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  • 二维向量叉乘:(x1,y1)×(x2,y2) = x1y2-x2y1 值为正,(x2,y2)在(x1,y1)逆时针方向 值为负,(x2,y2)在(x1,y1)顺时针方向 值为0,(x2,y2)和(x1,y1)共线 2.编程语言 # -*- coding: UTF-8 -*- from pylab import * x=...

    1. 自然语言

    • 二维向量叉乘:(x1,y1)×(x2,y2) = x1y2-x2y1
    • 值的绝对值是两向量同起点,构成平行四边形的面积
    • 值为正,(x2,y2)在(x1,y1)逆时针方向
    • 值为负,(x2,y2)在(x1,y1)顺时针方向
    • 值为0,(x2,y2)和(x1,y1)共线

    2.编程语言

    # -*- coding: UTF-8 -*-
    from pylab import *
    
    x=[-3, -2, -1, 2, 4]
    y=[-3,  1, -1, 0, 3]
    plt.axis("equal")
    #             线的形状      颜色         透明度      线的宽度     标签
    plt.plot(x, y, 'ro-', color='#4169E1', alpha=0.8, linewidth=1, label='example')
    # 显示标签,如果不加这句,即使在plot中加了label参数,最终还是不会显示标签
    plt.legend(loc="upper right")
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel('y')
    #plt.show()
    
    for i in range(3):
      tx = x[i]-x[i+1]
      ty = y[i]-y[i+1]
      xx = x[i+2]-x[i+1]
      yy = y[i+2]-y[i+1]
      print (tx,ty),(xx,yy),tx*yy-ty*xx
    
    • 程序中5点4线如下图图
    • 输出:

    -1 -4 1 -2 6
    -1 2 3 1 -7
    -3 -1 2 3 -7

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  • 向量叉乘几何意义

    千次阅读 2021-01-10 20:14:06
    向量叉乘几何意义 对于两个2维向量: a⃗=(x1,y1)b⃗=(x2,y2) \begin{aligned} \vec{a} &= (x1,y1) \\ \vec{b} &= (x2,y2) \end{aligned} ab​=(x1,y1)=(x2,y2)​ 叉乘定义: |a⃗×b⃗|=x1y2−x2y1|\vec...

    向量叉乘的几何意义

    对于两个2维向量:
    a ⃗ = ( x 1 , y 1 ) b ⃗ = ( x 2 , y 2 ) \begin{aligned} \vec{a} &= (x1,y1) \\ \vec{b} &= (x2,y2) \end{aligned} a b =(x1,y1)=(x2,y2)

    叉乘定义:
    | a ⃗ × b ⃗ | = x 1 y 2 − x 2 y 1 |\vec{a} \times \vec{b}| = x_1y_2-x_2y_1 a ×b =x1y2x2y1

    计算面积

    在这里插入图片描述

    四边形ODCE面积:
    S = ( x 1 + x 2 ) ( y 1 + y 2 ) S = (x_1+x_2)(y_1+y_2) S=(x1+x2)(y1+y2)

    四边形GDFB面积:
    S 1 = x 2 y 1 S_{1} = x_2y_1 S1=x2y1

    三角形BFC面积:
    S 2 = 0.5 ( x 1 y 1 ) S_{2}=0.5(x_1y_1) S2=0.5(x1y1)

    三角形OGB面积:
    S 3 = 0.5 ( x 2 y 2 ) S_{3}=0.5(x_2y_2) S3=0.5(x2y2)

    平行四边形OGCA面积:
    S 平 行 四 边 形 = S − 2 S 1 − 2 S 2 − 2 S 3 = ( x 1 + x 2 ) ( y 1 + y 2 ) − 2 x 2 y 1 − x 1 y 1 − x 2 y 2 = x 1 y 1 + x 2 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 2 − 2 x 2 y 1 − x 1 y 1 − x 2 y 2 = x 1 y 2 − x 2 y 1 \begin{aligned} S_{平行四边形} &= S-2S_1-2S_2-2S_3 \\ &= (x_1+x_2)(y_1+y_2) - 2x_2y_1 - x_1y_1 - x_2y_2 \\ &= x_1y_1+x_2y_1 + x_1y_2+x_2y_2 - 2x_2y_1 - x_1y_1 - x_2y_2 \\ &= x_1y_2 - x_2y_1 \end{aligned} S=S2S12S22S3=(x1+x2)(y1+y2)2x2y1x1y1x2y2=x1y1+x2y1+x1y2+x2y22x2y1x1y1x2y2=x1y2x2y1

    结论:

    向量叉乘的模表示的是所围成平行四边形的面积。

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  • 向量点乘与向量叉乘几何意义

    千次阅读 2019-02-01 17:50:04
    向量点乘(内积) 向量点乘公式为: ...内积(点乘)的几何意义: 表征或计算两个向量之间的夹角 b向量在a向量方向上的投影 判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系,具体对应关系为:...

    向量点乘(内积)

    向量点乘公式为:

    a * b = |a| * |b| * cosθ

    点乘的结果是是标量点乘也被称为内积,是a向量在b向量上投影的长度与b向量的长度的乘积,反映了两个向量之间的相似度,两向量越相似,它们的点积就越大。

    内积(点乘)的几何意义:

    1. 表征或计算两个向量之间的夹角
    2. b向量在a向量方向上的投影

    判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系,具体对应关系为:

    a∙b>0→方向基本相同,夹角在0°到90°之间 
    a∙b=0→ 正交,相互垂直 
    a∙b<0→ 方向基本相反,夹角在90°到180°之间

     

    向量叉乘(外积)

    向量叉乘公式为:

    a ^ b = |a| * |b| * sinθ

    叉乘的结果是一个新的向量,所以也称为向量积,它垂直于相乘的a、b两向量所构成的平面。

    外积(叉乘)的几何意义:

    在三维几何中,向量a和向量b的外积结果是一个向量,有个更通俗易懂的说法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

    在3D图像学中,外积的概念非常有用,可以通过两个向量的外积,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:

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  • 向量叉乘 a=(x1,y1)b=(x2,y2)a=(x_1,y_1)\quad b=(x_2,y_2)a=(x1​,y1​)b=(x2​,y2​) 点乘:a→⋅b→\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}a⋅b 得到实数,属于向量之间的标量运算 叉乘:a→×b→\...

    向量叉乘

    a = ( x 1 , y 1 ) b = ( x 2 , y 2 ) a=(x_1,y_1)\quad b=(x_2,y_2) a=(x1,y1)b=(x2,y2)

    点乘: a → ⋅ b → \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b} a b

    得到实数,属于向量之间的标量运算
    在这里插入图片描述

    叉乘: a → × b → \overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b} a ×b

    二维叉乘的数值概念为以两个向量为边所围成的平行四边形面积
    集合概念为 a → 与 b → \overrightarrow{a}与\overrightarrow{b} a b 的相对位置,右手定则得到
    在这里插入图片描述

    补充知识

    向 量 叉 乘 : a → × b → = x 1 ⋅ y 2 − x 2 ⋅ y 1 两 向 量 共 线 : a → × b → = 0 向 量 叉 乘 不 满 足 交 换 律 : a → × b → = − b → × a → \begin{aligned} 向量叉乘:&\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=x_1·y_2-x_2·y_1\\ 两向量共线:&\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=0\\ 向量叉乘不满足交换律:&\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a} \end{aligned} 线a ×b =x1y2x2y1a ×b =0a ×b =b ×a

    例子::

    ( a − b ) → × ( a + b ) → = 2 × ( a → × b → ) 证 明 : ( a − b ) → × ( a + b ) → = a → × a → + a → × b → − b → × a → − b → × b → = 2 × ( a → × b → ) 几 何 意 义 : 平 行 四 边 形 对 角 线 为 边 的 平 行 四 边 形 面 积 为 原 平 行 四 边 形 面 积 的 两 倍 \begin{aligned} \overrightarrow{(a-b)}\times\overrightarrow{(a+b)}&=2\times(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})\\ 证明:\overrightarrow{(a-b)}\times\overrightarrow{(a+b)}&=\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{b}\\ &=2\times(\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b})\\ 几何意义&:平行四边形对角线为边的平行四边形面积为原平行四边形面积的两倍 \end{aligned} (ab) ×(a+b) (ab) ×(a+b) =2×(a ×b )=a ×a +a ×b b ×a b ×b =2×(a ×b ):线
    三维空间叉乘表示为两向量围成的平面的法向量方向
    在这里插入图片描述

    海伦公式证明

    三角形面积公式 △ 2 = p ( p − a ) ( p − b ) ( b − c ) \triangle^2=p(p-a)(p-b)(b-c) 2=p(pa)(pb)(bc)
    在这里插入图片描述

    证明:

    hdu多校第八场C题几何判断

    Clockwise or Counterclockwise
    在这里插入图片描述

    题目大意:

    (0,0)为圆心,任意给出三点判断三点顺序为顺时针还是逆时针

    可用二维叉乘意义表示
    判断两两点相对位置

    • 正数输出逆时针
    • 反之顺时针
    #include<bits/stdc++.h>
    
    #define ll long long
    using namespace std;
    ll t, x1, x2, x3, y1, y2, y3;
    int main(){
    	scanf("%lld",&t);
    	while(t--){
    		scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld", &x1, &y1, &x2, &y2, &x3, &y3);
    		if(x1 * y2 - x2 * y1 + x2 * y3 - x3 * y2 + x3 * y1 - x1 * y3>0)
    			printf("Counterclockwise\n");
    		else
    			printf("Clockwise\n");
    	}
    	return 0;
    }
    
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  • 向量点乘与向量叉乘意义

    万次阅读 2018-08-15 15:47:27
    这是博客原文:向量点乘与叉乘几何意义。我主要是为了方便自已以后添加和查找。 向量的点积公式为:a * b = |a| * |b| * cosθ,点积的结果是数量而不是向量所以点积也被称为数量积或者内积,是a向量在b向量上...
  • 对于游戏行业程序员来说,向量“点乘”和“叉乘”是非常熟悉的运算。从代码上看他们很简单:(以下代码选自UE4的“Vector.h”) 点乘就是各分量逐项相乘,最终得到了一个标量: FORCEINLINE float FVector::Dot...
  • 向量的点乘与叉乘几何意义

    万次阅读 多人点赞 2016-11-06 21:59:35
    向量的点乘与叉乘几何意义 很惭愧,作为一名学生,向量的最基本的知识全忘了,在最近做计算机图形学实验时,需要用到向量计算时,发现自己寸步难行。只好赶快百度”预习”一下。向量的点乘:a * b公式:a * b = |a...
  • 向量内积(点乘)和外积(叉乘)概念及几何意义 向量内积(点乘)和外积(叉乘)概念及几何意义
  • 向量叉乘的线性性质 几何解释

    千次阅读 2019-12-22 11:21:49
    叉乘(向量的外积)是物理里面常常用到的概念, 它是由两个向量得到一个新的向量的运算。一般我们都是从几何意义下手: 向量\(\vec a\)和\(\vec b\)叉乘, 得到一个垂直于\(\vec a\)和\(\vec b\)的向量\(\vec a \time...
  • 【注:粗体小写字母表示向量,<a,b>表示向量a,b的夹角,取值范围为[0,180]】 注:看到公式,我们即可知道点乘过后得到的是一个标量,而不是一个向量。 而且可以通过这个去计算两个点之间的夹角及方向; ...
  • 向量叉乘

    万次阅读 多人点赞 2017-04-19 15:00:02
    向量叉乘公式以及推导: 向量叉乘几何意义
  • 向量积,数学中又称外积、叉积,物理中称矢积、叉乘,是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同,它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用十分广泛,通常应用于...
  • 向量叉乘的线性性质几何解释

    千次阅读 2019-04-27 18:15:52
    维基百科里还有更多性质的介绍和证明: https://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product 转载 https://www.cnblogs.com/zzdyyy/p/7643267.html
  • 二维向量叉积的几何意义

    万次阅读 2014-12-05 10:48:02
    2维空间中的叉乘是: V1(x1, y1) X V2(x2, y2) = x1y2 – y1x2看起来像个标量,事实上叉乘的结果是个向量,方向在z轴上。上述结果是它的模。在二维空间里,让我们暂时忽略它的方向,将结果看成一个向量,那么这个...
  • 向量叉乘计算多边形面积

    千次阅读 2020-05-16 21:51:32
    三角形面积可以用向量积来计算:S = 1 / 2 * ab x ac =1 / 2 * |ab| * |ac| * sin @(x表示叉乘,@表示ab和ac两边之间的夹角) 为什么要乘1/2呢? 因为ab x ac 求出来的是ab和ac为边的四边形的面积。 多边形可以拆成多...
  • 几何向量向量乘法(叉乘

    千次阅读 2019-02-03 16:25:01
    之前我们学习了物理意义上的做功,也就是数学中向量点积的实际意义,这一篇我们学习物理上另外一种力的作用,也就是力矩。物理上定义力矩是力对物体产生转动作用的物理量,这里我们想象一下现实中的力矩现象,比如...
  • 数学基础 向量叉乘

    千次阅读 2018-04-24 20:54:12
    向量叉乘,即求同时垂直两个向量向量,即c垂直于a,同时c垂直于b(a与c的夹角为90°,b与c的夹角为90°)c = a×b = (a.y*b.z-b.y*a.z , b.x...(0,0,1) 叉乘几何意义 |c|=|a×b|=|a| |b|sinα (α为a,b...
  • 二维向量叉乘的简单介绍及应用

    万次阅读 2017-08-18 12:24:34
    向量叉乘公式及应用
  • 很多时候这些题目要求你计算某一个面的法向量(normal vector),这在高中阶段也是有固定方法的,我们这里想要介绍的是一种更高级也更迅速的方法,也就是引入向量叉乘(cross product,“向量”同物理中的“矢量”...
  • 一、向量叉乘几何意义 二、法向量的叉乘公式
  • 向量叉乘=====求法向量

    万次阅读 2018-05-22 15:18:02
    向量叉乘记录:
  • 三个向量叉乘的公式的证明推导

    千次阅读 2021-03-28 17:23:19
    三个向量叉乘的公式 二重积应该都看得懂有手就行 那么三重积应该怎么推导呢? 首先看标量三重积 标量三重积是三个向量中的一个和另两个向量的叉积相乘得到点积,其结果是个标量。 设a,b,c为三个向量,则标量三重...
  • 3D向量叉乘的理解和记忆

    千次阅读 2018-03-29 19:17:24
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    2021-06-08 20:17:04
    利用向量叉乘判断点在线的哪一边,当叉乘小于等于0时,点在线的左边,否则在右边 (p2-p0)X(p1-p0)>0则p1在线的右边 (p2-p0)X(p1-p0)则p1在线的左边 #include #include int q(int x1,int y1,int x2,int y2) { ...
  • 过几天看发个word版的公式总结)上册第一篇 力学基础位移矢量: ( 是xyz轴对应的单位向量)质点运动方程: 位移: (矢量相减)速度:瞬时速度: 平均速度: 加速度:瞬时加速度: 平均加速度: 曲率: 曲率半径: ...
  • 向量是由n个实数组成的一个n行1列(n*1)或一个1行n列(1*n)的有序数组; 向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。...
  • 几何意义呢就是计算面积,由这两个向量构成的平行四边形的面积。目前做了俩题用这个二维形式的叉乘,一个是关于三个点共线,另一个就是旋转角度的问题,第一个共线在我计算几何栏目第一篇里用了,然后,这个题,就是...

空空如也

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向量叉乘的几何意义