最大公约数 订阅
最大公因数,也称最大公约数、最大公因子,指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a,b的最大公约数记为(a,b),同样的,a,b,c的最大公约数记为(a,b,c),多个整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种方法,常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数,a,b的最小公倍数记为[a,b]。 展开全文
最大公因数,也称最大公约数、最大公因子,指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a,b的最大公约数记为(a,b),同样的,a,b,c的最大公约数记为(a,b,c),多个整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种方法,常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数,a,b的最小公倍数记为[a,b]。
信息
基本概念
多个整数共有约数中最大的一个
相对应概念
最小公倍数
别    名
Highest Common Factor(HCF)
中文名
最大公约数
所属学科
数学
外文名
Greatest Common Divisor(GCD)
最大公约数基本概念
如果数a能被数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数。约数和倍数都表示一个整数与另一个整数的关系,不能单独存在。如只能说16是某数的倍数,2是某数的约数,而不能孤立地说16是倍数,2是约数。  "倍"与"倍数"是不同的两个概念,"倍"是指两个数相除的商,它可以是整数、小数或者分数。"倍数"只是在数的整除的范围内,相对于"约数"而言的一个数字的概念,表示的是能被某一个自然数整除的数。  几个整数中公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。例如:12、16的公约数有1、2、4,其中最大的一个是4,4是12与16的最大公约数,一般记为(12,16)=4。12、15、18的最大公约数是3,记为(12,15,18)=3。  几个自然数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个自然数,叫做这几个数的最小公倍数。例如:4的倍数有4、8、12、16,……,6的倍数有6、12、18、24,……,4和6的公倍数有12、24,……,其中最小的是12,一般记为[4,6]=12。12、15、18的最小公倍数是180。记为[12,15,18]=180。若干个互质数的最小公倍数为它们的乘积的绝对值。
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问答
  • 最大公约数
    2021-07-03 16:35:16

    题目描述

    输入两个正整数m和n,求其最大公约数和最小公倍数。

    输入

    两个整数

    输出

    最大公约数,最小公倍数

    样例输入

    5 7

    样例输出

    1 35
    #include  <stdio.h>
    int gcd (int a,int b)
    { 
        int i=1,last=1,min=1;
        if(a<b)
            min = a;
        else 
            min = b;
       while(i<=min) 
       {
        if(a%i==0 && b%i==0)
        last = i;
        i++;
        }
       return last;
       
    }
    int lcm (int a,int b)
    {
        
        int i=1,last=1,min=1,z;
       
        if(a<b)
            min = a;
        else 
            min = b;
       while(i<=min) {
        if(a%i==0 && b%i==0)
        last = i;
        i++;
        }
       return z=a*b/last;
       
    } 
    int main(void)
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
    	printf("%d ", gcd(a, b));
        printf("%d\n", lcm(a, b));
    
    	return 0;
    }

    算法原理:

    1、最大公约数法

    最小公倍数=两整数的乘积÷最大公约数

    2、乘穷举法

    将大数依次乘N(N为从1开始的自然数),对得到的数判断其是否整除小数。

    3、加穷举法

    将大数依次加1,对得到的数判断其是否可整除两数。

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    定理1:若詈=寺(其中p-,q互质)则m,n的最大公约数

    为里或旦

    P q

    证明:·.·旦=卫

    “ q

    .‘.m2pk.n2qk

    又p、q互质

    k=旦是m、rt的最大公因数(即最大公约数)

    P

    同理可得k=三握m、n的最大公因数(即最大公约数)

    q

    用辗转相除法可以求出两个自然数的最大公因数

    825l=6105x1+2146

    6105=2146 X2+1813

    2146=1813 Xl+333

    18】3=333 X5+148

    333:148×2+37

    148=37 x4

    则根据定理4。148与37的最大公约数就是8251与6105

    的最大公约数,故8251与6105的最大公约数是37。这过程不

    断交换除数被除数,容易混淆,过程也复杂。根据定理l利用计

    算器我们能够更快求出两个较大的数的最大公约数。

    第一步:输入m÷n,结果为x

    第二步:按“shift”+“d/c”,就能将x转化假分数形式卫

    q

    第三步:输入m÷P=,这样通过计算器三步就能得到m、n

    的最大公因数k

    我们以上面求8251。6105的最大公约数为例

    第一步:输入8251÷6105,结果为1.351515152

    第二步:按“shift”+“d/c”,就能将1.351515152转化假分

    ’11

    数形式筹

    1QJ

    第三步:输入8215÷223。得到m、n的最大公因数37。结果

    与用辗转相除法相同,步骤却省了很多。

    练习验证:

    求下列两数最大公约数

    (i)225,135②粥,196 劬2,168 ④153,119

    并非求函数的定义域,教学时不需加大此部分难度.4作业布置

    巩固练习:(教材%练习2).(个体练习为主,可让学生上4.1必做题:教材P7.习题2.2(A组)第7、8题.

    迸台在黑板解题,强调格式)4.2选做题:教材%习题2.2(B组)第4题.

    例2.(教材%例8)(讨论分析:比大小的依据?一师生共 4.3拓展题(选做):

    练一小结:利用单调性比大小)4.3.1已知函数Y=f(2‘)的定义域为[一1,1],则函数Y

    解: =f(1092x)的定义域为——

    (1)解法1:用图形计算器或多媒体画出对数函数Y=l092x 4.3.2求函数Y=2+l092x(x≥1)的值域.

    的图象.在图象上,横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的4.3.3已知log.

    r月三一⋯ . .4.3.4已知0l,ab>1.比较IogI÷,Iog.109b

    所以,10923.4

    解法2:由函数Y+l092x在R+上是单调增函数,且3.4<

    8.5,所以I0923.4

    3归纳小结。强化思想

    本节课的目的要求是掌握对数函数的概念、图象和性质.在

    理解对数函数的定义的基础上,掌握对数函数的图象和性质是

    本节课的重点.

    ①提问学生本节课学会了什么知识;

    ②总结本节课主要学习内容:

    ·212·

    ÷的大,J、o

    (设计意图)作业按循序渐进的原则布置,既巩固本节课所

    学知识。又培养自觉学习的习惯,在解题

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    Python程序查找最大公因数(HCF)或最大公约数(GCD)

    在此示例中,您将学习使用两种不同的方法查找两个数字的GCD:函数和循环以及欧几里得算法

    要理解此示例,您应该了解以下Python编程主题:

    两个数的最大公因数(H.C.F)或最大公约数(G.C.D)是能完美地将两个给定数相除的最大正整数。例如,H.C.F(12, 14)等于2。

    源代码:使用循环

    示例# Python程序查找两个数字的H.C.F

    # 定义一个函数

    def compute_hcf(x, y):

    # 选择较小的数字

    if x > y:

    smaller = y

    else:

    smaller = x

    for i in range(1, smaller+1):

    if((x % i == 0) and (y % i == 0)):

    hcf = i

    return hcf

    num1 = 54

    num2 = 24

    print("H.C.F. 是", compute_hcf(num1, num2))

    输出结果H.C.F. 是 6

    这里,存储在变量num1和num2中的两个整数被传递给compute hcf()函数。该函数计算H.C.F.这两个数字并返回它。

    在这个函数中,我们首先确定两个数字中较小的那个F只能小于或等于最小的数。然后我们使用一个for循环从1到那个数字。

    在每次迭代中,我们检查我们的数字是否完美地将两个输入数字相除。如果是这样,我们将这个数字存储为H.C.F.,在循环结束时,我们得到的最大的数字完美地将两个数字相除。

    上述方法易于理解和实施,但是效率不高。查找HCF的一种更有效的方法是欧几里得算法。

    欧几里得算法

    该算法基于以下事实:两个数字的HCF也将它们的差除。

    在此算法中,我们将较大者除以较小者,然后取余数。现在,将较小者除以该余数。重复直到剩余为0。

    例如,如果我们想求54和24的hcf,我们用54除以24。余数是6。24除以6,余数是0。因此,6是必需的hcf

    源代码:使用欧几里得算法

    示例# 函数查找HCF的使用欧几里德算法

    def compute_hcf(x, y):

    while(y):

    x, y = y, x % y

    return x

    hcf = compute_hcf(300, 400)

    print("The HCF is", hcf)

    在这里我们循环直到y变为零。该语句x, y = y, x % y在Python中交换值。单击此处以了解有关在Python中交换变量的更多信息。

    在每次迭代中,我们同时将y的值放在x中,其余的(x % y)放在y中。当y变为0时,我们得到x的hcf。

    展开全文
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    1.穷举法:分别列出两整数的所有约数,并找出最大的公约数。
    2.素因数分解:分别列出两数的素因数分解式,并计算共同项的乘积。
    3.短除法:两数除以其共同素因数,直到两数互素时,所有除数的乘积即为最大公约数。
    4.辗转相除法:两数相除,取余数重复进行相除,直到余数为0时,前一个除数即为最大公约数。

    gcd函数的一些实现方法:

    【C++】gcd函数的写法

    库函数也有已经实现的gcd函数:

    int k=__gcd(n,m);

    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    using namespace std;
    int a,b;
     
    int main()
    {
      cin>>a>>b;
      cout<<__gcd(a,b)<<endl;
      return 0;
    }
    

    int、long long类型都可以,需要注意的是两个类型必须要相同,还有就是不能用浮点型,它头文件是algorithm。

    展开全文
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