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  • AR模型

    万次阅读 多人点赞 2017-09-30 07:32:09
    AR模型: 具有如下结构的模型称为p阶自回归模型,简记为AR(p): AR(p)模型有三个限制条件: 。保证模型的最高阶数为p。 随机干扰项序列为零均值白噪声序列。 当期的随机干扰项与过去的序列值无关,即: ...

    AR模型:

    具有如下结构的模型称为p阶自回归模型,简记为AR(p):

    AR(p)模型有三个限制条件:

    • 。保证模型的最高阶数为p。
    • 随机干扰项序列 为零均值白噪声序列。
    • 当期的随机干扰项与过去的序列值无关,即:

    中心化AR(p)模型:

    当a0=0时,自回归模型称为中心化AR(p)模型。非中心化AR(p)模型可以通过下面的变化转换为中心化AR(p)序列。

    P阶自回归系数多项式:

    引进延迟算子B:

    则中心化AR(p)模型可以简记为:

    AR模型平稳性判别:

    特征根判别法:

    将AR(p)模型看作一个非齐次线性方程:

    1. 齐次线性差分方程的通解:

    由线性差分方程的相关理论可以知道齐次线性方程的通解为:

    其中为特征方程的p个特征根。

    1. 非齐次线性差分方程的的特解:

    可以证明AR(P)模型的自回归系数多项式方程的根是齐次多项线性差分方程的特征根的倒数。

    • 自回归系数多项式方程
    • 的特征方程:

    因此,可以因子分解成:

    由此可以得到一个特解:

    1. 非齐次线性差分方程 的通解:

    要使得AR(p)模型平稳,即要求对任意的实数{ci},都有

    即可得到AR(p)平稳的充要条件:

    上面的条件实际上就是要求AR(p)模型的p个特征根都在单位圆内。由特征根与自回归系数多项式的根成倒数的性质,也即的根都在单位圆外。

    平稳域判别法:

    1. AR(1)模型的平稳域:

    2. AR(2)模型的平稳域:

    平稳AR模型的统计特征:

    均值:

    在AR(p)模型等式两边取均值:

    由平稳序列均值为常数,以及{}为白噪声序列可得:

    中心化的AR(p)模型均值为0.

    方差:

    求AR(p)模型的方差需要借助Green函数,附录中给出了详细推导。

    Gj函数的递推公式如下:

    则:

    由于{}是白噪声序列,方差相等,

     

    平稳AR(1)模型的方差:

    可以很容易得出此时格林函数的递推式:

    自协方差:

    对中心化AR(p)模型两边同乘,再求期望有

    由AR(p)模型的限制条件3有

    故可以得到自协方差函数的递推公式:

    平稳AR(1)模型的自协方差函数

    AR(1)的自协方差函数递推关系式为:

    所以:

    自相关系数:

    由于自相关系数和自协方差有如下的关系:

    可以得到自相关系数的递推式:

    平稳AR(1)模型的自相关系数:

    附录:

    平稳AR(p)模型的方差推导:

    ,称为Green函数,则

    展开整理:

        

    又:

    且:

    整理后两项

    所以:

    有:

    由待定系数法可以得到Green函数的递推式:

     

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  • AR模型原理

    万次阅读 2017-10-13 18:54:56
    AR模型

    假定u(n),x(n)是平稳随机信号,u(n)是白噪声,方差是,现在希望能够建立AR模型的参数和x(n)的自相关函数的关系。关于现代谱估计的参数模型,请查看博客:http://blog.csdn.net/u010866505/article/details/78226020

    ----------(8)

    ----------(9)

    ----------(10)

    将上述方程(8),两边同时乘以x(n+m),并且求均值,有:

    ----------(11)

    于是有:

    ----------(12)

    于是有:

    -----------(13)

    由于u(n)是方差为的白噪声。根据博客http://blog.csdn.net/u010866505/article/details/78226020中的公式(3),有:

     

    = -----------(14)

    即有:

    ------------(15)

    有Z变换的定义,,根据(9)式,可以知道当时,h(0)=1.于是:

    -----------(16)

    在上面推导中,应用了自相关函数的偶对称性,即,于是,上述可写成矩阵形式如下:

    -----------(17)

    上述(16)(17)就是AR模型的正则方程,又称yule-walker方程。上述矩阵不但是对称的,而且沿着和主对角线平行的任一对角线上的元素都相等,这样的矩阵称为Toeplitz矩阵。

     

    可以看出,一个p阶AR模型有P+1个参数,,只要知道x(n)的前p+1个自相关函数,就可以求解线性方程组,即那p+1个参数,从而可以求出x(n)的功率谱。高斯消元罚求解线性方程组,复杂度是O() ,Levinson-Durbin根据Toeplitz的对称性,给出了一个搞笑的地推算法,需要计算量O().

    首先看一下AR模型和线性预测的关系。

    设x(n)在n时刻之前的p个数据已知,我们希望利用这p个数据来预测n时刻的值x(n),预测的方法很多,我们用线性预测来实现,是真实值x(n)的预测,那么有:

    ---------(18)

    令真实值和预测值之间的误差是e(n),则有:

    --------(19)

    因此,总的预测误差功率为:

    --------------(20)

    为了(20)达到最小,应该是x(n-p)……x(n-1)和预测误差序列e(n)正交<参看《数字信号处理程序》胡光p531>,即:

    -------------------(21)

    由此可以有:

    --------------(22)

    根据参看文献[1]中的(10.5.14),有

    -----------(23)

    (22)和(23)式称为线性预测的wiener-hopf方程。拿(22)和(23)式和AR的正则方程相比较会发现,这俩非常相似,于是乎,假设x(n)是同一个随机信号,如果线性预测器和AR模型的阶数一致,那么就有:

    -----------(24)

    上面两个说明,一个p阶AR模型的p+1个参数,同样可以用来构建一个p阶的线性预测器。该预测期的最小均方差和AR模型的激励白噪声的能量()相等 .反过来也成立:一AR模型的输出是同阶线性预测器的输出x(n),那么AR模型的系数就是线性预测期的系数,输入的白噪声的能量即方差应该等于。所以,AR模型和线性预测器是等价的,由此可以看出,AR模型是在最小平方意义上对数据的拟合。

    如果说x(n)是一个AR(p)过程,是指x(n)是由u(n)激励一个p阶的AR模型所产生的。

    现在回归到求解AR正则方程的levison-durbin算法。

    定义是p阶AR模型在阶次为m时的第k个参数k=1,2…..m,而m=1,2…..p。为m阶时最小的误差功率(由上面可知)。由(17)可以知道,当m=1时,有:

    ------(25)


    解出上述的解:

    ----------------(26)

    定义初始条件:

    --------(27)

    那么有:

    ------(28)

    定义第m阶时的第m个系数,即为km,km称为反射系数,根据Toeplitz矩阵的性质,得到levison-durbinde 递推算法:

    ----------(29)

    至此,就可以将所得系数带入到http://blog.csdn.net/u010866505/article/details/78226020中的公式(10)就可以计算功率谱。

     

    参看文献:《数字信号处理程序》胡广书

    展开全文
  • 采用AR模型,估计功率谱密度,包含实测数据
  • AR模型进行c++实现,可通过此程序进行频谱分析
  • 选择合适的遗忘因子,对一阶AR模型用LMS算法进行预测,
  • AR模型方法.pdf

    2021-08-27 10:53:11
    AR模型方法.pdf
  • AR模型谱估计 Burg算法

    2021-06-21 15:43:24
    AR模型谱估计 Burg算法 自己编写的程序,可以直接使用
  • AR模型功率谱估计

    2018-05-06 22:44:13
    文件为AR模型功率谱估计的MATLAB程序,有详细的注释。
  • AR模型的matlab实现

    2018-02-11 11:54:56
    AR模型的初步学习,可以运行出结果,非常适合初学者使用
  • AR模型法估计功率谱 MATLAB 代码
  • ar模型分析

    2012-05-24 00:17:07
    ar模型分析谱分析,比较,各种算法的优缺点分析,matlab仿真,调用函数,就这么多了,称尤尔 - 沃克AR方程)使用的莱文森 德宾%递归。输入R是一个典型的矢量自相关
  • 根据序列选模型(自回归AR模型、向量自回归VAR模型等)
  • 基于MATLAB的AR模型测试
  • AR模型,MA模型,ARMA模型,GARCH模型

    千次阅读 2019-10-07 15:24:55
    AR模型:自回归模型,是一种线性模型.AR模型是一种线性预测,即已知N个数据,可由模型推出第N点前面或后面的数据(设推出P点),所以其本质类似于插值。 MA模型:移动平均法模型,其中使用趋势移动平均法建立直线...

    AR模型:自回归模型,是一种线性模型.AR模型是一种线性预测,即已知N个数据,可由模型推出第N点前面或后面的数据(设推出P点),所以其本质类似于插值。

    MA模型:移动平均法模型,其中使用趋势移动平均法建立直线趋势的预测模型

    ARMA模型:自回归滑动平均模型,拟合较高阶模型.模型参量法高分辨率谱分析方法之一。这种方法是研究平稳随机过程有理谱的典型方法。它比AR模型法与MA模型法有较精确的谱估计及较优良的谱分辨率性能,但其参数估算比较繁琐。

    GARCH模型:广义回归模型,对误差的方差建模,适用于波动性的分析和预测.是ARCH模型的拓展, GARCH对误差的 方差进行了进一步的建模,特别适用于波动性的分析和 预测。

     

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