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  • CBOW

    万次阅读 2017-07-12 10:13:17
    本文简述了以下内容: ... word2vec:CBOW / Skip-gram,直接以得到词表示为目标的模型  (一)原始CBOW(Continuous Bag-of-Words)模型  (二)原始Skip-gram模型  (三)word analogy 神经

       本文简述了以下内容:

          神经概率语言模型NPLM,训练语言模型并同时得到词表示

          word2vec:CBOW / Skip-gram,直接以得到词表示为目标的模型

              (一)原始CBOW(Continuous Bag-of-Words)模型

              (二)原始Skip-gram模型

              (三)word analogy

    神经概率语言模型NPLM

          上篇文简单整理了一下不同视角下的词表示模型。近年来,word embedding可以说已经成为了各种神经网络方法(CNN、RNN乃至各种网络结构,深层也好不深也罢)处理NLP任务的标配。word embedding(词嵌入;词向量)是指基于神经网络来得到词向量的模型(如CBOW、Skip-gram等,几乎无一例外都是浅层的)所train出来的词的向量表示,这种向量表示被称为是分布式表示distributed representation,大概就是说单独看其中一维的话没什么含义,但是组合到一起的vector就表达了这个词的语义信息(粒度上看的话,不止词,字、句子乃至篇章都可以有分布式表示;而且,例如网络节点、知识图谱中的三元组等都可以有自己的embedding,各种“xx2vec”层出不穷)。这种基于神经网络的模型又被称作是基于预测(predict)的模型,超参数往往要多于基于计数(count)的模型,因此灵活性要强一些,超参数起到的作用可能并不逊于模型本身。尽管有一批paper去证明了这类神经网络得到词表示模型的本质其实就是矩阵分解,但这并不妨碍它们的广泛应用。

          下面就简要介绍利用神经网络来得到词表示的非常早期的工作——神经概率语言模型(NPLM, Neural Probabilistic Language Model),通过训练语言模型,同时得到词表示。

          语言模型是指一个词串 {wt}Tt=1=wT1=w1,w2,...,wT{wt}t=1T=w1T=w1,w2,...,wT 是自然语言的概率 P(wT1)P(w1T) 。 词wtwt的下标 tt 表示其是词串中的第 tt 个词。根据乘法公式,有

    P(w1,w2,...,wT)=P(w1)P(w2|w1)P(w3|w1,w2)...P(wT|w1,w2,...,wT1)P(w1,w2,...,wT)=P(w1)P(w2|w1)P(w3|w1,w2)...P(wT|w1,w2,...,wT−1)

          因此要想计算出这个概率,那就要计算出 P(wt|w1,w2,...,wt1),t{1,2,...,T}P(wt|w1,w2,...,wt−1),t∈{1,2,...,T} 。传统方式是利用频数估计:

    P(wt|w1,w2,...,wt1)=count(w1,w2,...,wt1,wt)count(w1,w2,...,wt1)P(wt|w1,w2,...,wt−1)=count(w1,w2,...,wt−1,wt)count(w1,w2,...,wt−1)

          count()是指词串在语料中出现的次数。暂且抛开数据稀疏(如果分子为零那么概率为零,这个零合理吗?如果分母为零,又怎么办?)不谈,如果词串的长度很长的话,这个计算会非常费时。n-gram模型是一种近似策略,作了一个 n1n−1 阶马尔可夫假设:认为目标词 wtwt的条件概率只与其之前的 n1n−1 个词有关:

    P(wt|w1,w2,...,wt1)P(wt|wt(n1),wt(n2),...,wt1)=count(wt(n1),wt(n2),...,wt1,wt)count(wt(n1),wt(n2),...,wt1)P(wt|w1,w2,...,wt−1)≈P(wt|wt−(n−1),wt−(n−2),...,wt−1)=count(wt−(n−1),wt−(n−2),...,wt−1,wt)count(wt−(n−1),wt−(n−2),...,wt−1)

          神经概率语言模型NPLM延续了n-gram的假设:认为目标词 wtwt 的条件概率与其之前的 n1n−1 个词有关。但其在计算 P(wt|w1,w2,...,wt1)P(wt|w1,w2,...,wt−1) 时,则使用的是机器学习的套路,而不使用上面count()的方式。那么它是如何在训练语言模型的同时又得到了词表示的呢?

    图片来源:[1],加了几个符号

          设训练语料为 DD ,提取出的词表为 V={w1,w2,...,w|V|}V={w1_,w2_,...,w|V|_} 。词 wiwi_ 的下标 ii_ 表示其是词表中的第 ii 个词,区别于不带下划线的下标。大致说来,NPLM将语料中的一个词串 wtt(n1)wt−(n−1)t 的目标词 wtwt 之前的 n1n−1 个词的词向量(即word embedding,设维度为 mm )按顺序首尾拼接得到一个“长”的列向量 xx ,作为输入层(也就是说共 (n1)m(n−1)m 个神经元)。然后经过权重矩阵 Hh×(n1)mHh×(n−1)m 来到隐层(神经元数为 hh ),并用tanh函数激活。之后再经过权重矩阵 U|V|×hU|V|×h 来到输出层(神经元数当然为 |V||V| ),并使用softmax()将其归一化为概率。另外存在一个从输入层直连输出层的权重矩阵 W|V|×(n1)mW|V|×(n−1)m 。所以网络的输出如下(隐层和输出层加了偏置):

    z=Utanh(Hx+d)+b+Wxz=Utanh⁡(Hx+d)+b+Wx

    y^i=P(wi|wt(n1),wt(n2),...,wt1)=softmax(zi)=expzik=1|V|expzk,wiVy^i_=P(wi_|wt−(n−1),wt−(n−2),...,wt−1)=softmax(zi_)=exp⁡zi_∑k=1|V|exp⁡zk_,wi_∈V

           y^iy^i_ 表示目标词是词表中第 ii 个词 wiwi_ 的概率。

           expziexp⁡zi_ 表示前 n1n−1 个词对词表中第 ii 个词 wiwi_ 的能量聚集。

          词表中的每个词的词向量都存在一个矩阵 CC 中,look-up操作就是从矩阵中取出需要的词向量。由此可以看出,NPLM模型和传统神经网络的区别在于,传统神经网络需要学习的参数是权重和偏置;而NPLM模型除了需要学习权重和偏置外,还需要对输入(也就是词向量)进行学习。

          那么,模型的参数就有:C,U,H,W,b,dC,U,H,W,b,d 。

          使用交叉熵损失函数,模型对目标词 wtwt 的损失为

    L=logy^t=logP(wt|wt(n1),wt(n2),...,wt1)=logsoftmax(zt)L=−log⁡y^t=−log⁡P(wt|wt−(n−1),wt−(n−2),...,wt−1)=−log⁡softmax(zt)

          那么模型的经验风险为(省略了常系数)

    L=wtt(n1)Dlogy^t=wtt(n1)DlogP(wt|wt(n1),wt(n2),...,wt1)=wtt(n1)Dlogsoftmax(zt)L=−∑wt−(n−1)t∈Dlog⁡y^t=−∑wt−(n−1)t∈Dlog⁡P(wt|wt−(n−1),wt−(n−2),...,wt−1)=−∑wt−(n−1)t∈Dlog⁡softmax(zt)

          所以接下来就可以使用梯度下降等方法来迭代求取参数了。这样便同时训练了语言模型和词向量。

    word2vec:CBOW / Skip-gram

          上面介绍的NPLM以训练语言模型为目标,同时得到了词表示。2013年的开源工具包word2vec则包含了CBOW和Skip-gram这两个直接以得到词向量为目标的模型

          像SGNS这些新兴的获得embedding的模型其实不属于字面含义上的“深度”学习,因为这些模型本身都是很浅层的神经网络。但得到它们后,通常会作为输入各种神经网络结构的初始值(也就是预训练,而不采用随机初始化),并随网络参数一起迭代更新进行fine-tuning。就我做过的实验来说,预训练做初始值时通常可以提升任务上的效果,而且fine-tuning也是必要的,不要直接用初始值而不更新了。

          首先它获取word embedding(Distributed representation)的方式是无监督的,只需要语料本身,而不需要任何标注信息,训练时所使用的监督信息并不来自外部标注;但之前的pLSA什么的也是无监督的啊,也是稠密向量表示啊。所以我觉得word2vec之所以引爆了DL在NLP中的应用更可能是因为它在语义方面的一些优良性质,比如相似度方面和词类比(word analogy)现象,便于神经网络从它开始继续去提取一些high level的东西,进而去完成复杂的任务。

          这里先介绍两种模型的没有加速策略的原始形式(也就是输出层是softmax的那种。对于Skip-gram模型,作者在paper中称之为“impractical”),两种加速策略将在下篇文中介绍。

          与NPLM不同,在CBOW / Skip-gram模型中,目标词 wtwt 是一个词串中间的词而不是最后一个词,其拥有的上下文(context)为前后各 mm 个词:wtm,...,wt1,wt+1,...,wt+mwt−m,...,wt−1,wt+1,...,wt+m 。NPLM基于n-gram,相当于目标词只有上文。后文中,“目标词”和“中心词”是同一概念,“周围词”和“上下文”是同一概念。

          在原始的CBOW / Skip-gram模型中,任一个词 wiwi_ 将得到两个word embedding(设维度为 nn ):作为中心词时的词向量,也称为输出词向量 viRn×1vi_∈Rn×1 ;以及作为周围词时的词向量,也称为输入词向量 uiRn×1ui_∈Rn×1 。词向量的下标和词的下标相对应,比如说目标词 wtwt 的词向量就对应为 vtvt 和 utut 。

          与NPLM类似,词表中每个词的词向量都存在一个矩阵中。由于存在两套词向量,因此就有两个矩阵:输入词矩阵 Vn×|V|=[v1,...,v|V|]Vn×|V|=[v1_,...,v|V|_] ,其每一列都是一个词作为周围词时的词向量;输出词矩阵 U|V|×n=[u1;...;u|V|]U|V|×n=[u1_⊤;...;u|V|_⊤] ,其每一行都是一个词作为中心词时的词向量。比如说若想取出词作为周围词时的词向量,只要知道词在词表中的编号即可,取出的操作相当于用输入词矩阵乘以词的one-hot representation。

    (一)CBOW(Continuous Bag-of-Words)

          不带加速的CBOW模型是一个两层结构,相比于NPLM来说CBOW模型没有隐层,通过上下文来预测中心词,并且抛弃了词序信息——

                输入层:nn 个节点,上下文共 2m2m 个词的词向量的平均值;

                输入层到输出层的连接边:输出词矩阵 U|V|×nU|V|×n ;

                输出层:|V||V| 个节点。第 ii 个节点代表中心词是词 wiwi_ 的概率。

          如果要视作三层结构的话,可以认为——

                输入层:2m×|V|2m×|V|个节点,上下文共 2m2m 个词的one-hot representation

                输入层到投影层到连接边:输入词矩阵 Vn×|V|Vn×|V| ;

                投影层::nn 个节点,上下文共 2m2m 个词的词向量的平均值;

                投影层到输出层的连接边:输出词矩阵 U|V|×nU|V|×n ;

                输出层:|V||V| 个节点。第 ii 个节点代表中心词是词 wiwi_ 的概率。

          这样表述相对清楚,将one-hot到word embedding那一步描述了出来。这里的投影层并没有做任何的非线性激活操作,直接就是Softmax层。换句话说,如果只看投影层到输出层的话,其实就是个Softmax回归模型,但标记信息是词串中心词,而不是外部标注。

    图片来源:[5],把记号都改成和本文一致

          首先,将中心词 wtwt 的上下文 ctct :wtm,...,wt1,wt+1,...,wt+mwt−m,...,wt−1,wt+1,...,wt+m 由one-hot representation( xt+jxt+j )转为输入词向量( vt+jvt+j ):

    vt+j=Vxt+j,j{m,...,m}{0}vt+j=Vxt+j,j∈{−m,...,m}∖{0}

          进而将上下文的输入词向量 vtm,...,vt1,vt+1,...,vt+mvt−m,...,vt−1,vt+1,...,vt+m 求平均值,作为模型输入:

    v^t=12mjvt+j,j{m,...,m}{0}v^t=12m∑jvt+j,j∈{−m,...,m}∖{0}

          这一步叫投影(projection)。可以看出,CBOW像词袋模型(BoW)一样抛弃了词序信息,然后窗口在语料上滑动,就成了连续词袋= =。丢掉词序看起来不太好,不过开个玩笑的话:“研表究明,汉字的序顺并不定一能影阅响读,事证实明了当你看这完句话之后才发字现都乱是的”。

          与NPLM不同,CBOW模型没有隐藏层,投影之后就用softmax()输出目标词是某个词的概率,进而减少了计算时间:

    z=Uv^tz=Uv^t

    y^i=P(wi|wtm,...,wt1,wt+1,...,wt+m)=softmax(zi)=softmax(uiv^t),wiVy^i_=P(wi_|wt−m,...,wt−1,wt+1,...,wt+m)=softmax(zi_)=softmax(ui_⊤v^t),wi_∈V

          那么模型的参数就是两个词向量矩阵:U,VU,V 。

          对于中心词 wtwt ,模型对它的损失为

    L=logy^t=logP(wt|wtm,...,wt1,wt+1,...,wt+m)=logsoftmax(zt)=logexp(utv^t)|V|k=1exp(ukv^t)=utv^t+logk=1|V|exp(ukv^t)=zt+logk=1|V|expzkL=−log⁡y^t=−log⁡P(wt|wt−m,...,wt−1,wt+1,...,wt+m)=−log⁡softmax(zt)=−log⁡exp⁡(ut⊤v^t)∑k=1|V|exp⁡(uk_⊤v^t)=−ut⊤v^t+log⁡∑k=1|V|exp⁡(uk_⊤v^t)=−zt+log⁡∑k=1|V|exp⁡zk_

          所以模型的经验风险为

    L=wt+mtmDlogyt^=wt+mtmDlogP(wt|wtm,...,wt1,wt+1,...,wt+m)=wt+mtmDlogsoftmax(zt)L=−∑wt−mt+m∈Dlog⁡yt^=−∑wt−mt+m∈Dlog⁡P(wt|wt−m,...,wt−1,wt+1,...,wt+m)=−∑wt−mt+m∈Dlog⁡softmax(zt)

          做文本的各位同好应该都知道fastText,它相比于CBOW有两个比较重要的区别:首先,fastText是一个端到端的分类器,用全部窗口词取平均去预测文档的标签,而不是预测窗口中心词;另外一个,是它引入了局部词序,也就是 n-gram 特征,所以train出来的词向量和word2vec有一些不一样的特点。因为Hierarchical Softmax还有其他的trick,它的速度快到难以置信,而且精度并不低,没用过fastText的各位可以跑下实验感受一下。

     

          下面开始是非常无聊的求导练习。。。

          如果用SGD来更新参数的话,只需求出模型对一个样本的损失的梯度。也就是说上式的求和号可以没有,直接对 LL 求梯度,来更新参数。

          I. 首先是对输出词矩阵 U=[u1,...,u|V|]U⊤=[u1_,...,u|V|_] :

          这部分和Softmax回归模型的梯度推导过程是一样一样的。有很多种方法,下面介绍最按部就班的方法。

          因为 zi=uiv^tzi_=ui_⊤v^t ,所以 Lui=ziuiLzi=v^tLzi∂L∂ui_=∂zi_∂ui_∂L∂zi_=v^t∂L∂zi_ (这里的 Lzi∂L∂zi_ 其实就是BP算法中的 δδ ),那么先求 Lzi∂L∂zi_ :

          (1) 对 wiV{wt}∀wi_∈V∖{wt} ,有 yi=0yi_=0,那么

    Lzi=(zt+logk=1|V|expzk)zi=0+|V|k=1expzkzik=1|V|expzk=expzik=1|V|expzk=y^i=y^iyi∂L∂zi_=∂(−zt+log⁡∑k=1|V|exp⁡zk_)∂zi=0+∂∑k=1|V|exp⁡zk_∂zi_∑k=1|V|exp⁡zk_=exp⁡zi_∑k=1|V|exp⁡zk_=y^i_=y^i_−yi_

          (2) 对 wi=wtwi_=wt ,有 yi=1yi_=1,那么

    Lzi=Lzt=1+y^t=y^iyi∂L∂zi_=∂L∂zt=−1+y^t=y^i_−yi_

          可见两种情形的结果是统一的,就是误差项。

          因此有

    Lui=(y^iyi)v^t,wiV∂L∂ui_=(y^i_−yi_)v^t,wi_∈V

          那么对于词表中的任一个词 wiwi_ ,其输出词向量的更新迭代式为:

    ui=uiα(y^iyi)v^t,wiVui_=ui_−α(y^i_−yi_)v^t,wi_∈V

          不妨把它们拼接成对矩阵的梯度:

    LU=[Lu1,...,Lu|V|]=v^t(y^y)∂L∂U⊤=[∂L∂u1_,...,∂L∂u|V|_]=v^t(y^−y)⊤

    U=Uαv^t(y^y)U⊤=U⊤−αv^t(y^−y)⊤

          II. 接下来是对输入词矩阵 V=[v1,...,v|V|]V=[v1_,...,v|V|_] :

          因为 v^t=12mjvt+jv^t=12m∑jvt+j ,所以 Lvt+j=v^tvt+jLv^t=12mILv^t∂L∂vt+j=∂v^t∂vt+j∂L∂v^t=12mI∂L∂v^t,那么求 Lv