为他就是虚拟世界中的人。
      以上我们不难发现,肉体人和虚拟人同样是人,只是这两类人在不同的环境或背景设置中,理解这一点很重要,因为我们讨论问题时,总是要明白话题的背景或边界在哪,不明白这个底色就去讨论,意义不大,因为某件事成立总是有范围的,脱离范围去应用很可能会失败。

    Cauchy序列(Cauchy sequence)

    以下描述来自链接:wangxiaojun911的描述,该博主描述的很好,咱就借用下,部分地方略有改动,请博主谅解。


    一组数列由无穷多个元素组成,每个元素都有一个唯一的序号。柯西序列是这样一组数列,它的元素随着序号增加而接近,即最终收敛

    给定一个数列,如何判断它是否是柯西序列?方法是先去掉前 N N N个元素( N N N是有限的数),再看剩下的元素有没有这样一种规律:任何两个元素之差不大于任意指定的正数。

    这种序列有无穷多个元素,我们可以举一个具体的例子。比如一个序列: { X 1 , X 2 , X 3 , ⋯ &ThinSpace; } \left\{X_1,X_2,X_3,\cdots\right\} {X1,X2,X3,}其中 X 1 = 1 , X n + 1 = X n 2 + 1 X n X_1=1,X_{n+1}=\frac{X_n}{2}+\frac{1}{X_n} X1=1,Xn+1=2Xn+Xn1这个序列其实是: { 1 , 3 2 , 17 12 , ⋯ &ThinSpace; } \left\{1,\frac{3}{2},\frac{17}{12},\cdots\right\} {1,23,1217,}。可以证明这个数列最后收敛到一个无理数: 2 \sqrt 2 2 。既然它收敛于某个具体的数( 2 \sqrt 2 2 ),那么当我们去掉有限个数之后,剩下的数都无穷接近于 2 \sqrt 2 2 ,当然任何两个元素之差不大于任意正数,于是能确定这是柯西序列。

    我们可知,柯西序列的定义有赖于如何定义距离。在上述例子里,我们把两个数之差定义为它们的距离,当然距离还有其他的定义方法。只有定义了距离,柯西序列才有意义。换句话说,只有在度量空间中柯西序列才有意义。

    柯西序列的重要作用是定义“完备空间”。完备空间是指一种度量空间,它的所有柯西序列(如果有的话),都收敛在这个空间自己里面。有一种直观的形容方法就是完备空间“没有孔”(内部不缺点),“不缺皮”(边界不缺点),从这一点上讲,一个空间完备同一个集合的闭包是类似的。这一类似还体现在以下定理中:完备空间的闭子集是完备的。完备空间在数学分析里面有重大作用。


    作者:wangxiaojun911
    来源:CSDN
    原文:https://blog.csdn.net/wangxiaojun911/article/details/6205569

    内积空间

    简言之,内积空间就是给定一种符合内积定义的三条公理的映射函数来定义此空间的内积规则的向量空间。
    再简言之,就是对于某向量空间定义了某种称之为起内积作用的映射函数的向量空间。

    定义:若对所有 x , y , z ∈ V \bm x,\bm y,\bm z\in V x,y,zV α , β ∈ K \alpha,\beta\in \mathbb K α,βK,映射函数 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : V × V ↦ K \langle·,·\rangle:V\times V\mapsto\mathbb K ,:V×VK满足以下三条公理:

    • 共轭对称性: ⟨ x , y ⟩ = ⟨ y , x ⟩ ∗ \langle\bm x,\bm y\rangle=\langle\bm y,\bm x\rangle^* x,y=y,x
    • 第一变元的线性性: ⟨ α x + β y , z ⟩ = α ⟨ x , z ⟩ + β ⟨ y , z ⟩ \langle\alpha\bm x+\beta\bm y,\bm z\rangle=\alpha\langle\bm x,\bm z\rangle+\beta\langle\bm y,\bm z\rangle αx+βy,z=αx,z+βy,z
    • 非负性: ⟨ x , x ⟩ ≥ 0 \langle\bm x,\bm x\rangle\geq0 x,x0,并且 ⟨ x , x ⟩ = 0 ⇔ x = 0 \langle\bm x,\bm x\rangle=0\Leftrightarrow\bm x=\bm 0 x,x=0x=0

    则称 ⟨ x , y ⟩ \langle\bm x,\bm y\rangle x,y为向量 x \bm x x y \bm y y的内积, V V V为内积向量空间。
    两个向量之间的内积可以度量他们之间的夹角: cos ⁡ θ = ⟨ x , y ⟩ ⟨ x , x ⟩ ⟨ y , y ⟩ \cos \theta=\frac{\langle\bm x,\bm y\rangle}{\sqrt{\langle\bm x,\bm x\rangle}\sqrt{\langle\bm y,\bm y\rangle}} cosθ=x,x y,y x,y
    所以一定要明白,满足定义里面规则的映射函数都可以称之为内积。

    赋范向量空间

    通俗的理解,就是指定一种范数类型给该向量空间。
    满足下面三条公理的 p ( x ) p(\bm x) p(x)映射函数都可以称为向量空间 V V V的范数:

    • 非负性: p ( x ) ≥ 0 , 并 且 p ( x ) = 0 ⇔ x = 0 p(\bm x)\geq0,并且p(\bm x)=0\Leftrightarrow \bm x=\bm 0 p(x)0,p(x)=0x=0
    • 齐次性: p ( c x ) = ∣ c ∣ p ( x ) p(c\bm x)=|c|p(\bm x) p(cx)=cp(x)对所有的复数 c c c成立;
    • 三角不等式: p ( x + y ) ≤ p ( x ) + p ( y ) p(\bm x+\bm y)\leq p(\bm x)+p(\bm y) p(x+y)p(x)+p(y)

    并称 V V V为赋范向量空间(normed vector space)。

    Euclidean范数

    • 最常用的的向量范数为Euclidean范数或者 L 2 L_2 L2范数,计作 ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ 2 ||·||_2 2,定义为 ∣ ∣ x ∣ ∣ E = ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 = x 1 2 + ⋯ + x m 2 ||\bm x||_E=||\bm x||_2=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_m^2} xE=x2=x12++xm2 L 2 L_2 L2范数可以直接度量一个向量 x \bm x x的长度 s i z e ( x ) = ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 size(\bm x)=||\bm x||_2 size(x)=x2,两个向量之间的距离 d ( x , y ) = ∣ ∣ x − y ∣ ∣ 2 d(\bm x,\bm y)=||\bm x-\bm y||_2 d(x,y)=xy2以及一个向量的 ϵ \epsilon ϵ邻域(其中 ϵ &gt; 0 \epsilon&gt;0 ϵ>0) N ϵ ( x ) = { y ∣   ∣ ∣ y − x ∣ ∣ 2 ≤ ϵ } N_\epsilon(\bm x)=\{\bm y|\ ||\bm y-\bm x||_2\leq\epsilon\} Nϵ(x)={y yx2ϵ}

      • n n n阶复向量 x = [ x 1 , ⋯ &ThinSpace; , x n ] T , y = [ y 1 , ⋯ &ThinSpace; , y n ] T \bm x=[x_1,\cdots,x_n]^T,\bm y=[y_1,\cdots,y_n]^T x=[x1,,xn]T,y=[y1,,yn]T之间的内积 ⟨ x , y ⟩ = x H y = ∑ i = 1 n x i ∗ y i \langle\bm x,\bm y\rangle=\bm x^H\bm y=\sum^n_{i=1}x_i^*y_i x,y=xHy=i=1nxiyi称为典范内积。采用典范内积的有限维向量空间 R n \mathbb R^n Rn或者 C n \mathbb C^n Cn习惯上称为 n n n阶Euclidean空间或者Euclidean n n n空间。(请注意:是采用典范内积的向量空间才称为Euclidean空间)

    酋不变性

    • ∣ ∣ U x ∣ ∣ = ∣ ∣ x ∣ ∣ ||\bm U\bm x||=||\bm x|| Ux=x对所有向量 x ∈ C m \bm x\in\mathbb C^{m} xCm和所有的酋矩阵 U ∈ C m × m \bm U\in\mathbb C^{m\times m} UCm×m恒成立,则称范数 ∣ ∣ x ∣ ∣ ||\bm x|| x是酋不变的。其中,酋矩阵 U H = U − 1 \bm U^H=\bm U^{-1} UH=U1
    • Euclidean范数是酋不变的。
      证明:显然, U x \bm U\bm x Ux是一个向量,则 U x \bm U\bm x Ux向量的典范内积为 ∣ ∣ U x ∣ ∣ 2 2 = ( U x ) H U x = x H U H U x ||\bm U\bm x||_2^2=(\bm U\bm x)^H\bm U\bm x=\bm x^H\bm U^H\bm U\bm x Ux22=(Ux)HUx=xHUHUx,因为 U \bm U U是单位标准正交向量,即 U H U = I \bm U^H\bm U=\bm I UHU=I,故 x H U H U x = x H x = ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 2 \bm x^H\bm U^H\bm U\bm x=\bm x^H\bm x=||\bm x||^2_2 xHUHUx=xHx=x22,故Euclidean范数是酋不变范数。

    完备性和Hilbert空间

    完备性

    若对于向量空间 V V V中的每一个Cauchy序列 { v n } n = 1 ∞ ⊂ V \{\bm v_n\}^\infty_{n=1}\subset V {vn}n=1V,在向量空间 V V V内存在一个元素 v \bm v v,使得 l i m n → ∞ v n → n \underset{n\to\infty}{\rm lim}\bm v_n\to\bm n nlimvnn,即 V V V内的每一个Cauchy序列都收敛(convergence)在向量空间 V V V内,则称向量空间 V V V为完备向量空间。
    特别地,多对于每一个Cauchy序列 { v n } n = 1 ∞ ⊂ V \{\bm v_n\}^\infty_{n=1}\subset V {vn}n=1V,在 V V V内存在一个元素 v \bm v v,使得依范数收敛 l i m n → ∞ ∣ ∣ v n ∣ ∣ → ∣ ∣ n ∣ ∣ \underset{n\to\infty}{\rm lim}||\bm v_n||\to||\bm n|| nlimvnn满足,则称向量空间 V V V为相对于范数完备的向量空间。

    注意,以上定义中,向量空间 V V V首先是赋范向量空间。

    Banach空间

    若对于赋范向量空间 V V V中的每一个Cauchy序列 { v n } n = 1 ∞ ⊂ V \{\bm v_n\}^\infty_{n=1}\subset V {vn}n=1V,在向量空间 V V V内存在一个元素 v \bm v v,使得 l i m n → ∞ v n → n \underset{n\to\infty}{\rm lim}\bm v_n\to\bm n nlimvnn,则称赋范向量空间 V V V为Banach空间。

    一个有限维的赋范线性向量空间一定是Banach空间,因为他会自动满足Cauchy序列的收敛条件。

    Hilbert空间

    一个相对于范数完备即满足范数收敛 l i m n → ∞ ∣ ∣ v n ∣ ∣ → ∣ ∣ n ∣ ∣ \underset{n\to\infty}{\rm lim}||\bm v_n||\to||\bm n|| nlimvnn的赋范向量空间 V V V称为Hilbert空间。
    以下存疑:
    显然,一个Hilbert空间一定是Banach空间,但是一个Banach空间不一定是Hilbert空间。这是因为,范数收敛一定满足极限收敛,但是极限收敛不一定范数收敛,因为范数的定义方式很多。

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