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  • 【运筹学】整数规划 ( 相关概念 | 整数规划 | 整数线性规划 | 整数线性规划分类 )
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    2021-01-10 22:12:30





    一、整数规划



    线性规划 使用 单纯形法求解 , 线性规划中的 运输规划 使用 表上作业法 求解 ;

    之前讨论的都是线性规划问题 , 非线性规划如何求解 , 没有给出具体的方法 ;


    整数规划问题 : 要求 一部分 或 全部 决策变量 取值整数 的规划问题 , 称为整数规划 ;

    整数规划问题的松弛问题 : 不考虑 整数变量条件 , 剩余的 目标函数约束条件 构成的线性规划问题 称为 整数规划问题的松弛问题 ;

    整数线性规划 : 如果上述 整数规划问题的松弛问题 是线性规划 , 则称该整数规划为 整数线性规划 ;


    整数规划与之前的线性规划多了一个约束条件 , 变量大于等于 0 0 0 , 并且都是整数 ;


    整数线性规划数学模型一般形式 :

    m a x Z = ∑ j = 0 n c j x j s . t { ∑ j = 1 n a i j x j = b i     (   i = 1 , 2 , ⋯   , m   ) x j ≥ 0     (   j = 1 , 2 , ⋯   , n   ) 部 分 或 全 部 为 整 数 \begin{array}{lcl} \rm maxZ = \sum_{j = 0}^{n} c_j x_j \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm \sum_{j = 1}^{n} a_{ij} x_j = b_i \ \ \ ( \ i = 1, 2, \cdots , m \ ) \\\\ \rm x_j \geq 0 \ \ \ ( \ j = 1, 2, \cdots , n \ ) 部分 或 全部 为整数 \end{cases}\end{array} maxZ=j=0ncjxjs.tj=1naijxj=bi   ( i=1,2,,m )xj0   ( j=1,2,,n )





    二、整数线性规划分类



    整数线性规划分为以下几类 : ① 纯整数线性规划 , ② 混合整数线性规划 , ③ 0-1 型整数线性规划 ;


    ① 纯整数线性规划 : 全部决策变量都 必须取值整数 的 整数线性规划 ;

    ② 混合整数线性规划 : 决策变量中有一部分 必须 取整数值 , 另一部分 可以不 取值整数值 的 整数线性规划 ;

    ③ 0-1 型整数线性规划 : 决策变量 只能取值 0 0 0 1 1 1 的整数线性规划 ;

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  • 一、整数规划问题解的特征、 二、整数规划问题 与 松弛问题 示例





    一、整数规划问题解的特征



    整数规划问题解的特征 :

    ① 整数规划问题 与 松弛问题 可行解集合关系 : 整数规划问题 可行解集合 , 是该整数规划问题的 松弛问题 可行解集合 的子集 , 任意两个可行解的 凸组合 , 不一定满足整数约束条件 , 不一定是可行解 ;

    ② 整数规划问题 与 松弛问题 最优解关系 : 整数规划问题的可行解 一定是 其 松弛问题的可行解 , 松弛问题的可行解不一定是整数规划问题的可行解 , 整数规划问题的最优解 不会优于 松弛问题的最优解 ;


    松弛问题 比 整数规划问题 条件少一些 , 整数规划问题比松弛问题变量限制多一条 " 约束变量必须都是整数 " ;





    二、整数规划问题 与 松弛问题 示例



    假设有如下整数规划问题 :

    m a x Z = x 1 + x 2 s . t { 14 x 1 + 9 x 2 ≤ 51 − 6 x 1 + 3 x 2 ≤ 1 x 1 , x 2 ≥ 0   并 且 为 整 数 \begin{array}{lcl} \rm maxZ = x_1 + x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm 14 x_1 + 9x_2 \leq 51 \\\\ \rm -6 x_1 + 3x_2 \leq 1 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \ 并且为整数 \end{cases}\end{array} maxZ=x1+x2s.t14x1+9x2516x1+3x21x1,x20 


    上述整数规划问题对应的松弛问题 : 松弛问题 比 整数规划问题 条件少一些 , 整数规划问题比松弛问题变量限制多一条 " 约束变量必须都是整数 " ;

    m a x Z = x 1 + x 2 s . t { 14 x 1 + 9 x 2 ≤ 51 − 6 x 1 + 3 x 2 ≤ 1 x 1 , x 2 ≥ 0 \begin{array}{lcl} \rm maxZ = x_1 + x_2 \\\\ \rm s.t\begin{cases} \rm 14 x_1 + 9x_2 \leq 51 \\\\ \rm -6 x_1 + 3x_2 \leq 1 \\\\ \rm x_1, x_2 \geq 0 \end{cases}\end{array} maxZ=x1+x2s.t14x1+9x2516x1+3x21x1,x20



    使用图解法 , 解上述 松弛问题 的最优解为 { x 1 = 3 2 x 2 = 10 3 \begin{cases} \rm x_1 = \cfrac{3}{2} \\\\ \rm x_2 = \cfrac{10}{3} \end{cases} x1=23x2=310

    此时目标函数值 m a x Z = x 1 + x 2 = 29 6 \rm maxZ = x_1 + x_2 = \cfrac{29}{6} maxZ=x1+x2=629

    在这里插入图片描述

    简单的将其松弛问题最优解上下取整 , 得到的四个点 , 如上图的四个红色点 , 都不在可行域中 , 选择的整数解 , 必须在可行域中 ;

    根据 整数规划问题的的松弛问题 的最优解 , 如何找其 整数规划问题 的整数最优解 , 是整数规划问题的核心问题 ;


    穷举法 ( 有局限性 ) : 直接看上图中可行域内的整数点 , 然后再逐一代入目标函数 , 得到一个 整数规划问题 的最优解 , 但是这种方法无法推广应用 , 如果点的个数比较多 , 如几万个 , 变量的维数多 , 如 10 10 10 个约束变量 , 这种方法肯定不适用 ;


    整数规划问题的求解方法有 : ① 分支定界法 , ② 割平面法 ;

    推荐使用 分支定界法 ;

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    输入整数n,计算1~n之和。 代码: a = int(input("请输入一个整数:")) b = 0 for i in range(a): b += a print("1~%d的求和结果为%d" % (a, b))
  • matlab做除法,怎么取整数?方法一: floor(a/b);就是舍去小数点。 ceil(a/b)就是舍去小数点+1的数。 方法二: fix(x)截尾取整 fix(x)不超过x的最大整数 ceil(x)大于x的最小整数 round(x)四舍五入取整 扩展资料: ...
  • Python反转输出正整数

    千次阅读 2021-01-30 04:28:01
    题目:获得输入正整数N,反转输出该正整数,不考虑异常情况。‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‮‬‭‬‫‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‮‬‫‬‮‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‮‬‭‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‪‬‮‬‫‬‮‬‪‬‪‬‪‬‪...
  • C语言合法整数

    千次阅读 多人点赞 2021-04-06 22:54:19
    问题一:以下选项中可作为C语言合法整数的是 A.10110B B.x2a2 C.038x D.0xffa 答案:D 解析: c语言中有三种进制表示: 1.八进制:以0开头,数的每一位都不能大于7; 2.十进制:普通整数均为十进制,每一位都不能...
  • 整数正则表达式

    千次阅读 2021-08-30 10:05:29
    整数正则表达式 正数的正则表达式(包括0,小数保留两位): ^((0{1}.\d{1,2})|([1-9]\d.{1}\d{1,2})|([1-9]+\d)|0)$ 正数的正则表达式(不包括0,小数保留两位): ^((0{1}.\d{1,2})|([1-9]\d.{1}\d{1,2})|([1-9]...
  • input()函数可用于输入,但它将值读取为字符串,然后可以使用int()函数将字符串值转换为整数。 Consider the below program, 考虑下面的程序, # input a number num = int(input("Enter an integer number: ")) ...
  • Lingo整数规划学习笔记

    千次阅读 2020-06-04 14:10:52
    Lingo是专门用于求解规划问题的优化软件。其在求解规划问题方面的功能非常强大,对于线性规划,整数规划,非线性规划,动态规划等问题均有很强的求解能力。本文讲述Lingo在规划问题中的应用。

空空如也

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