精华内容
下载资源
问答
  • 2018-09-12 09:57:00

    # T分布 #

    1.T分布是统计分布的一种,同卡方分布(X2分布),F分布并称为三大分布

    2.T分布又叫student-t分布,常用于根据小样本来估计呈正太分布且方差值未知的样本的均值(如果总体的方差已知的话,则应该用正态分布来估计总体的均值)(所以一个前提条件是:T分布的样本的总体必须符合正态分布)

    3.T分布一般用于小样本的情形、

    4.假设X服从标准正态分布即X~N(0,1),Y服从自由度n的卡方分布即Y~χ2(n),且X和Y是相互独立的,那么Z = X/sqrt(Y/n)的分布成为自由的为n的T分布,记为Z~t(n)。

    5.对于Z~t(n)分布,其数学期望E(Z)= 0,n>1;方差D(Z)= n/(n-2),n>2

    特征:

    1.以0 为中心,左右对称的单峰分布;

    2.T分布是一簇曲线,其形态变化与n(即其自由度)大小有关,自由度n越小,T分布曲线越低平;自由度n越大,T分布曲线越接近标准正态分布(u分布)曲线,当自由度无限大时,T分布就成了正态分布。

    3.随着自由度逐渐增大,T分布逐渐接近标准正态分布。

    转载于:https://www.cnblogs.com/monkeyT/p/9633060.html

    更多相关内容
  • 这一节涉及到一些统计学中的难点,当你理解了这些概念后,后面的内容就会相对容易理解了。 文章目录自由度x2x^2x2 分布ttt 分布FFF 分布 自由度 x2x^2x2 分布 ttt 分布 FFF 分布

    从经验可知,大部分的样本分布服从或近似服从「正态分布」。现在我们要看看和正态分布有所异同,也是非常常见的三大分布都是什么样的。

    x 2 x^2 x2 分布

    Y ∼ X 2 ( n ) Y \sim X^2(n) YX2(n) 分布又称卡方分布,它的定义如下:

    基本概念

    X 1 , X 2 , ⋯   , X n X_1, X_2, \cdots, X_n X1,X2,,Xn 来自正态分布总体 N ( 0 , 1 ) N(0, 1) N(0,1) 的样本,则称统计量

    Y = X 1 2 + X 2 2 + ⋯ X n 2 Y = X_1^2 + X_2^2 + \cdots X_n^2 Y=X12+X22+Xn2

    服从自由度为 n n n X 2 X^2 X2 分布,记为 Y ∼ X 2 ( n ) Y \sim X^2(n) YX2(n) X 2 ( n ) X^2(n) X2(n) 分布的概率密度函数为:

    f ( y ) = { 1 2 n / 2 Γ ( n / 2 ) y n / 2 − 1 e − y / 2 y > 0 0 o t h e r w i s e f(y) = \left \{ \begin{matrix} \frac{1}{2^{n/2} \Gamma (n / 2)} y^{n/2-1} e^{-y / 2} & y > 0 \\ 0 & otherwise \end{matrix} \right . f(y)={2n/2Γ(n/2)1yn/21ey/20y>0otherwise

    函数密度图像

    在这里插入图片描述

    这张图主要说明,随着样本数增加,卡方分布的概率密度图像逐渐从类似 l o g log log 的对数图像逐渐接近柏松分布。使得「概率密度图像(PDF)」呈现出和「泊松等待」相类似的特征。
    在这里插入图片描述
    由于组成卡方分布的每个样本 X X X 来自标准正态分布,所以每个独立样本的期望 E ( X ) = 0 E(X) = 0 E(X)=0,方差 D ( X ) = 1 D(X) = 1 D(X)=1

    基本性质

    对于 X 2 X^2 X2 分布来说它有两个性质

    其一:

    X 2 X^2 X2 分布的期望 E ( Y ) = n E(Y) = n E(Y)=n时,它的方差 D ( Y ) = 2 n D(Y) = 2n D(Y)=2n

    其二:

    X 2 X^2 X2 分布具有可加性。
    比如,有 X ∼ Y 2 ( m ) X \sim Y^2(m) XY2(m) Y ∼ Y 2 ( n ) Y \sim Y^2(n) YY2(n),且 X 和 Y 相互独立,有 X + Y ∼ X 2 ( m + n ) X+Y \sim X^2(m+n) X+YX2(m+n)

    例题

    ( X 1 , X 2 , ⋯   , X 6 ) (X_1, X_2, \cdots, X_6) (X1,X2,,X6) 为取自标准正态总体 N ( 0 , 1 ) N(0, 1) N(0,1) 的一个样本,求下列三个统计量的分布
    (1) X 1 2 + X 2 2 X_1^2 + X_2^2 X12+X22
    (2) X 1 2 X_1^2 X12
    (3) X 1 2 + a ( X 2 + X 3 ) 2 + b ( X 4 + X 5 + X 6 ) 2 X_1^2 + a(X_2 + X_3)^2 + b(X_4 + X_5 + X_6)^2 X12+a(X2+X3)2+b(X4+X5+X6)2

    解(1):
    由样本定义可知, X 1 , X 2 , ⋯ X 6 X_1, X_2, \cdots X_6 X1,X2,X6 彼此相互独立,且服从 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1),所以 X 1 2 + X 2 2 ∼ X 2 ( 2 ) X_1^2 + X_2^2 \sim X^2(2) X12+X22X2(2)

    解(2):
    由样本定义可知, X 1 , X 2 , ⋯ X 6 X_1, X_2, \cdots X_6 X1,X2,X6 彼此相互独立,且服从 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1),因此对于单个元素它的卡方分布为 X 1 2 ∼ X 2 ( 1 ) X_1^2 \sim X^2(1) X12X2(1)

    解(3):
    从卡方分布的定义出发,我们令

    Y 1 = X 1 2 Y 2 = a ( X 2 + X 3 ) 2 Y 3 = b ( X 4 + X 5 + X 6 ) 2 Y_1 = X_1^2 \\ Y_2 = a(X_2 + X_3)^2 \\ Y_3 = b(X_4 + X_5 + X_6)^2 Y1=X12Y2=a(X2+X3)2Y3=b(X4+X5+X6)2

    对于 Y 1 = X 1 2 Y_1 = X_1^2 Y1=X12来说,由于元素来自标准正态总体,所以 Y 1 Y_1 Y1 的期望 E ( Y 1 ) = 0 E(Y_1) = 0 E(Y1)=0,方差 D ( Y 1 ) = 1 D(Y_1) = 1 D(Y1)=1,所以 Y 1 ∼ N ( 0 , 1 ) Y_1 \sim N(0, 1) Y1N(0,1)

    对于 Y 2 = a ( X 2 + X 3 ) 2 Y_2 = a(X_2 + X_3)^2 Y2=a(X2+X3)2 来说,它有两个离散的样本,在 《概率论基础 —— 8.数学期望、方差、协方差》 一节中,我们可以知道由样本 ( X 2 , X 3 ) (X_2, X_3) (X2,X3) 组成的离散集合,我们可以通过离散型期望、方差的计算方法得到 E ( X 2 , X 3 ) = E ( X 2 ) + E ( X 3 ) = 0 E(X_2, X_3) = E(X_2) + E(X_3) = 0 E(X2,X3)=E(X2)+E(X3)=0,其方差 D ( X 2 , X 3 ) = D ( X 2 ) + D ( X 3 ) = 2 D(X_2, X_3) = D(X_2) +D(X_3) = 2 D(X2,X3)=D(X2)+D(X3)=2,于是有 ( X 2 + X 3 ) ∼ N ( 0 , 2 ) (X_2 + X_3) \sim N(0, 2) (X2+X3)N(0,2) ,我们对正太分布进行标准化,代入如下公式:

    X − μ σ = X − 0 2 = X 2 \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 0}{\sqrt{2}} = \frac{X}{\sqrt 2} σXμ=2 X0=2 X

    于是我们得到标准正态分布 X 2 + X 3 2 ∼ N ( 0 , 1 ) \frac{X_2 + X_3}{\sqrt 2} \sim N(0, 1) 2 X2+X3N(0,1)

    同理,对于 Y 3 = b ( X 4 + X 5 + X 6 ) 2 Y_3 = b(X_4 + X_5 + X_6)^2 Y3=b(X4+X5+X6)2,它的样本集合 ( X 4 , X 5 , X 6 ) (X_4, X_5, X_6) (X4,X5,X6) 的期望为0,方差为3,其标准正态分布为 X 4 + X 5 + X 6 3 \frac{X_4 + X_5 + X_6}{\sqrt 3} 3 X4+X5+X6

    再从卡方分布的基本概念出发,拼凑出它应该为

    X 2 = X 1 2 + ( X 2 + X 3 2 ) 2 + ( X 4 + X 5 + X 6 3 ) 2 = X 1 2 + ( X 2 + X 3 ) 2 2 + ( X 4 + X 5 + X 6 ) 2 3 X^2 = X_1^2 + \left (\frac{X_2 + X_3}{\sqrt 2} \right )^2 + \left ( \frac{X_4 + X_5 + X_6}{\sqrt 3} \right )^2 = X_1^2 + \frac{(X_2 + X_3)^2}{2} + \frac{(X_4 + X_5 + X_6)^2}{3} X2=X12+(2 X2+X3)2+(3 X4+X5+X6)2=X12+2(X2+X3)2+3(X4+X5+X6)2

    所以, a = 1 2 a=\frac{1}{2} a=21 b = 1 3 b = \frac{1}{3} b=31

    t t t 分布

    基本概念

    X ∼ N ( 0 , 1 ) X \sim N(0, 1) XN(0,1) Y ∼ X 2 ( n ) Y \sim X^2(n) YX2(n),且 X, Y 相互独立,则称随机变量
    t = X Y / n t = \frac{X}{\sqrt{Y / n}} t=Y/n X
    服从自由度为 n n n t t t 分布,记为 t ∼ t ( n ) t \sim t(n) tt(n) t ( n ) t(n) t(n) 分布的概率密度函数函数为:

    h ( t ) = Γ [ ( n + 1 ) / 2 ] π n Γ ( n / 2 ) ( 1 + t 2 n ) − ( n + 1 ) / 2 , − ∞ < t < ∞ h(t) = \frac{\Gamma [(n+1) / 2]}{\sqrt{\pi n} \Gamma(n / 2)} (1 + \frac{t^2}{n})^{-(n+1) / 2}, -\infty < t < \infty h(t)=πn Γ(n/2)Γ[(n+1)/2](1+nt2)(n+1)/2,<t<

    函数密度图像

    在这里插入图片描述

    例题

    假设总体 X ∼ N ( 0 , 3 2 ) X \sim N(0, 3^2) XN(0,32) X 1 , X 2 , ⋯ X n X_1, X_2, \cdots X_n X1,X2,Xn 是来自总体X的简单随机样本,则统计量
    Y = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 X 5 2 + X 6 2 + X 7 2 + X 8 2 Y = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{\sqrt{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2}} Y=X52+X62+X72+X82 X1+X2+X3+X4 服从自由度为____ 的 __________ 分布。

    解:

    我们从t分布的基本定义入手

    t = X Y / n t = \frac{X}{\sqrt{Y / n}} t=Y/n X

    注意对于t分布的要求,其中的元素必须服从 X ∼ N ( 0 , 1 ) X \sim N(0, 1) XN(0,1),分母的Y是卡方分布, Y ∼ X 2 ( n ) Y \sim X^2(n) YX2(n)

    所以令 Z = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 ∼ N ( 0 , 36 ) Z=X_1 + X_2 + X_3 + X_4 \sim N(0, 36) Z=X1+X2+X3+X4N(0,36),我们可以标准化这个分布后得到 Z 6 ∼ N ( 0 , 1 ) \frac{Z}{6} \sim N(0, 1) 6ZN(0,1)

    分母虽然看起来很像卡方分布,但是由于假设的总体 X ∼ N ( 0 , 3 2 ) X \sim N(0, 3^2) XN(0,32),所以我们要先对它进行标准化后,可以得到 X i 3 ∼ N ( 0 , 1 ) \frac{X_i}{3} \sim N(0, 1) 3XiN(0,1),然后凑出一个卡方分布得到

    Y ′ = ( X 5 3 ) 2 + ( X 6 3 ) 2 + ( X 7 3 ) 2 + ( X 8 3 ) 2 = X 5 2 + X 6 2 + X 7 2 + X 8 2 9 ∼ X 2 ( 4 ) Y' = \left ( \frac{X_5}{3} \right )^2 + \left ( \frac{X_6}{3} \right )^2 + \left ( \frac{X_7}{3} \right )^2 + \left ( \frac{X_8}{3} \right )^2 = \frac{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2}{9} \sim X^2(4) Y=(3X5)2+(3X6)2+(3X7)2+(3X8)2=9X52+X62+X72+X82X2(4)

    然后分别把得到的 Z Z Z Y ′ Y' Y 代入 t t t 分布公式中,于是得到

    t = X / 6 Y ′ / 4 = 1 6 X 1 + X 2 + X 3 + X 4 X 5 2 + X 6 2 + X 7 2 + X 8 2 9 × 4 = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 X 5 2 + X 6 2 + X 7 2 + X 8 2 ∼ t ( 4 ) t = \frac{X / 6}{\sqrt{Y' / 4}} = \frac{1}{6} \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{\sqrt{ \frac{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2}{9 \times 4}}} = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{\sqrt{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2}} \sim t(4) t=Y/4 X/6=619×4X52+X62+X72+X82 X1+X2+X3+X4=X52+X62+X72+X82 X1+X2+X3+X4t(4)

    所以它是自由度为4的t分布。

    F F F 分布

    基本概念

    U ∼ X 2 ( n 1 ) U \sim X^2(n_1) UX2(n1) V ∼ X 2 ( n 2 ) V \sim X^2(n_2) VX2(n2),且 U U U V V V 相互独立,则称随机变量

    F = U / n 1 V / n 2 F = \frac{U / n_1}{V / n_2} F=V/n2U/n1

    服从自由度为 ( n 1 , n 2 ) (n_1, n_2) (n1,n2) F F F 分布,记为 F ∼ F ( n 1 , n 2 ) F \sim F(n_1, n_2) FF(n1,n2) F ( n 1 , n 2 ) F(n_1, n_2) F(n1,n2) 分布的概率密度函数为:

    φ ( y ) = { Γ [ ( n 1 + n 2 ) / 2 ] ( n 1 / n 2 ) n 1 / 2 y ( n 1 / 2 ) − 1 1 y > 0 0 o t h e r w i s e \varphi (y) = \left \{ \begin{matrix} \frac{\Gamma [(n_1 + n_2) / 2] (n_1 / n_2)^{n_1 / 2} y^{(n_1 / 2) - 1}}{1} & y > 0 \\ 0 & otherwise \end{matrix} \right . φ(y)={1Γ[(n1+n2)/2](n1/n2)n1/2y(n1/2)10y>0otherwise

    函数密度图像

    在这里插入图片描述

    例题

    设随机变量 T ∼ t ( n ) T \sim t(n) Tt(n) F = 1 T 2 F = \frac{1}{T^2} F=T21 求随机变量F的分布

    解:

    先从 t t t 分布的定义出发,它是

    t = X Y / n t = \frac{X}{\sqrt{Y / n}} t=Y/n X

    其中 X ∼ N ( 0 , 1 ) X \sim N(0, 1) XN(0,1) Y ∼ X 2 ( n ) Y \sim X^2(n) YX2(n),所以我们得到 T = X Y / n T = \frac{X}{\sqrt{Y / n}} T=Y/n X。代入 F = 1 T 2 F = \frac{1}{T^2} F=T21 后,我们有

    F = Y / n X 2 F = \frac{Y / n}{X^2} F=X2Y/n

    由于我们前面已经假设了 X ∼ N ( 0 , 1 ) X \sim N(0, 1) XN(0,1),所以当 Y ′ = X 2 Y' = X^2 Y=X2 时,它自然也是卡方分布,且只有一个元素,于是有 Y ′ ∼ X 2 ( 1 ) Y' \sim X^2(1) YX2(1),参考F分布的定义,我们有

    F ′ = U / n 1 V / n 2 F' = \frac{U / n_1}{V / n_2} F=V/n2U/n1

    U U U V V V 均是卡方分布,我们代入已知的 Y / n Y / n Y/n U / n 1 U / n_1 U/n1 Y ′ Y' Y 可等价于 Y ′ / 1 Y' / 1 Y/1 并且 Y Y Y Y ′ Y' Y互相独立,于是也可以代入到 V / n 2 V/n_2 V/n2,得到最终 F ′ F' F 的分布

    F ′ = Y / n Y ′ / 1 = Y / n X 2 F' = \frac{Y / n}{ Y' / 1} = \frac{Y / n}{X^2} F=Y/1Y/n=X2Y/n

    所以 F = F ′ F = F' F=F,于是 F ∼ F ( n , 1 ) F \sim F(n , 1) FF(n,1)

    展开全文
  • 数理知识:偏t分布

    千次阅读 2022-01-23 17:57:14
    Hello,大家好!最近有在学习一些有关偏态分布的数理知识,但在搜偏ttt分布的相关资料的时候感觉比较散,所以做个整理,主要参考的书籍是Azzalini在2014年出版的一本有关偏态分布族的书《The Skew-...t(x;ν)=Γ(ν+12)

    Hello,大家好!最近有在学习一些有关偏态分布的数理知识,但在搜偏 t t t分布的相关资料的时候感觉比较散,所以做个整理,主要参考的书籍是Azzalini在2014年出版的一本有关偏态分布族的书《The Skew-Normal and Related Families》,大家可以文末获取,有哪里理解不对的地方,还请各位大佬多多指正。

    t t t分布定义

    t t t分布的生成,可以通过调节 t t t分布的尾部厚度来实现,那么我们先来写下 t t t分布的概率密度函数
    t ( x ; ν ) = Γ ( ν + 1 2 ) π ν Γ ( ν 2 ) ( 1 + x 2 ν ) − ν + 1 2 , x ∈ R , t(x;\nu)=\frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})}{\sqrt{\pi \nu}\Gamma(\frac{\nu}{2})}\big( 1+\frac{x^2}{\nu} \big)^{-\frac{\nu+1}{2}},\qquad x \in \mathbb{R}, t(x;ν)=πν Γ(2ν)Γ(2ν+1)(1+νx2)2ν+1,xR,
    其中, ν \nu ν代表自由度。

    性质1.1: f 0 f_0 f0表示 R d \mathbb{R}^d Rd上的概率密度函数,用 G ( ⋅ ) G(\cdot) G()表示一个连续分布函数,用 w ( ⋅ ) w(\cdot) w()表示 R d \mathbb{R}^d Rd上的实值函数,使得
    f 0 ( − x ) = f 0 ( x ) , w ( − x ) = − w ( x ) , G 0 ( − y ) = 1 − G 0 ( y ) f_0(-x)=f_0(x), \quad w(-x)=-w(x), \quad G_0(-y)=1-G_0(y) f0(x)=f0(x),w(x)=w(x),G0(y)=1G0(y)
    对于 x ∈ R d x \in \mathbb{R}^d xRd y ∈ R y \in \mathbb{R} yR,则
    f ( x ) = 2 f 0 ( x ) G { w ( x ) } f(x)=2f_0(x)G\{ w(x)\} f(x)=2f0(x)G{w(x)}
    表示为 R d \mathbb{R}^d Rd上的概率密度函数。

    那么对于 t t t分布,我们就可以通过性质1.1来生成尾部厚度不一的偏 t t t分布,根据以往的研究,以线性形式来引入不对称的版本,即
    2 t ( x ; ν ) T ( α x ; ν ) 2t(x;\nu)T(\alpha x;\nu) 2t(x;ν)T(αx;ν)
    其中, T ( ⋅ ; ν ) T(\cdot;\nu) T(;ν)表示 t t t分布的累积分布函数, α \alpha α表示偏度参数。

    除了这种构建方式外,还可以通过类似于 t t t分布随机变量的构建方式来获得,并且这种方式更被普遍引用,同样,我们先写出 t t t分布的随机变量
    Z = Z 0 V , Z=\frac{Z_0}{\sqrt{V}}, Z=V Z0,
    其中, Z 0 ∼ N ( 0 , 1 ) Z_0 \sim \mathrm{N}(0,1) Z0N(0,1) V ∼ χ ν 2 / ν V \sim \chi_{\nu}^2 / \nu Vχν2/ν为独立随机变量。

    相应地,通过将 Z 0 Z_0 Z0的正态分布假设替换为 Z 0 ∼ S N ( 0 , 1 , α ) Z_0 \sim \mathrm{SN}(0,1,\alpha) Z0SN(0,1,α)来获得偏 t t t分布的公式。在这种情况下,若 h ( ⋅ ) h(\cdot) h()表示 V V V的密度函数,则随机变量 Z Z Z的密度函数为
    KaTeX parse error: No such environment: align* at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲*̲}̲ t(x;\alpha,\nu…
    便得到了 Z ∼ S T ( 0 , 1 , α , ν ) Z \sim \mathrm{ST}(0,1,\alpha,\nu) ZST(0,1,α,ν),如果 α = 0 \alpha=0 α=0,那么该密度函数便会变回常规的学生 t t t分布;如果 ν → ∞ \nu \to \infty ν,则变回 S N ( 0 , 1 , α ) \mathrm{SN}(0,1,\alpha) SN(0,1,α)密度函数。

    为了更广泛的使用,我们需要让该分布再包含位置参数尺度参数来进一步推广偏 t t t分布。我们令 Y = ξ + ω Z Y=\xi+\omega Z Y=ξ+ωZ,那么原来关于 x x x的概率密度函数 t ( x ; α , ν ) t(x;\alpha,\nu) t(x;α,ν),变为了 ω − 1 t ( z ; α , ν ) \omega^{-1}t(z;\alpha,\nu) ω1t(z;α,ν),其中 z = ω − 1 ( x − ξ ) z=\omega^{-1}(x-\xi) z=ω1(xξ),这样就得到含有均值、方差、偏度、自由度四个参数的偏 t t t分布 Y ∼ S T ( ξ , ω 2 , α , ν ) Y \sim \mathrm{ST(\xi,\omega^2,\alpha,\nu)} YST(ξ,ω2,α,ν),即
    f S T ( y ) = 2 ω t ( η ; ν ) T ( α η ν + 1 ν + η 2 ; ν + 1 ) , η = y − ξ ω f_{ST}(y)=\frac{2}{\omega}t(\eta;\nu)T(\alpha \eta \sqrt{\frac{\nu+1}{\nu+\eta^2}};\nu+1), \qquad \eta=\frac{y-\xi}{\omega} fST(y)=ω2t(η;ν)T(αην+η2ν+1 ;ν+1),η=ωyξ


    (先整理了定义,后续再逐步更新相关性质,未完待续…)

    资源获取

    • 关注公众号,回复“偏t分布”,获得电子书。

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • t分布

    千次阅读 2019-01-08 00:55:44
    t分布 如果有一点点的统计学基础都知道,t分布和χ2\chi^2χ2分布有着密不可分的联系,t随机变量的构造是基于χ2\chi^2χ2随机变量的。 设随机变量X1X_1X1​与X2X_2X2​独立,X1∼N(0,1)X_1\sim N(0,1)X1​∼N(0,1...

    t分布

    如果有一点点的统计学基础都知道,t分布和 χ 2 \chi^2 χ2分布有着密不可分的联系,t随机变量的构造是基于 χ 2 \chi^2 χ2随机变量的。

    设随机变量 X 1 X_1 X1 X 2 X_2 X2独立, X 1 ∼ N ( 0 , 1 ) X_1\sim N(0,1) X1N(0,1), X 2 ∼ χ 2 ( n ) X_2\sim \chi^2(n) X2χ2(n), 则 t = X 1 X 2 / n ∼ t ( n ) t=\frac{X_1}{\sqrt{X_2/n}}\sim t(n) t=X2/n X1t(n).

    已经知道 χ 2 \chi^2 χ2分布是 G a m m a Gamma Gamma分布的特例,那么 t t t 的密度函数一定也是与 Γ \Gamma Γ函数密切相关的,通过令 t 2 = F ( 1 , n ) t^2=F(1,n) t2=F(1,n)以及根据 t t t分布的对称性,可以求出 t t t 的密度函数, 求 t t t 密度函数的过程如下:
    P ( 0 &lt; t &lt; y ) = 1 2 P ( t 2 &lt; y 2 ) = 1 2 P ( F &lt; y 2 ) P(0&lt;t&lt;y)=\frac{1}{2}P({t^2}&lt;{y^2})=\frac{1}{2}P(F&lt;y^2) P(0<t<y)=21P(t2<y2)=21P(F<y2)两边求导,得 f t ( y ) = y f F ( y 2 ) . f_t(y)=yf_F(y^2). ft(y)=yfF(y2).

    1 n ( x ‾ − μ ) s \frac{\sqrt n(\overline{x}-\mu)}{s} sn (xμ)服从 t t t分布

    t t t分布的峰比标准正态分布略低一些,尾部比标准正态分布的大一些。是由英国统计学家Gosset发现,由Fisher完善的。当数据量很大时,根据中心极限定理,总是可以将统计量归结到正态分布。但当数据量较小时,就与正态分布产生偏差。Gosset发现 n ( x ‾ − μ ) s \frac{\sqrt n(\overline{x}-\mu)}{s} sn (xμ)并不是完全服从正态分布的,而是服从一种全新的分布 – t t t分布。由于上面已经介绍了 t t t分布的定义,下面证明统计量 n ( x ‾ − μ ) s \frac{\sqrt n(\overline{x}-\mu)}{s} sn (xμ)服从 t t t分布。

    x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn是来自总体 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2)的样本, s 2 s^2 s2是样本标准差,则有: ( n − 1 ) s 2 σ 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) . \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1). σ2(n1)s2χ2(n1).
    构造一个矩阵 A A A,将 ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) (x_1,x_2,...,x_n) (x1,x2,...,xn)正交变换为 ( y 1 , y 2 , . . . , y n ) (y_1,y_2,...,y_n) (y1,y2,...,yn),即:

    Y = ( y 1 , y 2 , . . . , y n ) ′ = A ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) ′ = A X Y=(y_1,y_2,...,y_n)&#x27;=A(x_1,x_2,...,x_n)&#x27;=AX Y=(y1,y2,...,yn)=A(x1,x2,...,xn)=AX

    A = ( 1 n 1 n 1 n . . . 1 n 1 2 ⋅ 1 − 1 2 ⋅ 1 0 . . . 0 1 3 ⋅ 2 1 3 ⋅ 2 − 2 3 ⋅ 2 . . . 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 n ⋅ ( n − 1 ) 1 n ⋅ ( n − 1 ) 1 n ⋅ ( n − 1 ) . . . − n − 1 n ⋅ ( n − 1 ) ) n × n A =\left( \begin{array}{} \frac{1}{\sqrt n}&amp; \frac{1}{\sqrt n}&amp; \frac{1}{\sqrt n}&amp;...&amp;\frac{1}{\sqrt n} \\ \frac{1}{\sqrt{2\cdot1}}&amp; -\frac{1}{\sqrt{2\cdot1}} &amp; 0&amp;...&amp;0 \\ \frac{1}{\sqrt{3\cdot2}}&amp; \frac{1}{\sqrt{3\cdot2}} &amp;- \frac{2}{\sqrt{3\cdot2}}&amp;...&amp;0\\ \vdots&amp;\vdots&amp;\vdots&amp;\vdots&amp;\vdots\\ \frac{1}{\sqrt{n\cdot(n-1)}}&amp;\frac{1}{\sqrt{n\cdot(n-1)}}&amp;\frac{1}{\sqrt{n\cdot(n-1)}}&amp;...&amp;-\frac{n-1}{\sqrt{n\cdot(n-1)}}\\ \end{array} \right)_{n\times n} A=n 121 132 1n(n1) 1n 121 132 1n(n1) 1n 1032 2n(n1) 1............n 100n(n1) n1n×n
    则有 y 1 = 1 n ∑ i = 0 n x i y_1=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum\limits_{i=0}^nx_i y1=n 1i=0nxi,即 x ‾ = 1 n y 1 \overline{x}=\frac{1}{\sqrt{n}}y_1 x=n 1y1,所以有:
    ( n − 1 ) s 2 = ∑ i = 0 n ( x i − x ‾ ) 2 = ∑ i = 1 n x i 2 − n x ‾ 2 = X ′ X − y 1 2 (n-1)s^2=\sum\limits_{i=0}^n(x_i-\overline{x})^2 =\sum\limits_{i=1}^nx_i^2-n\overline{x}^2 =X&#x27;X-y_1^2 (n1)s2=i=0n(xix)2=i=1nxi2nx2=XXy12         = X ′ A ′ A X − y 1 2 = Y ′ Y − y 1 2 = ∑ i = 2 n y i 2 ~~~~~~~=X&#x27;A&#x27;AX-y_1^2 =Y&#x27;Y-y_1^2 =\sum\limits_{i=2}^ny_i^2        =XAAXy12=YYy12=i=2nyi2
    由于 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn均服从 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2) y 1 , y 2 , . . . , y n y_1,y_2,...,y_n y1,y2,...,yn x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn的线性组合,所以 y 1 , y 2 , . . . , y n y_1,y_2,...,y_n y1,y2,...,yn也服从正态分布,其中 y 1 ∼ N ( n μ , σ 2 ) y_1\sim N(\sqrt{n}\mu,\sigma^2) y1N(n μ,σ2) y 2 , . . . , y n ∼ N ( 0 , σ 2 ) y_2,...,y_n\sim N(0,\sigma^2) y2,...,ynN(0,σ2), 根据多元正态分布的密度函数表达式容易得出 y 2 , . . . , y n y_2,...,y_n y2,...,yn也是互相独立的。可得:
    ( n − 1 ) s 2 σ 2 = ∑ i = 2 n ( y i σ ) 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) . \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}=\sum\limits_{i=2}^n(\frac{y_i}{\sigma})^2\sim\chi^2(n-1). σ2(n1)s2=i=2n(σyi)2χ2(n1).
    又由于 x ‾ \overline{x} x s 2 s^2 s2独立 ( x ‾ \overline{x} x只与 y 1 y_1 y1有关, s 2 s^2 s2只与 y 2 , . . . , y n y_2,...,y_n y2,...,yn有关),则:

    n ( x ‾ − μ ) s = x ‾ − μ σ / n ( n − 1 ) s 2 / σ 2 n − 1 ∼ t ( n − 1 ) \frac{\sqrt n(\overline{x}-\mu)}{s}=\frac{{\frac{\overline{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}}} {\sqrt{\frac{{(n-1)s^2}/{\sigma^2}}{n-1}}}\sim t(n-1) sn (xμ)=n1(n1)s2/σ2 σ/n xμt(n1)
    证明完毕。

    2 比较期望的t检验

    在正态总体的参数假设检验中,t检验是经常使用的一种检验方法,使用t检验可以

    • 检验总体期望与某一个常数是否有显著差异(样本均数与总体均数的比较)
    • 检验两个独立总体的总体期望是否有显著差异(两独立样本均数的比较)
    • 检验两个相关总体的总体期望是否有显著差异(两相关样本均数的比较)

    下面用两独立样本均数的比较做例子解释一下统计量 n ( x ‾ − μ ) s \frac{\sqrt n(\overline{x}-\mu)}{s} sn (xμ)的应用。

    口服多糖铁复合物是治疗肾性贫血的传统方法,为研究右旋糖酐氢氧化铁注射液在治疗肾性贫血的效果,选择血红蛋白水平相似的患者随机分为口服多糖铁复合物组和静脉注射右旋糖酐氢氧化铁组,每组分别 n 1 , n 2 n_1,n_2 n1,n2个人,在接受治疗后,收集每个患者血红蛋白含量的增值。口服多糖铁复合物组患者的血红蛋白含量的增值记为 ( x 1 , x 2 , . . . , x n 1 x_1,x_2,...,x_{n_1} x1,x2,...,xn1);静脉注射右旋糖酐氢氧化铁组患者的血红蛋白含量的增值记为 ( y 1 , y 2 , . . . , y n 2 ) (y_1,y_2,...,y_{n_2}) (y1,y2,...,yn2)

    可以把( x 1 , x 2 , . . . , x n 1 x_1,x_2,...,x_{n_1} x1,x2,...,xn1)看作来自总体 X X X,把 ( y 1 , y 2 , . . . , y n 2 ) (y_1,y_2,...,y_{n_2}) (y1,y2,...,yn2)看作来自总体 Y Y Y, 即:

    X ∼ N ( μ 1 , σ 2 )       Y ∼ N ( μ 2 , σ 2 ) X\sim N(\mu_1,\sigma^2)~~~~~Y\sim N(\mu_2,\sigma^2) XN(μ1,σ2)     YN(μ2,σ2)

    从而有:

    x ‾ ∼ N ( μ 1 , σ 2 n 1 )         y ‾ ∼ N ( μ 2 , σ 2 n 2 ) \overline{x}\sim N(\mu_1,\frac{\sigma^2}{n_1})~~~~~~~\overline{y}\sim N(\mu_2,\frac{\sigma^2}{n_2}) xN(μ1,n1σ2)       yN(μ2,n2σ2)

    由于服从正态分布的随机变量的线性组合也服从正态分布,所以有:

    x ‾ − y ‾ ∼ N ( μ 1 − μ 2 , σ 2 n 1 + σ 2 n 2 ) \overline{x}-\overline{y}\sim N(\mu_1-\mu_2,\frac{\sigma^2}{n_1}+\frac{\sigma^2}{n_2}) xyN(μ1μ2,n1σ2+n2σ2)
    即:
    x ‾ − y ‾ − ( μ 1 − μ 2 ) σ 1 n 1 + 1 n 2 ∼ N ( 0 , 1 ) \frac{\overline{x}-\overline{y}-(\mu_1-\mu_2)}{\sigma\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim N(0,1) σn11+n21 xy(μ1μ2)N(0,1)
    构造统计量 n ( x ‾ − μ ) s \frac{\sqrt n(\overline{x}-\mu)}{s} sn (xμ)

    ( n 1 − 1 ) s 1 2 σ 2 + ( n 2 − 1 ) s 2 2 σ 2 ∼ χ 2 ( n 1 + n 2 − 2 ) \frac{(n_1-1)s_1^2}{\sigma^2}+\frac{(n_2-1)s_2^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n_1+n_2-2) σ2(n11)s12+σ2(n21)s22χ2(n1+n22)
    x ‾ − y ‾ − ( μ 1 − μ 2 ) σ 1 n 1 + 1 n 2 ( n 1 − 1 ) s 1 2 σ 2 + ( n 2 − 1 ) s 2 2 σ 2 ( n 1 + n 2 − 2 ) = x ‾ − y ‾ − ( μ 1 − μ 2 ) 1 n 1 + 1 n 2 ( n 1 − 1 ) s 1 2 + ( n 2 − 1 ) s 2 2 ( n 1 + n 2 − 2 ) \frac{\frac{\overline{x}-\overline{y}-(\mu_1-\mu_2)}{\sigma\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}} {\sqrt{\frac{\frac{(n_1-1)s_1^2}{\sigma^2}+\frac{(n_2-1)s_2^2}{\sigma^2}}{(n_1+n_2-2)}}}= \frac{\frac{\overline{x}-\overline{y}-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}} {\sqrt{\frac{{(n_1-1)s_1^2}+{(n_2-1)s_2^2}}{(n_1+n_2-2)}}} (n1+n22)σ2(n11)s12+σ2(n21)s22 σn11+n21 xy(μ1μ2)=(n1+n22)(n11)s12+(n21)s22 n11+n21 xy(μ1μ2)
    = x ‾ − y ‾ − ( μ 1 − μ 2 ) ∑ i = 1 n 1 ( x i − x ‾ ) 2 + ∑ i = 1 n 2 ( y i − y ‾ ) 2 ( n 1 + n 2 − 2 ) 1 n 1 + 1 n 2                 =\frac{{\overline{x}-\overline{y}-(\mu_1-\mu_2)}} {\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n_1}(x_i-\overline x)^2+\sum_{i=1}^{n_2}(y_i-\overline{y})^2}{(n_1+n_2-2)}} {\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}} ~~~~~~~~~~~~~~~ =(n1+n22)i=1n1(xix)2+i=1n2(yiy)2 n11+n21 xy(μ1μ2)               
    = x ‾ − y ‾ − ( μ 1 − μ 2 ) s c 2 ( 1 n 1 + 1 n 2 ) ∼ t ( n 1 + n 2 − 2 )               =\frac{{\overline{x}-\overline{y}-(\mu_1-\mu_2)}} { {\sqrt{s_c^2(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}}\sim t(n_1+n_2-2)~~~~~~~~~~~~~ =sc2(n11+n21) xy(μ1μ2)t(n1+n22)             

    3 线性模型中单个变量的显著性检验

    多元线性模型 (p个变量,n个样本) 的表达式为:
    Y i = β T x i + ϵ i Y_i=\beta^T x_i+\epsilon_i Yi=βTxi+ϵi
    在这里将 Y i Y_i Yi ϵ i \epsilon_i ϵi视为随机变量
    E ( Y i ) = E ( Y i ∣ x i ) = β T x i = μ i E(Y_i)=E(Y_i|x_i)=\beta^T x_i=\mu_i E(Yi)=E(Yixi)=βTxi=μi
    即:
    Y i = μ i + ϵ i Y_i=\mu_i+\epsilon_i Yi=μi+ϵi

    X n × ( p + 1 ) X_{n\times (p+1)} Xn×(p+1)为样本阵,则有:
    Y = X β + ϵ = μ + ϵ Y=X\beta+\epsilon=\mu+\epsilon Y=Xβ+ϵ=μ+ϵ
    再使用最小化残差平方和的方法求 β ^ \hat\beta β^:
    β ^ = ( X T X ) − 1 X T Y \hat\beta=(X^TX)^{-1}X^TY β^=(XTX)1XTY
    然后有:
    Y ^ = μ ^ = X β ^ = X β ^ = X ( X T X ) − 1 X T Y = H Y \hat Y=\hat \mu=X\hat\beta=X\hat\beta=X(X^TX)^{-1}X^TY=HY Y^=μ^=Xβ^=Xβ^=X(XTX)1XTY=HY
    H H H是对称阵,也是幂等阵,且 t r ( H ) = t r ( X ( X T X ) − 1 X T ) = p + 1 , tr(H)=tr(X(X^TX)^{-1}X^T)=p+1, tr(H)=tr(X(XTX)1XT)=p+1 H = ( h i j ) H=(h_{ij}) H=(hij)

    e = Y − Y ^ = ( I − H ) Y , e i = Y i − Y ^ i , e=Y-\hat Y=(I-H)Y,e_i=Y_i-\hat Y_i, e=YY^=(IH)Yei=YiY^i 所以:
    E ( σ 2 ^ ) = E ( 1 n − p − 1 ∑ i = 1 n e i 2 ) = 1 n − p − 1 ∑ i = 1 n ( ( E e i ) 2 + D e i ) E(\hat{\sigma^2})=E(\frac{1}{n-p-1}\sum\limits_{i=1}^{n}e_i^2)=\frac{1}{n-p-1}\sum\limits_{i=1}^{n}((Ee_i)^2+De_i) E(σ2^)=E(np11i=1nei2)=np11i=1n((Eei)2+Dei)
                       = 1 n − p − 1 ∑ i = 1 n ( 1 − h i i ) σ 2 = 1 n − p − 1 ( n − ( p + 1 ) ) σ 2 = σ 2 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{1}{n-p-1}\sum\limits_{i=1}^{n}(1-h_{ii})\sigma^2=\frac{1}{n-p-1}(n-(p+1))\sigma^2=\sigma^2                   =np11i=1n(1hii)σ2=np11(n(p+1))σ2=σ2
    σ 2 ^ = 1 n − p − 1 ∑ i = 1 n e i 2 \hat{\sigma^2}=\frac{1}{n-p-1}\sum\limits_{i=1}^{n}e_i^2 σ2^=np11i=1nei2 σ 2 \sigma^2 σ2 的无偏估计。

    假定 ϵ ∼ N ( 0 , Σ 0 )      Σ 0 = ( σ 2 0 . . . 0 0 σ 2 . . . 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 . . . σ 2 ) \epsilon\sim N(0,\Sigma_0)~~~~\Sigma_0=\left( \begin{array}{ccc} \sigma^2 &amp; 0 &amp; ...&amp;0 \\ 0 &amp; \sigma^2 &amp; ...&amp;0 \\ \vdots &amp; \vdots &amp;\vdots&amp;\vdots\\ 0 &amp; 0 &amp; ...&amp;\sigma^2 \\ \end{array} \right) ϵN(0,Σ0)    Σ0=σ2000σ20.........00σ2, 则 Y ∼ N ( μ , Σ 0 ) Y\sim N(\mu,\Sigma_0) YN(μ,Σ0). 然后有:

    E ( β ^ ) = β E(\hat\beta)=\beta E(β^)=β
    D ( β ^ ) = D ( ( X T X ) − 1 X T Y ) = ( X T X ) − 1 X T D ( Y ) X ( X T X ) − 1 = σ 2 ( X T X ) − 1 D(\hat\beta)=D((X^TX)^{-1}X^TY)=(X^TX)^{-1}X^TD(Y)X(X^TX)^{-1}=\sigma^2(X^TX)^{-1} D(β^)=D((XTX)1XTY)=(XTX)1XTD(Y)X(XTX)1=σ2(XTX)1
    又因为 β ^ \hat\beta β^ Y i Y_i Yi 的线性组合,所以:
    β ^ ∼ N ( β , σ 2 ( X T X ) − 1 ) \hat\beta\sim N(\beta,\sigma^2(X^TX)^{-1}) β^N(β,σ2(XTX)1)
    再记 ( X T X ) − 1 = ( k i j ) , (X^TX)^{-1}=(k_{ij}), (XTX)1=(kij), 所以有:
    β ^ i ∼ N ( β i , σ 2 k i i ) \hat\beta_i\sim N(\beta_i,\sigma^2k_{ii}) β^iN(βi,σ2kii)
    β i \beta_i βi进行显著性检验,原假设为系数 β i \beta_i βi不显著,即:
    H 0 : β i = 0 H_0:\beta_i=0 H0:βi=0
    σ ^ = σ 2 ^ \hat\sigma=\sqrt{\hat{\sigma^2}} σ^=σ2^ ,在原假设成立的条件下,就可以构造 t t t统计量:
    t i = β ^ i k i i σ ^ ∼ t ( n − p − 1 ) t_i=\frac{\hat\beta_i}{\sqrt{k_{ii}}\hat\sigma}\sim t(n-p-1) ti=kii σ^β^it(np1)

    展开全文
  • 关于t分布

    万次阅读 多人点赞 2019-03-11 13:57:15
    上一篇文章提及了卡方分布,本文接着介绍另一类重要的抽样分布–t分布。 简单说一下背景,“t”,是Fisher为之取的名字。Fisher最早将这一分布命名为“Student’s distribution”,并以“t”为之标记。Student,则...
  • 先上结论:t分布并不是仅仅用于小样本(虽然小样本中用的风生水起)中,大样本依旧可以使用。t分布与正太分布相比多了自由度参数,在小样本中,能够更好的剔除异常值对于小样本的影响,从而能够准确的抓住数据的集中...
  • t分布与t检验详解

    万次阅读 多人点赞 2019-01-25 16:39:10
    最近又遇到了t分布及t检验方面的内容,发现有些地方自己当初没有很明白,就又查了些资料,加深了一下自己的理解,这里也将自己的一些理解记录下来。 1. 理论基础——大数定理与中心极限定理  在正式介绍t分布前,...
  • u分布(u分布和t分布)

    千次阅读 2021-01-16 09:24:40
    分别是这样缩写的 B二项分布 binomial distribution P泊松分布 poisson's distribution U均匀分布 uniform distribution E指数分布 exponential distribution N正态分布 .u分布是标准正态分布,是以0为平均值,以1为...
  • 有很多统计推断是基于正态分布的假设,以标准正态分布变量为...这三大抽样分布即为著名的卡方分布,t分布和F分布。 目录 1 卡方分布(分布) 1.1 定义 1.2 性质 2 t分布 2.1 定义 2.2 性质 3 F分布 3.1 ...
  • 正态分布、卡方分布、T分布与F分布
  • 三大抽样分布——卡方分布、t分布、F分布

    万次阅读 多人点赞 2018-11-19 23:45:03
    卡方分布 定义 设(X1,X2,...,Xn)(X_1,X_2,...,X_n)(X1​,X2​,...,Xn​)是来自总体X∼N(0,1)X\sim N(0,1)X∼N(0,1)的一个样本,则称统计量:χ2=∑i=1nXi2\chi^2=\sum_{i=1}^{n}X_i^2χ2=i=1∑n​Xi2​所服从的...
  • 正态分布、t分布、卡方分布、F分布的关系与差异

    万次阅读 多人点赞 2019-04-25 11:12:08
    要理解这些分布,要从基础的正态分布开始。 下面是维基百科对正态分布的介绍: 正态分布(英语:normal distribution)又名高斯分布(英语:Gaussian distribution),是一个非常常见的连续概率分布。正态分布在...
  • MATLAB如何使用tpdf函数计算T分布的概率密度【语法说明】Y=tpdf(X,V):计算X中的元素在自由度V指定的T分布下的概率密度函数值。X与V是同型的数组,如果输入参数中有一个为标量,则将其扩展为与另一个输入参数同型的...
  • 展开全部自由度e68a84e8a2ad3231313335323631343130323136353331333363396363为n-1的t分布 的平方等于自由度(1,n-1)F分布。自由度为m-1的卡方/n-m-1的卡方分布为(m-1,n-m-1)F分布。实际上t分布就是 自由度 1的卡方...
  • 每天学习一点,每天进步一点。...那么有 Z= X/√(Y/n) 成为符合自由度为n的T分布 我们用Python代码画一下他的图形 # 给一个自由度,返回这个自由度的卡方分布 X²(n) def product(n): n = np.ceil(n).astype
  • 有很多统计推断是基于正态分布的假设,以标准正态分布变量为基石...这三大抽样分布即为著名的卡方分布,t分布和F分布。 1 卡方分布 1.1 定义 1.2 性质 2 t分布 2.1 定义 2.2 性质 3 F分布 3.1 定义 3.2 性质 4...
  • 展开全部一、定义不同(1)t分布在概率论和统计学中,t-分布(t-distribution)用于根据小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体e69da5e6ba9062616964757a686964616f31333433616230的均值。如果总体方差已知(例如在样本...
  • 如何理解t检验、t分布、t值?

    千次阅读 2020-11-18 11:49:25
    t检验、t分布、t值其实都是同一个数学概念中的不同部分。 1 t检验的历史 阿瑟·健力士公司(Arthur Guinness Son & Co.)是一家由阿瑟·健力士(Arthur Guinness)于1759年在爱尔兰都柏林建立的一家酿酒公司:...
  • 使用Excel绘制t分布概率密度函数

    千次阅读 2020-12-22 11:21:23
    使用Excel绘制t分布概率密度函数关于t分布应用广泛,主要用于假设检验。关于使用Excel画出t分布的概率密度函数图表的问题,试答如下:使用excel绘制t分布的概率密度函数,需要两列:1)自变量X,2)计算自变量X对应的t...
  • 正态分布小样本抽样分布—t分布 运用t分布构建小样本抽样均值的置信区间 运用t分布进行小样本抽样均值检验 大样本抽样分布 对于大样本的抽样分布,由中心极限定理,无论总体分布是否为正态分布,其均值x_bar的...
  • 大纲:常见的离散型概率分布(二项,几何,超几何,泊松)常见的连续型概率分布(指数,正态,均匀)三大抽样分布(卡方,t,F)一些推论和分布之间的关系离散型分布二项分布实验重复n次,每次实验相互独立(伯努利...
  • 来源:首席数据科学家「Python数据之道」导读大家好,我是阳哥,相信大家经常听到卡方分布、t分布等概念,今天跟大家分享关于抽样分布的内容。01—抽样分布首先,什么是抽样分布呢?在上篇文章...
  • 数理统计三大分布:卡方分布、t分布、F分布正态分布卡方分布定义概率密度函数性质t分布定义概率密度函数性质F分布定义概率密度函数性质Attention 正态分布 由于χ2\chi^2χ2(chi-squard)分布、t分布、F分布都是由...
  • t检验、t分布、t值

    万次阅读 多人点赞 2019-06-06 17:08:38
    1. t检验的历史   阿瑟·健力士公司(Arthur Guinness Son Co.)是一家由阿瑟·健力士(Arthur Guinness)于1759年在爱尔兰都柏林建立的一家酿酒公司:   不过它最出名的却不是啤酒,而是《吉尼斯世界纪录大全...
  • 常见的假设检验中,AB测试是最为出名的假设检验的过程,而需要深刻理解假设检验,先验知识统计量及其抽样分布的理解至关重要,这会为我们学习假设检验打下坚实的基础,本文章便是关于统计量及其抽样分布的讲解。...
  • R可视化绘制t分布(t Distribution)

    千次阅读 2021-07-19 18:37:35
    R可视化绘制t分布(t Distribution) 为了绘制R中t分布的概率密度函数,我们可以使用以下函数: dt(x, df):建立概率密度函数 curve(function, from = NULL, to = NULL):绘制概率密度函数 为了绘制...
  • 统计分析 -- t分布

    千次阅读 2019-10-25 14:01:16
    t分布曲线是一簇曲线,其形态变化与自由度的大小有关。自由度越小,则t 值越分散,t分布曲线的峰部越矮而尾部翘得越高;说明尾部面积(概率P)就越大;与u分布曲线相比,t 分布低平; 自由度逐渐增大时,t 分布...
  • t分布的定义和概率密度函数

    千次阅读 2021-07-02 14:05:31
    定义: 设 X1∼N(0,1),X2∼χ2(n)X_{1} \sim N(0,1), X_{2} \sim \chi^{2}(n)X1​∼N(0,1),X2​∼χ2(n) , 且 X1...所服从的分布为自由度为 nnn 的 $t $ 分布.记为 tt(n){t} \sim{t}({n})tt(n) 概率密度函数: p(y)=

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 316,329
精华内容 126,531
关键字:

t分布

友情链接: Measuring-assembly.rar