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  • 一元二次方程

    2019-04-24 09:00:54
    一元二次方程的解法 ** 一、知识要点: 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基 础。 一元二次方程的一般形式为:ax^2(2为次数,即X的平方)+bx+c=0, (a≠...

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    一元二次方程的解法

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    一、知识要点:

    一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是今后学习数学的基 础。

    一元二次方程的一般形式为:ax^2(2为次数,即X的平方)+bx+c=0, (a≠0),它是只含一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的整式方程。

    解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法:

    1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。

    二、方法、例题精讲:

    1、直接开平方法:

    直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的 方程,其解为x=±根号下n+m .

    例1.解方程(1)(3x+1)2=7 (2)9x2-24x+16=11

    分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)2,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解。

    (1)解:(3x+1)2=7×

    ∴(3x+1)2=5

    ∴3x+1=±(注意不要丢解)

    ∴x=

    ∴原方程的解为x1=,x2=

    (2)解: 9x2-24x+16=11

    ∴(3x-4)2=11

    ∴3x-4=±

    ∴x=

    ∴原方程的解为x1=,x2=

    2.配方法:用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)

    先将常数c移到方程右边:ax2+bx=-c

    将二次项系数化为1:x2+x=-

    方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x2+x+( )2=- +( )2

    方程左边成为一个完全平方式:(x+ )2=

    当b^2-4ac≥0时,x+ =±

    ∴x=(这就是求根公式)

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  • 一元二次方程课件ppt一元二次方程,教学目标:,一元二次方程概念 解一元二次方程的方法 一元二次方程应用题,一元二次方程概念,一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念,一元二次方程概念,只含有一个未知数...

    一元二次方程课件ppt

    一元二次方程,教学目标:,一元二次方程概念 解一元二次方程的方法 一元二次方程应用题,一元二次方程概念,一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念,一元二次方程概念,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程,叫做一元二次方程,一元二次方程特点,(1)都只含一个未知数x; (2)它们的最高次数都是2次的; (3)都有等号,是方程,一元二次方程的一般形式,任何一个关于x的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式 这种形式叫做一元二次方程的一般形式 一个一元二次方程经过整理化成 后,其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项,例1将方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项,分析:一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a0)因此,方程(8-2x)(5-2x)=18必须运用整式运算进行整理,包括去括号、移项等 解:去括号,得: 40-16x-10 x+4x2=18 移项,得:4x2-26x+22=0 其中二次项系数为4,一次项系数为-26,常数项为22,例2(学生活动:请二至三位同学上台演练) 将方程(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项、二次项系数;一次项、一次项系数;常数项,分析:通过完全平方公式和平方差公式把(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成ax2+bx+c=0(a0)的形式 解:去括号,得: x2+2x+1+x2-4=1 移项,合并得:2x2+2x-4=0 其中:二次项2x2,二次项系数2;一次项2x,一次项系数2;常数项-4,应用拓展求证:关于x的方程(m2-8m+17)x2+2mx+1=0,不论m取何值,该方程都是一元二次方程,分析:要证明不论m取何值,该方程都是一元二次方程,只要证明m2-8m+170即可 证明:m2-8m+17=(m-4)2+1 (m-4)20 (m-4)2+10,即(m-4)2+10 不论m取何值,该方程都是一元二次方程,本节课要掌握:,(1)一元二次方程的概念; (2)一元二次方程的一般形式 和二次项、二次项系数,一次项、一次项系数,常数项的概念及其它们的运用,第二课时,1一元二次方程根的概念; 2根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目,一元二次方程的根,为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别,我们称:一元二次方程的解叫做一元二次方程的根,直接开平方法,形如的方程 可以用直接开平方法解,两边直接开平方得 或者 , 注意:若b0,方程无解,例题:,将方程左边配成完全平方式,得到的方程是( ) A、 B、 C、 D、,因式分解法,一般步骤如下: 将方程右边得各项移到方程左边,使方程右边为0; 将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式; 令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程; 解这两个一元一次方程,他们的解就是原方程的解。 例题:解方程,配方法,用配方法解一元二次方程 的一般步骤 二次项系数化为1:方程两边都除以二次项系数; 移项:使方程左边为二次项与一次项,右边为常数项; 配方:方程两边都加上一次项系数一般的平方,把方程化为 的形式; 用直接开平方法解变形后的方程。 注意:当 时,方程无解,例题:,将方程 配方后,原方程变形为( ) A B C D,公式法,一元二次方程 的求根公式: ( ) 一般步骤: 将方程化为一般形式 确定方程的各系数a,b,c,计算 的值; 当 ,将a,b,c以及 的值代入求 根公式,得出方程的根,注意:,当时 ,方程无解; 公式法是解一元二次方程的万能方法; 利用 的值,可以不解方程就能判断方程根的情况;,一元二次方程的根的判别式,一元二次方程 的根的判别式 当0时,方程有两个不相等的实数根; 当0时,方程有两个相等的实数根, 当0时,方程没有实数根,韦达定理(根与系数关系),(1)我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c0之后,设它的两个根是和,则和与方程的系数a,b,c之间有如下关系: +; 可以由公式法解一元二次方程的两个根证明。 *实根与虚根。 (2)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2,那么x1+x2=-P,x1x2=q (3)以x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0,一元二次方程的应用,列一元二次方程解应用题,其步骤和二元一次方程组解应用题类似 “审”,弄清楚已知量,未知量以及他们之间的等量关系; “设”指设元,即设未知数,可分为直接设元和间接设元; “列”指列方程,找出题目中的等量关系,再根据这个关系列出含有未知数的等式,即方程。 “解”就是求出说列方程的解; “答”就是书写答案,检验得出的方程解,舍去不符合实际意义的方程。,1、下列式子哪些是方程?,235 3x2 5x318 x2y5,没有未知数,不是等式,含有未知数的等式叫方程,含有未知数的等式叫方程,不是等式,方程的本质特征是什么?,2、我们学过哪些方程?,一元一次方程、二元一次方程、分式方程。,3、什么叫一元一次方程?方程的“元”和“次”是什么意思?,只含有一个未知数,并且未知数的次数是1次的整式方程叫一元一次方程。,一元,一次,问题1、绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为900平方米的一块长方形绿地,并且长比宽多10米,那么绿地的长和宽各为多少?,问题1、绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为900平方米的一块长方形绿地,并且长比宽多10米,那么绿地的长和宽各为多少?,x,(x10),问题1、绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为900平方米的一块长方形绿地,并且长比宽多10米,那么绿地的长和宽各为多少?,解:设长方形绿地的宽为x米,则长为(x10)米,可得方程:,设未知数,长宽面积 相等关系,x(x10)=900,去年底:5,今年底:55x5(1x),明年底:5(1x)5(1x)x 5(1x)(1x),5 (1x)2,问题2、学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底增加到72万册。求这两年的年平均增长率。,解:设这两年的年平均增长率为x,根据题意得方程:5(1x)27.2,注意:每年都是在上一年的基础上增长!,整理得:,x210 x9000(1),5x210 x2.20 (2),特征(1) 都是整式方程 (2) 只含有一个未知数 (3) 未知数的最高次数是2,概括:,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。,一元二次方程通常可写成如下的一般形式:,ax2+bx+c=0(a0),特征:方程的左边按x的降幂排列,右边0,练习:下列方程中哪些是一元二次方程?试说明理由。,不是,是,不是,不是,讨论:为什么二次项系数a不能为0?假如a=0会出现什么情况?b、c能不能为0?,ax2+bx+c=0(a0),ax2+bx+c=0,二次项,一次项,常数项,二次项系数,一次项系数,a0,一元二次方程的项和各项系数,练习1、指出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项:,2,1,3,3,0,5,1,3,0,2、将下列一元二次方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项:,3x21x2=0,2x27x3=0,1x25x0=0,2x25x11=0,友情提示:某一项的系数包括它前面的符号。,拓展练习:,1、 关于x的方程ax2 2bxa2x2, 在什么条件下此方程为一元二次方程?在什么条件下此方程为一元一次方程?,解:移项:ax2 2bxa 2x2 0,合并同类项:(a2)x2 2bxa0,所以,当a2时是一元二次方程;,当a2,b0时是一元一次方程;,2、已知关于x的一元二次方程(m1)x23x5m40有一根为2,求m。,什么叫方程的根?,能够使方程左右两边相等的未知数的值,叫方程的根。,解:把x2代入原方程得: (m1) 223 2 5m40 解这个方程得:m6,3、已知关于x的方程是一元二次方程,求m的值。,分析:因为方程是一元二次方程,故未知数x的最高次数m+12, 解之得,m=1或m=1, 又因二次项系数m10, 即m1, 所以m=1。,温馨提示:注意陷井 二次项系数a0!,若x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解,则6m+2n=______,已知关于x的方程(k21)x2(k1)x20(1)当k取何值时,此方程为一元一次方程?并求出它的根;(2)当k取何值时,此方程为一元二次方程?写出这个方程的二次项系数,一次项系数和常数项,二次函数y=ax2的 图象和性质,知识回顾,1、二次函数的一般形式是怎样的?,y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a 0),探究新知,你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?,观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表:,9,4,1,1,0,4,9,描点,连线,y=x2,二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线,这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.,对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.,议一议,(2)图象 与x轴有交点吗?如果有,交点坐标是什么?,(4)当x0呢?,(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的?,观察图象,回答问题:,(1)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点?,当x0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 减小.,当x0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而 增大.,抛物线y=x2在x轴的 上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.,(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状?,做一做,你能根据表格中的数据作出猜想吗?,(2)先想一想,然后作出它的图象,(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系?,在学中做在做中学,x,y,0,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,-10,-8,-6,-4,-2,2,-1,描点,连线,y=-x2,当x0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 增大.,当x0 (在对称轴 的右侧)时, y随着 x的增大而减小.,y,抛物线y= -x2在x轴的 下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口 向下,并且向下无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.,1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.,2.当a0时,抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展; 当a0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.,3.当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.,二次函数y=ax2的性质,归纳,做一做,(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 , 在对称轴 侧,y随着x的增大而增大;在对称轴 侧, y随着x的增大而减小,当x= 时,函数y的值最小,最小 值是 ,抛物线y=2x2在x轴的 方(除顶点外).,(2)抛物线 在x轴的 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的 ;在对称轴的右侧,y随着x的 ,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 , 当x 0时,y0.,六、本课小结:,1、只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a0),一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的,这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。 3、一元二次方程是刻画现实世界数量关系的一种有效数学模型。 4、二次函数y=ax2的图象是什么? 5、二次函数y=ax2的图象有何性质? 6、抛物线y=ax2 与y=-ax2有何关系

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  • 发个整理的【一元二次方程的判别式及根与一元二次方程的解法(在最后)】资料如果能帮到你,希望你可以帮忙点赞-感谢-收藏支持一下!若你需要下载word来打印,可以查看我的个人简介,上面有资料下载方式.(资料整理...

    发个整理的【一元二次方程的判别式及根与一元二次方程的解法(在最后)】

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    一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解+巩固练习

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    一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解+巩固练习

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    一元二次方程的解法--公式法,因式分解法—知识讲解+巩固练习

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    一元二次方程的解法--公式法,因式分解法—知识讲解+巩固练习

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    一元二次方程
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