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  • 2022-03-03 21:07:49

    分类目录:《机器学习中的数学》总目录
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    凸优化问题的一个突出特点是其可以简化为寻找一个局部极小点的问题。任何一个局部极小点都是全局最小点。有些凸函数的底部是一个平坦的区域,而不是单一的全局最小点,但该平坦区域中的任意点都是一个可以接受的解。优化一个凸问题时,若发现了任何形式的临界点,我们都会知道已经找到了一个不错的可行解

    对于非凸函数时,如神经网络,有可能会存在多个局部极小值。事实上,几乎所有的深度模型基本上都会有非常多的局部极小值。然而,我们会发现这并不是主要问题。由于模型可辨识性问题,神经网络和任意具有多个等效参数化潜变量的模型都会具有多个局部极小值。如果一个足够大的训练集可以唯一确定一组模型参数,那么该模型被称为可辨认的。带有潜变量的模型通常是不可辨认的,因为通过相互交换潜变量我们能得到等价的模型。例如,考虑神经网络的第一层,我们可以交换单元 i i i和单元 j j j的传入权重向量、传出权重向量而得到等价的模型。如果神经网络有 m m m层,每层有 n n n个单元,那么会有 n ! m n!m n!m种排列隐藏单元的方式。这种不可辨认性被称为权重空间对称性。

    除了权重空间对称性,很多神经网络还有其他导致不可辨认的原因。例如,在任意整流线性网络或者Maxout网络中,我们可以将传入权重和偏置扩大 α \alpha α倍,然后将传出权重扩大 1 α \frac{1}{\alpha} α1倍,而保持模型等价。这意味着,如果代价函数不包括如权重衰减这种直接依赖于权重而非模型输出的项,那么整流线性网络或者Maxout网络的每一个局部极小点都在等价的局部极小值的 m × n m×n m×n维双曲线上。

    这些模型可辨识性问题意味着,神经网络代价函数具有非常多甚至不可数无限多的局部极小值。然而,所有这些由于不可辨识性问题而产生的局部极小值都有相同的代价函数值。因此,这些局部极小值并非是非凸所带来的问题。如果局部极小值相比全局最小点拥有很大的代价,局部极小值会带来很大的隐患。我们可以构建没有隐藏单元的小规模神经网络,其局部极小值的代价比全局最小点的代价大很多。如果具有很大代价的局部极小值是常见的,那么这将给基于梯度的优化算法带来极大的问题。

    对于实际中感兴趣的网络,是否存在大量代价很高的局部极小值,优化算法是否会碰到这些局部极小值,都是尚未解决的公开问题。多年来,大多数从业者认为局部极小值是困扰神经网络优化的常见问题。如今,情况有所变化。这个问题仍然是学术界的热点问题,但是学者们现在猜想,对于足够大的神经网络而言,大部分局部极小值都具有很小的代价函数,我们能不能找到真正的全局最小点并不重要,而是需要在参数空间中找到一个代价很小(但不是最小)的点。

    很多从业者将神经网络优化中的所有困难都归结于局部极小值。我们鼓励从业者要仔细分析特定的问题。一种能够排除局部极小值是主要问题的检测方法是画出梯度范数随时间的变化。如果梯度范数没有缩小到一个微小的值,那么该问题既不是局部极小值,也不是其他形式的临界点。在高维空间中,很难明确证明局部极小值是导致问题的原因。许多并非局部极小值的结构也具有很小的梯度。

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    今天给大家介绍MATLAB命令fzero和fminbnd,fzero可以用于寻找一个函数的零点,fminbnd可以用于寻找一个函数的最小值。

    以下面这个函数为例:

    123335144_1_20180129071815628

    先用户自定义函数把上面的函数叫为func,并存入func.m的M文件中。其文件内部代码为:

    123335144_2_20180129071815690

    在命令行窗口输入xiszero=func(0),它的意思是把0带入叫func函数的x中,返回y的值赋值给xiszero输出结果。

    显示结果为-1,符合函数func的结果。

    123335144_3_20180129071815784

    测试函数fzero;

    在命令行窗口输入xsolv=fzreo('func',3)

    123335144_4_20180129071815878

    即xsolv=1.2194为func函数的零点,也就是根。

    在命令行串口输入以下代码,显示出函数func在【-1,1.5】区间内的二维图像。

    123335144_5_2018012907181634

    123335144_6_20180129071816128

    我们发现在【0.5,1.5】区间内有极小值点,尝试通过fminbnd函数求出这个极小点的x值。

    123335144_7_20180129071816253

    此文各位同学可以学到:

    1.创建m文件。

    2.fzero函数求自己创建的函数的根(零点)。

    3.求函数的指定区域的极小值点的x的数值。

    123335144_8_20180129071816315

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  • 【matlab笔记】寻找极小值

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    主要用的是 fminbnd 和 fminsearch 这两个函数。 首先定义函数(要定义为【函数句柄】类型) %% 定义函数 ...目测此函数的两个极小值分别在0.3和0.9附近 ① fminbnd %% fminbnd 函数的使用 % .

    主要用的是 fminbnd 和 fminsearch 这两个函数。

    首先定义函数(要定义为【函数句柄】类型)

    %% 定义函数
    clear;clc;
    f = @(x) - 1 ./ ((x - 0.3) .^ 2 + 0.01) - 1 ./ ((x - 0.9).^2 + 0.04) + 6
    
    % 绘制图像
    x = -1:0.01:2;
    y = f(x);
    plot(x, y)

     目测此函数的两个极小值分别在0.3和0.9附近

    ① fminbnd

    %% fminbnd 函数的使用
    % x = fminbnd(fun,x1,x2) 返回一个值 x,该值是 fun 中描述的标量值函数在区间 x1 < x < x2 中的局部最小值。
    
    min1 = fminbnd(f, 0, 0.5);
    min2 = fminbnd(f,0.5,1);      % 这里返回的是x轴坐标
    disp(['fminbnd:    ',num2str(min1),' and ',num2str(min2)])

    运行结果:

    fminbnd:    0.30039 and 0.89273

    ② fminsearch

    %% fminsearch 函数的使用
    % x = fminsearch(fun,x0) 在点 x0 处开始并尝试求 fun 中描述的函数的局部最小值 x。
    
    min1 = fminsearch(f, 0.3); 
    min2 = fminsearch(f, 2);
    
    disp(['fminsearch:    ',num2str(min1),' and ',num2str(min2)])

    运行结果:

    fminsearch:    0.30035 and 0.89268

    (由于算法不同,两个函数返回结果略有差别)

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    Matlab中sign函数:

    在这里插入图片描述

    Matlab中已知自变量和因变量,怎么求极大值和极小值?
    在这里插入图片描述
    若diff(y)<0时,sign(diff(y))=-1,要想让y点为极大值,前面diff(y)要大于0,sign(diff(y))=1,也就是前后异号。
    第二次diff等于-1-1=-2。因此代码可以按照下面两种方法:

    indmax=find(diff(sign(diff(y)))==-2);
    
    indmax=find(diff(sign(diff(y)))<0)+1;
    

    diff(y)可以看作这一点的导数值,大于0递增(记为1),小于0递减(记为-1),等于0表示不增不减,是直线(记为0)。
    在第一次差分diff并sign后,得到的矩阵只有0,-1,1三个值,极大值点应该为-1与1之间(先1后-1),再diff之后等于-1-1=-2。
    由于每diff一次,新生成的量就少了一维,因此要想对应到原函数y中极大值点的索引位置,应该加1。

    下面以一个例子说明问题:
    在这里插入图片描述
    根据上述表格中的原始数据,可以看到,极大值点应该为4,索引位置为4,经diff1、sign、diff2操作后,极大值在diff2的索引位置为3,因此要加1

    对于极小值点,应该是1-(-1)=2,所以检测极小值:

    indmin=find(diff(sign(diff(y)))>0)+1
    
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空空如也

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极小值