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  • 二分法

    千次阅读 2020-02-11 21:02:35
    二分法摘要整数二分 摘要 本文主要介绍二分法二分法是一种精妙的算法,效率贼高,很多复杂的算法都采用了二分优化。 二分法用于在单调的序列内快速查找某个值,方法是序列分为两半,判断要查找的值在哪个区间,...

    基础算法合集:
    https://blog.csdn.net/GD_ONE/article/details/104061907

    摘要

    本文主要介绍二分法。二分法是一种精妙的算法,效率贼高,很多复杂的算法都采用了二分优化。
    二分法用于在单调的序列内快速查找某个值,方法是序列分为两半,判断要查找的值在哪个区间,舍弃另一半,每次查询都会舍弃序列的一半,所以时间复杂度是log(n)

    二分查找

    在有序的序列中查找x是否存在

    每次将序列从中间划分为两半,看x在哪部分。如果中间值正好等于x,则结束。
    假设一个数组arr,长度为n,待查找的元素为x,则:

    public static int Search(int x){
    // l表示查找区间的左端点, r表示查找区间的右端点,不断更改l和r来实现缩小区间
    int l = 0, r = n-1;
    	while(l < r){
    		int mid = l + r >> 1; // (l + r) / 2;
    		if(arr[mid] == x){
    			return mid; // 找到该值,返回该元素下标
    		}
    		else if(arr[mid] > x){ // mid位置上的元素大于x
    			r = mid - 1; // 说明x在mid的左边
    		}
    		else l = mid + 1; // mid位置上的元素小于x
    	}                     // 说明x在mid的右边
    	return -1; //没找到
    }
    

    以上是最简单的二分,因为我们只能得到一个元素是否存在于该序列,如果待查找的元素有多个,我们就不能全部找出来,那么我们如何改进呢?看下面两种二分方式:

    二分查找一个大于等于X的最小值

    这句话可能看着有些绕,举个例子,1 3 4 ,3就是大于等于2的最小值。如果序列全部小于X,那么会返回最后一个元素位置+1,所以另一种解释方式就是在序列中可以正确插入X而不影响序列升序状态的第一个位置

    那么怎么从第一种二分方式改进呢?很简单,当我们查找到一个符合条件的值后,我们并不结束查找,而是将查找区间向左偏移后继续查找。

    代码附有详细的注释:

    public static int Search(int x){
    int l = 0, r = n-1;
    	while(l < r){
    		int mid = l + r >> 1; 
    		
    		// mid位置上的元素小于x,我们要查找的是大于等于的
    		if(arr[mid] < x)
    		{ 
    			// 所以mid和其左边的全部舍弃
    			l = mid + 1; 
    		}
    		else
    		{ 
    	    //mid位置上的元素大于等于x,我们不能舍弃,但要向左偏移,所以令r=mid
    		r = mid; 
    		}
    		
    	}                 
    	return l; 
    }
    

    二分查找一个小于等于x的最大值。

    对于升序序列来说,当我们查找到一个符合条件的值后,我们要使查找区间向右偏移。
    所以代码实现为:

    public static int Search(int x){
    int l = 0, r = n-1;
    	while(l < r){
    		int mid = l + r + 1 >> 1;  // 注意这里加了1 
    		
    		// mid位置上的元素大于x,我们要查找的是小于等于的
    		if(arr[mid] > x)
    		{ 
    			// 所以mid和其右边的全部舍弃
    			r = mid - 1; 
    		}
    		else
    		{ 
    	    //mid位置上的元素小于等于x,我们不能舍弃,但要向右偏移,所以令l=mid
    		l = mid; 
    		}
    		
    	}                 
    	return l; 
    }
    

    在以上的代码中, mid = (l + r + 1) / 2
    为什么呢? 因为(l+r)/2的结果会被下取整,当l = 0, r = 1时,mid = 0
    如果此时arr[0]正好等于x的话, l 就会等于0, 那么因为l和r并没有被更新,
    下一次循环mid还是0, 所以就会一直这样循环下去。为了避免死循环,需要特殊处理一下边界问题,也就是(l + r + 1) / 2。这样得到的mid就会不同了。

    求X在序列中的起始位置和结束位置

    通过上面两种二分方式我们可以得到大于等于X的第一个位置,和小于等于X的最后一个位置。显然,大于等于X的第一个位置就是X存在情况下的起始位置,小于等于X的最后一个位置就是X存在情况下的结束位置。

    如 1 2 2 2 3 ,2的起始位置为1 结束位置为3

    来一道真真正正的模板题:
    数的范围

    在这里插入图片描述

    JAVA代码:

    import java.io.*;
    import java.util.*;
    public class Main{
        static BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        static BufferedWriter out = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
        static String[] s = new String[100010];
        static int[] arr = new int[100010];
        static int n, q;
        
        public static int findl(int x){
            int l = 0, r = n-1;
            while(l < r){
                int mid = l + r >> 1;
                if(arr[mid] < x) l = mid + 1;
                else r = mid;  
            }
            return l;
        }
          public static int findr(int x){
            int l = 0, r = n-1;
            while(l < r){
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                if(arr[mid] > x) r = mid - 1;
                else l = mid;  
            }
            return l;
        }
        
        public static void main(String[] agrs) throws IOException {
            String[] test = in.readLine().split(" ");
            n = Integer.valueOf(test[0]);
            q = Integer.valueOf(test[1]);
            
            s = in.readLine().split(" ");
            for(int i = 0; i < n; i++) arr[i] = Integer.parseInt(s[i]);
            for(int i = 0; i < q; i++){
                int x = Integer.valueOf(in.readLine());
                int l = findl(x);
                int r = findr(x);
                if(x != arr[l]) out.write("-1 -1\n"); //不存在
                else out.write(l + " " + r + "\n");
            }
            out.flush();
        } 
        
        
    }
    
    展开全文

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