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  • arch效应检验的一些要点

    千次阅读 2021-02-06 13:18:12
    请问如果做出来的是30阶滞后序列的残差才存在ARCH效应还算存在ARCH效应吗?图如下:Heteroskedasticity Test: ARCHF-statistic 1.449140 Prob. F(30,427) 0.0618Obs*R-square 42.32152 ...

    请问如果做出来的是30阶滞后序列的残差才存在ARCH效应还算存在ARCH效应吗?图如下:

    Heteroskedasticity Test: ARCH

    F-statistic              1.449140                 Prob. F(30,427)                0.0618

    Obs*R-square   42.32152                 Prob. Chi-Square(30)           0.0672

    Test Equation:

    Dependent Variable: RESID^2

    Method: Least Squares

    Date: 03/12/15   Time: 16:09

    Sample (adjusted): 33 490

    Included observations: 458 after adjustments

    Variable        Coefficient        Std. Error        t-Statistic        Prob.

    C        9.44E-05        4.41E-05        2.139657        0.0329

    RESID^2(-1)        0.012615        0.047983        0.262901        0.7928

    RESID^2(-2)        0.046015        0.047955        0.959559        0.3378

    RESID^2(-3)        -0.002242        0.047762        -0.046949        0.9626

    RESID^2(-4)        0.013632        0.047721        0.285665        0.7753

    RESID^2(-5)        -0.021623        0.047667        -0.453623        0.6503

    RESID^2(-6)        0.001717        0.047749        0.035965        0.9713

    RESID^2(-7)        0.006221        0.047724        0.130361        0.8963

    RESID^2(-8)        -0.034432        0.047651        -0.722582        0.4703

    RESID^2(-9)        0.077511        0.047673        1.625895        0.1047

    RESID^2(-10)        0.054082        0.047557        1.137203        0.2561

    RESID^2(-11)        0.039490        0.047624        0.829212        0.4074

    RESID^2(-12)        0.107632        0.047470        2.267350        0.0239

    RESID^2(-13)        0.022254        0.047755        0.466000        0.6415

    RESID^2(-14)        -0.040503        0.047694        -0.849217        0.3962

    RESID^2(-15)        -0.035096        0.047724        -0.735405        0.4625

    RESID^2(-16)        0.006555        0.047710        0.137400        0.8908

    RESID^2(-17)        0.054715        0.047663        1.147945        0.2516

    RESID^2(-18)        -0.003531        0.047744        -0.073955        0.9411

    RESID^2(-19)        0.088339        0.047440        1.862122        0.0633

    RESID^2(-20)        0.027870        0.047588        0.585650        0.5584

    RESID^2(-21)        -0.077161        0.047534        -1.623281        0.1053

    RESID^2(-22)        -0.003301        0.047544        -0.069439        0.9447

    RESID^2(-23)        0.055591        0.047513        1.170004        0.2427

    RESID^2(-24)        0.038002        0.047583        0.798647        0.4249

    RESID^2(-25)        0.033773        0.047614        0.709308        0.4785

    RESID^2(-26)        -0.045722        0.047528        -0.961999        0.3366

    RESID^2(-27)        -0.039788        0.047578        -0.836276        0.4035

    RESID^2(-28)        0.099003        0.047616        2.079194        0.0382

    RESID^2(-29)        -0.034027        0.047811        -0.711701        0.4770

    RESID^2(-30)        0.126531        0.047854        2.644099        0.0085

    R-squared        0.092405            Mean dependent var                0.000221

    Adjusted R-squared        0.028640            S.D. dependent var                0.000410

    S.E. of regression        0.000405            Akaike info criterion                -12.72243

    Sum squared resid        6.99E-05            Schwarz criterion                -12.44310

    Log likelihood        2944.436            Hannan-Quinn criter.                -12.61242

    F-statistic        1.449140            Durbin-Watson stat                2.016704

    Prob(F-statistic)        0.061773

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  • ARCH效应检验import pandas as pdSHret=pd.read_table('TRD_IndexSum.txt', index_col='Trddt', sep='\t')/Users/yaochenli/anaconda3/lib/python3.7/site-packages/ipykernel_launcher.py:1: FutureWarning: read_...

    ARCH效应检验

    import pandas as pd

    SHret=pd.read_table('TRD_IndexSum.txt', index_col='Trddt', sep='\t')

    /Users/yaochenli/anaconda3/lib/python3.7/site-packages/ipykernel_launcher.py:1: FutureWarning: read_table is deprecated, use read_csv instead.

    """Entry point for launching an IPython kernel.

    SHret.index=pd.to_datetime(SHret.index)

    SHret.head()

    Retindex

    Trddt

    2009-01-05

    0.032904

    2009-01-06

    0.030004

    2009-01-07

    -0.006780

    2009-01-08

    -0.023821

    2009-01-09

    0.014205

    import matplotlib.pyplot as plt

    import numpy as np

    plt.subplot(211)

    plt.plot(SHret**2)

    plt.xticks([])

    plt.title('Squared Daily Return of SH Index')

    plt.subplot(212)

    plt.plot(np.abs(SHret))

    plt.title('Absolute Daily Return of SH index')

    /Users/yaochenli/anaconda3/lib/python3.7/site-packages/pandas/plotting/_converter.py:129: FutureWarning: Using an implicitly registered datetime converter for a matplotlib plotting method. The converter was registered by pandas on import. Future versions of pandas will require you to explicitly register matplotlib converters.

    To register the converters:

    >>> from pandas.plotting import register_matplotlib_converters

    >>> register_matplotlib_converters()

    warnings.warn(msg, FutureWarning)

    Text(0.5, 1.0, 'Absolute Daily Return of SH index')

    from statsmodels.tsa import stattools

    LjungBox=stattools.q_stat(stattools.acf(SHret**2)[1:13],len(SHret))

    LjungBox[1][-1]

    2.2324582490602845e-43

    p值明显的小于0.05,所以可以拒绝上证指数收益率的平方是白噪声。即原序列存在ARCH效应

    GARCH建模 假设GARCH(1,1)

    from arch import arch_model

    am = arch_model(SHret)

    model=am.fit()

    Iteration: 1, Func. Count: 6, Neg. LLF: -4464.281255289449

    Iteration: 2, Func. Count: 19, Neg. LLF: -4464.512186616303

    Iteration: 3, Func. Count: 32, Neg. LLF: -4464.710590460396

    Iteration: 4, Func. Count: 45, Neg. LLF: -4464.735814639209

    Iteration: 5, Func. Count: 61, Neg. LLF: -4464.735819191423

    Positive directional derivative for linesearch (Exit mode 8)

    Current function value: -4464.735821909855

    Iterations: 9

    Function evaluations: 61

    Gradient evaluations: 5

    /Users/yaochenli/anaconda3/lib/python3.7/site-packages/arch/univariate/base.py:577: ConvergenceWarning:

    The optimizer returned code 8. The message is:

    Positive directional derivative for linesearch

    See scipy.optimize.fmin_slsqp for code meaning.

    ConvergenceWarning)

    print(model.summary())

    Constant Mean - GARCH Model Results

    ==============================================================================

    Dep. Variable: Retindex R-squared: -0.000

    Mean Model: Constant Mean Adj. R-squared: -0.000

    Vol Model: GARCH Log-Likelihood: 4464.74

    Distribution: Normal AIC: -8921.47

    Method: Maximum Likelihood BIC: -8900.16

    No. Observations: 1522

    Date: Wed, Aug 14 2019 Df Residuals: 1518

    Time: 14:12:36 Df Model: 4

    Mean Model

    =============================================================================

    coef std err t P>|t| 95.0% Conf. Int.

    -----------------------------------------------------------------------------

    mu 3.3255e-04 3.181e-04 1.045 0.296 [-2.909e-04,9.561e-04]

    Volatility Model

    ============================================================================

    coef std err t P>|t| 95.0% Conf. Int.

    ----------------------------------------------------------------------------

    omega 3.7169e-06 8.137e-14 4.568e+07 0.000 [3.717e-06,3.717e-06]

    alpha[1] 0.0500 3.320e-04 150.614 0.000 [4.935e-02,5.065e-02]

    beta[1] 0.9300 3.204e-03 290.305 0.000 [ 0.924, 0.936]

    ============================================================================

    Covariance estimator: robust

    WARNING: The optimizer did not indicate successful convergence. The message was

    Positive directional derivative for linesearch. See convergence_flag.

    ϵ t = σ t u t \epsilon_t=\sigma_t u_tϵt​=σt​ut​

    σ t 2 = 3.7169 ∗ 1 0 − 6 + 0.05 ϵ t − 1 2 + 0.93 σ t − 1 2 \\\sigma^2_t=3.7169*10^{-6}+0.05 \epsilon_{t-1}^2+0.93 \sigma^2_{t-1}σt2​=3.7169∗10−6+0.05ϵt−12​+0.93σt−12​

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  • 我先将我的步骤大致说一下首先检验收益率序列R的自相关性,发现与滞后5阶显著相关然后对r(-5)回归之后对残差做ARCH-LM检验这是滞后9阶的结果结果如下Heteroskedasticity Test: ARCHF-statistic 2.348236 Prob....

    我先将我的步骤大致说一下

    首先检验收益率序列R的自相关性,发现与滞后5阶显著相关

    然后对r(-5)回归

    之后对残差做ARCH-LM检验

    这是滞后9阶的结果

    结果如下

    Heteroskedasticity Test: ARCH

    F-statistic        2.348236            Prob. F(9,724)                0.0130

    Obs*R-squared        20.81833            Prob. Chi-Square(9)                0.0135

    Test Equation:

    Dependent Variable: RESID^2

    Method: Least Squares

    Date: 06/03/13   Time: 13:54

    Sample (adjusted): 5/12/2010 5/23/2013

    Included observations: 734 after adjustments

    Variable        Coefficient        Std. Error        t-Statistic        Prob.

    C        0.000132        2.38E-05        5.559009        0.0000

    RESID^2(-1)        0.012711        0.036722        0.346147        0.7293

    RESID^2(-2)        0.040154        0.036723        1.093422        0.2746

    RESID^2(-3)        -0.041296        0.036677        -1.125938        0.2606

    RESID^2(-4)        0.024989        0.036416        0.686215        0.4928

    RESID^2(-5)        0.081969        0.036306        2.257732        0.0243

    RESID^2(-6)        0.066544        0.036436        1.826316        0.0682

    RESID^2(-7)        0.062423        0.036504        1.710024        0.0877

    RESID^2(-8)        -0.002296        0.036546        -0.062836        0.9499

    RESID^2(-9)        0.076758        0.036531        2.101169        0.0360

    R-squared        0.028363            Mean dependent var                0.000197

    Adjusted R-squared        0.016284            S.D. dependent var                0.000388

    S.E. of regression        0.000384            Akaike info criterion                -12.87609

    Sum squared resid        0.000107            Schwarz criterion                -12.81344

    Log likelihood        4735.527            Hannan-Quinn criter.                -12.85193

    F-statistic        2.348236            Durbin-Watson stat                2.004669

    Prob(F-statistic)        0.012956

    可以说明存在ARCH效应吗

    还有我的步骤正确吗?

    希望能解释的详细一些!谢谢大家!

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  • P500股指的ARIMA模型预测与残差ARCH效应分析前言一、数据及分析目的二、数据探索三、ARIMA模型构建四、残差分析五、模型预测 前言 由于R语言对新手并不够友好,网上的资料相对也偏少,导致博主在使用R进行时间序列...

    R时间序列分析|S&P500股指的ARIMA模型预测与残差ARCH效应分析

    前言

    由于R语言对新手并不够友好,网上的资料相对也偏少,导致博主在使用R进行时间序列分析的过程中非常痛苦,参考和大量的资料和教科书做法。因此在project完成后,将代码、分析过程及必要的解释分享如下,希望可以帮到有需要的人。

    创作不易,转载请注明。如有错漏之处,还请各位大佬指正。

    一、数据及分析目的

    Project要求对SP500的数据进行探索和分析,建立三个拟合模型,使用预测精度对模型进行筛选,并对模型残差包含的信息进行分析,最后做出预测。

    主要用到的R包如下:

    # 如果没有安装,直接使用install.packages()即可
    library(depmixS4)
    library(tseries)
    library(forecast)
    library(readxl)
    library(stats)
    library(TSA)
    

    二、数据探索

    package里自带有1950.2至2012.1的月末数据,这里选择收盘价作为train data。并且,在雅虎下载了2012.2至2013.1的数据作为test data。

    #导入数据
    data("sp500")
    #导入12.02-13.01的数据
    sp500_12_13 <- read_excel("E:/^GSPC.xlsx")#雅虎金融可直接下载
    #转化为时间序列
    sp500_12_13 <- ts(sp500_12_13['Close'],frequency=12, start=c(2012,2))
    close_price <- ts(sp500['Close'],frequency=12, start=c(1950,2))
    print(close_price)
    

    原序列及对数序列可视化

    win.graph(width=3.25,height=2.5,pointsize=8)
    plot(close_price,ylab='SP500 Close Price')
    plot(log(close_price),ylab='Log(SP500 Close Price)')
    

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    首先考虑将序列化为平稳序列。观察原序列图像及对数处理图像可以发现,对数处理可以在一定程度上缓解方差波动的问题。但序列仍存在明显的增长性,可以通过对序列进行分解直观观察。

    #打印出四种趋势图
    dc<-decompose(log(close_price))
    plot(dc)
    

    在这里插入图片描述
    为了消除强烈的增长性,使用差分处理,并使用Augmented Dickey-Fuller Test进行序列平稳性检验。

    adf.test(diff(log(close_price)))
    #pp.test(diff(log(close_price)))#也可以用此方法进行检验
    

    Augmented Dickey-Fuller Test
    data: diff(log(close_price))
    Dickey-Fuller = -8.6284, Lag order = 9, p-value = 0.01
    alternative hypothesis: stationary

    可以看到拒绝原假设,序列平稳,可以进行ARIMA建模。

    三、ARIMA模型构建

    首先对取对数后一阶差分的序列进行分解。

    #打印出关于季节性趋势的图表
    dc<-decompose(log(close_price))
    season<-dc$figure
    plot(season,type = "b",xaxt="n",xlab = "Month",ylab = "Season Effect")
    #或者这样
    boxplot(log(close_price)~cycle(log(close_price)))#显示季节性特征
    

    在这里插入图片描述
    没有观察到十分强烈的季节性特征(波动范围较小),序列增长性也没有十分强烈。值得注意的是,分解后的trend序列似乎仍存在一些波动趋势,但并不能被直观观察到(后续进行分析)。接着判断序列的自相关性。

    #查看ACF和PACF图
    win.graph(width=3.25,height=2.5,pointsize=8)
    tsdisplay(diff(log(close_price)))
    dc<-decompose(diff(log(close_price)))
    plot(dc)
    

    在这里插入图片描述
    ACF图和PACF图都没有明显的截尾和拖尾特征,对AR()和MA()的之后阶数不好判断,但1~5期滞后都表现出较强的特征,可以考虑逐个建模比较AIC值(越小越好)。

    但R提供了简洁的方法,使用函数自动寻找最优模型。这里分别使用AIC和BIC准则进行寻找。

    #默认使用aic判断
    auto.arima(log(close_price))
    #使用bic判断
    auto.arima(log(close_price),ic='bic')
    

    #ARIMA(1,1,1)(0,0,1)[12] with drift
    #ARIMA(0,1,0) with drift

    给出了两个模型,一个是带漂移项的季节性ARIMA(1,1,1)(0,0,1)12模型,另一个是带漂移项的随机游走ARIMA(0,1,0)模型。

    漂移项 μ \mu μ是一非零常数,是因为一阶差分为:
    Δ X t = X − X t − 1 = μ + ϵ t \Delta\text{X}_t=\text{X} -\text{X}_{t-1}= \mu + \epsilon_t ΔXt=XXt1=μ+ϵt这表明时间序列 X t \text{X}_t Xt向上或向下漂移,取决于 μ \mu μ的符号是正还是负。通常ARIMA模型可通过再次差分消除漂移项。但本文依然包括了漂移项进行建模。

    分别对两个模型进行建模。

    注:arima()函数带漂移项建模之后,在预测阶段频频出现问题,博主能力有限无法解决,因此使用Arima()函数进行建模,两个函数几乎一样,只是该函数对带漂移项建模更加友好。

    #ARIMA(1,1,1)(0,0,1)[12] with drift
    model2=Arima(log(close_price),order=c(1,1,1),seasonal=list(order=c(0,0,1),period=12),include.drift = TRUE)
    summary(model2)#aic = -2588.36
    
    #ARIMA(0,1,0) with drift
    model3=Arima(log(close_price),order=c(0,1,0),include.drift = TRUE)
    summary(model3)#bic = -2576.33
    

    对模型的summary整理如下。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    各种误差的意思如下:
    预测误差=实际值 - 相对值
    相对误差=(实际值 - 相对值)/实际值
    预测精度=1 - 相对误差
    ME: Mean Error= 1 n Σ ( 预 测 误 差 ) \dfrac{1}{n}\Sigma(预测误差) n1Σ()
    RMSE: Root Mean Squared Error
    MAE: Mean Absolute Error= 1 n Σ ∣ 预 测 误 差 ∣ \dfrac{1}{n}\Sigma|预测误差| n1Σ
    MPE: Mean Percentage Error= 1 n Σ ∣ 相 对 误 差 ∣ \dfrac{1}{n}\Sigma|相对误差| n1Σ
    MAPE: Mean Absolute Percentage Error= 1 n Σ ∣ 预 测 误 差 ∣ 实 际 值 \dfrac{1}{n}\Sigma\dfrac{|预测误差|}{实际值} n1Σ
    MASE: Mean Absolute Scaled Error
    ACF1: Autocorrelation of errors at lag 1.

    接着是写出模型的表达式,季节性ARIMA模型的表达式比较复杂,其形式如下:

    在这里插入图片描述

    因此,ARIMA(1,1,1)(0,0,1)12 with drift的表达式应为:

    ( 1 − ϕ 1 B ) ( 1 − B ) ln ⁡ y t = ( 1 + θ 1 B ) ( 1 + Θ 1 B 12 ) ϵ t + μ (1-\phi_1B)(1-B)\ln\text{y}_t=(1+\theta_1B)(1+\Theta_1B^{12})\epsilon_t+\mu (1ϕ1B)(1B)lnyt=(1+θ1B)(1+Θ1B12)ϵt+μ其中 B B B为滞后算子, B n B^n Bn即滞后n期, μ \mu μ为漂移项。

    根据建模的结果,model2的模型表达式为:
    在这里插入图片描述

    model3的模型表达式更加简单:
    在这里插入图片描述

    比较两个模型的预测精度,即误差越小,精度越高。下表可见model2的精度稍微更高一些。(model1为线性回归模型,本文不展示)
    在这里插入图片描述

    四、残差分析

    #残差分析
    #残差相关性质图
    win.graph(width=6.5,height=6); tsdiag(model2)
    #残差分布
    win.graph(width=4,height=3,pointsize=8)
    hist(residuals(model2),xlab='Residuals')
    #残差Q-Q图
    win.graph(width=6.5,height=6)
    qqnorm(residuals(model2)); qqline(residuals(model2))
    #残差正态性检验
    shapiro.test(residuals(model2))
    

    在这里插入图片描述
    残差没有太多的异常值和自相关性。 但是,在某些年份(例如2000年和2008年)中似乎存在一些方差群集,这似乎是方差非齐,稍后进行检查。
    在这里插入图片描述
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    Q-Q图显示残差序列最下部分似乎偏离了正态曲线,应该是个偏态分布。Shapiro-Wilk normality test 验证了我们的想法。该检验的原假设是序列为正态分布。
    在这里插入图片描述
    模型的残差似乎还蕴含了更多的信息,考虑进行ARCH效应检验。

    #LM检验图
    win.graph(width=6.5,height=6);McLeod.Li.test(y=residuals(model2))
    #或者用这个进行LM检验(是否存在Arch效应),即检验残差方差齐性(H0)
    library(FinTS)
    ArchTest(residuals(model2))
    

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    上图显示,不管序列滞后多少期,LM检验都是显著的,检验表也是相同的结论,即模型的残差序列存在arch效应。

    考虑建立Garch模型,使用eacf图对p,q定阶。

    eacf(abs(residuals(model2)))
    eacf(residuals(model2)^2)
    

    绝对值数据和平方数据的示例EACF如下所示。
    在这里插入图片描述
    这部分不是特别懂,x表示显著,大概是看o围成的三角形。教科书中对十分相近的eacf图的描述原话是这样的:

    Both of them convincingly suggest an ARMA(1,1) model, and therefore a GARCH(1,1) model for the original data.
    他们两个都令人信服地建议使用ARMA(1,1)模型,因此建议使用原始数据的GARCH(1,1)模型。

    建立Garch(1,1)模型。

    r_garch=garch(x=residuals(model2), order=c(1,1) ,reltol=0.000001)
    summary(r_garch)
    

    在这里插入图片描述
    所有系数均显著。Jarque Bera检验的结果表明Garch模型的残差是非正态的,而Box-Ljung检验的结果表明残差的平方是白噪声序列。

    plot(residuals(r_garch),type='h',ylab='standard residuals')
    acf(residuals(r_garch)^2,na.action=na.omit)
    gBox(r_garch,method='squared')
    

    模型的残差看起来很正常。
    在这里插入图片描述
    残差平方序列看起来没有自相关性。
    在这里插入图片描述
    Generalized Portmanteau Tests for GARCH Models也都未显著。
    在这里插入图片描述
    因此,对model2的残差建立Garch(1,1)模型进行拟合是合适的。

    基于Garch(1,1)画出条件方差图。

    plot((fitted(r_garch)[,1])^2,type='l',ylab='conditional variance',xlab='t')
    

    在这里插入图片描述
    上图显而易见,model2的残差的方差确实会随时间变化(方差非齐),并且条件方差在1975、1988和2009年出现三个峰值,正好符合历史上的股市崩盘。

    model2的残差包含了标准普尔500指数方差集群信息,这对我们观察经济波动很有帮助。

    五、模型预测

    #ARIMA(1,1,1)(0,0,1)[12] with drift
    model=Arima(log(close_price),order=c(1,1,1),seasonal=list(order=c(0,0,1),period=12),include.drift = TRUE)
    #预测未来12期,99.5%置信区间
    forecast<-forecast(model,h=12,level=c(99.5))
    #可视化
    win.graph(width=6.5,height=6)
    #只显示2000至2013年
    plot(exp(forecast$fitted),ylim=c(500,2300),xlim=c(2008,2013),col="green")
    lines(close_price,col="red")
    lines(exp(forecast$mean),col="green")#预测值
    lines(sp500_12_13,col="red")#预测值对应的真实值
    lines(exp(forecast$upper),lty=2)#预测的上界
    lines(exp(forecast$lower),lty=2)#预测的下界
    #预测精度
    accuracy(exp(forecast$mean),sp500_12_13)
    

    在这里插入图片描述
    train set和test set的误差和预测精度如下。
    在这里插入图片描述

    模型的预测能力看起来还行,误差也在可接受的范围内,平均预测精度达到了96.87%,成功预测了SP500稍微向上的走势。

    注:上图后半部分线断开的原因不是数值缺失,而是前后序列不同引起的。

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