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  • 混合整数线性规划(MILP)
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    2021-03-17 09:49:10

    混合整数线性规划(MILP)

    线性规划模型(Linear Programming, LP):LP的定义比较简单,它指的就是目标函数是线性的,所有约束也是线性的,最后,决策变量可以取任何的实数。如果在线性规划问题中有部分决策变量要求必须是整数, 那么这时的规划问题就转变成混合整数线性规划问题了。也就是说优化问题不止有条件约束,还有整数约束。

    举例:
    min x1+x2 “数学问题描述”
    x1-2x2>=6 “条件约束”
    x1 in integer“整数约束”,x2>=0 “条件约束”

    求解:
    在MatLab中,线性规划类问题的求解基本上有两种解决方案,最简单的是直接调用求解器(solver)求解,这叫做solver-based linear programming,求解的命令是linprog和intlinprog。这种方案简单,但需要我们手动列出所有系数矩阵、向量(Ax<=b;Aeq.x<=beq;and so on)。当约束增多,这个工作几乎是不可行的。

    MatLab提供了基于问题的求解方案(problem_based linear programming)。这种方案更加直观,缺点是需要自己一步步实现,它实际上上也是调用了求解器,使用单纯形法、内点法等方法求解(可以指定)。

    混合整数线性规划模型的求解算法主要包括 精确算法 和 启发式算法 两类,其中 精确算法 包括 分支定界法、列生成法等, 启发式算法 包括 遗传算法、蚁群算法、粒子群算法、模拟退火算法等。

    其中,精确算法能够求得模型的精确最优解,但其缺点在于在现有计 算机技术下、在有限的计算时间内无法处理决策变量较多的问题。而启发 式算法虽然能够处理决策变量较多的问题,但其得到的最优解为近似最优 解,且比较容易陷入局部最优解,所求得的近似最优解与实际最优解之间 的差距无法衡量和估计。

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    我试图用MATLAB解决这个混合整数线性规划问题 . 但是,我在matlab中对线性目标函数和决策变量求和的定义存在问题 . 我在MATLAB中使用intlinprog函数 . 请在下面找到图片链接 .

    9e264194-4e26-4c43-a127-948b38a71965.jpg

    还请在MATLAB中找到我的代码片段 . 我收到一个错误,因为我观察到“fun”不能与MATLAB intlinprog函数一起使用 .

    for i = 1: length(bt)

    f(i,1) = bt(i) + nch*w;

    f(i,2) = (w/nch) - st;

    f(i,3:5) = 0;

    end

    M = [4,5,9,10,14,15,19,20,24,25,29,30,34,35,39,40,44,45,49,50,54,55,59,60,64,65,69,70,74,75];

    e = 0.00001;

    A = [0 0 0 1 1;

    -nch 1/nch 1 0 0];

    ACell = repmat({A}, 1, 15);

    A = blkdiag(ACell{:});

    B = [1; 0.7];

    ub = ones(5,1);

    ub(1:2,1) = 2.3;

    ub = repmat(ub, length(bt),1);

    lb = zeros(5,1);

    lb(3,1) = 0.01;

    lb = repmat(lb,length(bt),1);

    f = reshape( f.' ,1,numel(f))';

    B = repmat(B,length(bt),1);

    Opt = opti('f',f,'ineq',[],[],'eq',A,B,'bounds',lb,ub,'xtype',M)

    [x,fval,exitflag,info] = solve(Opt)

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  • 对于指派问题等0 −1整数规划问题,可以直接利用 Matlab 的函数 bintprog 进行求解。 语法介绍 f、x、intcon、b、beq、lb 和 ub 是向量,A 和 Aeq 是矩阵。 具体调用参数介绍 比如: 详细介绍: x = intlinprog(f,...

    前言

    对于指派问题等0 −1整数规划问题,可以直接利用 Matlab 的函数 bintprog 进行求解。

    语法介绍

    在这里插入图片描述
    f、x、intcon、b、beq、lb 和 ub 是向量,A 和 Aeq 是矩阵。

    具体调用参数介绍

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    在这里插入图片描述

    详细介绍:

    x =<
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    当上一节讲到的线性规划问题中,要求某些变量是整数的时候,就变成了混合整数线性规划问题。

    其实对于某些问题来说,线性规划问题的最优解刚好是整数,那么它对应的混合整数线性规划问题的解就刚好是这个最优解了。因此分支限界法的思路是,

    1. 将原混合整数线性规划问题改进为行的松弛问题,不断地用单纯形法求解

    2. 通过增加约束来进行分支求解

    3. 直到整数最优解出现在新的改进后的松弛问题的一个顶点。

     

    例如对于以下问题,

    \[\begin{array}{*{20}{l}}
    {\max 3x + y + 3z}\\
    {2x + 2y + z \le 30}\\
    {1.5x + 2y + 3z \le 25}\\
    {2x + y + z \le 20}\\
    {x \ge 0,y \ge 0,z \ge 0,}
    \end{array}\]

    最优解obj=36.6667,x=7.7778,y=0,z=4.4444,怎么求它的整数最优解呢?

    针对该线性松弛问题得到的最优解,选取非整数解的整数变量x,将原线性松弛问题分成两个子问题,其中一个子问题加上x≤7的约束,另一个子问题加上x≥8的约束。

    针对x≤7的这个子问题,求得最优解为obj=35.5,x=7,y=0,z=4.8333。选取非整数解的整数变量z,将该问题拆成z≤4和z≥5的两个子问题。

    针对z≤4的这个子问题,求得最优解为obj=34.25,x=7,y=1.25,z=4。选取非整数解的整数变量y,将该问题拆成y≤1和z≥2的两个子问题。

    针对y≤1的这个子问题,求得最优解为obj=34,x=7,y=1,z=4。

    按照上述步骤,求另外对应的子问题。

    在分支过程中,当

    1. 问题是不可满足的

    2. 最优解是整数值

    3. 松弛问题的最优值比当前最优值更差

    无需深入探索,可以剪枝。

     

    另由于是离散优化,所以解只可能取值一些整数。所以可利用约束条件之间的互相影响,缩小解的范围。从约束条件中得到尽可能多的信息。

     

     

    参考:

    https://www.coursera.org/lecture/lisan-youhua-suanfapian/3-3-2-hun-he-zheng-shu-xian-xing-gui-hua-PQhnK

    转载于:https://www.cnblogs.com/yijuncheng/p/10953679.html

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