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  • 特征值与特征向量

    2016-06-28 11:58:21
    特征值与特征向量

    一、概念

    设A是数域P上的一个n阶矩阵,λ是一个未知量,

    这里写图片描述

    称为A的特征多项式,记 f(λ)=| λE-A|,是一个P上的关于 λ

    的n次多项式,其中E是单位矩阵。

    f(λ)=| λE-A|= 这里写图片描述 = 0是一个n次代数方程,称为A的特征方程

    如果数λ和n维非零列向量x使关系式: Ax = λx 成立,那么,
    这样的数λ称为方阵A的特征值,非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量

    说明:

    1. 特征向量 x 不等于0,特征值是对方阵而言的,特征向量是对特征值而言的。
    2. 特征值就是特征方程 f(λ)=| λE-A|=0的根。 n次代数方程在复数域内有且仅有n 个根,而在实数域内不一定有根,因此特征根的多少和有无,不仅与A有关,与数域P也有关。

    二、特征值与特征向量的计算

    这里写图片描述
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    这里写图片描述

    说明:
    特征值和特征向量的计算里面涉及到一些定律和行列式的计算等,这些就不展开来聊了,有时间了可以再慢慢去细品。

    举个求特征值与特征向量的例子如下:

    这里写图片描述
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    这里写图片描述

    三、意义

    数学上,线性变换的特征向量(本征向量)是一个非退化的向量,其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值(本征值)。一个线性变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述。特征空间是相同特征值的特征向量的集合。
    矩阵是一种线性变化,特征向量就是在这个变化当中不变的量,特征值描述了变化的比例,即变化的量。

    四、性质

    这里写图片描述

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    这里写图片描述

    这里写图片描述

    说明:以上性质均可以证明,但这里限于篇幅就不证明了。


    参考:

    1. http://student.zjzk.cn/course_ware/web-gcsx/gcsx/chapter4/chapter4.1.htm
    2. http://wenku.baidu.com/link?url=zyyl5D_I7Sp-TAX5YhA1M98WusikkixHt7jDlQQtdJ7tcsnqVpyVWg7Auqrn2p9Fjf-6wPETK6PxBGupnufWikO5DSSG2UlROOJ4dNMxG4K
    3. http://baike.baidu.com/link?url=YEP3djPgh_zGxPkzOVBP_TWGD8V-3XVrDcGbjTfWUH54GELDulDO9ZjuOFVR019RvFog22W4LSQDAU_3fWNdmq
    4. http://www.cnblogs.com/isabelincoln/archive/2009/06/18/1504623.html
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  • 使用python求解特征值与特征向量

    万次阅读 多人点赞 2016-10-25 19:04:05
    使用python求解特征值与特征向量 实例介绍

    #使用python求解特征值与特征向量
    问题描述:
    求解矩阵[[1.25,0.375,0],[0.375,1.25,-0.5],[0,-0.5,0.875]]的特征值与特征向量

    参考链接1:
    百度经验:python线性代数—求方阵的特征值特征向量

    利用python求解方阵特征值与特征向量的方法及代码实现

    >>>import numpy as np      ##引入numpy模块
    >>>x=numpy.diag((1,2,3))   ##写入对角阵x
    >>>x                       ##输出对角阵x
    array([[1,0,0],
    [0,2,0],
    [0,0,3]])
    >>>a,b=numpy.linalg.elg(x) ##特征值赋值给a,对应特征向量赋值给b 
    >>>a                       ##特征值 1 2 3
    array([1.,2.,3.])
    >>>b                       ##特征向量
    array([1.,0.,0.],
    [0.,1.,0.],
    [0.,0.,1.])  
    

    局限性:使用函数numpy.diag( )产生的是对角阵,实际情况都是要处理一般方阵。关于numpy.diag( )的用法可以参考numpy.diag 使用说明

    参考链接2:
    科学计算python VS matlab
    介绍python进行矩阵运算的各种函数

    a2=np.array([[1,2,3],[2,3,4]])   #建立一个二维数组
    b2=np.array([[1,2,3],[2,3,4]],dtype=int)  #可以输出指定数据类型
    np.linalg.eig(a2)                #返回矩阵a2的特征值与特征向量
    

    针对开头的问题,求解代码如下图所示:
    问题求解代码

    参考链接3:
    特征值与特征向量的雅克比算法C++实现

    没有比较就不知道,使用python求解特征值问题多么简单!
    链接3是使用C++求解特征值的方法,虽然有点复杂,代码多,个人感觉,有必要看一看,以认识具体的实现过程。

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  • 有些省份会考察特征值与特征向量这部分的知识,在此我将该题型的答题步骤总结一下,供大家参考!其中仅包括求解特征值与特征向量,其余相关知识点暂且没有涉及。一个是并不会去考察,另一个就是涉及的东西比较多,怕...

        有些省份会考察特征值与特征向量这部分的知识,在此我将该题型的答题步骤总结一下,供大家参考!其中仅包括求解特征值与特征向量,其余相关知识点暂且没有涉及。一个是并不会去考察,另一个就是涉及的东西比较多,怕同学们记混淆!

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    da0e961d5a1fe2be1f0de3a8ff160340.png步骤一:求解A的特征多项式

    步骤二:求特征值,及令该特征多项式为0,求出所有的根

    步骤三:求出A的全部特征向量

    其中有一道例题,是求零向量的特征向量,我们可以发现实际上无法计算出。则我们取一个基础解系即可,因为是三重根,所以有三个特征向量。

    实际上求解特征值和特征向量,就是要从定义出发。不单单是线性代数要去理解定义,数学分析、高数同样都是从定义出发的。2e2e2116ffa177649466f7cc9fcd539c.png

    最近都要忙吐了!

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    希望同学们有一些问题可以自己去网上找到的,或者需要自己去动手计算的,都自行完成。有些题目打眼一看计算量就比较大,我实在是无法分身。当然,我也不是不管大家~有时间我就会看,尽量都有所回复,对于一些比较好的题目我会跟今天一样总结出来~希望大家可以顺利上岸~
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  • //特征值与特征向量(4)//01前言(1)今天我们来讨论抽象矩阵的特征值与特征向量。这类抽象问题, 最重要的方法就是定义法!当然这里还需要一定的“观察力”, 这也是同学们在看到答案中“由观察可得”比较头疼的地方。...

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    //特征值与特征向量(4)//

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    01前言(1)今天我们来讨论抽象矩阵的特征值与特征向量。这类抽象问题, 最重要的方法就是定义法!当然这里还需要一定的“观察力”, 这也是同学们在看到答案中“由观察可得”比较头疼的地方。这里没有什么玄妙的技巧, 无它, 手熟尔。(2)①第一问已知A的特征值和特征向量, 求解f(A)的特征值和特征向量。注意f(x)若含有常数项a0, 则f(A)对应的项是a0E。这里证明主要使用定义法, 这个结论需要熟练掌握。②第二问已知A可逆, A^-1和A*的特征值、特征向量可以使用定义法; 而关于A^T, 注意只能讨论特征值。由于不知道特征向量的关系, 所以这里不能使用定义法, 而应换个角度, 考虑特征多项式或特征方程。③第三问是一个非常重要的结论, 证明的理论依据就是是我们之前在向量组部分经常使用的模型。(3)请大家一定要熟练掌握今天的三条性质, 包括它们的推导和运用, 尤其是我在视频最后总结的表格, 这是考试的高频考点。02题目

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    03讲解04文稿

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  • 特征值与特征向量(3)前言(1)今天我们继续讨论一类特殊矩阵的特征值和特征向量。这个特殊“实对称”矩阵的性质希望同学们还没有完全遗忘, 正好通过今天的内容带着大家复习下。(2)特征值: ①|A|=[a+(n-1)b](a-b)^(n-1)...
  • 本章主要介绍特征值与特征向量的知识,前一章我们介绍了线性变换可以把一个向量映射到另一个向量,可逆变换可以让两个向量实现双射,正交变换不仅能够实现双射还可以满足保范数的特点,即只做旋转不做放缩。而特征值...

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