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  • 似然函数
    2021-01-01 14:26:52

    引言

    在学习贝叶斯估计时,遇到了似然函数的概念。这一概念并不陌生,在概率论中,介绍过参数估计的两种方法:极大似然估计和矩估计。其中,极大似然估计就是通过构造似然函数,取对数并计算极大值,来进行参数估计的。事实上,似然函数的确是常用于参数估计,或者更确切地说,是得到参数在某一观测条件下的后验分布。

    参数已知下的概率分布

    考虑一个密度函数 f ( x ) f(x) f(x),其参数 θ \theta θ已知,则可据此得出概率 P ( X = x ; θ ) P(X=x;\theta) P(X=x;θ)。对于该密度函数,我们进行试验和观测,得到结果 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn,记 X = x i X=x_i X=xi为事件 X i X_i Xi,显然事件 X i X_i Xi之间是相互独立的,事件 X 1 , X 2 , . . . X n X_1,X_2,...X_n X1,X2,...Xn发生的概率为 P ( X 1 X 2 . . . X n ; θ ) P(X_1X_2...X_n;\theta) P(X1X2...Xnθ)

    似然函数的理解

    似然函数恰与概率分布相反,我们假设参数 θ \theta θ是未知的,则其分布也无从确定,我们只能根据观测结果,来估算参数,也就是参数估计。似然函数通常用 L ( θ ; X 1 X 2 . . . X n ) L(\theta;X_1X_2...X_n) L(θ;X1X2...Xn)来表示,当似然函数取得极大值时,参数 θ \theta θ取得极大值点 θ 0 \theta_0 θ0,也表明在这些观测结果的指引下,认为 θ = θ 0 \theta=\theta_0 θ=θ0的概率最大,从而实现了参数的极大似然估计。

    硬币的例子

    举一个投掷硬币的例子。

    投掷两次硬币,记每一次正面朝上为事件 H H H,记先验概率 p ( H ) = θ p(H)=\theta pH=θ,则两次同为正面朝上的概率是 P ( H H ; θ ) = θ 2 P(HH;\theta)=\theta^2 P(HHθ)=θ2

    假设硬币表面不平整等原因,造成参数 θ \theta θ不确定,需要根据已有的观测事件 H H HH HH人为估计 θ \theta θ,则写出似然函数 L ( θ ∣ H H ) L(\theta|HH) L(θHH)

    下面计算似然函数,认为事件 H H HH HH已经发生 P ( H H ) = 1 P(HH)=1 P(HH)=1,根据贝叶斯公式,有 L ( θ ∣ H H ) = P ( H H ∣ θ ) / P ( H H ) = P ( H H ∣ θ ) L(\theta|HH)=P(HH|\theta)/P(HH)=P(HH|\theta) L(θHH)=P(HHθ)/P(HH)=P(HHθ)。由于 θ \theta θ是一个定值,则 P ( H H ∣ θ ) = P ( H H ; θ ) P(HH|\theta)=P(HH;\theta) P(HHθ)=P(HH;θ)

    因此,若估计 θ = 0.5 \theta=0.5 θ=0.5,则 L ( θ ∣ H H ) = 0.25 L(\theta|HH)=0.25 L(θHH)=0.25;若估计 θ = 0.6 \theta=0.6 θ=0.6,则 L ( θ ∣ H H ) = 0.36 L(\theta|HH)=0.36 L(θHH)=0.36;若估计 θ = 1 \theta=1 θ=1,则 L ( θ ∣ H H ) = 1 L(\theta|HH)=1 L(θHH)=1

    对于上述的一个个概率,即为参数 θ \theta θ的后验分布。显然,认为 θ = 1 \theta=1 θ=1的概率最大,得出结论应该取1。
    该估计结果尽管不符合实际,但过程是正确的,误差的来源是试验次数太少,存在偶然性。

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    似然函数

    统计学中,似然函数是一种关于统计模型参数的函数。表示模型参数中的似然性

    定义:给定输出x时,关于参数θ的似然函数L(θ|x)(在数值上)等于给定参数θ后变量X的概率:

    在这里插入图片描述

    其中,小x是指联合样本随机变量X取到的值。θ是指未知参数,属于参数空间。

    p(x|θ)可以看作有两个变量的函数。
    当θ设为常量,则你会得到一个关于x的概率函数(probability function),对于不同的样本点x,其出现概率是多少;
    当x设为常量,你将得到关于θ的似然函数(likelihood function),对于不同的参数θ,出现x这个样本点的概率是多少。

     例:
     - 抛一枚匀质硬币,抛10次,6次正面向上的可能性多大? 这是概率。
     - 抛一枚硬币,抛10次,结果是6次正面向上,且是匀质的可能性多大?这是似然,求参数。
     
     注:匀质的可能性代表正面向上和反面向上是等可能的,均为0.5。所以上次结果相同。
    

    如何理解最大似然函数?

    极大似然估计是指已知某个随机样本满足某种概率分布,利用结果反推出导致结果的参数值。

    例:抛一枚硬币,抛10次,结果是6次正面朝上,最大的参数是多少?
    注:可以理解成扔一次正面向上的可能性为多少时,在抛10次中,结果是6次正面朝上的概率最大。

    最大似然法的步骤

    1. 写出似然函数。
    2. 如果无法直接求导的话,对似然函数取对数。
    3. 求导数,令导数为0,得到似然方程。
    4. 解方程,得到参数结果。

    为何使用对数似然函数?

    求解一个函数的极大化往往需要求解该函数的关于未知参数的偏导数,但直接求导会使计算变得更为复杂。所以借助对数似然函数。因为对数函数是单调增函数,所以极大值点会相同。

    注:概率值是小数,多个连乘的情况下,会导致结果接近于0,此时对似然函数取对数的负数,变成最小化对数似然函数。

    展开全文
  • 条件概率与似然函数

    千次阅读 2021-12-13 17:10:16
    概率密度与似然函数@TOC 概率密度函数(PDF: Probability Density Function)与似然函数(LF: Likelihood Function) 澄清概率密度函数(pdf)与似然函数(LF)的关系。参数估计中经常用到最大似然估计(Maximum ...

    概率密度与似然函数@TOC

    概率密度函数(PDF: Probability Density Function)与似然函数(LF: Likelihood Function)

    澄清概率密度函数(pdf)与似然函数(LF)的关系。参数估计中经常用到最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation),其表达形式上与概率密度函数相同,但实际意义有所区别。
    首先定义两个符号:

    1. f ( x , y ∣ θ ) f(x,y|\pmb{\theta}) f(x,yθθθ): 当参数为 θ \pmb{\theta} θθθ时,样本出现在 ( x , y ) (x,y) (x,y)的概率密度(pdf)
    2. f ( x , y ; θ ) f(x,y;\pmb{\theta}) f(x,y;θθθ): 当观测到 ( x , y ) (x,y) (x,y)这个样本时,参数 θ \pmb{\theta} θθθ的概率密度函数(LF)

    概率密度函数( f ( x , y ∣ θ ) f(x,y|\pmb{\theta}) f(x,yθθθ)

    以打靶为例。在射击之前,希望知道弹点的分布情况,即需要获得弹点 ( x , y ) (x,y) (x,y)的概率密度函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)。值得注意的是,这里的 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)并不是表示弹点落在 ( x , y ) (x,y) (x,y)的概率大小,而是弹点落在区域 Δ \Delta Δ的概率为 P ( ( x , y ) ∈ Δ ) = ∬ ( x , y ) ∈ Δ f ( x , y ) d x d y P((x,y)\in \Delta) =\iint_{(x,y)\in \Delta} f(x,y) \text{d}x\text{d}y P((x,y)Δ)=(x,y)Δf(x,y)dxdy,所以pdf值 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)可能大于1。
    打靶示意图
    如上图,落在8环内的概率 P ( ∣ ∣ ( x , y ) ∣ ∣ 2 < R 8 ) = ∬ ∣ ∣ ( x , y ) ∣ ∣ 2 < R 8 f ( x , y ) d x d y P(||(x,y)||_2<R_8)=\iint_{||(x,y)||_2<R_8}f(x,y)\text{d}x\text{d}y P((x,y)2<R8)=(x,y)2<R8f(x,y)dxdy,其中 ∣ ∣ ( x , y ) ∣ ∣ 2 ||(x,y)||_2 (x,y)2表示矢量 ( x , y ) (x,y) (x,y)的二范数(即欧氏距离), R 8 R_8 R8表示8环的半径。

    有时概率密度函数会由若干参数确定其形态,记为 θ \pmb{\theta} θθθ,以 θ \pmb{\theta} θθθ为参数的概率密度函数写为 f ( x , y ∣ θ ) f(x,y|\pmb{\theta}) f(x,yθθθ)。这里的 θ \pmb{\theta} θθθ是一个给定参数向量。例如打靶问题中,假设弹点服从二维正态分布,参数 θ = ( x 0 , y 0 , σ ) \pmb{\theta} = (x_0,y_0,\sigma) θθθ=(x0,y0,σ),其中 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)表示瞄准的中心的坐标, σ \sigma σ表示打靶的正态分布的标准差(假设 x , y x,y x,y独立同分布)。pdf的表达式就是:
    f ( x , y ∣ x 0 , y 0 , σ ) = 1 2 π σ 2 exp ⁡ { − 1 2 σ 2 [ ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 ] } f(x,y|x_0,y_0,\sigma)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\exp{\left\{-\frac{1}{2\sigma^2}[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2]\right\}} f(x,yx0,y0,σ)=2πσ2 1exp{2σ21[(xx0)2+(yy0)2]}
    pdf的自变量是 ( x , y ) (x,y) (x,y) θ \pmb{\theta} θθθ是参数集合,针对给定的概率分布, θ \pmb{\theta} θθθ是常数。对pdf关于 ( x , y ) (x,y) (x,y)积分为1:
    ∫ x ∈ R ∫ y ∈ R f ( x , y ∣ x 0 , y 0 , σ ) d x d y = 1 \int_{x\in\mathcal{R}} \int_{y\in\mathcal{R}} f(x,y|x_0,y_0,\sigma)\text{d}x\text{d}y=1 xRyRf(x,yx0,y0,σ)dxdy=1

    似然函数( f ( x , y ; θ ) f(x,y;\pmb{\theta}) f(x,y;θθθ)

    Fisher在1922年提到过likelihood的理解:
    两个二项分布的参数分别是 p 1 p_1 p1 p 2 p_2 p2,即 p ( ξ = 0 ) = p 1 , p ( ξ = 0 ) = p 2 p(\xi=0)=p_1,p(\xi=0)=p_2 p(ξ=0)=p1,p(ξ=0)=p2,我们不知道这两个参数的具体值。通过做实验,我们发现第一组实验出现0的频率是第二组实验出现0的频率的三倍,为了量化不同 p p p的这种属性,在不引起混淆的前提下,我们称 p 1 p_1 p1的似然度(likelihood)是 p 2 p_2 p2的似然度的三倍。值得注意的是,这里的似然度不是概率参数 p = p 1 p=p_1 p=p1的概率,只是简单地表示在特定参数 p p p下,该参数导致观测样本出现的相对频率。
    例如有两个靶子,靶心分别记为 p 0 = ( x 0 , y 0 ) p_0=(x_0,y_0) p0=(x0y0) p 1 = ( x 1 , y 1 ) p_1=(x_1,y_1) p1=(x1,y1)。我们不知道射手瞄准的是哪个靶子,只是观测到了1个弹点的坐标是 ( x , y ) (x,y) (x,y)。此时 p ( x , y ∣ x 0 , y 0 ) p(x,y|x_0,y_0) p(x,yx0,y0)表示靶心是 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)条件下,出现弹点 ( x , y ) (x,y) (x,y)的概率密度,此时可以对平面上的弹点 ( x , y ) (x,y) (x,y)积分,满足
    ∫ x ∈ R ∫ y ∈ R f ( x , y ∣ x 0 , y 0 ) d x d y = 1 \int_{x\in\mathcal{R}} \int_{y\in\mathcal{R}} f(x,y|x_0,y_0)\text{d}x\text{d}y=1 xRyRf(x,yx0,y0)dxdy=1
    p ( x , y ; x 0 , y 0 ) p(x,y;x_0,y_0) p(x,y;x0,y0)表示观测到 ( x , y ) (x,y) (x,y)这一现象,射手瞄准的是 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)的似然度(likelihood)。这里是似然度而不是概率,表示参数 θ = ( x 0 , y 0 ) \theta=(x_0,y_0) θ=(x0,y0)这不是随机事件,而是客观事实,我们基于随机样本去推理客观参数,存在的不确定性称之为似然度,而基于客观参数推断某个样本出现的频率大小,称之为概率。似然函数可能不满足对参数 θ \theta θ积分为0:
    例如下图:
    条件概率与似然函数
    如图,若 θ \theta θ即靶心坐标只有两个取值,分别是 ( x 0 = − 1 , y 0 = 0 ) (x_0=-1,y_0=0) (x0=1,y0=0) ( x 0 = 1 , y 0 = 0 ) (x_0=1,y_0=0) (x0=1,y0=0),虽然条件概率和似然函数的表达式相同:
    f ( x , y ∣ x 0 , y 0 ) = 1 2 π σ 2 exp ⁡ { − 1 2 σ 2 [ ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 ] } f ( x , y ; x 0 , y 0 ) = 1 2 π σ 2 exp ⁡ { − 1 2 σ 2 [ ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 ] } f(x,y|x_0,y_0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\exp{\left\{-\frac{1}{2\sigma^2}[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2]\right\}} \\ f(x,y;x_0,y_0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\exp{\left\{-\frac{1}{2\sigma^2}[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2]\right\}} f(x,yx0,y0)=2πσ2 1exp{2σ21[(xx0)2+(yy0)2]}f(x,y;x0,y0)=2πσ2 1exp{2σ21[(xx0)2+(yy0)2]}
    但是条件概率的自变量是 x , y x,y x,y,对其积分后为1;而似然函数的自变量为 x 0 , y 0 x_0,y_0 x0,y0,对其积分(两个取值求和)之后不一定为1。特别地,在这个例子中,如果 θ \theta θ的取值为 ( x 0 , y 0 ) ∈ R 2 (x_0,y_0)\in\mathcal{R}^2 (x0,y0)R2,似然函数的积分也为1。

    引用quora上的一个回答 What is the difference between probability and likelihood
    我们可以再做一个类比,假设一个函数 a b a^b ab ,这个函数包含两个变量。 如果你令 b = 2 b=2 b=2,这样你就得到了一个关于 a a a的二次函数,即 : a 2 a^2 a2当你令 a = 2 a=2 a=2时,你将得到一个关于 b b b的指数函数,即 2 b 2^b 2b可以看到这两个函数有着不同的名字,却源于同一个函数。而 p ( x ∣ θ ) p(x|θ) p(xθ)也是一个有着两个变量的函数。如果,你将 θ θ θ设为常量,则你会得到一个概率函数(关于 x x x的函数);如果,你将 x x x设为常量你将得到似然函数(关于 θ θ θ的函数)。

    小结

    1.在很多情况下,pdf和LF的表达式相同;
    2.条件概率pdf是概率测度,满足非负性、积分为1条件,LF不是概率测度,不一定满足积分为1的条件;
    3.似然函数是个相对值,可以比较,但不是绝对的概率意义。例如图2中,射手目标是右侧的似然程度要大于左侧的,但两个似然度的和并不一定为1。

    [1]: RA Fisher, M.A., 1922. On the mathematical foundations of theoretical statistics. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A, 222(594-604), pp.309-368.

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    似然函数的理解

    概率用于在已知一些参数的情况下,预测接下来的观测所得到的结果。参数->结果

    似然性则是用于在已知某些观测所得到的结果时,对有关事物的性质的参数进行估计。结果->参数

    举个例子:
    关于硬币投掷两次,两次都正面朝上的概率。

    假设单次正面朝上的概率是pH=0.5,那么两次都正面朝上的概率为0.25。

    假设单次正面朝上的概率是0.6,那么两次都正面朝上的概率为0.36。

    如果参数pH的取值变为0.6的话,结果观测到两次正面朝上的概率要比假设pH=0.5时更大。也就是说,参数pH取成0.6要比取成0.5更有说服力,更为“合理”。总之,似然函数的重要性不是它的具体取值,而是当参数变化时函数到底变小还是变大。对同一个似然函数,如果存在一个参数值,使得它的函数值达到最大的话,那么这个值就是最为“合理”的参数值。

    用数学方法可以描述为:
    假设X是离散随机变量,其概率函数p依赖于参数θ,则:
    L ( θ ∣ x ) = P 0 ( x ) = P 0 ( X = x ) L(θ|x) = P_0(x)=P_0(X=x) L(θx)=P0(x)=P0(X=x)
    其中 L ( θ ∣ x ) L(θ|x) L(θx)为参数θ的似然函数,x为随机变量X的某一取值,即样本集中的某一样本。

    如果我们发现:
    L ( θ 1 ∣ x ) = P θ 1 ( X = x ) > P θ 2 ( X = x ) = L ( θ 2 ∣ x ) L(θ_1|x) = P_{θ_1}(X=x) > P_{θ_2}(X=x)=L(θ_2|x) L(θ1x)=Pθ1(X=x)>Pθ2(X=x)=L(θ2x)

    那么似然函数就可以反映出这样一个朴素推测:在参数 θ 1 θ_1 θ1随机变量X取到x的可能性大于在参数 θ 2 θ_2 θ2随机变量X取到x的可能性。换句话说,我们更有力有相信, θ 1 θ_1 θ1更有可能是该概率模型的参数。

    最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation, MLE)

    假设我们有一个非常复杂的数据分布 P d a t a ( x ) P_{data}(x) Pdata(x),但是我们不知道该分布的数学表达形式,所以我们需要定义一个分布模型 P ( x : θ ) P(x:θ) P(x:θ),该分布由参数θ决定。我们的目标是求得参数θ使得定义的分布 P ( x : θ ) P(x:θ) P(x:θ)尽可能接近真实的分布 P d a t a ( x ) P_{data}(x) Pdata(x)

    下面我们来看看最大似然估如何进行操作:

    1. P d a t a ( x ) P_{data}(x) Pdata(x)中采集m个样本 x 1 , x 2 , . . . , x m x_1, x_2,...,x_m x1,x2,...,xm
    2. 计算样本的似然函数 L = ∏ i = 1 m P G ( x i ; θ ) L=\prod_{i=1}^{m} P_{G}\left(x^{i} ; \theta\right) L=i=1mPG(xi;θ)
    3. 求使得似然函数 L L L最大的参数θ: θ = a r g m a x ( L ) θ=argmax(L) θ=argmax(L)

    当来自 P d a t a ( x ) P_{data}(x) Pdata(x)的样本 x 1 , x 2 , . . . , x m x_1, x_2,...,x_m x1,x2,...,xm P G ( x : θ ) P_G(x:θ) PG(x:θ)分布模型出现的概率越高,也就是 ∏ i = 1 m P G ( x i ; θ ) \prod_{i=1}^{m} P_{G}\left(x^{i} ; \theta\right) i=1mPG(xi;θ)越大, P G ( x : θ ) P_G(x:θ) PG(x:θ) P d a t a ( x ) P_{data}(x) Pdata(x)越接近。

    最大似然概率,就是在已知观测的数据的前提下,找到使得似然概率最大的参数值。

    对数似然

    似然函数是连乘的形式:
    L = ∏ i = 1 m P ( x i ; θ ) L=\prod_{i=1}^{m} P\left(x^{i} ; \theta\right) L=i=1mP(xi;θ)

    相对不容易计算,也不方便求导。如果我们对它去对数连乘就会变成连加,计算更加方便。
    L ( θ ) = ∑ i = 1 m log ⁡ ( P ( x i ; θ ) ) L(\theta)=\sum_{i=1}^{m} \log \left(P\left(x^{i} ; \theta\right)\right) L(θ)=i=1mlog(P(xi;θ))

    这样依赖就变成了我们非常熟悉的求极值过程,θ为自变量,我们需要找到一个θ,使得 L ( θ ) L(θ) L(θ)最大。只需对θ求导然后令导数等于0即可。

    最大似然估计的一般步骤如下:

    1. 写出似然函数;
    2. 对似然函数取对数,得到对数似然函数;
    3. 求对数似然函数的关于参数组的偏导数,并令其为0,得到似然方程组;
    4. 解似然方程组,得到参数组的值。

    负对数似然(Negative log-likelihood, NLL)

    在对数似然前面取一个负号,求最大似然转变为求最小。
    l ( θ ) = − ∑ i = 1 m log ⁡ ( P ( x i ; θ ) ) l(\theta)=-\sum_{i=1}^{m} \log \left(P\left(x^{i} ; \theta\right)\right) l(θ)=i=1mlog(P(xi;θ))

    我们惊奇地发现,这个公式不就是交叉熵吗?只是少了一项 p ( x i ) p(x_i) p(xi),但是真实标签的概率为1,所以省略掉了。

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  • 1.最大似然估计的总体概念 2.基本概念与问题引出 3.最大似然估计原理 4.极大似然估计的公式[3] 5.极大似然估计的例子 参考文献 1.最大似然估计的总体概念 最大似然估计的功能:根据已有的数据(手中已经获取...
  • 在建模过程中,似然函数描述在不同的模型参数下真实数据发生的概率,它是关于模型参数的函数。 最大似然估计就是寻找最优参数,使观测数据发生的概率最大、统计模型与真实数据最相近。 三、举例直观说明 以在黑箱...
  • 【理解】似然函数

    万次阅读 2019-04-09 11:13:50
    似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数,表示模型参数中的似然性,概率,用于在已知一些参数的情况下,预测接下来在观测上所得到的结果;似然性,则是用于在已知某些观测所得到的结果时,对有关事物之性质的参数...

空空如也

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似然函数

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