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  • 整除
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    2021-07-26 00:46:46

    [zhěng chú]

    整除

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    若整数b除以非零整数a,商为整数,且余数[1]

    为零, 我们就说b能被a整除(或说a能整除b),b为被除数,a为除数,即a|b(“|”是整除符号),读作“a整除b”或“b能被a整除”。a叫做b的约数(或因数),b叫做a的倍数。整除属于除尽的一种特殊情况。

    中文名

    整除

    外文名

    To be divisible by

    拼    音

    zhěng chú所属领域

    数学,计算

    差异概念

    除尽

    特    点

    余数为零

    相关概念

    带余数除法

    整除区别联系

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    整除与除尽既有区别又有联系。除尽是指数b除以数a(a≠0)所得的商是整数或有限小数而余数是零时,我们就说b能被a除尽(或说a能除尽b)。因此整除与除尽的区别是,整除只有当被除数、除数以及商都是整数,而余数是零.除尽并不局限于整数范围内,被除数、除数以及商可以是整数,也可以是有限小数,只要余数是零就可以了。它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况。

    整除基本性质

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    ①若b|a,c|a,且b和c互质,则bc|a。

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    整除抽象图(5张)②对任意非零整数a,±a|a=±1。

    ③若a|b,b|a,则|a|=|b|。

    ④如果a能被b整除,c是任意整数,那么积ac也能被b整除。

    ⑤对任意整数a,b>0,存在唯一的数对q,r,使a=bq+r,其中0≤r带余除法定理,是整除理论的基础。

    ⑥若c|a,c|b,则称c是a,b的公因数。若d是a,b的公因数,d≥0,且d可被a,b的任意公因数整除,则d是a,b的最大公因数。若a,b的最大公因数等于1,则称a,b互素,也称互质。累次利用带余除法可以求出a,b的最大公因数,这种方法常称为辗转相除法。又称欧几里得算法。

    整除辨别方法

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    整除常用辨别方法

    (1)1与0的特性:[1]

    1是任何整数的约数,即对于任何整数a,总有1|a.

    0是任何非零整数的倍数,a≠0,a为整数,则a|0.

    (2)能被2整除的数的特征

    若一个整数的末位是0、2、4、6或8,则这个数能被2整除。

    (3)能被3整除的数的特征

    1,若一个整数的数字和能被3整除,则这个整数能被3整除。

    2,由相同的数字组成的三位数、六位数、九位数……这些数字能被3整除。如111令3整除。

    (4)能被4整除的数的特征

    若一个整数的末尾两位数能被4整除,则这个数能被4整除。

    (5)能被5整除的数的特征

    若一个整数的末位是0或5,则这个数能被5整除。

    (6)能被6整除的数的特征

    若一个整数能被2和3整除,则这个数能被6整除。

    (7)能被7整除的数的特征

    1.若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述「、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。同能被17整除的数的特征。

    2.末三位以前的数与末三位以后的差(或反过来)。同能被11,13整除的数的特征。

    (8)能被8整除的数的特征

    若一个整数的末尾三位数能被8整除,则这个数能被8整除。

    (9)能被9整除的数的特征

    若一个整数的数字和能被9整除,则这个整数能被9整除。

    (10)能被10整除的数的特征

    若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除。

    (11)能被11整除的数的特征

    若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理!过程唯一不同的是:倍数不是2而是1!

    (12)能被12整除的数的特征

    若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除。

    整除其他辨别方法

    (13)能被13整除的数的特征

    若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果和是13的倍数,则原数能被13整除。如果和太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验和」的过程,直到能清楚判断为止。

    (14)能被17整除的数的特征

    1、若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,同能被7整除的特征一样。

    2、若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除,则这个数能被17整除。

    (15)能被19整除的数的特征

    1、若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2倍,如果和是19的倍数,则原数能被19整除。如果和太大或心算不易看出是否19的倍数,就需要继续使用能被13整除特征的方法。

    2、若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除,则这个数能被19整除。

    (16)能被23整除的数的特征

    若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除,则这个数能被23整除。

    我们可以这样证明:首先,位数是3的倍数,所以他就含有因子3,把他这个数的位数称为n;其次每位上的数字是一样的,把每位上的数字称为m,所以这个数字的数字和就是:n*m。但n含有因子3,那么它们的数字和就含有因子3,结论得证。

    整除统一方法

    设整数x的个位数为a,判断其是否能被n整除:令(x-a)/10-ma=nk(k∈N*),则x=n[10k+(10m+1)a/n],要使x能被n整除,只要(10m+1)/n为自然数。

    词条图册

    更多图册

    参考资料

    1.

    鲍海影主编..小学数学知识集锦 精华版.:朝华出版社,2012.01

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