二分法
摘要
二分查找
二分查找一个大于等于X的最小值
二分查找一个小于等于x的最大值。
求X在序列中的起始位置和结束位置

基础算法合集：

https://blog.csdn.net/GD_ONE/article/details/104061907
摘要
本文主要介绍二分法。二分法是一种精妙的算法，效率贼高，很多复杂的算法都采用了二分优化。

二分法用于在单调的序列内快速查找某个值，方法是序列分为两半，判断要查找的值在哪个区间，舍弃另一半，每次查询都会舍弃序列的一半，所以时间复杂度是log(n)
二分查找

在有序的序列中查找x是否存在

每次将序列从中间划分为两半，看x在哪部分。如果中间值正好等于x，则结束。

假设一个数组arr,长度为n，待查找的元素为x,则：
public static int Search(int x){
// l表示查找区间的左端点, r表示查找区间的右端点，不断更改l和r来实现缩小区间
int l = 0, r = n-1;
	while(l < r){
		int mid = l + r >> 1; // (l + r) / 2;
		if(arr[mid] == x){
			return mid; // 找到该值，返回该元素下标
		}
		else if(arr[mid] > x){ // mid位置上的元素大于x
			r = mid - 1; // 说明x在mid的左边
		}
		else l = mid + 1; // mid位置上的元素小于x
	}                     // 说明x在mid的右边
	return -1; //没找到
}

以上是最简单的二分，因为我们只能得到一个元素是否存在于该序列，如果待查找的元素有多个，我们就不能全部找出来，那么我们如何改进呢？看下面两种二分方式：
二分查找一个大于等于X的最小值
这句话可能看着有些绕，举个例子，1 3 4 ，3就是大于等于2的最小值。如果序列全部小于X，那么会返回最后一个元素位置+1，所以另一种解释方式就是在序列中可以正确插入X而不影响序列升序状态的第一个位置。
那么怎么从第一种二分方式改进呢？很简单，当我们查找到一个符合条件的值后，我们并不结束查找，而是将查找区间向左偏移后继续查找。
代码附有详细的注释：
public static int Search(int x){
int l = 0, r = n-1;
	while(l < r){
		int mid = l + r >> 1; 
		
		// mid位置上的元素小于x，我们要查找的是大于等于的
		if(arr[mid] < x)
		{ 
			// 所以mid和其左边的全部舍弃
			l = mid + 1; 
		}
		else
		{ 
	    //mid位置上的元素大于等于x,我们不能舍弃,但要向左偏移,所以令r=mid
		r = mid; 
		}
		
	}                 
	return l; 
}

二分查找一个小于等于x的最大值。
对于升序序列来说，当我们查找到一个符合条件的值后，我们要使查找区间向右偏移。

所以代码实现为：
public static int Search(int x){
int l = 0, r = n-1;
	while(l < r){
		int mid = l + r + 1 >> 1;  // 注意这里加了1 
		
		// mid位置上的元素大于x，我们要查找的是小于等于的
		if(arr[mid] > x)
		{ 
			// 所以mid和其右边的全部舍弃
			r = mid - 1; 
		}
		else
		{ 
	    //mid位置上的元素小于等于x,我们不能舍弃,但要向右偏移,所以令l=mid
		l = mid; 
		}
		
	}                 
	return l; 
}

在以上的代码中， mid = (l + r + 1) / 2

为什么呢？ 因为(l+r)/2的结果会被下取整，当l = 0， r = 1时，mid = 0

如果此时arr[0]正好等于x的话， l 就会等于0， 那么因为l和r并没有被更新，

下一次循环mid还是0， 所以就会一直这样循环下去。为了避免死循环，需要特殊处理一下边界问题，也就是（l + r + 1) / 2。这样得到的mid就会不同了。
求X在序列中的起始位置和结束位置
通过上面两种二分方式我们可以得到大于等于X的第一个位置，和小于等于X的最后一个位置。显然，大于等于X的第一个位置就是X存在情况下的起始位置，小于等于X的最后一个位置就是X存在情况下的结束位置。
如 1 2 2 2 3   ，2的起始位置为1 结束位置为3
来一道真真正正的模板题：

数的范围

JAVA代码：
import java.io.*;
import java.util.*;
public class Main{
    static BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
    static BufferedWriter out = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
    static String[] s = new String[100010];
    static int[] arr = new int[100010];
    static int n, q;
    
    public static int findl(int x){
        int l = 0, r = n-1;
        while(l < r){
            int mid = l + r >> 1;
            if(arr[mid] < x) l = mid + 1;
            else r = mid;  
        }
        return l;
    }
      public static int findr(int x){
        int l = 0, r = n-1;
        while(l < r){
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if(arr[mid] > x) r = mid - 1;
            else l = mid;  
        }
        return l;
    }
    
    public static void main(String[] agrs) throws IOException {
        String[] test = in.readLine().split(" ");
        n = Integer.valueOf(test[0]);
        q = Integer.valueOf(test[1]);
        
        s = in.readLine().split(" ");
        for(int i = 0; i < n; i++) arr[i] = Integer.parseInt(s[i]);
        for(int i = 0; i < q; i++){
            int x = Integer.valueOf(in.readLine());
            int l = findl(x);
            int r = findr(x);
            if(x != arr[l]) out.write("-1 -1\n"); //不存在
            else out.write(l + " " + r + "\n");
        }
        out.flush();
    } 
    
    
}