题目：假如有了一个从自然数中随机取一个数的函数rand(0,7)——从0到7中随机取一个自然数出来，问如何用这个函数构造rand(0,10)——随机从0到10中取一个自然数出来。

PS:该题目是在rand(10)没有现成函数的前提下实现的，必须通过rand(7)去构造

(提示:需要注意函数的分布，可以用蒙特卡洛的方法进行验证)

错误思路：

设A为rand(0,7),B为rand(0,7)，这两个都是从0到7中随机取得数，然后把取到的结果相加，如果结果大于10，就重新执行，否则就返回相加的结果。python实现代码如下：

import random
def rand_10():
    C = 11
    while C>10:
        A = random.randint(0,7)    
        B = random.randint(0,7)
        C = A+B
    return C

python执行0次的获得的结果如下：

这种解题思路获得的结果是0到10之间的自然数，但是结果却是不对的，先看正确的解题思路，再说明为什么这样取值不对。

正确思路：

设A为rand(0,7),B为rand(0,7)，这两个都是从0到7中随机取得数。A作为高位（十位），B作为低位（个位），计算A*8+B的值，得到的是63以内的整数，得到的数据仍为均匀分布，然后我们把结果模11，得到0到10以内的自然数，但是63模11结果为8，那么0~8比9、10结果就会多一次，所以我们只取0~54的数，去模11，代码如下：

def rand_10_2():
    rand_all = 55
    while rand_all >= 55:    #A*8+B最大取值为63，模11得8,0~8比9,10就会多一次，所以计算到54，每个数平均出现5次
        A = random.randint(0,7)   #8进制高位
        B = random.randint(0, 7)  #8进制低位
        rand_all = A*8+B
        C = rand_all%11    #0~10的自然数，包含0和10
    return C

也执行20次 ，得到的数都是0到10之间的整数。

, 验证结果：

要验证两种结果哪种是对的，首先我们得明白，rand函数是从一组数中随机取一个数的函数，那么它要服从均匀分布，这样才能保证每个数取到的概率都一样。我们用蒙特卡洛方法进行验证，即模拟100000或更多次数，然后统计每个数出现的次数，看统计出的结果的直方图，从直方图就能看出是不是服从均匀分布。

1、验证系统自带的函数服从的分布，代码如下：

import random
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

y = [0]*8      # 存放rand函数得到的值的个数
for i in range(100000):   # 十万个数据中取值，进行验证
    num_1 = random.randint(0,7)
    for j in range(0,8):
        if j == num_1:
            y[j] +=1

x = np.linspace(0, 7, num=8)
plt.bar(x, y, align='center', alpha=0.7)
plt.xlabel('num for rand')
plt.ylabel('count for rand')
plt.title('rand(7)')
plt.show()             #用直方图显示得到的结果

运行后得到的直方图如下：

8个数得到的结果基本相等，说明python 系统自带的函数是服从均匀分布的。

 2、两个rand函数相加的方法得到rand(10)的方法，用该方法进行验证

代码如下：

import random
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def rand_10():
    C = 11
    while C>10:
        A = random.randint(0,7)
        B = random.randint(0,7)
        C = A+B
    return C

y = [0]*11      # 存放rand函数得到的值的个数
for i in range(150000):   # 十万个数据中取值，进行验证
    num_1 = rand_10()
    for j in range(0,11):
        if j == num_1:
            y[j] +=1

x = np.linspace(0, 10, num=11)
plt.bar(x, y, align='center', alpha=0.7)
plt.xlabel('num for rand')
plt.ylabel('count for rand')
plt.title('rand(10)_add')
plt.show()             #用直方图显示得到的结果

运行后得到的直方图如下：

从图中可以看出该分布不是均匀分布，而是服从泊松分布即正态分布的，至于为什么服从这种分布，后面有时间再讲解。

3、高位*进制+低位的方法得到的结果进行验证

def rand_10_2():
    rand_all = 55
    while rand_all >= 55:    #A*8+B最大取值为63，模11得8,0~8比9,10就会多一次，所以计算到54，每个数平均出现5次
        A = random.randint(0,7)   #8进制高位
        B = random.randint(0, 7)  #8进制低位
        rand_all = A*8+B
        C = rand_all%11    #0~10的自然数，包含0和10
    return C

y = [0]*11      # 存放rand函数得到的值的个数
for i in range(150000):   # 十万个数据中取值，进行验证
    num_1 = rand_10_2()
    for j in range(0,11):
        if j == num_1:
            y[j] +=1

x = np.linspace(0, 10, num=11)
plt.bar(x, y, align='center', alpha=0.7)
plt.xlabel('num for rand')
plt.ylabel('count for rand')
plt.title('rand(10)_ocx')
plt.show()             #用直方图显示得到的结果

 运行后得到结果如下：

从直方图可以看到该结果服从均匀分布。