简单来说，“仿射变换”就是：“线性变换”+“平移”。

1. 线性变换

线性变换有三个特点：

1. 变换前是直线，变换后依然是直线；
2. 直线比例保持不变
3. 变换前是原点，变换后依然是原点

例如：旋转

例如：推移

旋转和推移叠加在一起也是线性变换：

1.1旋转是如何实现的

2. 仿射变换

仿射变换有两个特点：

1. 变换前是直线，变换后依然是直线；
2. 直线比例保持不变

少了原点保持不变这一条

例如：平移

平移不是线性变换，而是仿射变换。

2.1 代数

把平移前的中心点称为O，平移后的中心点称为b，令以O为原点的点的向量表示为 ，仿射变换之后的点的坐标为 。

首先，对O点进行线性变换，可表示为，再进行平移可得。

仿射变换可以表示为：。

2.2 通过线性变换来完成仿射变换

增加一个维度，就可以再高维度通过线性变换来完成低维度的仿射变换。

以上面的正方形为例：

意味着将该正方形平移到了z=1的位置。

令

可以看作是对z=1和z=0之间的刚体(可以想象为一个沿z轴无限延长的立方体)以[0,0,0]为原点在三维空间中进行旋转、推移等线性变换。对旋转之后的刚体在z=1面处的截面即为 。(三维互动界面可参考文末链接，其描述非常形象)

参考链接：https://www.matongxue.com/madocs/244/