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  • 图像转化为深度图,深度图转化为图像,点云转化为深度图 原图像: 深度图像: 额外插图: 将点云数据转化为深度图像(上面点云三维图,下面深度图)不是一一对应关系 代码: from PIL import Image import numpy ...

    图像转化为深度图,深度图转化为图像,点云转化为深度图

    原图像:
    在这里插入图片描述
    深度图像:
    在这里插入图片描述
    额外插图:
    将点云数据转化为深度图像(上面点云三维图,下面深度图)不是一一对应关系
    在这里插入图片描述

    代码:

    from PIL import Image
    import numpy as np
    # import scipy
    
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    def ImageToMatrix(filename):
        # 读取图片
        im = Image.open(filename)
        # 显示图片
    #     im.show()  
        width,height = im.size
        im = im.convert("L") 
        data = im.getdata()
        data = np.matrix(data,dtype='float')/255.0
        #new_data = np.reshape(data,(width,height))
        new_data = np.reshape(data,(height,width))
        return new_data
    #     new_im = Image.fromarray(new_data)
    #     # 显示图片
    #     new_im.show()
    def MatrixToImage(data):
        data = data*255
        new_im = Image.fromarray(data.astype(np.uint8))
        return new_im
    
    filename = 'aaa.png'
    data = ImageToMatrix(filename)
    print(data)
    print(np.shape(data)) 
    new_im = MatrixToImage(data)
    plt.imshow(data, cmap=plt.cm.gray, interpolation='nearest')
    new_im.show()
    # new_im.save('lena_1.bmp')
    
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  • xls、xlsx转化成xml格式

    热门讨论 2015-08-20 17:52:35
    可以将WPS、Office2007、Office2003等版本的xls、xlsx的Excel文档快速转化成XML文档。只需要在应用程序中填入xls文件的路径和名称,如C:\Users\Administrator\Desktop\文件管理.xls,选择要转化的表单名,如Sheet1,...
  • 电商行业转化率到底如何计算?

    千次阅读 2020-12-14 18:16:39
    行为转化率 = 期望行为数 / 行为总数总体功能转化率 = 行为转化率1 * 行为转化率2 *行为转化率3 * ...*行为转化率N 期望行为是希望考量目标做到的行为,比如阅读完一篇文章、完成一次注册、绑定银行卡、支付成功等...

    一、什么是转化率
     

    产品转化率指产品中单一交互行为和总体功能,使用后与使用前的用户数量之比。我们通常称前者为行为转化率,称后者为总体功能转化率。

    行为转化率 = 期望行为数 / 行为总数
    总体功能转化率 = 行为转化率1 * 行为转化率2 *行为转化率3 * ...*行为转化率N

    期望行为是希望考量目标做到的行为,比如阅读完一篇文章、完成一次注册、绑定银行卡、支付成功等。点击率中“点击”就是期望行为,转发率中“转发”就是期望行为,以此类推还有下载率、激活率、购买率、打开率、成交率、复购率等。因为总人数在一定范围(受到活动大小,渠道的制约)是固定的,所以我们就要想尽办法提高期望行为人数,来增加转化率

    二、转化分析的意义

    转化分析的本质是为了促进企业的核心业务流通,提升盈利能力。比如:销售额=流量*转化率*客单价
    如果需要提高企业的销售额,有三种方式:①花钱做推广,扩大流量②优化注册、购买流程,提高转化率③通过满减、捆绑产品等方式,提高客单价

    很明显提高客单价短期内可行性较低,但调整产品定价是个复杂的工作,短期内大幅度提升客单价容易导致市场竞争力下降,同时品牌和口碑也会受到负面影响,造成不可挽回的损失。对于扩大流量,如果企业的市场预算充裕,多花点钱做推广也是可行的,但对许多企业来如果不是处于产品生命周期成长期或成熟期,烧钱的策略并不可持续。于是只有提升转化率是企业性价比最高的方式。

    提升转化率的好处有:①可以花同样的钱起到更好地效果,提升ROI;②优化转化流程,提升用户体验和品牌满意度;③优化过的转化流程可以长久发挥作用,是可持续的。

    转换率的功能①衡量用户需求的强弱;②对比两个功能的好处,对同类功能进行优化取舍;③验证渠道质量及分区渠道权重。所以我们可以通过数据化的方式来分析转化率。
    比如某社交App开发了新功能,但这个功能的转化率很低,这时我们可以从两个方面来分析:①需求本身转化率低,这时需要反思这个需求是否是强需求,还有它的广度,使用频率、迫切度、可替代性等;②产品设计缺陷,设计的表达不当或者不清楚,入口位置、颜色、文案、引导、交互流程等存在问题。

    三、转化率与漏斗模型

    提到转化率,漏斗模型必不可少。漏斗中每一层都会有损耗,而漏斗模型可以帮助我们去减少整个过程的损耗量。需要注意的是单一的漏斗模型对于分析来说没有任何意义,我们不能单从一个漏斗模型中评价网站某个关键流程中各步骤的转化率的好坏,所以必须通过趋势、比较和细分的方法对流程中各步骤的转化率进行分析:

    (1)趋势(Trend):从时间轴的变化情况进行分析,适用于对某一流程或其中某个步骤进行改进或优化的效果监控;
    (2)比较(Compare):通过比较类似产品或服务间购买或使用流程的转化率,发现某些产品或应用中存在的问题;
    (3)细分(Segment):细分来源或不同的客户类型在转化率上的表现,发现一些高质量的来源或客户,通常用于分析网站的广告或推广的效果及ROI。
    提升转化率,需要有数据驱动的意识,转化率不仅是一个数据指标,其本质是用户体验的真实反映。当我们对用户体验分析的维度不断增加,对我们产品和用户行为的思考不断深入的时候,我们也就在转化分析的路上不断进阶。关于漏斗模型在我们之前的文章中有详细的介绍,想了解的朋友可以参考《干货 | 如何用漏斗模型做数据分析》。

    这里我们先探讨下怎样的转化率才算合格呢?其实,不同类目和单价的产品转化率会有很大的差异,转化率的影响因素是多方面的,比如运营手段、产品功能、用户体验和界面设计以及品牌信任度等,各方面因素会共同决定最终转化率的好坏。今天我们主要分享的是通用的步骤,在下一个部分我们会以落地页的转化率来分析。

    1.定义核心目标
    做任何事定义清楚核心目标非常关键,目标不清就会导致行为不清晰。比如是需要提升复购率还是客单价?或者是提升利润率还是销售额?一般来说,定义目标要根据不同的产品生命周期来决定,因为产品不同阶段,你所应该关注的核心目标是不同的。而核心目标可以拆解为相关的指标,提升相关指标也就提升了核心目标。

    2.画出核心流程
    这步是很关键的一步,也是很多人最容易忽视的一步。每个产品的漏斗模型都是不一样的,如何建立漏斗模型,就需要根据产品的核心流程图。核心流程图听起来简单,做来就很难了,因为你要考虑很多细节,但画一下用户体验比较好的产品流程图,可以在流程优化上得到启发。另外有了流程,在执行和复盘时,清晰的路径和走向容易更方便把控和分析。

    3.列出影响因子(做加法)
    把你能想到的所有可能影响流程中用户发生变化的因素列出来,并放到流程下。穷举你可能想到的所有因素,比如自己模拟用户的整个流程,把产生想法到最终流程结束能想到的都写下来,再试着去模拟体验竞品的流程,把想法记下来等。

    4.添加影响权重(做减法)
    每一个因素对结果的影响大小都不一样,你需要将他们之间的不同用数据化的方式表现出来。数据分析师们可以用技术去求因素的权重,但如果我们没有技术可以参考以下几个简单易操作的求权重方法,这些方案大家可以通过上网搜集相关资料来进一步了解,这里我就不再多说了。

    5.优化影响因子
    上一步骤添加完影响权重之后,做一个影响程度排序,就能看出那些最有影响的因素,接下来就照着这些影响因素逐一优化即可。比如:

    (1)定位正确的用户
    什么是正确的用户,不同的部门对此有不同的理解。市场运营在各个渠道进行投放,通过产品、服务、内容去吸引用户,但是不同渠道来源用户有一定的差别。针对不同渠道的用户,市场需要制定不同的推送和不同的落地页,以提高针对性;产品经理也要关心用户的分类,通过用户在产品上的使用行为对不同用户群体制定不同的运营策略,优化不同的产品特性;对销售人员来说,根据与用户沟通的结果来找到正确的受众和决策者,这也是一个寻找正确用户的过程。

    (2)提升产品的体验与流畅性
    改善用户体验的方法很多,如调配按钮位置、界面的颜色,或者进行整体的改版、产品交互等等,这里面细节决定成败。但需要注意的是产品流程可能比较简单,但用户的心智流程却比较复杂,这时候在写流程的时候,可以把用户的心智流程也加上去。优化的过程是一个无比漫长也没有时间终点的事情,保持一颗好奇心,多学习,放大自己格局,搞清楚问题的原因,多和用户聊聊。

    (3)优化转化路径
    不同行业有不同的转化路径。电商、OTA、O2O行业:最终的下单量是视为转化的;SaaS、社交类产品:往往将注册人数作为一个转化点。我们需要了解一个用户经历了哪些步骤,最终完成了这些转化。转化的过程中给予了用户足够的决策信息。这里需要注意过长的转化路径,会导致用户的流失。
     

    五、如何提高落地页的转化率

    1.什么是落地页
    落地页,也称着陆页(Landing Page)是用户被广告吸引,采取行动后的落地页,是营销漏斗的一个环节。这里的广告是把用户吸引到落地页的任意形式的媒介,例如朋友圈、电梯广告、搜索引擎广告、AppStore介绍也、活动推广图等。任何落地页有且只有唯一的目标,主要是发展用户、促成交易、搜集线索。
    落地页的设计和优化是技术活,一不小心就会让用户误以为你的落地页是垃圾页面,给推广带来障碍;或者给用户带来不好的体验,花了钱反而给品牌减分。因此,落地页是营销推广的基础,不仅要准确传达产品或服务的独特卖点,也要提升互动的友好度,吸引用户完成转化。

    2.如何提高落地页的转化率

    (1)保持简约
    清晰、简约的落地页可以让用户自动把目光投向你希望他们进行的动作,也能避免用户产生困惑。这和banner设计是一个道理:拥挤的设计不讨喜,留白才是最强有力的设计语言。简约的落地页比冗杂的页面更令用户印象深刻,也能增加他们与CTA(call-to-action 行动号召)按钮互动的几率。

    (2)站在用户角度考虑
    设计落地页的第一步,我们需要问自己:①分析受众是谁?②怎样有效地传播信息?③分析产品卖点是什么?④如何吸引用户完成注册?⑤如何提升转化?这五个问题可以帮助更好地挖掘目标受众的需求和期望,辅助设计。另外,如何你推广的是一个全新的产品,还需要分析用户的在线行为,利用分析结果来设计出有效的页面布局;同时准备好A/B测试实验工具,落地页上线后通过切分流量观察不同设计带来的不同结果,不停试验-择优-更新-再试验-再择优,让页面的互动和转化率不断提升。

    (3)确保内容简单易懂
    在强调可视化的同时,一定要注意落地页所有的内容是否描述的清楚易懂,是不是能吸引用户。专业术语、不常见的缩写和复杂的句式都会让用户产生距离感,一定要避免使用。同时,要时刻牢记站在受众的角度去生成你的文案。如果手上的文案不能用通俗易懂的方式向用户清楚地阐述产品的利益点,就果断重新编辑和优化文案。

    (4)注册表单越短越好
    在那些需要转化的落地页中,最关键的设计元素就是注册表单,但是在各个品牌都在致力于提升用户体验的时代,互联网用户越来越不爱填表,更不愿意透露自己的个人信息。这就要求清晰地定义转化后续流程真正需要的注册信息。为了获取更多注册,你还可以给用户提供奖励,再简化注册流程。此外,多做测试,它可以帮你大幅降低这些错误出现的几率,因为一个小错误就可以导致转化丢失或转化率大幅下跌。

    (5)强大的CTA
    CTA(call-to-action 行为号召)可以是按钮、图片、表格或其他形式,重点在于如何从审美和功能角度来包装你的CTA。创建一个理想的CTA不是一蹴而就的过程,需要不断地用A/B测试工具对颜色、形状、尺寸、字体、字号等元素进行测试,找出最优版本。

    (6)情感设计
    情感设计原指的是工业设计师通过对产品的颜色、材质、外观、点、线、面等元素进行综合设计,让产品通过声音、形态、喻意、外观形象各各方面影响人的听觉、视觉、触觉,使人和品牌产生共鸣。落地页的情感设计,首先要考虑把重要信息放在用户第一眼就可以看到的位置上,其次要从用户心理出发。另外颜色的运用在落地页设计中也是一门学问,一个简单的颜色变化就能影响用户的心理——这也是在设计落地页时,必须重视用户需求的另一个原因。

    (7)设计布局
    图片配上合适的文案,就是一个简单的落地页。然而,不要以为把图片都一股脑地堆在落地页上就是所谓的设计布局。简洁,简洁,简洁(重要的事情说三遍)。页面布局只有在满足以下这些要求时,才真正达到提升落地页转化率的效果: 鲜明突出落地页要传播讯息;②通过视频或信息图,1分钟内阐述清楚你的产品;③展示真实案例;④建立互动版块

    (8)重视移动端
    随着移动用户的快速增加,流畅无缝的跨屏体验对品牌越来越重要,因为这直接影响了一个网页带给用户的品牌印象。调查数据显示,48%的用户表示不愿意访问没有做过移动端优化的落地页,因此我们需要确保用户在任何设备上访问落地页的体验都无差。试想一下,如果用户从移动端进入你的落地页,就因为适配问题找不到CTA的位置,此时的用户流失会非常可惜。

    (9)清晰阐述产品
    用户访问落地页的目的是来了解更多关于产品的信息,如果他们get不到你的独特卖点,自然也就没兴趣完成后续的注册。在阐述产品价值的过程中,注意避免使用直销的话术,而是要让用户在短时间内知道你的产品能怎样帮助他们解决问题、带来什么具象的价值。因此,落地页上的文案要清楚地告诉用户为什么要在这里继续点击或注册,然后把能够解决的问题和解决方式阐述清楚,再通过项目符号、视频或图表来吸引用户眼球,才能达到提升转化率的目的。

    (10)不要分散用户注意力
    信息碎片化的时代,用户的注意力很难集中在一个单独页面上超过5-10秒,这就是我们为什么不断强调,落地页设计一定要减少不必要的信息干扰、追求简约的原因。无论是落地页上的banner广告、弹出广告,还是外部链接或菜单等,都要易操作,确保购买转化漏斗的每一层都能顺利地完成。

    六、小结
    不同行业的不同产品其提升转化率的具体方法都有所不同,比如如何优化电商店铺的商品转化率、如何提升App注册下载转化率、如何提升小额信贷产品的转化率……但核心还是对于业务本身和用户的了解只有针对性的了解用户,针对不同的业务,我们才可能制定出不同的优化方案。

    其次通过数据分析提出假设,运用小步快跑进行迭代实验,检验假设并进行复盘和反馈,从而可以快速提升转化率。这时可以借助可视化工具,例如Data Analytics,可一键接入Execl/CSV等数据文件,无需编程仅需简单的拖拽即可制作酷炫的数据可视化看板,用直观的数据帮你做更好的决策。



    作者:DataHunter
    链接:https://www.zhihu.com/question/20121851/answer/721897609
    来源:知乎
    著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。

     

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  • Android数据转化为Excel表格导入导出

    热门讨论 2016-03-08 14:11:51
    Android数据转化为Excel表格导入导出,利用jxl.jar
  • spr-bmp转化工具

    2015-08-11 08:57:20
    spr-bmp转化工具。能够将spr文件、BMP文件互相转化
  • Java实现字节流与图片的转化
  • OKR的优势之一在于可以从上至下的形成工作树来聚焦团队目标,对于市场运营、产品运营来说,大部分的核心目标目标都与转化结果有关,如果按照业务类型划分: 1、电商:核心目标是订单量; 2、企业级服务:核心目标是...

    OKR的优势之一在于可以从上至下的形成工作树来聚焦团队目标,对于市场运营、产品运营来说,大部分的核心目标目标都与转化结果有关,如果按照业务类型划分:

    1、电商:核心目标是订单量;

    2、企业级服务:核心目标是线索(表单提交);

    3、APP推广:核心目标是产品下载;

    那么,如何得到真正的网站、APP、H5的转化数据?

    接下来,分享几个实践得出来的转化率优化方法。

    一、得到直观的转化漏斗数据

    如果从优化转化漏斗开始让转化率更高,首先需要清晰的知道自己的关键漏斗数据,目前市面上uv分析产品(例如百度统计)只能分析uv、pv等数据,因为没有做用户行为分析所以也没办法从行为分析演进漏斗分析,我们猜测访客在你的产品上的转化流程是:到达产品-了解产品-产生兴趣-CTA(call to action)- 转化闭环,如果用电商网站来实例化转化流程就是:uv-产品详情页-加入购物车-提交订单-支付,不同的业务有不同的转化漏斗,但是漏斗大同小异,优化转化漏斗的斜率成为了提高转化率的唯一目标。

    通过市场上的分析工具,可以制定转化漏斗,清晰可视化的知道宏观漏斗与微观漏斗的转化情况,如图:
    转化漏斗
    从图中我们可以看出,这个电商网站的用户加入购物车到提交订单,有约为10%的人放弃了,而从加入订单到真正支付的环节,又有约为13%的人放弃了。

    我们提出个假设,如果在每一个相邻漏斗的转化上提高2个百分点,那么对于这家企业来说,提高的订单金额是十分巨大的。

    二、了解访客为什么流失?

    如果想要去优化漏斗,必须了解两个漏斗之间的用户行为,在没有用户行为的时候,大部分产品都会凭借自己的感觉和经验来进行产品优化,但是这样的“经验论”是没办法支撑数据改变的论据的,仅凭自己对于产品的不断审视来优化很儿戏。

    通过行为下钻,我们就可以知道流失的用户到底做了什么,从而进行转化,如图:
    用户转化率
    我们可以从图中看到,用户在看家电,从今日头条下载,从banner进来的,加入了购物车,但是放弃了。此时,我们只是看了一个用户行为,如果通过多个用户行为,我们发现了共性,就可以针对共性进行优化:

    1,访客是在某一个页面放弃的,我们优先考察页面兼容性,继续追溯访客的终端和浏览器,如果不是兼容问题,那么就要优化页面内容,是否引导性不够。

    2,访客在某一个功能上多次交互,兼容问题几率很大。

    3,某个渠道来的访客,比较集中,审视渠道的用户质量和广告的引导是否明确(不明确的广告引导,访客会跳出很高),例如,在QQ空间上投放中老年服饰,可能转化率就会有一些低。

    三、定向召回,精准营销,提高用户转化率

    只是找到了流失的问题所在,并且解决了问题,影响的是以后的访客,之前流失的访客是可以召回的,我们需要给他们进行相应的激励措施,这个时候,分群功能就很重要。

    通过第一步的转化漏斗,我们是可以知道流失的都是哪些人,将这些人分群后,利用内置营销系统,群发EDM、短信、站内信,都可以进行精准的活动触达,实现营销闭环。
    转化漏斗
    通过分群,直接可以对流失的用户进行精准营销,群发的内容可以根据自己的情况进行设定,如果是召回,可以选择满减优惠券,或者是搭配商品。一旦流失的顾客被召回,那么就能够达到提高用户转化率的目的。

    总结:

    影响用户转化率的因素,核心有两个方向:

    1,自己产品的兼容问题,需要去开发优化;

    2,自己的页面内容不够吸引人,需要进行AB测试调整;

    除了解决以上两个问题,召回也是很好的挽回用户的方式,但是最重要的是,想要优化转化漏斗,先要清晰的知道漏斗的数据,然后才能通过优化转化漏斗达到提高用户转化率的目的。

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  • 二、线性规划 普通形式 -> 标准形式 目标函数 转化、 三、线性规划 普通形式 -> 标准形式 无约束的决策变量转化、 四、线性规划 普通形式 -> 标准形式 约束方程 转化、 五、线性规划 普通形式 -> 标准形式 小于等于 ...





    一、线性规划标准形式



    线性规划标准形式 :

    m a x Z = ∑ j = 1 n c j x j max Z = \sum_{j = 1}^{n} c_j x_j maxZ=j=1ncjxj
    s . t { ∑ j = 1 n a i j x j = b i i = 1 , 2 , ⋯   , m x j ≥ 0 j = 1 , 2 , ⋯   , n s.t \begin{cases} \sum_{j = 1}^{n} a_{ij} x_j = b_i & i = 1,2,\cdots,m \\ \\ x_j \geq 0 & j= 1, 2,\cdots,n \end{cases} s.tj=1naijxj=bixj0i=1,2,,mj=1,2,,n


    线性规划标准形式特点 :

    • 1. 目标函数 : 目标函数都是求最大值 , 如果出现最小值 , 那么将其转为求最大值的形式 ;
    • 2. 约束条件 : 约束条件都是等式方程 , 等式右侧的常数项 b i b_i bi 大于等于 0 0 0 ;
    • 3. 决策变量 : 决策变量 x j x_j xj 大于等于 0 ;

    约定 : 决策变量个数为 n n n 个 , 约束条件不等式个数为 m m m 个 , 约束条件不等式的系数为一个 m × n m \times n m×n 矩阵 , m m m n n n 列的矩阵 ;





    二、线性规划 普通形式 -> 标准形式 目标函数 转化



    目标函数 转换 : 求极小值 转为 求极大值 ;

    如果目标函数是
    m i n W = ∑ c j x j \rm min W = \sum c_j x_j minW=cjxj
    可以将目标函数乘以 − 1 -1 1 ,
    − m i n W = − ∑ c j x j \rm - min W = -\sum c_j x_j minW=cjxj
    W W W 是大于 0 0 0 的数 , W W W 的最小值时 , − W -W W 是最大值 , W W W 是最大值时 , − W -W W 是最小值 , 这里令 Z = − W Z = -W Z=W , 可以得到
    m a x Z = − m i n W = − ∑ c j x j \rm max Z = -minW = -\sum c_j x_j maxZ=minW=cjxj





    三、线性规划 普通形式 -> 标准形式 无约束的决策变量转化



    无约束变量 转换 : 所有的决策变量必须 ≥ 0 \geq 0 0

    如果某个决策变量 x j x_j xj 没有任何约束 , 在标准形式中 , 所有的决策变量必须都大于等于 0 ;

    这里令 x j = x j ′ − x j ′ ′ x_j = x_j' - x_j'' xj=xjxj , 其中 x j ′ ≥ 0 x_j' \geq 0 xj0 , x j ′ ′ ≥ 0 x_j'' \geq 0 xj0





    四、线性规划 普通形式 -> 标准形式 约束方程 转化



    约束方程 转换 : 在线性规划中 , 约束方程都是等式 , 需要将不等式 ( ≤ \leq , ≥ \geq ) 转为 等式 ( = = = ) ;

    1. 针对小于等于的不等式 :

    ∑ a i j x j ≤ b i \sum a_{ij} x_j \leq b_i aijxjbi

    等式左边比右边小 , 左侧加上一个 变量 x n + i x_{n+i} xn+i 与右侧相等 ;

    ∑ a i j x j + x n i = b i \sum a_{ij} x_j + x_{ni} = b_i aijxj+xni=bi

    这个 x n + i x_{n+i} xn+i 称为松弛变量 ;



    2. 针对大于等于的不等式 :

    ∑ a i j x j ≥ b i \sum a_{ij} x_j \geq b_i aijxjbi

    等式左边比右边小 , 左侧加上一个 变量 x n + i x_{n+i} xn+i 与右侧相等 ;

    ∑ a i j x j − x n i = b i \sum a_{ij} x_j - x_{ni} = b_i aijxjxni=bi

    这个 x n + i x_{n+i} xn+i 称为剩余变量 ;





    五、线性规划 普通形式 -> 标准形式 小于等于 0 的变量转化



    如果出现 变量约束 x j ≤ 0 x_j \leq 0 xj0 , 需要将该变量约束转为大于等于 0 ( ≥ 0 \geq 0 0 ) 的情况 ;

    当前 x j ≤ 0 x_j \leq 0 xj0 , 令 x j ′ = − x j x_j' = -x_j xj=xj , 此时 x j ′ ≥ 0 x_j' \geq 0 xj0 ;





    六、线性规划 普通形式 -> 标准形式 转化顺序说明



    ① 先处理变量没有约束的问题 , 需要用两个 ≥ 0 \geq 0 0 的变量替换原来的变量 ;

    这里特别注意 , 之后处理 约束方程 , 每个步骤都要讲该变量替换掉 ;
    该步骤优先级最高 ;

    ② 在处理约束方程 , 如果是 ≤ \leq 不等式 , 需要在不等式左侧加入松弛变量 , 将不等式转为等式 ; 如果是 ≥ \geq 不等式 , 不等式左侧需要减去一个 剩余变量 , 将不等式转为等式 ;

    该处理过程会增加新的变量 , 如松弛变量或剩余变量 , 优先级 低于 处理没有变量约束 的问题 ;

    ③ 约束方程等式右侧常数必须大于 0 0 0 , 如果右侧的常数小于 0 0 0 , 在等式左右两侧都乘以 − 1 -1 1 ;

    ④ 先将之前 替换 或 新增的变量加入到目标函数中 , 在处理最大值最小值的问题 , 如果目标函数求最大值 , 什么都不用做 , 如果目标函数求最小值 , 需要将 求最小值的目标函数转为求最大值的目标函数 , 两边乘以 − 1 -1 1 ;

    目标函数需要将之前所有的变量都总结到一起 , 上述两个步骤都会增加新的变量 , 因此转换目标函数的工作放在最后 ;


    自下而上 : 变量约束都大于等于 0 0 0 , 约束不等式转等式 , 约束方程右侧大于 0 0 0 , 目标函数必须求最大值 ;





    七、线性规划 普通形式 -> 标准形式 转化实例



    下面是线性规划问题模型 , 将其转化为标准形式 :

    m i n W = − 2 x 1 + x 2 + 3 x 3 { 5 x 1 + x 2 + x 3 ≤ 7 x 1 − x 2 − 4 x 3 ≥ 2 − 3 x 1 + x 2 + 2 x 3 = − 5 x 1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0 , x 3 无 约 束 \begin{array}{lcl}min W = -2x_1 + x_2 + 3x_3 \\ \\ \\ \begin{cases} 5x_1 + x_2 + x_3 \leq 7 \\ \\ x_1 - x_2 - 4x_3 \geq 2 \\ \\ -3x_1 + x_2 + 2x_3 = -5 \\ \\ x_1 \geq 0 , x_2 \geq 0 , x_3 无约束 \end{cases} \end{array} minW=2x1+x2+3x35x1+x2+x37x1x24x323x1+x2+2x3=5x10,x20,x3

    1. 处理变量无约束的问题 ( 变量必须大于 0 )

    处理决策变量 x 3 x_3 x3 无约束的问题 , 在标准形式中 , 所有的变量必须都 ≥ 0 \geq 0 0 ;
    这里使用 x 3 ′ − x 3 ′ ′ x_3' - x_3'' x3x3 代替 x 3 x_3 x3 , 新增加的两个变量
    x 3 ′ , x 3 ′ ′ ≥ 0 x_3' , x_3'' \geq 0 x3,x30

    注意之后的每个步骤都要考虑 将 x 3 x_3 x3 转为 ( x 3 ′ − x 3 ′ ′ ) ( x_3' - x_3'' ) (x3x3) ;


    2. 约束方程 5 x 1 + x 2 + x 3 ≤ 7 5x_1 + x_2 + x_3 \leq 7 5x1+x2+x37 转化 ( 松弛变量 )

    该约束条件是 ≤ \leq 不等式 , 需要在左侧加上 松弛变量 x 4 x_4 x4 , 将 小于等于不等式 转为等式 ;
    5 x 1 + x 2 + ( x 3 ′ − x 3 ′ ′ ) + x 4 = 7 5x_1 + x_2 + ( x_3' - x_3'' ) + x_4 = 7 5x1+x2+(x3x3)+x4=7


    3. 约束方程 x 1 − x 2 − 4 x 3 ≥ 2 x_1 - x_2 - 4x_3 \geq 2 x1x24x32 转化 ( 剩余变量 )

    该约束条件是 ≥ \geq 不等式 , 需要在左侧减去 剩余变量 x 5 x_5 x5 , 将 大于等于不等式 转为等式 ;
    x 1 − x 2 − 4 ( x 3 ′ − x 3 ′ ′ ) − x 5 = 2 x_1 - x_2 - 4( x_3' - x_3'' ) - x_5 = 2 x1x24(x3x3)x5=2


    4. 约束方程 − 3 x 1 + x 2 + 2 x 3 = − 5 -3x_1 + x_2 + 2x_3 = -5 3x1+x2+2x3=5 转化 ( 右侧常数转正数 )

    该式子是等式 , 但是右侧常数小于 0 0 0 , 这里需要将右侧的常数转化为正数 , 在方程两边乘以 − 1 -1 1 ;

    原 式 : − 3 x 1 + x 2 + 2 x 3 = − 5 两 边 乘 以 − 1 : ( − 1 ) × ( − 3 x 1 + x 2 + 2 x 3 ) = ( − 1 ) × ( − 5 ) 最 终 结 果 : 3 x 1 − x 2 − 2 ( x 3 ′ − x 3 ′ ′ ) = 5 \begin{array}{lcl}\\ 原式 : & -3x_1 + x_2 + 2x_3 = -5 \\ \\ 两边乘以 -1 : & (-1) \times ( -3x_1 + x_2 + 2x_3 ) = (-1) \times ( -5 ) \\ \\ 最终结果 : & 3x_1 - x_2 - 2( x_3' - x_3'' ) = 5 \end{array} :1::3x1+x2+2x3=5(1)×(3x1+x2+2x3)=(1)×(5)3x1x22(x3x3)=5


    5. 目标函数转化

    转化顺序说明 : 在处理上述转化时 , 需要加入新的变量 , 如 无约束的变量需要增加两个变量 , 约束方程的 松弛变量 和 剩余变量 , 因此目标函数最后转化 ;

    ( 1 ) 将新增的变量加入

    原目标函数为 :
    m i n W = − 2 x 1 + x 2 + 3 ( x 3 ′ − x 3 ′ ′ ) min W = -2x_1 + x_2 + 3( x_3' - x_3'' ) minW=2x1+x2+3(x3x3)
    新增的变量 :

    • ① 之前 x 3 x_3 x3 没有约束变量 , 使用 x 3 ′ , x 3 ′ ′ x_3' , x_3'' x3,x3 代替 ;
    • ② 处理 ≤ \leq 不等式时 , 加入了 x 4 x_4 x4 松弛变量 ;
    • ③ 处理 ≥ \geq 不等式时 , 加入了 x 5 x_5 x5 剩余变量 ;

    此时加入 新增变量 后的 目标函数 为 :

    m i n W = − 2 x 1 + x 2 + 3 ( x 3 ′ − x 3 ′ ′ ) + 0 x 4 + 0 x 5 min W = -2x_1 + x_2 + 3 ( x_3' - x_3'' ) + 0x_4 + 0x_5 minW=2x1+x2+3(x3x3)+0x4+0x5

    ( 2 ) 最小值 转 最大值

    标准形式的目标函数是求最大值 , 这里在上面加入变量的结果的基础上 , 两边乘以 − 1 -1 1 , 得到如下公式 :

    m a x Z = 2 x 1 − x 2 − 3 ( x 3 ′ − x 3 ′ ′ ) + 0 x 4 + 0 x 5 max Z = 2x_1 - x_2 - 3( x_3' - x_3'' ) + 0x_4 + 0x_5 maxZ=2x1x23(x3x3)+0x4+0x5


    6. 最终结果 :

    m a x Z = 2 x 1 − x 2 − 3 ( x 3 ′ − x 3 ′ ′ ) + 0 x 4 + 0 x 5 { 5 x 1 + x 2 + ( x 3 ′ − x 3 ′ ′ ) + x 4 = 7 x 1 − x 2 − 4 ( x 3 ′ − x 3 ′ ′ ) − x 5 = 2 3 x 1 − x 2 − 2 ( x 3 ′ − x 3 ′ ′ ) = 5 x 1 , x 2 , x 3 ′ , x 3 ′ ′ , x 4 , x 5 ≥ 0 \begin{array}{lcl} max Z = 2x_1 - x_2 - 3( x_3' - x_3'' ) + 0x_4 + 0x_5 \\ \\ \\ \begin{cases} 5x_1 + x_2 + ( x_3' - x_3'' ) + x_4 = 7 \\ \\ x_1 - x_2 - 4( x_3' - x_3'' ) - x_5 = 2 \\ \\ 3x_1 - x_2 - 2( x_3' - x_3'' ) = 5 \\ \\ x_1 , x_2 , x_3' , x_3'', x_4 , x_5 \geq 0 \end{cases} \end{array} maxZ=2x1x23(x3x3)+0x4+0x55x1+x2+(x3x3)+x4=7x1x24(x3x3)x5=23x1x22(x3x3)=5x1,x2,x3,x3,x4,x50

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