
- 空间复杂度
- O(VN)
- 问 题
- 求出获得最大价值的方案
- 类 别
- 数学问题,计算机问题
- 条 件
- M件物品取出若干放空间W的背包里
- 中文名
- 01背包
- 时间复杂度
- O(VN)
- 外文名
- 0-1 Knapsack
-
01背包
2019-11-24 19:50:4701背包 0-1 背包问题:给定 n 种物品和一个容量为 C 的背包,物品 i 的重量是 wi,其价值为 vi 。 问:应该如何选择装入背包的物品,使得装入背包中的物品的总价值最大? 更具体的,抽象问题为: 有n个可选项,价值...01背包
0-1 背包问题:给定 n 种物品和一个容量为 C 的背包,物品 i 的重量是 wi,其价值为 vi 。
问:应该如何选择装入背包的物品,使得装入背包中的物品的总价值最大?
更具体的,抽象问题为:
有n个可选项,价值为vi,耗费wi,在总耗费为C的情况下选取,求总价值最大
使用dp[i][j]表示面对第i个可选项,耗费为j时所能取到的最大值,面临的只有两种选择,取当前项,或者不取当前项:
自底向上遍历,先遍历物品,再遍历耗费,相当于先记录下来了底层物品,低容量的记录,顶层知道记录,因此可以快速做出判断。for(int i=1;i<=n;i++) { for(int j=1;j<=c;j++) { if(j>=w[i]) m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]); else m[i][j]=m[i-1][j]; } }
需要注意的是,任何动归实现时都要注意边界条件与底层条件的设置,一定要符合公式的语义
确定能获取最大价值的选择项
另起一个 x[ ] 数组,x[i]=0表示不拿,x[i]=1表示拿。m[n][c]为最优值,如果m[n][c]=m[n-1][c] ,说明有没有第n件物品都一样,则x[n]=0 ; 否则 x[n]=1。当x[n]=0时,由m[n-1][c]继续构造最优解;当x[n]=1时,则由x[n-1][c-w[i]]继续构造最优解。以此类推,这种方式只能获取一个最优解。
for(int i=n;i>1;i--) { if(m[i][c]==m[i-1][c]) x[i]=0; else { x[i]=1; c-=w[i];//向下寻找 } } x[1]=(m[1][c]>0)?1:0;//只剩下最后一个了,判断是否能拿即可
-
01 背包
2016-05-19 18:52:4001背包问题描述:给定 n 种物品和一背包,物品 i 的重量是 wi,其价值是 vi,背包容量为 c,问应如何选择装入背包中的物品,使装入背包中的物品价值最大?回溯法在搜索解空间树时,只要其左儿子节点是一个可行节点,...01背包
问题描述:给定 n 种物品和一背包,物品 i 的重量是 wi,其价值是 vi,背包容量为 c,问应如何选择装入背包中的物品,使装入背包中的物品价值最大?
回溯法
在搜索解空间树时,只要其左儿子节点是一个可行节点,搜索就进入其左子树。当右子树中可能包含最优解时才进入右子树搜索。设 r 是当前剩余物品的价值总和;cv 是当前价值;max 是当前最优价值。当 cv + r <= max 时, 可减去右子树。
void BackTrack(int cw, int cv, int i) { if (i > n) { max = cv; return; } if (cw + w[i] <= c) BackTrack(cw + w[i], cv + v[i], i + 1); if (cv + r[i + 1] > max) BackTrack(cw, cv, i + 1); } void Init() { for (int i = n; i >= 1; i--) r[i] = r[i + 1] + v[i]; }
动态规划(递推法)
正常的状态定义
d(i,j) = max{d(i+1,j), d(i+1,j-W[i]) + V[i]}
d(i,j) 表示当前在第 i 层,背包剩余容量为 j 时的最大价值和,边界是 i > n 时 d(i,j) = 0;for (int i = n; i >= 1; i--) for (int j = 0; j <= c; j++) { d[i][j] = (i == n ? 0 : d[i+1][j]); if (j >= W[i]) d[i][j] = max(d[i][j], d[i+1][j-W[i]] + V[i]); }
对称的状态定义
f(i,j) = max{f(i-1,j), f(i-1,j-W[i]) + V[i]}
f(i,j) 表示把前 i 个物品装到容量为 j 的背包中的最大价值和,边界是 i= 0 时 f(i,j) = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) for (int j = 0; j <= c; j++) { f[i][j] = (i == 1 ? 0 : f[i-1][j]); if (j >= W[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-W[i]] + V[i]); }
边读边计算, 不必把 V 和 W 保存下来
for (int i = 1; i <= n; i++) { scanf("%d%d", &V, &W); for (int j = 0; j <= c; j++) { f[i][j] = (i == 1 ? 0 : f[i-1][j]); if (j >= W) f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-W] + V); } }
滚动数组, 把数组 f 变成一维的
memset(f, 0, sizeof(f)); for (int i = 1; i <= n; i++) { scanf("%d%d", &V, &W); for (int j = 0; j <= c; j++) if (j >= W) f[j] = max(f[j], f[j-W] + V); }
-
【动态规划】01背包问题(通俗易懂,超基础讲解)
2018-08-24 22:29:29有n个物品,它们有各自的体积和价值,现有给定容量的背包,如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和? 为方便讲解和理解,下面讲述的例子均先用具体的数字代入,即:eg:number=4,capacity=8 i(物品编号) ...问题描述
有n个物品,它们有各自的体积和价值,现有给定容量的背包,如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和?
为方便讲解和理解,下面讲述的例子均先用具体的数字代入,即:eg:number=4,capacity=8
i(物品编号) 1 2 3 4 w(体积) 2 3 4 5 v(价值) 3 4 5 6 总体思路
根据动态规划解题步骤(问题抽象化、建立模型、寻找约束条件、判断是否满足最优性原理、找大问题与小问题的递推关系式、填表、寻找解组成)找出01背包问题的最优解以及解组成,然后编写代码实现。
动态规划的原理
动态规划与分治法类似,都是把大问题拆分成小问题,通过寻找大问题与小问题的递推关系,解决一个个小问题,最终达到解决原问题的效果。但不同的是,分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次,而动态规划则具有记忆性,通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来,在新问题里需要用到的子问题可以直接提取,避免了重复计算,从而节约了时间,所以在问题满足最优性原理之后,用动态规划解决问题的核心就在于填表,表填写完毕,最优解也就找到。
最优性原理是动态规划的基础,最优性原理是指“多阶段决策过程的最优决策序列具有这样的性质:不论初始状态和初始决策如何,对于前面决策所造成的某一状态而言,其后各阶段的决策序列必须构成最优策略”。
背包问题的解决过程
在解决问题之前,为描述方便,首先定义一些变量:Vi表示第 i 个物品的价值,Wi表示第 i 个物品的体积,定义V(i,j):当前背包容量 j,前 i 个物品最佳组合对应的价值,同时背包问题抽象化(X1,X2,…,Xn,其中 Xi 取0或1,表示第 i 个物品选或不选)。
1、建立模型,即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn);
2、寻找约束条件,W1X1+W2X2+…+WnXn<capacity;
3、寻找递推关系式,面对当前商品有两种可能性:
- 包的容量比该商品体积小,装不下,此时的价值与前i-1个的价值是一样的,即V(i,j)=V(i-1,j);
- 还有足够的容量可以装该商品,但装了也不一定达到当前最优价值,所以在装与不装之间选择最优的一个,即V(i,j)=max{V(i-1,j),V(i-1,j-w(i))+v(i)}。
其中V(i-1,j)表示不装,V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品,背包容量减少w(i),但价值增加了v(i);
由此可以得出递推关系式:
- j<w(i) V(i,j)=V(i-1,j)
- j>=w(i) V(i,j)=max{V(i-1,j),V(i-1,j-w(i))+v(i)}
这里需要解释一下,为什么能装的情况下,需要这样求解(这才是本问题的关键所在!):
可以这么理解,如果要到达V(i,j)这一个状态有几种方式?
肯定是两种,第一种是第i件商品没有装进去,第二种是第i件商品装进去了。没有装进去很好理解,就是V(i-1,j);装进去了怎么理解呢?如果装进去第i件商品,那么装入之前是什么状态,肯定是V(i-1,j-w(i))。由于最优性原理(上文讲到),V(i-1,j-w(i))就是前面决策造成的一种状态,后面的决策就要构成最优策略。两种情况进行比较,得出最优。
4、填表,首先初始化边界条件,V(0,j)=V(i,0)=0;
然后一行一行的填表:
- 如,i=1,j=1,w(1)=2,v(1)=3,有j<w(1),故V(1,1)=V(1-1,1)=0;
- 又如i=1,j=2,w(1)=2,v(1)=3,有j=w(1),故V(1,2)=max{ V(1-1,2),V(1-1,2-w(1))+v(1) }=max{0,0+3}=3;
- 如此下去,填到最后一个,i=4,j=8,w(4)=5,v(4)=6,有j>w(4),故V(4,8)=max{ V(4-1,8),V(4-1,8-w(4))+v(4) }=max{9,4+6}=10……
所以填完表如下图:
5、表格填完,最优解即是V(number,capacity)=V(4,8)=10。
代码实现
为了和之前的动态规划图可以进行对比,尽管只有4个商品,但是我们创建的数组元素由5个。
#include<iostream> using namespace std; #include <algorithm> int main() { int w[5] = { 0 , 2 , 3 , 4 , 5 }; //商品的体积2、3、4、5 int v[5] = { 0 , 3 , 4 , 5 , 6 }; //商品的价值3、4、5、6 int bagV = 8; //背包大小 int dp[5][9] = { { 0 } }; //动态规划表 for (int i = 1; i <= 4; i++) { for (int j = 1; j <= bagV; j++) { if (j < w[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]); } } //动态规划表的输出 for (int i = 0; i < 5; i++) { for (int j = 0; j < 9; j++) { cout << dp[i][j] << ' '; } cout << endl; } return 0; }
背包问题最优解回溯
通过上面的方法可以求出背包问题的最优解,但还不知道这个最优解由哪些商品组成,故要根据最优解回溯找出解的组成,根据填表的原理可以有如下的寻解方式:
- V(i,j)=V(i-1,j)时,说明没有选择第i 个商品,则回到V(i-1,j);
- V(i,j)=V(i-1,j-w(i))+v(i)时,说明装了第i个商品,该商品是最优解组成的一部分,随后我们得回到装该商品之前,即回到V(i-1,j-w(i));
- 一直遍历到i=0结束为止,所有解的组成都会找到。
就拿上面的例子来说吧:
- 最优解为V(4,8)=10,而V(4,8)!=V(3,8)却有V(4,8)=V(3,8-w(4))+v(4)=V(3,3)+6=4+6=10,所以第4件商品被选中,并且回到V(3,8-w(4))=V(3,3);
- 有V(3,3)=V(2,3)=4,所以第3件商品没被选择,回到V(2,3);
- 而V(2,3)!=V(1,3)却有V(2,3)=V(1,3-w(2))+v(2)=V(1,0)+4=0+4=4,所以第2件商品被选中,并且回到V(1,3-w(2))=V(1,0);
- 有V(1,0)=V(0,0)=0,所以第1件商品没被选择。
代码实现
背包问题最终版详细代码实现如下:
#include<iostream> using namespace std; #include <algorithm> int w[5] = { 0 , 2 , 3 , 4 , 5 }; //商品的体积2、3、4、5 int v[5] = { 0 , 3 , 4 , 5 , 6 }; //商品的价值3、4、5、6 int bagV = 8; //背包大小 int dp[5][9] = { { 0 } }; //动态规划表 int item[5]; //最优解情况 void findMax() { //动态规划 for (int i = 1; i <= 4; i++) { for (int j = 1; j <= bagV; j++) { if (j < w[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]); } } } void findWhat(int i, int j) { //最优解情况 if (i >= 0) { if (dp[i][j] == dp[i - 1][j]) { item[i] = 0; findWhat(i - 1, j); } else if (j - w[i] >= 0 && dp[i][j] == dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]) { item[i] = 1; findWhat(i - 1, j - w[i]); } } } void print() { for (int i = 0; i < 5; i++) { //动态规划表输出 for (int j = 0; j < 9; j++) { cout << dp[i][j] << ' '; } cout << endl; } cout << endl; for (int i = 0; i < 5; i++) //最优解输出 cout << item[i] << ' '; cout << endl; } int main() { findMax(); findWhat(4, 8); print(); return 0; }
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动态规划之01背包问题(最易理解的讲解)
2012-07-06 17:09:3701背包问题,是用来介绍动态规划算法最经典的例子,网上关于01背包问题的讲解也很多,我写这篇文章力争做到用最简单的方式,最少的公式把01背包问题讲解透彻。 01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi...01背包问题,是用来介绍动态规划算法最经典的例子,网上关于01背包问题的讲解也很多,我写这篇文章力争做到用最简单的方式,最少的公式把01背包问题讲解透彻。
01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }
f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中,可以取得的最大价值。Pi表示第i件物品的价值。决策:为了背包中物品总价值最大化,第 i件物品应该放入背包中吗 ?题目描述:
假设山洞里共有a,b,c,d ,e这5件宝物(不是5种宝物),它们的重量分别是2,2,6,5,4,它们的价值分别是6,3,5,4,6,现在给你个承重为10的背包, 怎么装背包,可以才能带走最多的财富。
有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品,它们的重量分别是2,2,6,5,4,它们的价值分别是6,3,5,4,6,现在给你个承重为10的背包,如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和?
name weight value 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a 2 6 0 6 6 9 9 12 12 15 15 15 b 2 3 0 3 3 6 6 9 9 9 10 11 c 6 5 0 0 0 6 6 6 6 6 10 11 d 5 4 0 0 0 6 6 6 6 6 10 10 e 4 6 0 0 0 6 6 6 6 6 6 6 只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。
首先要明确这张表是至底向上,从左到右生成的。
为了叙述方便,用e2单元格表示e行2列的单元格,这个单元格的意义是用来表示只有物品e时,有个承重为2的背包,那么这个背包的最大价值是0,因为e物品的重量是4,背包装不了。
对于d2单元格,表示只有物品e,d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值,仍然是0,因为物品e,d都不是这个背包能装的。
同理,c2=0,b2=3,a2=6。
对于承重为8的背包,a8=15,是怎么得出的呢?
根据01背包的状态转换方程,需要考察两个值,
一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9,另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi;
在这里,
f[i-1,j]表示我有一个承重为8的背包,当只有物品b,c,d,e四件可选时,这个背包能装入的最大价值
f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为6的背包(等于当前背包承重减去物品a的重量),当只有物品b,c,d,e四件可选时,这个背包能装入的最大价值
f[i-1,j-Wi]就是指单元格b6,值为9,Pi指的是a物品的价值,即6
由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9,所以物品a应该放入承重为8的背包
以下是actionscript3 的代码
public function get01PackageAnswer(bagItems:Array,bagSize:int):Array { var bagMatrix:Array=[]; var i:int; var item:PackageItem; for(i=0;i<bagItems.length;i++) { bagMatrix[i] = [0]; } for(i=1;i<=bagSize;i++) { for(var j:int=0;j<bagItems.length;j++) { item = bagItems[j] as PackageItem; if(item.weight > i) { //i背包转不下item if(j==0) { bagMatrix[j][i] = 0; } else { bagMatrix[j][i]=bagMatrix[j-1][i]; } } else { //将item装入背包后的价值总和 var itemInBag:int; if(j==0) { bagMatrix[j][i] = item.value; continue; } else { itemInBag = bagMatrix[j-1][i-item.weight]+item.value; } bagMatrix[j][i] = (bagMatrix[j-1][i] > itemInBag ? bagMatrix[j-1][i] : itemInBag) } } } //find answer var answers:Array=[]; var curSize:int = bagSize; for(i=bagItems.length-1;i>=0;i--) { item = bagItems[i] as PackageItem; if(curSize==0) { break; } if(i==0 && curSize > 0) { answers.push(item.name); break; } if(bagMatrix[i][curSize]-bagMatrix[i-1][curSize-item.weight]==item.value) { answers.push(item.name); curSize -= item.weight; } } return answers; }
PackageItem类public class PackageItem { public var name:String; public var weight:int; public var value:int; public function PackageItem(name:String,weight:int,value:int) { this.name = name; this.weight = weight; this.value = value; } }
测试代码var nameArr:Array=['a','b','c','d','e']; var weightArr:Array=[2,2,6,5,4]; var valueArr:Array=[6,3,5,4,6]; var bagItems:Array=[]; for(var i:int=0;i<nameArr.length;i++) { var bagItem:PackageItem = new PackageItem(nameArr[i],weightArr[i],valueArr[i]); bagItems[i]=bagItem; } var arr:Array = ac.get01PackageAnswer(bagItems,10);
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