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  • 实对称矩阵对角化,有两篇论文,内含Matlab实现代码,在文章里的,可以直接写下来使用。测试过,还可以。
  • 基于MATLAB的实对称矩阵对角化.pdf
  • 实对称矩阵对角化

    2021-10-10 21:39:28
    矩阵与角形相似(P−1AP=ΛP^{-1}AP=\LambdaP−1AP=Λ)的条件 定理1 AAA 相似于角形 Λ\LambdaΛ 的充要条件是 AAA 有 nnn 个线性无关的特征向量。 推论 ...所有的实对称矩阵都能对角化!!! 向量

    矩阵与对角形相似( P − 1 A P = Λ P^{-1}AP=\Lambda P1AP=Λ)的条件

    定理1
    A A A 相似于对角形 Λ \Lambda Λ 的充要条件是 A A A n n n 个线性无关的特征向量

    推论
    如果 A A A n n n 个互异的特征值,则 A A A 一定相似于对角形 Λ \Lambda Λ。其中 Λ \Lambda Λ 对角线为 A A A 的特征值。

    定理2
    A ∼ Λ A \sim \Lambda AΛ 的充分必要条件是对每一个 K K K 重的特征根的基础解系有 K K K 个解

    所有的实对称矩阵都能对角化!!!

    实对称矩阵的对角化

    n n n 阶实对称矩阵,它的 n n n 个特征值都是实数,并且它的特征向量都是实向量。

    定理3
    实对称矩阵 A A A 的不同特征值对应的特征向量一定正交。(对称: A T = A A^T=A AT=A)

    正交相似
    如果 A A A B B B 为同阶的方阵,如果存在正交矩阵 P P P,使得 P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P1AP=B,则 A A A B B B 正交相似。

    定理4
    假设 A A A 是实对称矩阵,一定存在正交矩阵 Q Q Q 使得 Q − 1 A Q = Λ Q^{-1}AQ = \Lambda Q1AQ=Λ

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  • 基于MATLAB的复对称矩阵对角化.pdf
  • 今天晚上王小民同学问了助教姐姐一个问题,为什么一个一般的矩阵对角化的时候,我们不用做正交单位化,对实对称矩阵对角化的时候却要做呢?这是一个很好的问题,所以和大家分享一下。 最后的结论就是...

    今天晚上王小民同学问了助教姐姐一个问题,为什么对一个一般的矩阵对角化的时候,我们不用做正交单位化,对实对称矩阵对角化的时候却要做呢?这是一个很好的问题,所以和大家分享一下。


    最后的结论就是:如果不做正交单位话,我们一样可以通过U(把特征向量按照列写成的矩阵),把一个实对称矩阵对角化为以它的特征值为对角元的对角矩阵

    我们知道,对应一个特征值的特征向量乘以任何一个非零的系数,仍然还是对应着这个特征值的特征向量,如果一个特征值对应多个特征向量,那在它们张成的空间里找出同样数量的线性不相关的向量,也都是这个特征值的特征向量,所以说特征向量并不唯一,也就是说这里的U是不唯一的

    而对于一个实对称矩阵,它的属于不同特征值的特征向量天生就是正交的,这使得我们只要在每个特征值内部选取合适的互相正交的特征向量,就能保证所有的特征向量都正交。而我们刚刚说过,特征向量乘以一个系数,仍然还是特征向量。所以,对于实对称矩阵来说,我们完全可以在诸多的U中选出一个特殊的Q,让Q的每一个列向量都互相正交而且长度为1。这时我们就惊喜的发现,这样的相当于由一组标准正交基当做列向量组成的矩阵Q,正是一个正交矩阵

    于是,我们就清楚的知道了,对实对称矩阵对角化的时候,正交单位化不是必须的,只有当我们想在实对称矩阵的诸多U里选取一个正交矩阵Q时,才需要做。正交矩阵有很多很好的性质,于是乎想从U里找到一个Q也变得情有可原了不是?


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  • 实对称矩阵正交对角化的流程

    千次阅读 2020-11-15 16:45:21
    摘自《矩阵论教程》第2版,张绍飞,p52

    在这里插入图片描述
    摘自《矩阵论教程》第2版,张绍飞,p52

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  • 实对称矩阵的相似对角化

    千次阅读 2020-05-18 10:11:28
    每个元素都为实数的对角矩阵称为实对称矩阵实对称矩阵必定相似于一个对角矩阵(对角线以外的元素全为0的矩阵),即存在可逆矩阵P,使得,且存在正交矩阵Q,使得 实对称矩阵化为对角矩阵的步骤: 1.找出全部特征...

    每个元素都为实数的对角矩阵称为实对称矩阵,实对称矩阵必定相似于一个对角矩阵(对角线以外的元素全为0的矩阵),即存在可逆矩阵P,使得P^{-1}AP=\Lambda,且存在正交矩阵Q,使得Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda

    实对称矩阵化为对角矩阵的步骤

    1.找出全部特征值

    2.找出每个特征值对应的方程组,(\lambda_{i} E-A)x=0的基础解系,如果\lambda _{i}为k重根,那么基础解系必定有k个线性无关的特征向量。

    3.如果2中,存在某个特征值对应的多个特征向量不正交,那么就要正交化那k个向量,具体做法一般为施密特正交化(不同特征值的向量之间必定正交,而且这一条只对实对称矩阵成立)将\alpha _{i1},\alpha _{i2}...\alpha _{ik}转化为\beta _{i1},\beta _{i2}...\beta _{ik}

    4.将所有正交的特征向量单位化

    5.将n个特征向量合并为正交矩阵,记为

    Q=[\beta _{11}^{o},\beta _{12}^{o}...\beta _{1k_{1}}^{o},\beta _{21}^{o},\beta _{22}^{o}...\beta _{2k_{2}}^{o}...\beta _{r1}^{o},\beta _{r2}^{o}...\beta _{rk_{r}}^{o}]

    最终\dpi{150} Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda

    注,对角矩阵里元素的顺序与Q对应,例如Q中,前三个向量对应的特征值分别为1,1,2,那么对角线上前三个元素也必定为1,1,2

     

    且对于其他n阶矩阵,如果有n个不同的特征值,或是k重特征值的k个对应的k个特征向量线性无关,则也可以相似对角化,方法与上文类似,即求出特征值,特征向量(不需要单位化,只需要内部的数没有过公约数了即可)。特征向量拼在一起组成P,\dpi{150} P^{-1}AP=\Lambda,特诊向量的顺序和特征值顺序对应

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  • 实对称矩阵对角化的证明

    千次阅读 2020-04-01 19:38:20
    对于实对称矩阵AAA,有J=P−1APJ=P^{-1}APJ=P−1AP,JJJ为AAA的若当标准型。 而 JT=PTAP−T=PTPP−1APP−1(P−1)T=(PTP)J(PTP)−1J^{T}=P^{T}AP^{-T}=P^TPP^{-1}APP^{-1}(P^{-1})^T=(P^TP)J(P^TP)^{-1}JT=PTAP−T=...
  • 不一定,可以直接用一般矩阵的方法求其角阵,即可以不用正交单位化,直接用【p逆Ap=A的角阵】来做,书上一上来就说用正交阵来对角化就是淡村为了体现这个方法而已,但是还是有好处的,比如正交单位化后,要求p逆...
  • 基于Matlab的实对称矩阵对角化

    千次阅读 2013-06-18 20:16:30
    假设两个实对称矩阵A和B,如果存在一个可逆的矩阵X, XAX'=B,已知A和B,知道怎么用matlab求X? 本例中数据如下: A=[0.287402 0 0  0 0.483209 0  0 0 0.000025]; B=[0.287402 -0.028039 -0.0000727  -0....
  • 如果一个方阵 相似于矩阵,也就是说存在一个可逆矩阵 使得 是矩阵,则就被称为可以相似对角化的。下面,我们就通过矩阵的相似对角化:来简单从数学角度解释下面几个问题:为什么要进行矩阵的相似对角化?...
  • 实对称矩阵对角化证明

    千次阅读 2018-04-09 00:42:00
    在极分解的证明中使用过此定理,证明于此。 埃尔米特矩阵是指复对称矩阵实对称矩阵是其特例。 转载于:https://www.cnblogs.com/zhixingr/p/8750210.html...
  • 对于一个实对称矩阵不仅可以通过一个可逆矩阵相似对角化,还可以通过一个正交矩阵来相似对角化实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交,而且实对称矩阵的特征值全为实数。在考研中,我们一定要重点掌握会求一...
  • 实对称矩阵相似对角化Matlab程序,用到的朋友可以下载看看。
  • 1. 任一实对称矩阵,存在正交矩阵,满足矩阵的连乘等于对角矩阵 2. 求正交矩阵与对角矩阵的计算步骤 3. 实对称矩阵的正交矩阵与对角矩阵的求解示例 4. 两个实对称矩阵相似的充要条件是它们有...
  • 实对称矩阵一定可以对角化

    万次阅读 多人点赞 2020-06-28 11:11:44
    实对称矩阵一定可以对角化. 最近看共轭梯度下降的时候看到有人的推导里面用到了这个命题. 虽然以前学过, 但是学得很渣, 所以没有自己想过这个命题怎么样成立的. 现在将这些证明过程梳理一下. 实对称矩阵含有n个根 ...
  • 想到了一点东西: 命题:实对称矩阵 ⇒\Rightarrow⇒ 正交对角化 逆否命题: 若一个矩阵不能正交对角化,那它一定不是对称矩阵。 然后想了想,是否存在 可以正交对角化,但它不是对称的矩阵的呢? 首先,如果可...
  • 实对称矩阵必可正交对角化证明

    万次阅读 2018-08-05 13:36:26
    n阶矩阵A可正交对角化的充分条件是A是实对称矩阵,即若A是实对称矩阵则A必可正交对角化。 首先,有以下定理: 若的特征值为,且,则存在正交矩阵Q,使A相似于如下三角矩阵: 证明如下(数学归纳法): 设n*n阶...
  • 实对称矩阵一定可以相似对角化

    千次阅读 2021-09-12 21:46:56
    对于任意的nnn阶实对称矩阵AAA,存在正交矩阵QQQ,使得 Q−1AQ=QTAQ=diag(λ1,…,λn)Q^{-1}AQ=Q^T AQ=diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n)Q−1AQ=QTAQ=diag(λ1​,…,λn​) 其中λ1,…,λn\lambda_1,\dots,\lambda_n...
  • 浅谈矩阵的相似对角化(一)​zhuanlan.zhihu.com在上一篇文章我们证明了任意一个n阶矩阵可以相似对角化的充要条件是这个n阶矩阵有n个线性无关的特征向量,在本篇文章中我们一起讨论实对称矩阵的性质以及二次型的...
  • 题目为什么往往要求求正交矩阵,这du也是为什么要讨论对角化的一个主要的目的zhi之一,是为了求已知矩阵A的n次方,即A^n 因为T^(-1)AT=B(角阵) 那么A^n=TB^nT^(-1) 由于角阵B的n次方很好求,所以把A^n转化...
  • 对称矩阵对称矩阵(Symmetric Matrix)是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵,例如: 可以看到,对称矩阵的转置等于其自身,即: 对角矩阵对角矩阵(Diagonal Matrix)是指除主对角线之外其他元素都为0的矩阵,...
  • 矩阵A的所有特征值的和等于A的迹(A的主对角线元素之和)。2.矩阵A的所有特征值的积等于A的行列式。3.关于A的矩阵多项式f(A)的特征值为f(μ)。4.若A可逆,则A−1的特征值为1/μ。5.若A与B相似,则A与B有相同特征多项式...
  • 实对称阵是一类常见的矩阵, 它与二次型和内积空间上的自伴随算子有着密切的联系. 任一实对称阵$A$ 均正交相似于角阵, 即存在正交阵 $P$, 使得 $P'AP=\mathrm{diag\,}\{... 然而, 实对称阵可对角化这一性质可以...
  • 实对称矩阵必可正交相似对角化

    千次阅读 2020-05-22 11:35:02
    n阶实对称矩阵A必有n个线性不相关特征向量,A的特征多项式的k重根解的几何重数m=代数重数k。 k重特征值对应的k个特征向量可以施密特正交得到新的k个特征向量,而依然对应同一个特征值;不同特征值的对应特征向量...
  • 4.一定可以用正交矩阵相似对角化(满足的矩阵为正交阵),步骤如下 (1)求A的特征值λ1、λ2、λ3 (2)求特征向量α1、α2、α3 (3)改造特征向量 a. 如λi≠λj 只需要单位化 ...
  • 因此,此提交有助于人们使用 Hermitian/对称矩阵的三对角化,A = Q * T * Q', 其中 A 是 Hermitian 或对称的,T 是对称三角线,Q 是酉或正交的。 最初的 Lapack 接口例程来自 Tim Toolan 在“文件交换”中的...
  • 以主角线为对称矩阵MATLAB代码联合对角化的拟牛顿算法 文件和网站 有关文档和示例,请参见此处: 概括 该Python软件包包含用于一组正定对称矩阵进行快速对角化的代码。 主要功能是qndiag ,它以一组大小为(p...
  • 对称矩阵对角化

    千次阅读 2019-03-29 09:32:22

空空如也

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实对称矩阵对角化