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  • 只能通过部分样本对总体进行估计,个案当然足以证明一个全称命题,但是却可以否定全称命题,假设检验的基本逻辑就是基于科学哲学的一个重要论点:全称命题只能被证否而能被证明,利用“概率事件”进行反证。...

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    我们为什么要假设检验???

    生活中经常会遇到要对某件事情进行评估,但又不能直接统计全部数据,只能通过部分样本对总体进行估计,个案当然不足以证明一个全称命题,但是却可以否定全称命题,假设检验的基本逻辑就是基于科学哲学的一个重要论点:全称命题只能被证否而不能被证明,利用“小概率事件”进行反证。

    本篇文章简单结合几个小案例,实操分析,帮助更深理解假设检验。

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    一、单样本检验

    案例介绍:

    星星电子厂是专门生产某电子元件的公司,根据需求方要求,电子元件的寿命大于225小时,才算合格。

    测得其中生产的16只元件使用寿命如下:

    159,280,101,212,224,379,179,264,222,362,168,250,149,260,485,170

    问题:怎么判断公司生产的电子原件是否满足标准?

    案例分析:

    1、描述统计分析

    #导入分析包
    

    395892d02d3ea271fd0103f488e1081f.png

    2、推论统计分析

    (1)提出问题

    a.零假设和备选假设:

    零假设H0:公司生产的电子元件不满足标准,既平均值u<=225

    备选假设H1:公司生产的电子元件满足标准,既平均值u>225

    b.检验类型:

    只有1个样本,所以是单样本检验。

    c.抽样分布类型:

    样本的数量为16,小于30,属于小样本,绘图查看数据集的分布图来确定分布类型。

    #查看数据集分布
    sns.distplot(data)
    plt.title('数据集分布')
    plt.show()

    113104d295be943bcd603301ddc4eeee.png

    从上图可以看出数据集的分布近似于正态分布,符合t分布。

    d.检验方向:

    因备择假设公司生产的电子元件满足标准,既平均值u>225,所以我们使用单尾检验中的右尾检验。

    (2) 寻找证据

    a.计算p值:

    #用python统计包scipy自动计算,导入统计模块(stats)
    from scipy import stats
    
    pop_mean=225   #总体平均值
    t,p_twoTail =stats.ttest_1samp(data,pop_mean)   #单样本T检验(ttest_1samp)
    
    print('t值=',t,'双尾检验的p值=',p_twoTail)

    f9a48e8fbe38b58197663d71107c00bd.png
    p_oneTail=p_twoTail/2   #因为scipy计算的是双尾p值,本案例为单尾,需除以2
    print('单尾检验的p值=',p_oneTail)

    06529e9fcb9ae985b7fc49d61caa854f.png

    b.判断标准:

    设定判断标准(显著水平)为0.05

    #判断标准(显著水平)使用alpha=5%
    alpha=0.05

    c. 给出结论:
    左尾判断条件:t < 0 and p_one < 判断标准(显著水平)alpha

    右尾判断条件:t > 0 and p_one < 判断标准(显著水平)alpha

    #做出结论
    if(t>0 and p_oneTail< alpha): 
        print('拒绝零假设,有统计显著,也就是原件符合标准')
    else: 
        print('接受零假设,没有统计显著,也就是原件不符合标准')

    运行结果为:

    0160f84a59b3bf1a6caff48697385ecf.png

    二、双样本检验

    星星电子厂为了改进生产工艺,提高工人劳动效率,提出了新的装配部件的方法,正式全面推广前,需要研究新装配方法是否更能提高工人劳动效率,劳动效率可以用平均装配时间来反映。从新旧不同的装配方法中各抽取12件产品,记录各自的装配时间(单位:分钟),如下:

    甲方法(旧):31,34,29,32,35,38,34,30,29,32,31,26

    乙方法(新):26,24,28,29,30,29,32,26,31,29,32,28

    1、描述统计分析

    #导入分析包
    import pandas as pd
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    import seaborn as sns
    
    #输入样本数据集
    a=pd.DataFrame({"甲方法" : [31,34,29,32,35,38,34,30,29,32,31,26]})  
    b=pd.DataFrame({"乙方法" : [26,24,28,29,30,29,32,26,31,29,32,28]})  
    data=pd.concat([a,b],axis=1)
    
    #描述统计信息
    data.describe()

    1614f2a7662425a763edf0413dd50227.png
    #样本平均值
    a_mean=data['甲方法'].mean()
    b_mean=data['乙方法'].mean()
    
    #样本标准差
    a_std=data['甲方法'].std()
    b_std=data['乙方法'].std()
    print('甲方法平均值=',a_mean,'单位:分钟')
    print('乙方法平均值=',b_mean,'单位:分钟')
    print('甲方法样本大小12,样本标准差=',a_std,'单位:分钟')
    print('乙方法样本大小12,样本标准差=',b_std,'单位:分钟')

    da13ff667e8d0d48f5b7da0be82f39d5.png

    可以看到,甲方法的平均装配时间为31.75, 高于乙方法的平均装配时间28.66。

    2、推论统计分析

    (1) 提出问题

    a.零假设和备选假设:

    零假设H0:甲方法和乙方法没有差别,也就是

    备选假设H1:甲方法和乙方法有差别,也就是

    b.检验类型:

    只有2个样本,所以是双样本检验。

    c.抽样分布类型:

    样本的数量为16,小于30,从上图可以看出AB版数据集的分布均近似于正态分布,因此符合t分布。利用seaborn包来查看数据集的分布图来确定分布类型。

    plt.subplot(1,2,1)  
    sns.distplot(data['甲方法'])
    plt.title('甲方法数据集分布')
    plt.subplot(1,2,2)  
    sns.distplot(data['乙方法'])
    plt.title('乙方法数据集分布')
    plt.show()

    c25d30c056901b23afac71a15978bd9f.png

    从上图可以看出甲乙方法数据集的分布均近似于正态分布,因此符合t分布。

    d.检验方向:

    由于备选假设中包含不等号,所以我们使用双尾检验。

    (2) 寻找证据

    a.计算p值:

    即在零假设成立前提下,我们需要得到样本平均值的概率p值。

    import statsmodels.stats.weightstats as st   # 这里利用statsmodels统计模块,方便后面计算置信区间
    t,p_two,df=st.ttest_ind(data['甲方法'],data['乙方法'],usevar='unequal')
    print('t=',t,'p_two=',p_two,',df=',df)

    8643eeee25295880adbe13e5f489d8f9.png

    b.判断标准:

    设定判断标准(显著水平)为0.05

    #判断标准(显著水平)使用alpha=5%
    alpha=0.05

    c. 给出结论:

    双尾检验的判断条件,p小于判断标准(显著水平)alpha/2时,拒绝零假设,也就是有显著差异。

    if(p_two< alpha/2): 
        print('拒绝零假设,有统计显著,接受备选假设')
        print('备选假设:甲方法和乙方法有差异')
    else: 
        print('接受零假设,没有统计显著')
        print('零假设:甲方法和乙方法没有差异')

    d219158febec5dd7c745c4fb57650993.png

    (3) 置信区间:

    查找t表格, 95%的置信水平,自由度是15,对应的t值(t_ci):2.131

    t_ci=2.131
    a_n = 16   #样本数量
    b_n = 16
    se=np.sqrt( np.square(a_std)/a_n + np.square(b_std)/b_n )
    sample_mean=a_mean - b_mean
    a=sample_mean - t_ci * se   #置信区间上限
    b=sample_mean + t_ci * se   #置信区间下限
    print('两个平均值差值的置信区间,95置信水平 CI=[%f,%f]' % (a,b))

    输出结果为:

    4ad5b190db0955a376d7d2e287f6e9c9.png

    (4) 效应量

    当我们拒绝了零假设,还要看效果显著,用d或R²来衡量效益量。

    #合并标准差
    sp=np.sqrt(((a_n-1)*np.square(a_std) + (b_n-1)* np.square(a_std) ) / (a_n+b_n-2))
    #效应量Cohen's d
    d=(a_mean - b_mean) / sp
    print('d=',d)

    运行结果为:

    d9eb9fdd943e0163a5f3d0cb5273d59f.png

    d=0.96>0.8,差异明显,效果显著大。

    3、数据分析报告

    从描述统计中看出,乙方法的平均装配时间为28.66, 低于甲方法的平均装配时间31.75,同时样本标准差,乙方法(2.46)也低于甲(3.19),结合推论假设分析,p值=0.015<0.05,具有显著性,d=0.96>0.8,差异明显。综上所述,说明乙(新)方法相对甲(旧)方法是能够提高劳动效率。

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  • 继续对全国疫情的趋势做正态预测前天我搞了一张图,结果第二天,就沮丧地发现,湖北突然新增了一万五千以上的确诊病人。但是后来了解到这是因为采取了新的确认办法造成的。因此,全国的数据如果加上湖北的,就必然...

    bb690e595ab2129d9f4e238f2d2105a7.png

    继续对全国疫情的趋势做正态预测

    前天我搞了一张图,结果第二天,就沮丧地发现,湖北突然新增了一万五千以上的确诊病人。但是后来了解到这是因为采取了新的确认办法造成的。

    因此,全国的数据如果加上湖北的,就必然出现野值,这对于预测是不利的。

    因此,今天我开始重新进行预测,还是正态预测,但是,是对全国除湖北外的地区的每日新增病人数的数据进行正态预测。再次声明这样的预测缺少理论根据,只不过是我公司的头儿说了那么一句话于是我想试试,反正失败了也无所谓。统计学经常就是不准确的。例如那些对股市行情的预测,如果股民们真的相信,则突然来一个野值就血本无归了。所以,统计学的预测是一直在探索之中的。

    下面就是我用网上的数据得出的对全国的湖北外的地区新增病人数的预测,从图中可以看出,我这个预测是2月21日,湖北以外的病人新增数将接近于0。当然具体怎样到时候再说,失败了无非是这种预测法不太靠谱罢了。但是前后有几天的误差应当也算是有参考价值了。

    下面看图:

    20d0fd2ff485a0454cd28d176ccc67ab.png
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  • 我们先解释,顺着读下来就会明白:搞懂了第二类错误,检验功效和样本量的计算就“不攻自破”了。1. 如何理解第二类错误(熟悉前文的同学,可快速浏览)首先,我们先回顾一下这两类错误的具体含义。比如我们想检验...

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    之前我们详细分析了假设检验和第一类错误,今天我们谈谈第二类错误。

    不知道你是否会有疑问:为啥题目中要把这三样放在一起?我们先不解释,顺着读下来就会明白:搞懂了第二类错误,检验功效和样本量的计算就“不攻自破”了。


    1. 如何理解第二类错误(熟悉前文的同学,可快速浏览)

    首先,我们先回顾一下这两类错误的具体含义。

    ccbd48e478dd8796f556c06afadcdfda.png

    比如我们想检验北京大学男生的平均身高是否为1.8米(H0:身高总体均数为1.8)。随机抽取100名男生测量其身高,我们知道这100名男生的身高就是一个样本,北京大学所有男生的身高就是样本所对应的总体。

    当然,我还可以获得很多其他的样本,特别注意,这里的样本不是一个一个学生,而是一个由100个学生组成的集体。

    假设检验的思路是,我们先假设北京大学男生身高的总体均数是1.8,然后通过我们抽中的样本来验证这个假设。

    我们知道,每一组样本都会计算出一个样本均数,有的样本均数离假设的总体均数(这里就是1.8)近,而有的离1.8远。

    当某个样本均数离1.8远的时候,即两者差异较大时,我们就会倾向拒绝H0假设,认为北京大学男生的平均身高不是1.8米;而两者差异不太大的时候,就倾向于不拒绝。

    这个检验要犯第二类错误,首先意味着H0(总体平均身高为1.8米)是假的,即实际总体身高的平均值可能是1.85米或者1.75米,但是,根据抽中的样本所计算的样本均数却与1.8更接近,比如1.78,因此,可能因为抽样误差我们得出不拒绝H0的结论。

    虽然“不拒绝H0”不等同于“接受H0”,可是在实际生活中,我们其实是默认这两者是一个意思,而由于H0是假的,我们没有拒绝它,反而接受它,所以就犯错了,这就是第二类错误。

    这里要指出的是,我们说犯第二类错误,其实是在默认你“接受H0假设”的前提下说的。而如果你非要说,我没有接受,只是说“不能拒绝”,那实际上你不会犯第二类错误。

    仔细品这里的“不能拒绝”,它实际上不是一个科学的判断(不能被证伪),即“它没说对,也没说错”,潜台词是“无法判断”,既然无法判断,它也就不会犯错。

    因此,我们通常说犯第二类错误,实际上是把“不能拒绝”等同于“直接接受”,即第二类错误是“当H0为假,而接受H0”的错误。


    2. 第二类错误怎么算

    犯第二类错误,意味着H0为假,我们却接受H0。继续看上文身高的例子,H0为假意味着北京大学男生的平均身高不是1.8米,不是1.8那会是多少呢?我们不知道。

    在这种情况下,如果要求第二类错误的概率,就必须要能先估计真实的总体均数,比如,我们再开一次上帝视角,知道了北京大学男生身高的总体均数实际是1.85。只有获得了这个信息,我们才能来计算第二类错误的概率

    其中的逻辑,我们对照下面这图再仔细说一遍。

    c25d720878cdb1b98a648c843f3a9ef7.png

    如上图,有两条正态分布曲线,横轴代表“样本均数”,左边表示H0总体,右边表示H1总体;在本例中,左边表示总体均数为1.8的总体;右边代表总体均数为1.85的总体。当H0为假时,意味着样本数据实际上来自于右边这个总体。

    这里特别费解的一点是,事先我们并不知道,H0到底对不对,只能假设它对,然后根据假设检验来判断。我们进行判断是否有差异用的是左边的总体(H0成立):如果算出来的P值大于0.05(设检验水准是0.05),就不拒绝H0;如果小于0.05就拒绝。

    也就是说我们需要依据左边总体的分布来计算检验统计量并判断是否要拒绝原假设,因为我们假设所获得的这个样本是来自于左边这个总体的。

    但是,计算犯错概率时,我们要用的是右边的实际总体(H0不成立):在这个实际的总体中,会有多少样本导致在上一步计算检验统计量时不拒绝H0,即上图就是蓝色的部分:

    根据蓝色部分的样本均数计算的P值都会大于0.05(因为它们都不在拒绝域,即红色区域内),可是因为,它们实际上来自于右边这个总体,所以,当计算犯第二类错误概率时,就是计算蓝色部分在右边这个正态图形下的面积。

    以上便是第二类错误的计算思路。

    3. 检验功效和样本量计算

    相比第二类错误,在实际应用中,我们关注更多的是“检验功效”(power)。

    所谓“检验功效”,数学表达式是:1-β,即1-第二类错误的概率,表示在一定的检验水准下,当H1为真时,意味着H0为假,假设检验能够拒绝H0的概率。

    很难理解吧,不急,下面我们通过一个完整、带计算的例子来实战一下,你就会弄懂这一切。

    首先,我们看看一般涉及这种问题时,怎么把题目转变成统计语言。

    问题:某个研究团队想知道跑步是否会增加骨密度,基于前期的研究,他们发现6个月的跑步,人骨密度变化百分比的标准差是2(%),而根据专业知识,只有骨密度增加1(%)时才认为有实际意义,现在研究者希望有一个较高的概率能够探测到1(%)这个变化。那么对于该项研究,25例样本的检验功效是多少?

    我开始看到这个题目的时候,也是一脸懵逼。

    288b189358ca0e091379dacb990ef6e5.png

    下面我们一步一步来理清和弄懂解决这类问题的基本逻辑。

    首先,针对这个题目,要清楚什么是我们关注的重点?是人的骨密度吗?不是!是骨密度的变化情况,准确的说骨密度变化的百分比才是我们关注的重点。

    我们大致“脑补”一下这个研究实施的具体过程:随机抽取一组样本,先测一下每个人的骨密度,要求他们坚持6个月的跑步训练,6个月之后再测其骨密度,然后计算每个人骨密度变化的百分比。

    因此,我们这里研究的实际上是一个百分数,记为X(%),衡量的是骨密度的变化水平。

    既然是变化水平,那么我们能够猜测X的取值有三种:负(骨密度变小)、零(没变)、正(变大)。

    从专业的角度判断,跑步有利于骨密度的增加,所以我们估计大多数的人骨密度前后变化的百分比是正的,由此得到的样本均数大概率是正数。

    但这都是通过专业知识进行的推断,实际情况如何还有待检验。

    于是,对于整个人群而言,我们用μ表示“跑步后骨密度变化百分比的总体均数”;如果μ= 0,则意味着,总体来看,跑步对骨密度的提升没有作用,既没有增加,也没有降低。

    所以,如果用假设检验来验证跑步对骨密度的变化是否有影响,H0假设是:μ= 0。

    相对应的,H1,备择假设就是:μ> 0,表示根据专业知识和历史研究大概率推测跑步有助于增加骨密度。

    最后,把检验水准设为0.05。所以,这便转变为一个单侧假设检验的问题:

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    理清这些后,我们回到上面的问题。

    题目中可能最费解的就是这句话——“专业上认为只有骨密度增加1(%)才有实际意义,现在研究者希望有一个较高的概率能够探测到1(%)这个变化。

    请大家先思考一分钟这里的“1”是什么意思?

    这里1(%)表示,根据专业知识判断,跑步6个月,人体骨密度大概会平均增加1%,也就是说,把所有跑步6个月的人作为一个总体,测量这个总体跑步前后的骨密度变化率,其总体均数为1(%)。

    更进一步,这里的“1”告诉我们:如果假设检验拒绝H0,接受H1时,H1所代表的的总体,其总体均数等于1,即

    。相对应的,如果把H0代表的总体均数称作
    ,那
    等于多少呢?

    所以,把这个问题说的更直白一些:因为我们预期跑步能明显地提高骨密度,所以,上面的假设检验大概率会得到“拒绝H0”的结果。但是,即便跑步有十分明显的效果,如果我们纳入研究的样本量不够,很有可能还是会得出阴性结果,“即不拒绝H0”。比如,如果只研究一个人,直觉上就觉得不靠谱。

    因此,在既想少纳入研究对象,但又不想得到阴性结果的权衡下,我们需要考虑检验功效的问题。

    上文说了,检验功效是指“H0为假而拒绝H0的概率”。现在对照下图,仔细来看一看。

    98d62d88ce5b80c989e4d0f7c5cfa22c.png
    图1

    A、B两图的横轴代表“骨密度变化百分比”的样本均数(注意,这里是样本均数),这两条曲线表示样本均数的正态分布(这里觉的难理解的,可复习前文“抽样和抽样分布”)。

    A代表H0总体;B代表H1总体,也就是说,如果跑步不会增加骨密度,则其变化百分比的样本均数服从A图的正态分布;如果跑步有正向作用,而且,我们认为其可能使骨密度平均增加1(%),则样本均数服从B图。

    事前,我们不确定到底A、B哪个图更符合实际,所以,先假设服从A。如此,如果我们希望它能拒绝H0,那么样本均数应该要出现在哪里呢?

    看图A的阴影部分,没错,如果样本均数大于图中所示的0.65(具体如何计算的,后面再讲),则我们就会得出“拒绝H0假设”的结论。

    既然拒绝H0假设,那意味着,跑步后骨密度增加的总体均数不是0,即样本均数不应该服从A,而是服从一个总体均数为正的正态分布。

    这里简单提一句,之所以,图B的总体均数画在“1”处,是根据题意说“想探测1(%)的变化”。很自然,如果我们想探测“2(%)的变化”,就应该假设H1总体均数是2。

    这里透露出一个重要的信息,检验功效或样本量的计算是依赖给定的H1总体均数的。现实中,我们更常用的是所谓的“效应值”,这里的“1”就是一个例子,表示“跑步对骨密度的平均效应是正的1%”。

    因此,效应值、检验功效和样本量,这三者是紧密相连的,其中之一发生变化,如果保持另一个不变,则第三个变量必定变化。

    回到我们的问题,对于图A,只要样本均数大于0.656,我们就会得到拒绝H0的结论。由于实际上,样本均数是服从于图B的,因此,要计算检验功效,实际是在图B中计算“样本均数大于0.656”的概率,也就是B图中阴影部分的面积。

    再反过来想一想,如果实际上样本均数服从B图,那么从B图阴影部分抽取的样本均数,在图A中进行假设检验,则都会得到拒绝H0假设的结论。

    现在,你再结合检验功效的定义——“H0为假而拒绝H0的概率”,是不是很贴切?

    明白了这其中的整套逻辑,我们来看看具体的计算过程。


    这里我们会用到z检验,顺便说一句,前两天有小伙伴在后台问我,什么是z检验?可能大家更熟悉t检验,把z检验倒忘记了。

    这里我简单提一下,z检验(也称u检验),对应标准正态分布,是假设检验中最简单的一种,主要用于样本量较大和总体标准差已知的情况下,它与t检验的区别可见下图:

    58780095bb42aa1654a2c96e877fb80a.png

    当样本量大于50时,t检验实际上可以完全近似为z检验,好处就是,我们不需要根据自由度查t分布表,而是直接根据标准正态分布来进行计算和判断P值。

    本例,我们就采用z检验的思路,来计算检验功效。

    (1)第一步

    我们需要结合图1中A来判断在什么情况下我们会拒绝H0。因为本题是一个单侧检验(H1:μ> 0是单侧的;如果H1表示为μ≠0,则称双侧检验),在以0.05为检验水准的情况下,当

    时,
    (如下图):

    058597182e41171f70cb0dda9e46b9ab.png
    单侧z检验临界值

    因此,结合z检验的计算公式可得:

    其中,

    所以,当样本均数

    时,上述假设检验会得到拒绝
    的结果

    2. 第二步

    计算在H1总体下,

    的概率,即

    此时,

    在正态分布那一讲中我们学习过如何计算一个服从正态分布的随机变量的概率,因为

    服从正态分布,从而对其进行z变换、求概率:

    从而,该假设检验的检验效能为

    ,意味着当跑步能使骨密度实际增加 1(%)时,该假设检验(样本量为25)有81%的可能性拒绝错误的
    假设。换言之,该检验犯第二类错误的概率为19%

    以上就是本例的详细计算过程,相信现在再看上面的图1会一目了然。我们简单回顾一下整个过程:要计算检验功效(或第二类错误的概率),首先需要计算当拒绝

    时样本均数的取值范围;得到这个取值范围后,计算在H1总体下,该取值范围的概率,从而得到检验功效。

    你会发现其实整个计算过程并不复杂,主要用到的数学知识点其实就两个:一是样本均数近似服从正态分布;二是服从正态分布的随机变量如何求概率。这也是为什么我们前期不断强调大家掌握这些基础内容的原因。

    弄懂计算过程,相信你对第二类错误、检验功效和样本量计算这三者之间的联系或许有些感觉了。比如,在这个问题中,如果问题改变为:“要保证81%的检验功效,至少需要多少样本量?”

    解题思路几乎没有任何变化,只是现在我们知道了检验功效,要求样本量,就相当于把上面计算过程中的

    当做一个未知数,直接将已知的检验功效上式,即可解出
    ,这其实就是样本量计算的基本逻辑。

    所以,检验功效和样本量是可以相互转化的,知道了其一就可以推算其二。这里要提醒一点,上述计算过程是建立在确定的检验水准

    和相应的效应值的基础上(本例即
    )进行的,所以实际操作中,这两个变量也需要事先确定。

    以上就是本篇的所有内容,欢迎关注公众号“丁点帮你”,获取更多原创文章。

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    python统计分析常用函数库

    scipy包中的stats模块和statsmodels包是python常用的数据分析工具,scipy.stats以前有一个models子模块,后来被移除了。这个模块被重写并成为了现在独立的statsmodels包。

    小样本数据的正态性检验

    用途

    夏皮洛-维尔克检验法 (Shapiro-Wilk) 用于检验参数提供的一组小样本数据线是否符合正态分布,统计量越大则表示数据越符合正态分布,但是在非正态分布的小样本数据中也经常会出现较大的W值。需要查表来估计其概率。由于原假设是其符合正态分布,所以当P值小于指定显著水平时表示其不符合正态分布。

    正态性检验是数据分析的第一步,数据是否符合正态性决定了后续使用不同的分析和预测方法,当数据不符合正态性分布时,我们可以通过不同的转换方法把非正太态数据转换成正态分布后再使用相应的统计方法进行下一步操作。

    示例

    from scipy import stats

    import numpy as np

    np.random.seed(12345678)

    x = stats.norm.rvs(loc=5, scale=10, size=80) # loc为均值,scale为方差

    print(stats.shapiro(x))

    # 运行结果:(0.9654011726379395, 0.029035290703177452)

    结果分析

    返回结果 p-value=0.029035290703177452,比指定的显著水平(一般为5%)小,则拒绝假设:x不服从正态分布。

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