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  • 偏微分方程数值解

    2012-11-27 23:34:26
    偏微分方程数值解,包括椭圆形方程,抛物型方程,双曲型方程
  • 结合MATLAB偏微分方程数值解工具箱介绍偏微分方程的求解,分GUI和MATLAB函数两种实现方式进行介绍。
  • 偏微分方程数值解的MATLAB实现,提供了求解一维偏微分方程的函数和求解二维偏微分方程的工具箱
  • 双曲线型偏微分方程数值解的求解VC代码,有可视化界面的特点。注释比较详尽,程序阅读、修改比较容易。
  • MATLAB偏微分方程数值解视频课程

    千次阅读 2019-05-17 10:07:44
    结合MATLAB偏微分方程数值解工具箱介绍偏微分方程的求解,分GUI和MATLAB函数两种实现方式进行介绍。 【课程收益】 MATLAB偏微分方程数值解工具箱的使用 有限单元法 用GUI和MATLAB编程两种方式求解PDE问题 第一...

    【课程介绍】
    结合MATLAB偏微分方程数值解工具箱介绍偏微分方程的求解,分GUI和MATLAB函数两种实现方式进行介绍。
    【课程收益】
    MATLAB偏微分方程数值解工具箱的使用
    有限单元法
    用GUI和MATLAB编程两种方式求解PDE问题

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    第一章:MATLAB偏微分方程数值解工具箱

        1. MATLAB偏微分方程(PDE)数值解工具箱简介 5:35
        2. 工具箱求解的主要PDE问题 5:04
        3. 有限单元法 8:59
    

    第二章:利用图形用户界面(GUI)求解偏微分方程

        1. GUI及其使用步骤 5:26
        2. 工具箱提供的主要应用模式 8:28
        3. 前处理-建模 8:02
        4. 前处理-边界条件 6:09
        5. 前处理-PDE类型和系数 4:37
        6. 前处理-网格剖分 5:25
        7. 计算 6:06
        8. 后处理-解的图形表达 5:35
    

    第三章:利用MATLAB函数求解偏微分方程

        01. 建模-用基本图元函数建模-绘图函数 8:08
        02. 建模-用基本图元函数建模-几何描述矩阵等 9:25
        03. 建模-用基本图元函数建模-CSG模型的进一步处理 6:52
        04. 建模-用M文件建模 13:12
        05. 定义边界条件 8:26
        06. 网格-网格剖分、加密和微调 10:55
        07. 网格-自适应剖分 3:45
        08. PDE求解-椭圆型问题 9:31
        09. PDE求解-抛物型问题 7:06
        10. PDE求解-双曲型问题 5:28
        11. PDE求解-特征值问题 6:35
        12. PDE求解-非线性问题 4:01
        13. 解的图形表示 8:52
    

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  • 偏微分方程数值解PPT学习教案.pptx
  • 偏微分方程数值解CHPPT教案学习.pptx
  • 偏微分方程数值解_习题参考.doc
  • 偏微分方程数值解习题解答案.doc
  • 偏微分方程数值解试题参考答案.docx
  • 偏微分方程数值解上机考试题,供正在学习偏微分方程数值解的学生使用!
  • 偏微分方程数值解CH2PPT教案学习.pptx
  • 简要介绍偏微分方程基础概念,之后基于python,对椭圆型偏微分方程数值解进行代码实现

    预备知识

    偏微分方程的三种类型

    • 椭圆形:   − ( ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 ) ϕ ( x , y , z ) = S ( x , y , z ) (1) \ -(\frac{\partial{^2}}{\partial x^2}+\frac{\partial{^2}}{\partial y^2}+\frac{\partial{^2}}{\partial z^2})\phi(x,y,z)=S(x,y,z)\tag{1}  (x22+y22+z22)ϕ(x,y,z)=S(x,y,z)(1)
    • 抛物型:   ( ∂ ∂ t − a 2 ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 ) ϕ ( x , y , z ) = S ( x , y , z ) (2) \ (\frac{\partial}{\partial t}-a^2\frac{\partial{^2}}{\partial x^2}+\frac{\partial{^2}}{\partial y^2}+\frac{\partial{^2}}{\partial z^2})\phi(x,y,z)=S(x,y,z)\tag{2}  (ta2x22+y22+z22)ϕ(x,y,z)=S(x,y,z)(2)
    • 双曲型:   ( ∂ 2 ∂ t 2 − ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 ) ϕ ( x , y , z ) = S ( x , y , z ) (3) \ (\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\frac{\partial{^2}}{\partial x^2}+\frac{\partial{^2}}{\partial y^2}+\frac{\partial{^2}}{\partial z^2})\phi(x,y,z)=S(x,y,z)\tag{3}  (t22x22+y22+z22)ϕ(x,y,z)=S(x,y,z)(3)

    定解条件

    偏微分方程的定解条件包括初始条件与边界条件,下面针对三类方程进行简述:

    • 初始条件:
      • 椭圆型:无
      • 抛物型:初始温度分布
      • 双曲型:初始位移与初始速度
    • 边界条件:
      •   D i r i c h l e t \ Dirichlet  Dirichlet边界条件(第一类边界条件):给出区域边界上的函数值。
      •   N e u m a n n \ Neumann  Neumann边界条件(第二类边界条件):给出边界上函数的法向导数。
      • 混合边值条件(第三类边界条件):给出边界上函数及其法向导数的线性组合。

    实战演练

    这里采取对椭圆型方程   u x x + u y y = S ( x , y ) \ u_{xx}+u_{yy}=S(x,y)  uxx+uyy=S(x,y)进行数值求解。

    椭圆型方程离散

      u x x + u y y = S ( x , y ) \ u_{xx}+u_{yy}=S(x,y)  uxx+uyy=S(x,y)进行离散有:
      u ( x + δ x , y ) − 2 u ( x , y ) + u ( x − δ x , y ) ( δ x ) 2 + u ( x , y + δ y ) − 2 u ( x , y ) + u ( x , y − δ y ) ( δ y ) 2 = S ( x , y ) (4) \ \frac{u(x+\delta x,y)-2u(x,y)+u(x-\delta x,y)}{(\delta x)^2}+\frac{u(x,y+\delta y)-2u(x,y)+u(x,y-\delta y)}{(\delta y)^2}=S(x,y)\tag{4}  (δx)2u(x+δx,y)2u(x,y)+u(xδx,y)+(δy)2u(x,y+δy)2u(x,y)+u(x,yδy)=S(x,y)(4)
    其中   δ x = δ y = h \ \delta x=\delta y=h  δx=δy=h
    将其进行整理可得
      u ( i , j ) = 1 4 ( u ( i , j + 1 ) + u ( i , j − 1 ) + u ( i − 1 , j ) + u ( i + 1 , j ) − h 2 S ( i , j ) (5) \ u(i,j)=\frac{1}{4}(u(i,j+1)+u(i,j-1)+u(i-1,j)+u(i+1,j)-h^2S(i,j)\tag{5}  u(i,j)=41(u(i,j+1)+u(i,j1)+u(i1,j)+u(i+1,j)h2S(i,j)(5)
    此时即可采用矩阵法求逆即可,但当网格数过多时,矩阵求逆所需内存量极大,不利于求解,因此引入迭代松弛法进行求解:
      u ( i , j ) = ( 1 − ω ) u ( i , j ) + ω 4 [ u ( i , j + 1 ) + u ( i , j − 1 ) + u ( i − 1 , j ) + u ( i + 1 , j ) − h 2 S ( i , j ) ] (6) \ u(i,j)=(1-\omega)u(i,j)+\\ \frac{\omega}{4}[u(i,j+1)+u(i,j-1)+u(i-1,j)+u(i+1,j)-h^2S(i,j)]\tag{6}  u(i,j)=(1ω)u(i,j)+4ω[u(i,j+1)+u(i,j1)+u(i1,j)+u(i+1,j)h2S(i,j)](6)
    其中   ω \ \omega  ω为松弛因子。
    启动计算时将边界值的平均值作为初始值。初始条件为
      S ( 100 , y ) = 10 , S ( x , 100 ) = 0 , S ( x , 0 ) = 0 , S ( 0 , y ) = 0 \ S(100,y)=10,S(x,100)=0,S(x,0)=0,S(0,y)=0  S(100,y)=10,S(x,100)=0,S(x,0)=0,S(0,y)=0

    python代码

    将上述差分迭代格式以及初始条件代入即可求解,下为python源码:

    '''椭圆形'''
    '''u_xx+u_yy=0'''
    
    h = 0.01
    w = 0.5
    
    u = np.zeros((101,101))
    u[100,:] = 10
    u[1:-1,1:-1] = 2.5
    
    for iteration in range(100):
        for i in range(1,100):
            for j in range(1,100):
                u[i,j] = w/4 * (u[i-1,j] + u[i+1,j] + u[i,j-1] + u[i,j+1]) + (1-w) * u[i,j]
                
    xl = np.linspace(0, 1, 101)
    yl = np.linspace(0, 1, 101)
    X, Y = np.meshgrid(xl, yl)
    fig = plt.figure()
    ax = Axes3D(fig)
    surf = ax.plot_surface(X, Y, u, cmap=plt.cm.Blues)
    fig.colorbar(surf, shrink=0.5)
    
    

    其中步长设为   h = 0.01 \ h=0.01  h=0.01,松弛因子设为   ω = 0.5 \ \omega=0.5  ω=0.5,其最终结果如图:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述可以看出最终的图像是呈凹陷状的,符合客观实际。同时在右侧加入了颜色块便于区分数值。

    以上,请各位巨巨批评指正!

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  • 偏微分方程数值解习题解答案

    热门讨论 2009-03-29 21:38:11
    偏微分方程数值解习题解答 李荣华版 word 格式
  • 偏微分方程数值解主要步骤

    千次阅读 2017-05-01 14:50:43
    偏微分方程数值解的主要步骤

    一、数学物理方程

     

    固体力学

    流体力学

    空气动力学

     

    二、网格剖分

     

    1、三角剖分

    Easymesh

    Delaunay

     

    2、四叉树

     

    三、方程离散

     

    1、差分

    2、有限元

     

    四、方程组求解

     

    1、高斯消去

    2、高斯-赛德尔迭代

    3、雅克比迭代

    4krylov子空间

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  • 偏微分方程数值解法MATLAB源码》由会员分享,可在线阅读,更多相关《偏微分方程数值解法MATLAB源码(27页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。1、源码【更新完毕】偏微分方程数值解法的MATLAB原创 说明:由于偏微分的...

    《偏微分方程数值解法MATLAB源码》由会员分享,可在线阅读,更多相关《偏微分方程数值解法MATLAB源码(27页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。

    1、源码【更新完毕】偏微分方程数值解法的MATLAB原创 说明:由于偏微分的程序都比较长,比其他的算法稍复杂一些,所以另开一贴,专门上传偏微分的程序 谢谢大家的支持! 其他的数值算法见:./Announce/Announce.asp?BoardID=209&id=8245004 、古典显式格式求解抛物型偏微分方程(一维热传导方程)1 function U x t=PDEParabolicClassicalExplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C) %古典显式格式求解抛物型偏微分方程 %U x t=PDEParabolicClassicalExplicit(uX,uT,p。

    2、hi,psi1,psi2,M,N,C) % %方程:u_t=C*u_xx 0 if r ) 不稳定 0.5, disp(r end 计算初值和边值%U=zeros(M+1,N+1); i=1:M+1 for U(i,1)=phi(x(i); end j=1:N+1 for U(1,j)=psi1(t(j); U(M+1,j)=psi2(t(j); end 逐层求解%j=1:N for i=2:M for U(i,j+1)=r*U(i-1,j)+r1*U(i,j)+r*U(i+1,j); end end U=U; %作出图形mesh(x,t,U); ) 古典显式格式,一维热传导方程的解的图像ti。

    3、tle(x) xlabel(空间变量t) 时间变量 ylabel(U) zlabel(一维热传导方程的解 return; 古典显式格式不稳定情况2 / 16 古典显式格式稳定情况2、古典隐式格式求解抛物型偏微分方程(一维热传导方程) function U x t=PDEParabolicClassicalImplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C) %古典隐式格式求解抛物型偏微分方程 %U x t=PDEParabolicClassicalImplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C) % %方程:u_t=C*u_xx 0 1 if 13 / 。

    4、16 ) 差分格式不稳定!,Lax-Friedrichs disp(|C*r|1 end 逐层求解 % j=1:N for i=2:M for U(i,j+1)=(U(i+1,j)+U(i-1,j)/2-C*r*(U(i+1,j)-U(i-1,j)/2; end end %Courant-Isaacson-Rees差分格式 CourantIsaacsonRees case C0 C*r1 if ) disp(Courant-Isaacson-Lees差分格式不稳定! end %逐层求解 j=1:N for i=2:M for U(i,j+1)=C*r*U(i-1,j)+(1-C*r)*U(i,。

    5、j); end end end %Leap-Frog(蛙跳)差分格式 LeapFrog case psi2=); 请输入第二层初值条件函数: phi2=input( abs(C*r)1 if ) Leap-Frog差分格式不稳定! disp(|C*r|1, end %第二层初值条件 i=1:M+1 for U(i,2)=phi2(x(i); 14 / 16 end %逐层求解 j=2:N for i=2:M for U(i,j+1)=U(i,j-1)-C*r*(U(i+1,j)-U(i-1,j); end end 差分格式 %Lax-WendroffLaxWendroff case abs(C。

    6、*r)1 if ) 差分格式不稳定!disp(|C*r|1,Lax-Wendroff end 逐层求解 % j=1:N for i=2:M for U(i,j+1)=U(i,j)-C*r*(U(i+1,j)-U(i-1,j)/2+C2*r2*(U(i+1,j)-2*U(i,j)+U(i-1,j)/2; end end %Crank-Nicolson隐式差分格式,需调用追赶法求解三对角线性方程组的算法 CrankNicolson case Diag=zeros(1,M-1);%矩阵的对角线元素 Low=zeros(1,M-2);%矩阵的下对角线元素 Up=zeros(1,M-2);%矩阵的上对角。

    7、线元素 i=1:M-2 for Diag(i)=4; Low(i)=-r*C; Up(i)=r*C; end Diag(M-1)=4; B=zeros(M-1,M-1); i=1:M-2 for B(i,i)=4; B(i,i+1)=-r*C; B(i+1,i)=r*C; end B(M-1,M-1)=4; ) %逐层求解,需要使用追赶法(调用函数EqtsForwardAndBackward j=1:N for b1=zeros(M-1,1); b1(1)=r*C*(U(1,j+1)+U(1,j)/2; 15 / 16 b1(M-1)=-r*C*(U(M+1,j+1)+U(M+1,j)/2; b=B*U(2:M,j)+b1; U(2:M,j+1)=EqtsForwardAndBackward(Low,Diag,Up,b); end otherwise ) 差分格式类型输入有误! disp( return; end U=U; 作出图形%mesh(x,t,U); ); 格式求解一阶双曲型方程的解的图像title(type x); 空间变量 xlabel(t); ylabel(时间变量U); 一阶双曲型方程的解 zlabel( return; 16 / 16。

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  • 斜拉桥钢索模型的双曲型偏微分方程数值解及Matlab实现.pdf
  • [原创]偏微分方程数值解法的MATLAB源码【更新完毕】说明:由于偏微分的程序都比较长,比其他的算法稍复杂一些,所以另开一贴,专门上传偏微分的程序谢谢大家的支持!其他的数值算法见:..//Announce/Announce.asp?...
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