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  • 特征值与特征向量定义 Ax =λx,则λ是A的一个特征值,x为A对应于特征值λ的特征向量 特征值为零,矩阵不可逆 求A的特征值:解特征多项式det(A-λI) eigen求矩阵的特征值与特征向量,但有限制,必须是对称矩阵 #include ...
  • 特征值与特征向量

    千次阅读 2019-08-23 16:58:11
    本文参考《Linear Algebra and Its Applications》——David C.Lay, Steven R....A为n*n的矩阵,x为非零向量,若存在数λ使Ax=λx有非平凡解x,则称λ为A的特征值,x称为对应于λ的特征向量。 例:设,...

    本文参考《Linear Algebra and Its Applications》——David C.Lay, Steven R. Lay, Judi J.McDonald,中译本名为《线性代数及其应用》(原书第五版)中的相关章节。

    一:特征值,特征向量

    定义如下:

    A为n*n的矩阵,x为非零向量,若存在数λ使Ax=λx有非平凡解x,则称λ为A的特征值,x称为对应于λ的特征向量。

    例:设A=\begin{bmatrix} 1 & 6\\ 5 & 2 \end{bmatrix}\mu =\begin{bmatrix} 6\\ -5 \end{bmatrix}

                                               A\mu =\begin{bmatrix} 1 & 6\\ 5 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 6\\ -5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -24\\ 20 \end{bmatrix}=-4\begin{bmatrix} 6\\ -5 \end{bmatrix}=-4\mu

    可以看到A对特征向量的作用是很简单的,它只是对特征向量进行了拉伸,而特征值表达了它拉伸的方向和大小。

    Ax=\lambda x可以变为(A-\lambda I)x=0,所以A的特征向量是满足(A-\lambda I)x=0的所有非平凡解,这个解集称为A对应于\lambda的特征空间。

     

    二:特征方程

    由于A的特征向量是满足(A-\lambda I)x=0的所有非平凡解,所以要使(A-\lambda I)x=0有非平凡解,则A-\lambda I为可逆矩阵,则det(A-\lambda I)=0。所以称det(A-\lambda I)=0为A的特征方程。

    换句话说:数\lambda是n*n矩阵A的特征值的充要条件是\lambda是特征方程det(A-\lambda I)=0的根。

     

    三:相似性

    若A和B是n*n的矩阵,如果存在可逆矩阵P,使得P^{-1}AP=B,称为A相似于B,由于可逆矩阵的逆也是可逆的,所以B也相似于A,所以称A和B是相似的,而把A变成B(P^{-1}AP)的变换称为相似变换。若A和B是相似的,则他们有相同的特征多项式,从而有相同的特征值(和相同的重数)

     

    四:对角化

    定义:若方阵A相似于对角矩阵,即存在可逆矩阵P和对角矩阵D,有A=PDP^{-1},则称A可对角化。

    设P是列为v_{1},...,v_{n}的任意n*n矩阵,D是对角线元素为\lambda _{1},...,\lambda_{n}的对角矩阵,那么:

                                                    AP=A\begin{bmatrix} v_{1} & v_{2} & \cdots & v_{n} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} Av_{1} & Av_{2} & \cdots & Av_{n} \end{bmatrix}

                                                    PD=P\begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \lambda_{1}v_{1} & \lambda_{2}v_{2} & \cdots & \lambda_{n}v_{n} \end{bmatrix}

    假设A可对角化且A=PDP^{-1},用P右乘等式两边,则有AP=PD:

                                                    \begin{bmatrix} Av_{1} & Av_{2} & \cdots & Av_{n} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \lambda_{1}v_{1} & \lambda_{2}v_{2} & \cdots & \lambda_{n}v_{n} \end{bmatrix}

                                                    Av_{1}=\lambda_{1}v_{1},Av_{2}=\lambda_{2}v_{2},...,Av_{n}=\lambda_{n}v_{n}

    因为P可逆,所以P的各列线性无关,所以由上式得\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n}是A的特征值,v_{1},v_{2},...,v_{n}是相应的特征向量。

    所以,总行所述,A=PDP^{-1},D为对角矩阵的充要条件是P的列向量是A的n个线性无关的特征向量,此时,D的主对角线上的元素分别是A对应于P中特征向量的特征值。

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  • 特征值与特征向量练习题精选.doc
  • 《矩阵特征值与特征向量的定义与性质》教学设计.pdf
  • 本资源是C++代码,以txt文件存储,能实现求取实对称矩阵的特征值与特征向量
  • 主要为大家详细介绍了C++ Eigen库计算矩阵特征值及特征向量,具有一定的参考价值,感兴趣的小伙伴们可以参考一下
  • 特征值与特征向量的意义

    千次阅读 2020-10-30 16:44:31
    上半年研究生复试面试问的印象最深刻的题目就是:请根据自己的理解解释一下特征值与特征向量。 那种无从下嘴的感觉至今记忆犹新。 我们大学学线性代数、现代控制理论以及线性系统时都会学到特征值与特征向量,而且也...

    上半年研究生复试面试问的印象最深刻的题目就是:请根据自己的理解解释一下特征值与特征向量。

    那种无从下嘴的感觉至今记忆犹新。

    我们大学学线性代数、现代控制理论以及线性系统时都会学到特征值与特征向量,而且也仅限于会做题而已,却根本不知道他们是怎么来的。本文就深度梳理一下特征值与特征向量及其几何意义。


    1.特征值与特征向量

    我们知道,矩阵乘法对应了一个变换,是把任意一个向量变成另一个方向或长度都大多不同的新向量。在这个变换的过程中,原向量主要发生旋转、伸缩的变化。如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换,不对这些向量产生旋转的效果,那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量,伸缩的比例就是特征值

    实际上,上述的一段话既讲了矩阵变换特征值及特征向量的几何意义(图形变换)也讲了其物理含义。物理的含义就是运动的图景:特征向量在一个矩阵的作用下作伸缩运动,伸缩的幅度由特征值确定。特征值大于1,所有属于此特征值的特征向量身形暴长;特征值大于0小于1,特征向量身形猛缩;特征值小于0,特征向量缩过了界,反方向到0点那边去了。

    我们来看个例子:
    M = ( 3 0 0 1 ) M=\left( \begin{array}{lcr} 3 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right) M=(3001)
    它其实对应的线性变换是下面的形式:
    在这里插入图片描述
    因为这个矩阵M 乘以一个向量(x,y)的结果是:
    ( 3 0 0 1 ) ( x y ) = ( 3 x y ) \left( \begin{array}{lcr} 3 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{lcr} x \\ y \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{lcr} 3x \\ y \\ \end{array} \right) (3001)(xy)=(3xy)

    上面的矩阵是对称的, 所以这个变换是一个对x, y轴的方向一个拉伸变换(每一个对角线上的元素将会对一个维度进行拉伸变换,当值>1时, 是拉长, 当值<1时时缩短),当矩阵不是对称的时候, 假如说矩阵是下面的样子:

    M = ( 1 1 0 1 ) M=\left( \begin{array}{lcr} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right) M=(1011)

    它所描述的变换是下面的样子:
    在这里插入图片描述
    这其实是在平面上对一个轴进行的拉伸变换(如蓝色的箭头所示) , 在图中, 蓝色的箭头是一个最主要的变化方向(变化方向可能有不止一个)。如果我们想要描述好一个变换, 那我们就描述好这个变换主要的变化方向就好了。

    2.特征值分解

    设 A 是n阶方阵,如果存在数λ和非零n维列向量 x,使得 A α = λ α Aα=λα Aα=λα 成立,则称 λ 是矩阵A的一个特征值(characteristic value),而α是矩阵A对应于特征值λ的特征向量(Eigenvector)。

    特征值分解是将一个矩阵分解成下面的形式:
    A = Q Σ Q T A=QΣQ^{T} A=QΣQT
    其中Q是这个矩阵A的特征向量组成的矩阵, Σ是一个对角阵, 每一个对角线上的元素就是一个特征值。

    分解得到的Σ矩阵是一个对角阵, 里面的特征值是由大到小排列的, 这些特征值所对应的特征向量就是描述这个矩阵变化方向(从主要的变化到次要的变化排列)。也就是说矩阵A的信息可以由其特征值和特征向量表示。

    总结一下, 特征值分解可以得到特征值与特征向量,特征值表示的是这个特征到底有多重要, 而特征向量表示这个特征是什么。不过, 特征值分解也有很多的局限, 比如说变换的矩阵必须是方阵。如果A不是方阵,即行和列不相同时,就不能用这种方法对矩阵进行分解,由此引入奇异值分解(SVD)的概念。
    关于奇异值分解(SVD)相关知识,可参考博客:
    https://blog.csdn.net/didi_ya/article/details/108895122

    最后,强烈推荐大家看一下B站视频:线性代数的本质
    真的,特别有帮助!

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  • 矩阵的特征值与特征向量1 基本定义2 性质3 计算例1例2例34 特征值与特征向量的性质 注意:由于已经过了大学要考线性代数的年纪,关于矩阵的初等变化、齐次与非齐次方程的求解这种期末考试要计算的问题没有进行梳理 ...

    注意:由于已经过了大学要考线性代数的年纪,关于矩阵的初等变化、齐次与非齐次方程的求解这种期末考试要计算的问题没有进行梳理

    注意:由于已经过了大学要考线性代数的年纪,关于矩阵的初等变化、齐次与非齐次方程的求解这种期末考试要计算的问题没有进行梳理

    注意:由于已经过了大学要考线性代数的年纪,关于矩阵的初等变化、齐次与非齐次方程的求解这种期末考试要计算的问题没有进行梳理

    1 基本定义

    假设 A A A是方阵(基调:就是特征值和特征方程只试用于方阵),对于一个数 λ \lambda λ,存在非零列向量 α \alpha α,使得 A α = λ α A\alpha = \lambda\alpha Aα=λα,则称 λ \lambda λ为方阵的特征值, α \alpha α称为对应于 λ \lambda λ的特征向量

    • λ \lambda λ可以为0,但是特征向量不能为0
    • 特征向量一定是列向量,而且是非零(参考最初矩阵相乘的七字口诀:中间相等,取两头
    • 在说特征向量的时候,要说对应于特征值的。也就是要先有特征值

    根据定义进行推导: λ α − A α = 0 ⇒ ( λ E − A ) α = 0 \lambda\alpha-A\alpha =0 \Rightarrow (\lambda E - A)\alpha = 0 λαAα=0(λEA)α=0,重点来啦,这里的 α \alpha α是非零向量,如果将其换成 x x x,那么就是 ( λ E − A ) x = 0 (\lambda E - A)x= 0 (λEA)x=0,也就变成了求解齐次方程组了,前面的方阵就是方程的系数构成的矩阵,然后知道最终的解是非零的,故最终可以推出方阵的行列式为0

    为了便于理解,这里举个我自己说服自己理解的栗子:

    • 首先是方阵,那么假设就是 3 ∗ 3 3*3 33,也就是三个方程三个未知数,方程的右边等于0
    • 那么方程一定有一个解,就是三个未知数都为0的时候,也就是不管方程的系数取多少,我的未知数都取0,最后计算等式左边和右边都是0
    • 现在出现了非零解,说明啥?
    • 第一反应就是肯定有两个或者三个方程组是等价的(也就是方程的系数成比例)
    • 比如 { x 1 + x 2 + x 3 = 0 5 x 1 + 5 x 2 + 5 x 3 = 0 − x 1 + x 2 + 6 x 3 = 0 \begin{cases} x_{1}+x_{2} + x_{3} =0 \\ 5x_{1}+5x_{2}+5x_{3}=0\\ -x_{1} +x_{2} +6x_{3} =0 \end{cases} x1+x2+x3=05x1+5x2+5x3=0x1+x2+6x3=0
    • 这样的情况下系数对应的行列式就为0了,存在两行数据成比例

    上面就是自己的思维理解过程,不是很严谨,但是特别能说服我自己:齐次方程组存在非零解    ⟺    \iff 系数组成的行列式为0

    所以最终对于上面的化简式子就有了: ( λ E − A ) x = 0 (\lambda E - A)x= 0 (λEA)x=0存在非零解    ⟺    ∣ λ E − A ∣ = 0 \iff |\lambda E - A| =0 λEA=0,其中

    • ( λ E − A ) (\lambda E - A) (λEA)被称为特征矩阵
    • ∣ λ E − A ∣ |\lambda E - A| λEA为特征多项式
    • ∣ λ E − A ∣ = 0 |\lambda E - A| =0 λEA=0为特征方程
    • x x x就是特征方程的解,也成为特征值或者特征根

    2 性质

    λ \lambda λ A A A的特征值, α \alpha α为对应于 λ \lambda λ的特征向量

    • 1) A α = λ α ⇒ c A α = c λ α ⇒ A ( c α ) = λ ( c α ) A\alpha = \lambda\alpha \Rightarrow cA\alpha = c\lambda\alpha \Rightarrow A(c\alpha) = \lambda (c \alpha) Aα=λαcAα=cλαA(cα)=λ(cα) c α c\alpha cα也是对应于 λ \lambda λ的特征向量,所以一个特征值可以对应多个特征向量,但是一个特征向量只能对应一个特征值,打个比方:特征值是父母,特征向量是儿女,正常情况下一对父母可以有多对儿女,但是对于单个的儿子,女儿来说只能有一对父母。
    • 2)若 α 1 , α 2 \alpha_{1},\alpha_{2} α1,α2 λ \lambda λ的特征向量,则 c 1 α 1 + c 2 α 2 c_{1}\alpha_{1}+c_{2}\alpha_{2} c1α1+c2α2也是 λ \lambda λ的特征向量,证明过程:根据公式拆开即可验证

    3 计算

    例1

    A = ( − 1 1 0 − 4 3 0 1 0 2 ) A = \left(\begin{matrix} -1&1&0\\-4&3&0\\1&0&2\end{matrix}\right) A=141130002,求解A的特征值与特征向量

    解:

    λ E − A = ( λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ ) − ( − 1 1 0 − 4 3 0 1 0 2 ) = ( λ + 1 − 1 0 4 λ − 3 0 1 0 λ − 2 ) \lambda E-A = \left(\begin{matrix} \lambda&0&0\\0&\lambda&0\\0&0&\lambda\end{matrix}\right)- \left(\begin{matrix} -1&1&0\\-4&3&0\\1&0&2\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} \lambda+1&-1&0\\4& \lambda-3&0\\1&0& \lambda-2\end{matrix}\right) λEA=λ000λ000λ141130002=λ+1411λ3000λ2
    提取行列式,问题就在于系数行列式的求解

    ∣ λ E − A ∣ = ∣ λ + 1 − 1 0 4 λ − 3 0 1 0 λ − 2 ∣ |\lambda E-A| = \begin{vmatrix} \lambda+1&-1&0\\4& \lambda-3&0\\1&0& \lambda-2\end{vmatrix} λEA=λ+1411λ3000λ2

    求解思路:

    • 1)完全展开,得三次方程,很难解,比如 λ 3 + λ 2 + 1 = 9 \lambda^{3} + \lambda^{2} + 1 =9 λ3+λ2+1=9 。这种方法只能蒙,不建议使用
    • 2)把某行尽量转化为0,然后按照该行进行展开
    • 3)提公因子(最好含 λ \lambda λ
    • 4)相邻两项相同(行、列),行和或者列和相等

    比如按照最后一列进行展开
    ∣ λ E − A ∣ = ( λ − 2 ) ( − 1 ) 3 + 3 ∣ λ + 1 1 − 4 λ − 3 ∣ = ( λ − 2 ) ( λ − 1 ) ( λ − 1 ) |\lambda E-A| = (\lambda-2)(-1)^{3+3} \begin{vmatrix} \lambda+1&1\\-4& \lambda-3\end{vmatrix}=(\lambda-2)(\lambda-1)(\lambda-1) λEA=(λ2)(1)3+3λ+141λ3=(λ2)(λ1)(λ1)

    最终计算出来的 λ 1 = λ 2 = 1 , λ 3 = 2 \lambda_{1}=\lambda_{2}=1,\lambda_{3}=2 λ1=λ2=1,λ3=2(注意重根一定要写出来)

    求解特征值对应的特征方程
    ① 当 λ 1 = λ 2 = 1 \lambda_{1}=\lambda_{2}=1 λ1=λ2=1
    λ 1 E − A = ( 2 − 1 0 4 − 2 0 1 0 − 1 ) \lambda_{1} E-A = \left(\begin{matrix} 2&-1&0\\4& -2&0\\1&0&-1\end{matrix}\right) λ1EA=241120001
    ②当 λ 3 = 2 \lambda_{3}=2 λ3=2
    λ 3 E − A = ( 3 − 1 0 4 − 1 0 1 0 0 ) \lambda_{3} E-A = \left(\begin{matrix} 3&-1&0\\4& -1&0\\1&0&0\end{matrix}\right) λ3EA=341110000

    老师视频里抄错了,就溜了,哈哈哈,接下来进行一个详细的求解例题

    注意: ∣ λ E − A ∣ |\lambda E-A| λEA λ \lambda λ只在对角线上存在;A中所有的元素都取相反数

    例2

    A = ( 1 − 2 2 − 2 − 2 4 2 4 − 2 ) A = \left(\begin{matrix} 1&-2&2\\-2&-2&4\\2&4&-2\end{matrix}\right) A=122224242,求解A的特征值与特征向量

    解:

    ∣ λ E − A ∣ = ∣ λ − 1 2 − 2 2 λ + 2 − 4 − 2 − 4 λ + 2 ∣ = ∣ λ − 1 2 − 2 2 λ + 2 − 4 0 λ − 2 λ − 2 ∣ = ( λ − 2 ) ( λ − 2 ) ( λ + 7 ) |\lambda E-A| = \begin{vmatrix} \lambda-1&2&-2\\2& \lambda+2&-4\\-2&-4& \lambda+2\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \lambda-1&2&-2\\2& \lambda+2&-4\\0&\lambda-2& \lambda-2\end{vmatrix} = ( \lambda-2)( \lambda-2)( \lambda+7) λEA=λ1222λ+2424λ+2=λ1202λ+2λ224λ2=(λ2)(λ2)(λ+7)

    最终计算出来的 λ 1 = λ 2 = 2 , λ 3 = − 7 \lambda_{1}=\lambda_{2}=2,\lambda_{3}=-7 λ1=λ2=2,λ3=7(注意重根一定要写出来)

    规范化的求解步骤:
    λ 3 = − 7 \lambda_{3}=-7 λ3=7时,对于 λ E − A \lambda E-A λEA矩阵,直接将上面计算行列式的第一步的结果拿来带入 λ 3 \lambda_{3} λ3的值,只做初等行变换,化为行简化阶梯型,解出同解方程组
    λ 3 E − A = ( − 8 2 − 2 2 − 5 − 4 − 2 − 4 − 5 ) = ( 1 0 − 0.5 0 1 1 0 0 0 ) ⇒ { x 1 = − 0.5 x 3 x 2 = − x 3 \lambda_{3} E-A = \left(\begin{matrix} -8&2&-2\\2&-5&-4\\-2&-4&-5\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 1&0&-0.5\\0&1&1\\0&0&0\end{matrix}\right) \Rightarrow \begin{cases} x_{1}=-0.5 x_{3} \\ x_{2}=- x_{3} \end{cases} λ3EA=822254245=1000100.510{x1=0.5x3x2=x3

    解出: x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = − 2 x_{1} = 1,x_{2}=2,x_{3}=-2 x1=1,x2=2,x3=2,所以对应的特征向量就为: c 1 ( 1 2 2 ) c_{1}\left(\begin{matrix} 1\\2\\2\end{matrix}\right) c1122,其中 c 1 ≠ 0 c_{1}\not =0 c1=0

    λ 1 = λ 2 = 2 \lambda_{1}=\lambda_{2}=2 λ1=λ2=2
    λ 1 E − A = ( 1 2 − 2 2 4 − 4 − 2 − 4 4 ) = ( 1 2 − 2 0 0 0 0 0 0 ) ⇒ x 1 = − 2 x 2 + 2 x 3 \lambda_{1} E-A = \left(\begin{matrix} 1&2&-2\\2&4&-4\\-2&-4&4\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 1&2&-2\\0&0&0\\0&0&0\end{matrix}\right) \Rightarrow x_{1}=-2 x_{2}+2x_{3} λ1EA=122244244=100200200x1=2x2+2x3

    此时取 x 2 , x 3 x_{2},x_{3} x2,x3分别为 ( 1 0 ) \left(\begin{matrix} 1\\0\end{matrix}\right) (10) ( 0 1 ) \left(\begin{matrix} 0\\1\end{matrix}\right) (01),计算出特征向量为 c 2 ( − 2 1 0 ) + c 3 ( 2 0 1 ) c_{2}\left(\begin{matrix} -2\\1\\0\end{matrix}\right)+c_{3}\left(\begin{matrix} 2\\0\\1\end{matrix}\right) c2210+c3201,其中 c 2 , c 3 c_{2},c_{3} c2,c3不能同时为0

    例3

    A = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) A = \left(\begin{matrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{matrix}\right) A=000000000,求解A的特征值与特征向量

    解:
    ∣ λ E − A ∣ = ∣ λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ ∣ = λ 3 = 0 ⇒ λ = 0 |\lambda E-A| = \begin{vmatrix} \lambda&0&0\\0& \lambda&0\\0&0& \lambda\end{vmatrix} = \lambda^{3}=0 \Rightarrow \lambda = 0 λEA=λ000λ000λ=λ3=0λ=0

    然后将 λ \lambda λ带入,求出对应的矩阵
    λ E − A = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) \lambda E-A = \left(\begin{matrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{matrix}\right) λEA=000000000

    那么问题就来了,化为行简化阶梯型,其中有1的放在在左边,其余的放在右边,所以这里的 x 1 , x 2 , x 3 x_{1},x_{2},x_{3} x1,x2,x3都是自由未知量,按照特征向量的定义,必须是要非零的列向量,所以最终的结果为 c 1 ( 1 0 0 ) + c 2 ( 0 1 0 ) + c 3 ( 0 0 1 ) c_{1}\left(\begin{matrix} 1\\0\\0\end{matrix}\right)+c_{2}\left(\begin{matrix} 0\\1\\0\end{matrix}\right)+c_{3}\left(\begin{matrix} 0\\0\\1\end{matrix}\right) c1100+c2010+c3001,其中 c 1 , c 2 , c 3 c_{1},c_{2},c_{3} c1,c2,c3不能同时为0

    4 特征值与特征向量的性质

    性质:

    • 1) A A A A T A^{T} AT有相同的特征值,但是特征向量不一定相同
      证明: ∣ λ E − A T ∣ = ∣ λ E T − A T ∣ = ∣ ( λ E − A ) T ∣ = ∣ λ E − A ∣ = 0 |\lambda E-A^{T}| = |\lambda E^{T}-A^{T}|=|(\lambda E - A)^{T}|=|\lambda E-A|=0 λEAT=λETAT=(λEA)T=λEA=0
    • 2)若 ∑ ∣ a i j < 1 , i = 1 , 2 , . . . , n ∣ \sum|a_{ij}<1,i=1,2,...,n| aij<1,i=1,2,...,n ∑ ∣ a i j ∣ < 1 , j = 1 , 2 , . . . , n \sum|a_{ij}|<1,j=1,2,...,n aij<1,j=1,2,...,n,则 ∣ λ k ∣ < 1 |\lambda_{k}| < 1 λk<1
    • 3)若方阵的n个特征值为 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n \lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n} λ1,λ2,...,λn,则有① ∑ i = 1 n λ i = ∑ i = 1 n a i i \sum_{i=1}^{n}\lambda_{i} =\sum_{i=1}^{n}a_{ii} i=1nλi=i=1naii,也就是所有的特征值之和就为矩阵对角线元素之和;② λ 1 , λ 2 , . . . , λ n = ∣ A ∣ \lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n}=|A| λ1,λ2,...,λn=A
    • 4)互不相同的特征值 λ 1 , λ 2 , . . . , λ n \lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{n} λ1,λ2,...,λn对应的特征向量 α 1 , α 2 , . . . , α n \alpha_{1},\alpha_{2},...,\alpha_{n} α1,α2,...,αn线性无关
    • 5)对4)进行补充,如果每个特征向量有多对特征值,那么这些特征向量也是线性无关的
    • 6)k重特征根,对应的线性无关的特征向量的个数小于等于k

    其它性质:

    • 1) k λ k\lambda kλ k A kA kA的特征值
    • 2) λ 2 \lambda^{2} λ2 A 2 A^{2} A2的特征值, λ k \lambda^{k} λk A k A^{k} Ak的特征值
      比如2是 A A A的特征值, A 5 + 6 A 2 + A + 3 E A^{5} + 6A^{2} +A + 3E A5+6A2+A+3E的特征值为 A 5 + 6 ∗ 2 2 + 2 + 3 A^{5} + 6*2^{2} +2 + 3 A5+622+2+3,注意对应的 A A A换成特征值,单位阵改成1即可
    • 3) 1 λ \frac{1}{\lambda} λ1 A − 1 A^{-1} A1的特征值; 1 λ ∣ A ∣ \frac{1}{\lambda}|A| λ1A A ∗ A* A的特征值
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  • 利用第三方矩阵计算工具包JAMA,求特征值、特征向量 API: http://math.nist.gov/javanumerics/jama/doc/Jama/Matrix.html 应用: 1.JAMA包的导入 1)https://mvnrepository.com/ 2)搜索JAMA,选第一个:gov....
  • 矩阵的特征值与特征向量 求解

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    定义1:设A是n阶矩阵,如果数和n维非零列向量使关系式成立,则称这样的数成为方阵A的特征值,非零向量成为A对应于特征值的特征向量。 说明:1、特征向量特征值问题是对方阵而言的。  2、n阶方阵A的特征值,就是...

    矩阵特征值

    定义1:设A是n阶矩阵,如果数和n维非零列向量使关系式成立,则称这样的数成为方阵A的特征值,非零向量成为A对应于特征值的特征向量。

    说明:1、特征向量,特征值问题是对方阵而言的。

       2、n阶方阵A的特征值,就是使齐次线性方程组有非零解的值,即满足方程都是矩阵A的特征值。

       3、

     

    定义2:A为n阶矩阵,称为A的特征矩阵,其行列式的n次多项式,称为A的特征多项式,称为A的特征方程。

    说明:1、由定义得,是A的特征值,等价于是其特征方程的根,因此又称为A的特征根。若重根,则称为A的重特征值(根)。

       2、方程的任意非零解向量,都是对应于的特征向量。

       3、A的特征矩阵也可以表示为

          特征多项式也可以表示为

          特征方程也可以表示为

              4、求A的特征值就是求的根,求A的相应于的特征向量就是求的非零解向量。

    求矩阵A的特征值及特征向量问题就转化为求解多项式方程以及齐次线性方程组的通解问题。

    下面是一些练习:

     求的特征值和特征向量

     A的特征多项式为

      

                                      

        所以A的特征值为

     当时,对应的特征向量应满足

        即

     解得,所以对应的特征向量可取为。故相应于的全体特征向量为

        当时,由,即,解得,所以对应的特征向量可取为。故相应于的全体特征向量为

     

     

     设,求A的特征值与特征向量。

      

      令得A的特征值为

      当时,解方程。由得基础解系:,故对应于的全体特征向量为

      当时,解方程。由,得基础解系为,所以对应于的全部特征向量为: (不同时为0)。

     

     设,若3是A的一个特征值,求:y及A的其他特征向量。

      设

      因为3是A的一个特征值,所以3必为的根,因此求得y=2及的另一个根1,故A的全部特征值为-1,1,1,3

     

    例 证明:若是矩阵A的特征值,x是A的属于的特征向量,则

      (1)的特征值(m是任意正整数)。

      (2)当A可逆时,的特征值。

    证明:(1)

          

          再继续施行上述步骤m-2次,就得,故是矩阵的特征值,且x是对应于的特征向量。

       (2)当A可逆时,,由可得,故是矩阵的特征值,且x是对应于的特征向量。

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空空如也

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特征值与特征向量