CBOW

   本文简述了以下内容：

      神经概率语言模型NPLM，训练语言模型并同时得到词表示

      word2vec：CBOW / Skip-gram，直接以得到词表示为目标的模型

          （一）原始CBOW(Continuous Bag-of-Words)模型

          （二）原始Skip-gram模型

          （三）word analogy

神经概率语言模型NPLM

      上篇文简单整理了一下不同视角下的词表示模型。近年来，word embedding可以说已经成为了各种神经网络方法（CNN、RNN乃至各种网络结构，深层也好不深也罢）处理NLP任务的标配。word embedding（词嵌入；词向量）是指基于神经网络来得到词向量的模型（如CBOW、Skip-gram等，几乎无一例外都是浅层的）所train出来的词的向量表示，这种向量表示被称为是分布式表示distributed representation，大概就是说单独看其中一维的话没什么含义，但是组合到一起的vector就表达了这个词的语义信息（粒度上看的话，不止词，字、句子乃至篇章都可以有分布式表示；而且，例如网络节点、知识图谱中的三元组等都可以有自己的embedding，各种“xx2vec”层出不穷）。这种基于神经网络的模型又被称作是基于预测（predict）的模型，超参数往往要多于基于计数（count）的模型，因此灵活性要强一些，超参数起到的作用可能并不逊于模型本身。尽管有一批paper去证明了这类神经网络得到词表示模型的本质其实就是矩阵分解，但这并不妨碍它们的广泛应用。

      下面就简要介绍利用神经网络来得到词表示的非常早期的工作——神经概率语言模型（NPLM, Neural Probabilistic Language Model），通过训练语言模型，同时得到词表示。

      语言模型是指一个词串 {wt}Tt=1=wT1=w1,w2,...,wT{wt}t=1T=w1T=w1,w2,...,wT 是自然语言的概率 P(wT1)P(w1T) 。 词wtwt的下标 tt 表示其是词串中的第 tt 个词。根据乘法公式，有

P(w1,w2,...,wT)=P(w1)P(w2|w1)P(w3|w1,w2)...P(wT|w1,w2,...,wT−1)P(w1,w2,...,wT)=P(w1)P(w2|w1)P(w3|w1,w2)...P(wT|w1,w2,...,wT−1)

      因此要想计算出这个概率，那就要计算出 P(wt|w1,w2,...,wt−1),t∈{1,2,...,T}P(wt|w1,w2,...,wt−1),t∈{1,2,...,T} 。传统方式是利用频数估计：

P(wt|w1,w2,...,wt−1)=count(w1,w2,...,wt−1,wt)count(w1,w2,...,wt−1)P(wt|w1,w2,...,wt−1)=count(w1,w2,...,wt−1,wt)count(w1,w2,...,wt−1)

      count()是指词串在语料中出现的次数。暂且抛开数据稀疏（如果分子为零那么概率为零，这个零合理吗？如果分母为零，又怎么办？）不谈，如果词串的长度很长的话，这个计算会非常费时。n-gram模型是一种近似策略，作了一个 n−1n−1 阶马尔可夫假设：认为目标词 wtwt的条件概率只与其之前的 n−1n−1 个词有关：

P(wt|w1,w2,...,wt−1)≈P(wt|wt−(n−1),wt−(n−2),...,wt−1)=count(wt−(n−1),wt−(n−2),...,wt−1,wt)count(wt−(n−1),wt−(n−2),...,wt−1)P(wt|w1,w2,...,wt−1)≈P(wt|wt−(n−1),wt−(n−2),...,wt−1)=count(wt−(n−1),wt−(n−2),...,wt−1,wt)count(wt−(n−1),wt−(n−2),...,wt−1)

      神经概率语言模型NPLM延续了n-gram的假设：认为目标词 wtwt 的条件概率与其之前的 n−1n−1 个词有关。但其在计算 P(wt|w1,w2,...,wt−1)P(wt|w1,w2,...,wt−1) 时，则使用的是机器学习的套路，而不使用上面count()的方式。那么它是如何在训练语言模型的同时又得到了词表示的呢？

图片来源：[1]，加了几个符号

      设训练语料为 DD ，提取出的词表为 V={w1−,w2−,...,w|V|−−−}V={w1_,w2_,...,w|V|_} 。词 wi−wi_ 的下标 i−i_ 表示其是词表中的第 ii 个词，区别于不带下划线的下标。大致说来，NPLM将语料中的一个词串 wtt−(n−1)wt−(n−1)t 的目标词 wtwt 之前的 n−1n−1 个词的词向量（即word embedding，设维度为 mm ）按顺序首尾拼接得到一个“长”的列向量 xx ，作为输入层（也就是说共 (n−1)m(n−1)m 个神经元）。然后经过权重矩阵 Hh×(n−1)mHh×(n−1)m 来到隐层（神经元数为 hh ），并用tanh函数激活。之后再经过权重矩阵 U|V|×hU|V|×h 来到输出层（神经元数当然为 |V||V| ），并使用softmax()将其归一化为概率。另外存在一个从输入层直连输出层的权重矩阵 W|V|×(n−1)mW|V|×(n−1)m 。所以网络的输出如下（隐层和输出层加了偏置）：

z=Utanh(Hx+d)+b+Wxz=Utanh⁡(Hx+d)+b+Wx

y^i−=P(wi−|wt−(n−1),wt−(n−2),...,wt−1)=softmax(zi−)=expzi−∑k=1|V|expzk−,wi−∈Vy^i_=P(wi_|wt−(n−1),wt−(n−2),...,wt−1)=softmax(zi_)=exp⁡zi_∑k=1|V|exp⁡zk_,wi_∈V

       y^i−y^i_ 表示目标词是词表中第 ii 个词 wi−wi_ 的概率。

       expzi−exp⁡zi_ 表示前 n−1n−1 个词对词表中第 ii 个词 wi−wi_ 的能量聚集。

      词表中的每个词的词向量都存在一个矩阵 CC 中，look-up操作就是从矩阵中取出需要的词向量。由此可以看出，NPLM模型和传统神经网络的区别在于，传统神经网络需要学习的参数是权重和偏置；而NPLM模型除了需要学习权重和偏置外，还需要对输入（也就是词向量）进行学习。

      那么，模型的参数就有：C,U,H,W,b,dC,U,H,W,b,d 。

      使用交叉熵损失函数，模型对目标词 wtwt 的损失为

L=−logy^t=−logP(wt|wt−(n−1),wt−(n−2),...,wt−1)=−logsoftmax(zt)L=−log⁡y^t=−log⁡P(wt|wt−(n−1),wt−(n−2),...,wt−1)=−log⁡softmax(zt)

      那么模型的经验风险为（省略了常系数）

L=−∑wtt−(n−1)∈Dlogy^t=−∑wtt−(n−1)∈DlogP(wt|wt−(n−1),wt−(n−2),...,wt−1)=−∑wtt−(n−1)∈Dlogsoftmax(zt)L=−∑wt−(n−1)t∈Dlog⁡y^t=−∑wt−(n−1)t∈Dlog⁡P(wt|wt−(n−1),wt−(n−2),...,wt−1)=−∑wt−(n−1)t∈Dlog⁡softmax(zt)

      所以接下来就可以使用梯度下降等方法来迭代求取参数了。这样便同时训练了语言模型和词向量。

word2vec：CBOW / Skip-gram

      上面介绍的NPLM以训练语言模型为目标，同时得到了词表示。2013年的开源工具包word2vec则包含了CBOW和Skip-gram这两个直接以得到词向量为目标的模型。

      像SGNS这些新兴的获得embedding的模型其实不属于字面含义上的“深度”学习，因为这些模型本身都是很浅层的神经网络。但得到它们后，通常会作为输入各种神经网络结构的初始值（也就是预训练，而不采用随机初始化），并随网络参数一起迭代更新进行fine-tuning。就我做过的实验来说，预训练做初始值时通常可以提升任务上的效果，而且fine-tuning也是必要的，不要直接用初始值而不更新了。

      首先它获取word embedding（Distributed representation）的方式是无监督的，只需要语料本身，而不需要任何标注信息，训练时所使用的监督信息并不来自外部标注；但之前的pLSA什么的也是无监督的啊，也是稠密向量表示啊。所以我觉得word2vec之所以引爆了DL在NLP中的应用更可能是因为它在语义方面的一些优良性质，比如相似度方面和词类比（word analogy）现象，便于神经网络从它开始继续去提取一些high level的东西，进而去完成复杂的任务。

      这里先介绍两种模型的没有加速策略的原始形式（也就是输出层是softmax的那种。对于Skip-gram模型，作者在paper中称之为“impractical”），两种加速策略将在下篇文中介绍。

      与NPLM不同，在CBOW / Skip-gram模型中，目标词 wtwt 是一个词串中间的词而不是最后一个词，其拥有的上下文（context）为前后各 mm 个词：wt−m,...,wt−1,wt+1,...,wt+mwt−m,...,wt−1,wt+1,...,wt+m 。NPLM基于n-gram，相当于目标词只有上文。后文中，“目标词”和“中心词”是同一概念，“周围词”和“上下文”是同一概念。

      在原始的CBOW / Skip-gram模型中，任一个词 wi−wi_ 将得到两个word embedding（设维度为 nn ）：作为中心词时的词向量，也称为输出词向量 vi−∈Rn×1vi_∈Rn×1 ；以及作为周围词时的词向量，也称为输入词向量 ui−∈Rn×1ui_∈Rn×1 。词向量的下标和词的下标相对应，比如说目标词 wtwt 的词向量就对应为 vtvt 和 utut 。

      与NPLM类似，词表中每个词的词向量都存在一个矩阵中。由于存在两套词向量，因此就有两个矩阵：输入词矩阵 Vn×|V|=[v1−,...,v|V|−−−]Vn×|V|=[v1_,...,v|V|_] ，其每一列都是一个词作为周围词时的词向量；输出词矩阵 U|V|×n=[u⊤1−;...;u⊤|V|−−−]U|V|×n=[u1_⊤;...;u|V|_⊤] ，其每一行都是一个词作为中心词时的词向量。比如说若想取出词作为周围词时的词向量，只要知道词在词表中的编号即可，取出的操作相当于用输入词矩阵乘以词的one-hot representation。

（一）CBOW(Continuous Bag-of-Words)

      不带加速的CBOW模型是一个两层结构，相比于NPLM来说CBOW模型没有隐层，通过上下文来预测中心词，并且抛弃了词序信息——

            输入层：nn 个节点，上下文共 2m2m 个词的词向量的平均值；

            输入层到输出层的连接边：输出词矩阵 U|V|×nU|V|×n ；

            输出层：|V||V| 个节点。第 ii 个节点代表中心词是词 wi−wi_ 的概率。

      如果要视作三层结构的话，可以认为——

            输入层：2m×|V|2m×|V|个节点，上下文共 2m2m 个词的one-hot representation

            输入层到投影层到连接边：输入词矩阵 Vn×|V|Vn×|V| ；

            投影层：：nn 个节点，上下文共 2m2m 个词的词向量的平均值；

            投影层到输出层的连接边：输出词矩阵 U|V|×nU|V|×n ；

            输出层：|V||V| 个节点。第 ii 个节点代表中心词是词 wi−wi_ 的概率。

      这样表述相对清楚，将one-hot到word embedding那一步描述了出来。这里的投影层并没有做任何的非线性激活操作，直接就是Softmax层。换句话说，如果只看投影层到输出层的话，其实就是个Softmax回归模型，但标记信息是词串中心词，而不是外部标注。

图片来源：[5]，把记号都改成和本文一致

      首先，将中心词 wtwt 的上下文 ctct ：wt−m,...,wt−1,wt+1,...,wt+mwt−m,...,wt−1,wt+1,...,wt+m 由one-hot representation（ xt+jxt+j ）转为输入词向量（ vt+jvt+j ）：

vt+j=Vxt+j,j∈{−m,...,m}∖{0}vt+j=Vxt+j,j∈{−m,...,m}∖{0}

      进而将上下文的输入词向量 vt−m,...,vt−1,vt+1,...,vt+mvt−m,...,vt−1,vt+1,...,vt+m 求平均值，作为模型输入：

v^t=12m∑jvt+j,j∈{−m,...,m}∖{0}v^t=12m∑jvt+j,j∈{−m,...,m}∖{0}

      这一步叫投影（projection）。可以看出，CBOW像词袋模型(BoW)一样抛弃了词序信息，然后窗口在语料上滑动，就成了连续词袋= =。丢掉词序看起来不太好，不过开个玩笑的话：“研表究明，汉字的序顺并不定一能影阅响读，事证实明了当你看这完句话之后才发字现都乱是的”。

      与NPLM不同，CBOW模型没有隐藏层，投影之后就用softmax()输出目标词是某个词的概率，进而减少了计算时间：

z=Uv^tz=Uv^t

y^i−=P(wi−|wt−m,...,wt−1,wt+1,...,wt+m)=softmax(zi−)=softmax(u⊤i−v^t),wi−∈Vy^i_=P(wi_|wt−m,...,wt−1,wt+1,...,wt+m)=softmax(zi_)=softmax(ui_⊤v^t),wi_∈V

      那么模型的参数就是两个词向量矩阵：U,VU,V 。

      对于中心词 wtwt ，模型对它的损失为

L=−logy^t=−logP(wt|wt−m,...,wt−1,wt+1,...,wt+m)=−logsoftmax(zt)=−logexp(u⊤tv^t)∑|V|k=1exp(u⊤k−v^t)=−u⊤tv^t+log∑k=1|V|exp(u⊤k−v^t)=−zt+log∑k=1|V|expzk−L=−log⁡y^t=−log⁡P(wt|wt−m,...,wt−1,wt+1,...,wt+m)=−log⁡softmax(zt)=−log⁡exp⁡(ut⊤v^t)∑k=1|V|exp⁡(uk_⊤v^t)=−ut⊤v^t+log⁡∑k=1|V|exp⁡(uk_⊤v^t)=−zt+log⁡∑k=1|V|exp⁡zk_

      所以模型的经验风险为

L=−∑wt+mt−m∈Dlogyt^=−∑wt+mt−m∈DlogP(wt|wt−m,...,wt−1,wt+1,...,wt+m)=−∑wt+mt−m∈Dlogsoftmax(zt)L=−∑wt−mt+m∈Dlog⁡yt^=−∑wt−mt+m∈Dlog⁡P(wt|wt−m,...,wt−1,wt+1,...,wt+m)=−∑wt−mt+m∈Dlog⁡softmax(zt)

      做文本的各位同好应该都知道fastText，它相比于CBOW有两个比较重要的区别：首先，fastText是一个端到端的分类器，用全部窗口词取平均去预测文档的标签，而不是预测窗口中心词；另外一个，是它引入了局部词序，也就是 n-gram 特征，所以train出来的词向量和word2vec有一些不一样的特点。因为Hierarchical Softmax还有其他的trick，它的速度快到难以置信，而且精度并不低，没用过fastText的各位可以跑下实验感受一下。

 

      下面开始是非常无聊的求导练习。。。

      如果用SGD来更新参数的话，只需求出模型对一个样本的损失的梯度。也就是说上式的求和号可以没有，直接对 LL 求梯度，来更新参数。

      I. 首先是对输出词矩阵 U⊤=[u1−,...,u|V|−−−]U⊤=[u1_,...,u|V|_] ：

      这部分和Softmax回归模型的梯度推导过程是一样一样的。有很多种方法，下面介绍最按部就班的方法。

      因为 zi−=u⊤i−v^tzi_=ui_⊤v^t ，所以 ∂L∂ui−=∂zi−∂ui−∂L∂zi−=v^t∂L∂zi−∂L∂ui_=∂zi_∂ui_∂L∂zi_=v^t∂L∂zi_ （这里的 ∂L∂zi−∂L∂zi_ 其实就是BP算法中的 δδ ），那么先求 ∂L∂zi−∂L∂zi_ ：

      (1) 对 ∀wi−∈V∖{wt}∀wi_∈V∖{wt} ，有 yi−=0yi_=0，那么

∂L∂zi−=∂(−zt+log∑k=1|V|expzk−)∂zi=0+∂∑|V|k=1expzk−∂zi−∑k=1|V|expzk−=expzi−∑k=1|V|expzk−=y^i−=y^i−−yi−∂L∂zi_=∂(−zt+log⁡∑k=1|V|exp⁡zk_)∂zi=0+∂∑k=1|V|exp⁡zk_∂zi_∑k=1|V|exp⁡zk_=exp⁡zi_∑k=1|V|exp⁡zk_=y^i_=y^i_−yi_

      (2) 对 wi−=wtwi_=wt ，有 yi−=1yi_=1，那么

∂L∂zi−=∂L∂zt=−1+y^t=y^i−−yi−∂L∂zi_=∂L∂zt=−1+y^t=y^i_−yi_

      可见两种情形的结果是统一的，就是误差项。

      因此有

∂L∂ui−=(y^i−−yi−)v^t,wi−∈V∂L∂ui_=(y^i_−yi_)v^t,wi_∈V

      那么对于词表中的任一个词 wi−wi_ ，其输出词向量的更新迭代式为：

ui−=ui−−α(y^i−−yi−)v^t,wi−∈Vui_=ui_−α(y^i_−yi_)v^t,wi_∈V

      不妨把它们拼接成对矩阵的梯度：

∂L∂U⊤=[∂L∂u1−,...,∂L∂u|V|−−−]=v^t(y^−y)⊤∂L∂U⊤=[∂L∂u1_,...,∂L∂u|V|_]=v^t(y^−y)⊤

U⊤=U⊤−αv^t(y^−y)⊤U⊤=U⊤−αv^t(y^−y)⊤

      II. 接下来是对输入词矩阵 V=[v1−,...,v|V|−−−]V=[v1_,...,v|V|_] ：

      因为 v^t=12m∑jvt+jv^t=12m∑jvt+j ，所以 ∂L∂vt+j=∂v^t∂vt+j∂L∂v^t=12mI∂L∂v^t∂L∂vt+j=∂v^t∂vt+j∂L∂v^t=12mI∂L∂v^t，那么求 ∂L∂v